95學測數學

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九十五學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：

100 分鐘

題型題數：

單選題

5 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 I 題共 9 題

作答方式：‧

用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

‧

答錯不倒扣

作答說明：

在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。

（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第 1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

解 答 欄

例：若多選題第 10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的

與 劃記，如：

（二）選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題

的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 B 題的答案格式是

，而依題意計算出來的答案是

8 3

，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

₅₀7

時，則考生必須分別在答

案

卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

3

3 7  8 20 21 50 18 19 3

第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔

5 5 分 ）

壹 、 單 選 題 （ 佔

2 5 分 ）

說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得

5 分，答錯不倒扣。

1. 設一元二次整係數方程式 2 0 ax bx c  有一根為 4 3i 。若將此方程式的兩根與原點在複 數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為

(1)

5

(2)

6

(3)

12

(4)

16

(5)

24

2. 在右圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出 的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的機率為 (1)

1

20

(2)

1

4

(3)

3

4

(4)

3

5

(5)

4

5

3. 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 _OD8。 問：直角三角形 OAB 的高 _AB 為何？ (1) 1 (2) 6 2 (3) 7 1 (4) ₃ (5) 2 4. 下列哪一個數值最接近 ₂？ (1) 3 cos 44 sin 44 (2) _{3 cos 54 sin 54} (3) 3 cos 64 sin 64 (4) 3 cos 74 sin 74 (5) 3 cos84 sin 84 5. 在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩個小 時可以成長為兩倍，細菌 _B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種 8 O A B C D 15° 15° 30°

細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌 _B 的數量除以細菌 _A 的數量最接近 10？ (1) 24 小時。 (2) 48 小時。 (3) 69 小時。 (4) 96 小時。 (5) 117 小時。

貳 、 多 選 題

（ 佔

_{3 0 分 ）}

說明：第 6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正

確選項標示在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只

錯一個選項可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。

6. 假設 a b c, , 是三個正整數。若 25 是 a b, 的最大公因數，且 3, 4,14 都是 b c, 的公因數， 則下列何者正確？ (1) c 一定可以被 56 整除。 (2) b2100。 (3) 若 a100，則 a25。 (4) a b c, , 三個數的最大公因數是 25 的因數。 (5) a b c, , 三個數的最小公倍數大於或等於 25 3 4 14   。 7. 考慮坐標平面上所有滿足 _(x2)2_y2 _{ (x2)}2_(y4)2 _{10 的點 ( , )x y 所成的圖} 形，下列敘述何者正確？ (1) 此圖形為一橢圓。 (2) 此圖形為一雙曲線。 (3) 此圖形的中心在(2, 2) 。 (4) 此圖形對稱於 x 2 0。 (5) 此圖形有一頂點 (2,3)。 8. 假設實數 a a a a1, , ,2 3 4 是一個等差數列，且滿足 0a12 及 a34。若定義 2 n a n b  ， 則以下哪些選項是對的？ (1) b b b b1, , ,2 3 4 是一個等比數列。 (2) b1b2。 (3) b2 4。 (4) b4 32。 (5) b2 b4 256。 9. 學生練習計算三次多項式 f x( ) 除以一次多項式 g x( ) 的餘式。已知 f x( ) 的三次項係數 為 3，一次項係數為 ₂。甲生在計算時把 f x( ) 的三次項係數錯看成 ₂ （其它係數沒看 錯），乙生在計算時把 f x( ) 的一次項係數錯看成 _2（其它係數沒看錯）。而甲生和乙生 算出來的餘式剛好一樣。試問 g x( ) 可能等於以下哪些一次式？ (1) x (2) x1 (3) x2 (4) x1 (5) x2

10. 下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對次 數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）。該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤， 標準差為 12.5 公斤。曲線 N 代表一常態分

佈

，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本 中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上（即體重超過 80 公 斤以上），則下列敘述哪些正確? Åé « (¤½¤ç) 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 ¬Û ¹ï ¦¸ ¼Æ 20% 24% 12% 6% 5% 33%

N

(1) 曲線 N（常態分佈）中，在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%。 (2) 曲線 N（常態分佈）中，在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%。 (3) 該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤。 (4) 該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤。 (5)

該

樣本中，「體重過重」（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5%。 11.

將正整數

18

分解成兩個正整數的乘積有

1 18, 2 9,3 6   三種，又 3 6 是這三種分解中，兩數的差最小的，我們稱 3 6 為 18 的最佳分解。當 ( ) p q p q  是正整數 n 的最佳分解時，我們規定函數

F n

( )

p

q



，例如

(18)

3

1

6

2

F

 

。 下列有關函數 F n( ) 的敘述，何者正確？

(1) F(4) 1 。 (2)

(24)

3

8

F



。 (3)

(27)

1

3

F



。 (4) 若 n 是一個質數，則

F n

( )

1

n



。 (5) 若 n 是一個完全平方數，則 F n( ) 1 。

第 二 部 分 ： 選 填 題

（ 佔

_{4 5 分 ）}

說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–32)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 抽樣調查某地區1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中（男，女）代表第一個 小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。 家庭別 家庭數 （男，男） 261 （男，女） 249 （女，男） 255 （女，女） 235 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為 ⑫⑬⑭: 100 （四捨五入至整數位）。 B.

下圖為一正立方體，若 M 在線段

_AB

上，

_{BM 2AM}

，N 為線段

BC

之中點，則

cos



MON



10

⑮

⑰

⑯

。（分數要化成最簡分數）

C.

給定平面上三點

( 6, 2),(2, 1),(1, 2)  

。若有第四點和此三點形成一菱形（四邊長皆

相等），則第四點的坐標為

(⑱⑲, )

。

D. 如圖所示，ABCD為圓內接四邊形：

若

DBC  30 , ABD45 , CD6

，則

線段 _AD E. 新新鞋店 為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款 鞋可供選擇，其價格如下： 款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 價格 670 670 700 700 700 800 800 800 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋 之一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共 有 F. 某地共有9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型。 若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有 ʳ ʳ 種。 23 22 。 21 20 A B D C

G. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：

拼第 95 個圖需用到

塊白色地磚。

H.

在三角形

ABC

中，若

D

點在

BC

邊上，且

AB7,AC13,BD7,CD8

，則

I. 設 A(0, 0), (10, 0), (10, 6), (0,6)B C D 為坐標平面上的四個點。如果直線y m x (  7) 4 將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊，那 麼 1 第 個 第 2 個 第 3 個 29 28 27 A D = 30 。 （ 化成最簡分數）。 m = 32 31

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一元二次方程式 2 0 ax bx c  的公式解： a ac b b x 2 4 2_    2. 平面上兩點P₁



x

₁

, y

₁



，P₂



x y2, 2



間的距離為P P_{1 2}  (x₂ x₁)2(y₂ y₁)2 3. 通過



x

₁

, y

₁



與



x y₂, ₂



的直線斜率 2 1 2 1 y y m x x    , x2 .x1 4. 等比數列 ark1 的前 n 項之和 (1 ) , 1. 1 n n a r S r r     

5. 三角函數的公式： sin(A B ) sin cos A Bsin cosB A

cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

sin 2



2sin cos





6. ABC 的正弦定理： sin sin sin 1 , 2

A B C

a  b  c  R R是外接圓半徑。

ABC 的餘弦定理： _c2 _a2_b2_2abcosC

7. 棣美弗定理: 設z r



cosisin



，則zn _rn



_cosn_i_sinn_



_{，n為一正整數}

8. 算術平均數： _{1 2} 1 1 1 ( ) ( _n) n _i i M X x x x x n n        



(樣本)標準差： 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (( ) ) 1 1 n n i i i i S x X x nX n  n         

9. 參考數值：

_{log 2}

_{0.3010 ; log 3 0.4771 ; sin15}

6

2

_;

_cos15

6

2

4

4

   



 



10. 常態分佈：常態分佈的資料對稱於平均數



，且當標準差為 S 時，該資料大約有 68% 落在區間 (



S,



S) 內，約有 95% 落在區間 (



2 ,S



2 )S 內，約有 99.7% 落在區間 (



3 ,S



3 )S 內。