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99 學科能力測驗試題

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Academic year: 2021

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(1)

99 學力測驗

第壹部分:選擇題(佔 60 分)

一、單選題(佔 35 分)

說明:第 1 至 7 題,每題選出最適當的一個選項,劃記在答案卡之「解答欄」, 每題答對得 5 分,答錯不倒扣。

1. 若數列 a1,a2,……,ak,……,a10中每一項皆為 1 或 1,則

a1+a2+……+ak+……+a10之值有多少種可能?

(1) 10, (2) 11,(3) p ,(4) 102 C ,(5) 2102 10。 Ans:(2) 【詳解】 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 值 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 可能的值有 10,8,6,4,2,0,2,4,6,8,10 共 11 種。 2. 已知 a,b 為整數且行列式 5 7 a b =4,則絕對值|a+b|為何? (1) 16,(2) 31,(3) 32,(4) 39,(5) 條件不足,無法確定。 Ans:(3) 【詳解】 5 7 a b =4  35-ab=4  ab=31=1×31 或(1)×(31), 故|a+b|=32。 3. 箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。 如果抽出的兩球顏色不同,則得獎金 100 元;如果兩球顏色相同,則無 獎金。請問此遊戲獎金的期望值為何? (1) 20 元,(2) 30 元,(3) 40 元,(4) 50 元,(5) 60 元。 Ans:(5)

(2)

99 學力測驗 【詳解】 E=100× 3 3 1 1 6 2 C C C  =100× 9 15=60(元)。 4. 坐標平面上給定兩點 A(1,0)與 B(0,1),又考慮另外三點 P(π,1)、

Q( 3, 6)與 R(2,log 324 )。令△PAB 的面積為 p、△QAB 的面積 為 q、△RAB 的面積為 r。請問下列哪一個選項是正確的? (1) p<q<r ,(2) p< r< q,(3) q< p< r,(4) q< r< p, (5) r< q< p。 Ans:(1) 【詳解】 log432= log 32 5log 2 5 log 4  2 log 22,故 R(2, 5 2)。 直線 AB 的斜率為1,故 AB :x+y-1=0。 p=d(P, AB )= 1 1 2 2    , q=d(Q, AB )= 3 6 1 5 3 2 2     , r=d(R, AB )= 5 7 2 1 2 2 2 2    , =3.14,5- 3=3.268, 得 p<q<r。 5. 在密閉的實驗室中,開始時有某種細菌 1 千隻,並且以每小時增加 8% 的速率繁殖。如果依此速率持續繁殖,則 100 小時後細菌的數量最接近 下列哪一個選項? (1) 9 千隻,(2) 108 千隻,(3) 2200 千隻,(4) 3200 千隻,(5) 32000 千隻。 Ans:(3) 【詳解】 a=(1.08)100  loga=100log(1.08) =100(log108-log100) =100(2log2+3log3-2) =3.33 6 4 2 5

R: (2.00, 2.50)

Q: (-1.73, 6.00)

P: (3.14, 1.00)

Q R P B A

(3)

99 學力測驗  loga=3+0.33 =log103+log2.1647 =log21647 線性插值法  a≒2165。 【備註】(1.08)100=2199.7612563412852819736854443173。 log2000=3.3010,log3000=3.4771,故 2000<a<3000。 6. 坐標空間中 O 為原點,點 A 的坐標為(1,2,1)。設 S 是以 O 為球心、 4 為半徑的球面。請問在 S 上滿足內積 OAOP =6 的所有點 P 所成的 圖形為何? (1) 空集合,(2) 一個點,(3) 兩個點,(4) 一個圓,(5) 兩個圓。 Ans:(4) 【詳解】 S:x2+y2+z2=16, OA =(1,2,1)。 設 P(x,y,z),則 OP =(x,y,z)。 OAOP =x+2y+z=6 表示一平面 E, d(O,E)= 2 2 2 6 6 6 6 1 2 1     <4(球的半徑) 故 S 與 E 的交集為一圓。 7. 令橢圓Γ1: 2 2 2 2 1 5 3 x y   ,Γ2: 2 2 2 2 2 5 3 x y   ,Γ3: 2 2 2 2 2 5 3 5 x y x   的長軸長 分別為 k1,k2,k3,請問下列哪一個選項是正確的? (1) k1=k2=k3,(2) k1=k2<k3,(3) k1<k2<k3,(4) k1=k3<k2, (5) k1<k3<k2。 Ans:(4) 【詳解】 Γ1: 2 2 2 2 1 5 3 x y k1=10, Γ2: 2 2 2 2 2 5 3 x y 2 2 1 50 18 x y k2=10 2 , Γ3: 2 2 2 2 2 5 3 5 x y x 2 10 2 + 0 25 9 xx y ( 2 1 25 9 x  y k3=10, 故得 k1=k3<k2。

(4)

99 學力測驗

二、多選題(佔 25 分)

說明:第 8 至 12 題,每題的五個選項各自獨立,其中至少有一個選項是正確的,選出正確選 項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣,五個選項全部答對者得 5 分,只錯一個 選項者可得 2.5 分,錯兩個或兩個以上選項者不給分。 8. 設θ1 、θ2 、θ3 、θ4 分別為第一、第二、第三、第四象限角,且都 介於 0 與 2之間。已知|cosθ1|=|cosθ2|=|cosθ3|=|cosθ4|=1

3 請問下列哪些選項是正確的? (1) θ1< 4  ,(2) θ1+θ2=,(3) cosθ3=1 3,(4) sinθ4= 2 2 3 (5) θ4=θ3+ 2  Ans:(2)(3) 【詳解】 如右圖, A,B 對稱於 y 軸,C,D 對稱於 y 軸, A,D 對稱於 x 軸,B,C 對稱於 x 軸, (1) cosθ1= 1 3< 2 2 =cos 4  ,故θ1> 4  , (2) θ1+θ2=, (3) cosθ3= 1 3, (4) sinθ4= 2 2 3 , (5) θ4<θ3+ 2  。 9. 下列哪些方程式有實數解? (1) x3+x-1=0, (2) 2x+2x=0, (3) log2x+logx2=1, (4) sinx+cos2x=3, (5) 4sinx+3cosx=9 2 Ans:(1)(5) 1 0.5 -0.5 -1 -1 1 3 1 4 3 2 1 C B D A

(5)

99 學力測驗 【詳解】 (1) x3+x-1=0 為奇數次實係數方程式,故必有實根。 (2) 因 2x>0,2x>0,故 2x+2x=0 沒有實根。 (3) log2x+logx2=1  log2x+ 2 1 log x=1  (log2x)2-log2x+1=0, △=(1)2-4×1×1<0,log2x 沒有實根。 (4) 1≦sinx≦1,1≦cos2x≦1, 故 sinx+cos2x=3 沒有實根。 (5) 4sinx+3cosx=5sin(x+α)=9 2  sin(x+α)= 9 10有實根。 10. 設 a1,a2,……,an,……為一實數數列,且對所有的正整數 n 滿足 an+1= ( 1) 2 n n-an,請問下列哪些選項是正確的? (1) 如果 a1=1,則 a2=1, (2) 如果 a1是整數,則此數列的每一項都是整數, (3) 如果 a1是無理數,則此數列的每一項都是無理數, (4) a2<a4<……<a2n(n 為正整數), (5) 如果 ak是奇數,則 ak+2,ak+4,……ak+2n…… 都是奇數(n 為正整數)。 Ans:(2)(3)(4) 【詳解】 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 a(n) -4 5 -2 8 2 13 8 20 16 29 26 40 38 53 (1) a1=1,則 a2=0 (2) ( 1) 2 n n 必為整數,an是整數,則 an+1一定是整數。 (3) ( 1) 2 n n 必為整數,an是無理數,則 an+1一定是無理數。 (4) 雙按開啟上表,變動儲存格 B2 即知。 (5) 如上表,a2=1 是奇數,但 a4=2 是偶數。

(6)

99 學力測驗 11. 坐標空間中,直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點。 已知 L 為平面 2x-y=2 上通過點(2,2,2)的一直線。請問下列哪些 選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點? (1) (2,2,2),(2) (2,0,2),(3) (4 5, 2 5  ,0), (4) (4 5, 2 5  ,2),(5) (8 9, 2 9  , 2 9  )。 Ans:(1)(3)(5) 【詳解】 E:2x-y=2 的法向量為 v =(2,1,0)。 (1) A(2,2,2), AA =(0,0,0), AAOA =0, 即 AA ⊥ OA ,A 可為投影點。 (2) B(2,0,2)代入 E  2×2-0≠2, B 不在 E 上,B 不可為投影點。 (3) C(4 5, 2 5  ,0)  ACOC =( 6 5  , 12 5  ,2)(4 5, 2 5  ,0)= 24 24 0 25 25    =0, 即AC⊥ OC ,C 可為投影點。 (4) D(4 5, 2 5  ,2), AD =( 6 5  , 12 5  ,4), ADOD = 24 24 8 25 25    ≠0,D 不可為投影點。 (5) E(8 9, 2 9  , 2 9  ),AE =( 10 9  , 20 9  , 20 9  ), AEOE = 80 40 40 81 81 81    =0, 即 AE ⊥ OE ,E 可為投影點。

(7)

99 學力測驗 12. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查, 依性別區分,所得結果如下表: 請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論? (1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例, (2) 在 95%的信心水準之下,全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間 為[0.48,0.56](計算到小數點後第二位,以下四捨五入), (3) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數, (4) 如果不區分性別,此次抽樣贊成此議題的比例 ˆp 介於 0.52 與 0.59 之間, (5) 如果不區分性別, 此次抽樣 ˆp 的標準差 pˆ(1 pˆ) n介於 0.02 與 0.04 之間。 Ans:(2)(4) 【詳解】 (1) 不能代表全台灣。 (2) 信賴區間為[0.52-0.02×2,0.52+0.02×2]=[0.48,0.56]。 (3) 0.52×0.48=(0.02)2×n1 n1=624, 0.59×0.41=(0.04)2×n2 n2=151。 女性 n1=624,男性 n2=151。 (4) ˆp =624 0.52 151 0.59 624 151     0.5336。 (5) 標準差為 0.5336 (1 0.5336) 624 151    =0.017918。 0.52 0.02 n(1) 624 324.48 總平均 0.5337 標準差 0.0003 0.0179 0.59 0.04 n(2) 151.19 89.201

第貳部分:選填題(佔 40 分)

說明:1.第 A 至 H 題,將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13–32)。 2.每題完全答對得 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

(8)

99 學力測驗 A. 坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD,其中點 A 的坐標為(2,1), 點 B 的坐標為(8,2),點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12。 若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位,則 D 點的坐標為_____。 Ans:(6,8) 【詳解】 如下圖,設 C(12,y), 因 ABCD 為平行四邊形,故 D(6,y-1)。 直線 AB :x-6y+4=0, d(D, AB )= 6 6( 1) 4 16 6 37 37 y y      , AB = 37 。 平行四邊形 ABCD 的面積為 16 6 37 y  × 37 =38  |16-6y|=38  16-6y=38 或 16-6y=38  y=9 或 y= 11 3  (不合)  D(6,8)。 【另解】 AB =(6,1), AD =(4,y-2),則 平行四形 ABCD 的面積 = 6 1 4 y2 =6(y-2)-4=6y-16=38

 3y-8=±19  y=9 或 y= 11 3  (不合)  D(6,8)。 B. 設 f (x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式:f (x)最高次項的係數為 1, 且 3-2i、i、5 皆為方程式 f (x)=0 的解(其中 i21)。則 f (x)之常數項為__________。 Ans:65 【詳解】 f(x)=(x-3+2i)(x-3-2i)(x+i)(x-i)(x-5), 6 4 2 5 10 15 D(6,y-1) B(8,2) A(2,1) C(12,y)

(9)

99 學力測驗 f (x)之常數項為

f(0)=(3+2i)(3-2i)i(i)(5) =(9+4)1(5) =65。 C. 有一個兩列三行的表格如下圖。在六個空格中分別填入數字 1、2、3、4、5、6(不得重複),則 1、2 這兩個數字在同一行或 同一列的方法有_________種。 Ans:432 【詳解 1、2 這兩個數字在同一列的有 2×3×2×4!=288, 1、2 這兩個數字在同一行的有 3×2×4!=144, 1、2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 288+144=432 種。 D. 設實數 a>0。若 x、y 的方程組 2 1 2 122 x y x y a x ay        有解,則 a=___________。 Ans:14 【詳解】 ×2-  3x=2-a, -×2  3y=1-2a, 代入 3x-3ay=366  2-a-a(1-2a)=366  a2-a-182=0  (a-14)(a+13)=0  a=14 或 a=13(不合)。

(10)

99 學力測驗 E. 如右圖,直角三角形 ABD 中,∠A 為直角,C 為 AD 邊上的點。 已知 BC =6, AB =5,∠ABD=2∠ABC,則 BD =_________。 (化成最簡分數) Ans:90 7 【詳解】 設∠ABC=θ,則∠ABD=2θ,cosθ=5 6。  cos2θ=2cos2θ-1=2×25 36-1= 7 18= AB BD= 5 BD BD =5 18 90 7 7 

F. 設 a、b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y=x2+ax+b 與 x 軸交於

P、Q 兩點,且 PQ =7。若拋物線 y=x2+ax+(b+2)與 x 軸的兩交點 為 R、S,則 RS =__________。 Ans: 41 【詳解】 設 x1,x2為 x2+ax+b=0 之二根,則 x1+x2=a,x1x2=b,  PQ2=|x 1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4b=49。 設 x3,x4為 x2+ax+b+2=0 之二根,則 x3+x4=a,x3x4=b+2,  RS2=|x3-x4|2=(x3+x4)2-4x3x4=a2-4(b+2)=49-8。  RS = 41 。 【另解】特殊化 f(x)=x(x-7)=x2-7x,即 a=7,b=0。 g(x)=x2-7x+2=0  x=7 41 2 

(11)

99 學力測驗  RS =7 41 2  -(7 41 2  )= 41 。 G. 已知△ABC 中, AB =2、 BC =3 且∠A=2∠C,則 AC =_______。 (化成最簡分數) Ans:5 2 【詳解】 由正弦定理知 3 2 sin 2 sin  22sinθcosθ=3sinθ  cosθ=3 4。 又 2 sin( 3 ) sin AC       ACsinθ=2sin(-3θ) =2sin3θ=2(3sinθ-4sin3θ) AC =2(3-4sin2θ)=6-8sin2θ =6-8( 7 4 ) 2=6-7 2= 5 2。 【另解】 利用正弦定理, 3 2 sin 2 sin  22sinθcosθ=3sinθ  cosθ=3 4。 利用餘弦定理,設 AC =x,  x2+32-2x.3×cosθ=22  x2-6x.3 4+5=0  2x2-9x+10=0  (2x-5)(x-2)=0  x=5 2,或 x=2(不合)。 2  3 2 A B C

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99 學力測驗 【再解】 如右圖,△BAD~△BCA,  2 3 3 2 x x y     3(3-x)=4,3x=2y  x=5 3,y= 5 2。 H. 坐標平面上給定點 A(9 4,2),直線 L:y=5 與拋物線Γ:x 2=8y。 以 d(P,L)表示點 P 到直線 L 的距離。若點 P 在Γ上變動,則 |d(P,L)- AP |之最大值為_____________。(化成最簡分數) Ans:21 4 【詳解】 Γ:x2=8y 為拋物線,焦點 F(0,2),準線: y=2。 如右圖, PFPB, BC =3。 在△PAF 中, PFAP≦ AF =9 4, |d(P,L)- AP | =| PC AP | =|3+ PB - AP | =|3+ PF - AP | ≦|3+9 4| =21 4 。 即|d(P,L)- AP |之最大值為21 4 。 4 2 -2 -4 -6 -5 5 k: y = -2.00 j: y = -5.00 f x  = x 2 8 B F(0,2) C A P  2   2 y x 3-x x A B D C

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參考文獻

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