2005 年青少年數學城市盃培訓資料暨參考解答

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(1)2005 年青少年數學城市盃培訓資料（含參考解答）左太政/高雄師範大學數學系. 一、解題的內涵 1.能分解複雜的問題為一系列的子題。 2.能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。 3.能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、、一般化、特殊化等。 4.了解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。 5.能發展應用問題的解題策略。. 二、數學解題策略通常數學解題的過程可依下列四個步驟進行: （一）瞭解問題-從審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次,直至了解題意關鍵處。（二）擬定計畫-能分析問題並產生聯想,以尋求解題途徑,可依下列方式進行： 1.儘可能畫出圖形或表格； 2.檢查特例如令問題中的整數取 1,2,3,4,5 等特殊值代入, 看看是否可歸納出規律來； 3.嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假設』而不失問題的一般討論方式。 4.如無法立即解決問題，需保留任何解題的記錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。（三）實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理、計算，以解決問題（四）回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題, 甚至於自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。簡言之,通常解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response),最後導出結果(Result).這是所謂的「3 R」策略。. 1.

(2) 三、競賽題型 1.數論—含因數及倍數、質數、同餘數、整數與其數字之關係、解不定方程式等。 2.代數—含函數、解方程式、不等式等。 3.幾何—含綜合幾何、幾何不等式等。 4.組合—含多方塊、棋盤、不等式等。須具備以上四種類型所涵蓋重要及基本性質定理等專業知識。. 四、範例練習 1.試求 2. 34. 5. 的個位數字及十位數字。. 解：先找出 2 的各次方數的個位、十位數字的規律性 21 ⇒ 02 ， 2 2 ⇒ 04 ， 2 3 ⇒ 08 ， 2 4 ⇒ 16 ， 2 5 ⇒ 32 ， 2 6 ⇒ 64 ， 2 7 ⇒ 28 ， 2 8 ⇒ 56 ， 2 9 ⇒ 12 ，210 ⇒ 24，211 ⇒ 48，212 ⇒ 96 ，213 ⇒ 92 ，214 ⇒ 84 ，215 ⇒ 68 ，216 ⇒ 36 ， 217 ⇒ 72 ， 218 ⇒ 44 ， 219 ⇒ 88 ， 2 20 ⇒ 76 ， 2 21 ⇒ 52 ， 2 22 ⇒ 04 (與 2 2 ⇒ 04 同) 由此可看出除 21 ⇒ 02 外，其餘 2~21 次方呈一循環，即 20 個一循環。 1024. 所求即 2 3. 之個位、十位數字，此處考慮 31024 − 1 除以 20 之餘數. 31 − 1 ≡ 2 (mod 20)， 3 2 − 1 ≡ 8 (mod 20)， 33 − 1 ≡ 6 (mod 20)， 3 4 − 1 ≡ 0 (mod 20)， 35 − 1 ≡ 2 ≡ 31 − 1 (mod 20)，因此得其 4 個一循環，故 31024 − 1 ≡ 3 4 − 1 ≡ 0 （mod 20） 45. 則 2 3 的個位數字、十位數字與 2 21 之個位數字、十位數字相同 45. 故所求 2 3 之十位數字為 5，個位數字為 2。 2,試求滿足條件. 3 5 + = 1 的所有正整數數對（ m ， n ）。 m n. 解： 3 5 + = 1 ⇒ mn − 5m − 3n = 0 ⇒ (m − 3)(n − 5) = 15 m n 因 m、n 為正整數，故 m − 3 ≥ −2 、 n − 5 ≥ −4 ，且 m − 3 、 n − 5 皆為整數 ⇒ m-3 1 3 5 15 n-5. 15. 5. 3. 1 2.

(3) 故所求正整數數對（m，n）=（4，20）、（6，10）、（8，8）、（18，6） 3.設 n 為一個三位正整數，若 n 2 的末三位數正好是 n ，試求滿足這樣條件的所有 n 值。解：令 n 之百位數字為 a ，十位數字為 b ，個位數字為 c 即 n = a × 102 + b ×10 + c ，其中 0 < a ≤ 9 ， 0 ≤ b, c ≤ 9 則 n 2 = (a ×102 + b × 10 + c)2 = a 2 ×104 + b 2 ×10 2 + c 2 + 2ab × 103 + 2ac ×102 + 2bc ×10 = a 2 ×104 + 2ab ×103 + (b 2 + 2ac) ×10 2 + 2bc ×10 + c 2 由 n 之個位數字先判斷，平方後末位還是等於本身者，只有 0，1，5，6 （1） n 之個位數字 c = 0 時則 n 2 之十位數字 = 2bc ＝0，故此時 n 之十位數字 b ＝0 ⇒ n 2 之百位數字 = b 2 + 2ac ＝0，故此時 n 之百位數字 a ＝0（不合）（2） n 之個位數字 c = 1 時則 n 2 之十位數字 = 2bc = 2b ⇒ 2b = b ，故此時 n 之十位數字 b ＝0 ⇒ n 2 之百位數字 = b 2 + 2ac = 2a ⇒ 2a = a ，故此時 n 之百位數字 a ＝0（不合）（3） n 之個位數字 c = 5 時則 n 2 之十位數字 = 2bc + 2 = 10b + 2 ，故此時 n 之十位數字 b ＝2 ⇒ n 2 之百位數字 = b 2 + 2ac + 2 = 10a + 6 ，故此時 n 之百位數字 a ＝6 ∴ n = 625 （4） n 之個位數字 c = 6 時則 n 2 之十位數字 = 2bc + 3 = 12b + 3 ，故此時 n 之十位數字 b ＝7 ⇒ n 2 之百位數字 = b 2 + 2ac + 8 = 12a + 57 ，故此時 n 之百位數字 a ＝3 ∴ n = 376 由（1）（2）（3）（4）知 n = 625 ，376 1 a =0.1666…, 試求滿足條件 =0. abbb … 的所有異於零的數字 a 與 b 的值。 6 b 解:(a,b)=(1,6),(9,9). 4.已知. 5.卡布列克(L. D. Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25) 2 =3025 這樣的數:即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後 n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數?(能否找出所有卡布列克怪數?) 解:共有三組解-2025, 3025, 9801, 【註】:對於奇數位的整數,偏前(或偏後)的斷開成兩個數,求其和後再平方正好等於原數, 仍稱為卡布列克怪數,例如 88209=(88+209) 2 ,93817284=(4938+17284) 2 . 6.試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 35=3 2 +5 +1, 及 75=7 +5 +1 等,是否還有其它解? 解:需證明只有二解 35 及 75. 7.已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是 637, 669, 3.

(4) 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。解:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有 9 種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是 256, 538, 381, 413, 659. 8.設 n 為一個三位正整數，若 n 2 的末三位數正好是 n ，試求滿足這樣條件的所有 n 值。  x3 + y 3 + z 3 = x + y + z 9.試求滿足方程組  的所有正實數解 x, y, z . 2 2 2  x + y + z = xyz 解： x3 + y 3 + z 3 = x + y + z ⇒ x( x 2 − 1) + y ( y 2 − 1) + z ( z 2 − 1) = 0 因為 x、y、z 為正實數，則 x 2 − 1、y 2 − 1、z 2 − 1 中至少有一個為負。不失一般性，不妨設 x 2 − 1 為負，則 0 < x < 1 ⇒ 0 < y 2 + z 2 < x 2 + y 2 + z 2 = xyz < yz ⇒ 0 < y 2 + z 2 < yz ⇒ y 2 + z 2 > 0 ，且 y 2 + z 2 < yz ⇒ y 2 + z 2 > 0 ，且 ( y −. 1 2 3 2 z) + z < 0 2 4. 此時 y、z 無實數解故可知原方程式之 x、y、z 無正實數解 10.已知 a, b, c 表示三個二位數,且 a< b< c.如果這三個數的和是偶數,且它們的乘積是 3960, 試求 a, b, c 的值。 11.直角 ∆ABC 中, a, b 為二股長,且 c 為斜邊長,試證: a n + b n < c n , 其中 n =3, 4, 5,…. 12.試問是否存在一直角三角形，使其三邊長皆為整數且兩股長為質數？解：假設存在此種三角形，因兩股長為質數，而質數中只有 2 為偶數，其餘皆為奇數，分為以下兩種情形討論（1）若其中一股為 2，設另一股為 2k + 1 則 22 + (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 5 ，此不為完全平方數，滿足此條件的三角形不存在（2）設此兩股分別為 2k + 1 、 2m + 1 (2k + 1) 2 + (2m + 1) 2 = 4(k 2 + m 2 + k + m) + 2 但將整數分為奇、偶數來看，完全平方後以 4 除之只有可能餘 0 或 1   (2n) 2 = 4n 2   2 2  (2n + 1) = 4(n + n) + 1 故滿足此條件之三角形不存在 4.

(5) 由（1）（2）之討論知，不存在一直角三角形，使其三邊長皆為整數且兩股長為質數 14.等腰三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90° ，且 AB = 2 ，以 A 為圓心，作一圓分別交 AB 及 AC 於 D 、  將  ABC 分成面積相同的兩部分，以 B 為 E 二點，使得 DE 圓心， BD 為半徑作圓交 BC 於 F 點，試求陰影部分的面積。解： 1  ABC = × 2 × 2 = 1 2 2 1 π 1 2 則扇形 ADE =1， ⇒ × AD × = ， ⇒ AD = 2 4 2 π. 故 BD = 2 −. 2 1 2 2 π π 1 ， ⇒ 扇形 BDF = × (2 − ) × = − π+ 2 4 2 2 π π. 1 π 1 π 所以所求陰影面積 = 1 − − ( − π + ) = π − 2 2 2 2 15.長方形 ABCD 中， AB = a ， BC = 2a ，若 E 為 BC 上之中點，且 F 在 AB 上移動，試求 ∆EDF 面積之最大值及最小值，並求此時 F 點之位置。解：. A. D. F B. C. E. （方法 1）：以 DE 為 ∆EDF 的底，則可看出當 F 點移動至 A 點之位置時高為最大，即所求 ∆EDF 面積最大 1 1 此時 ∆EDF = × AD × AB = × 2a × a = a 2 2 2 當 F 點移動至 B 點之位置時高為最小，即所求 ∆EDF 面積最小 1 1 1 此時 ∆EDF = × BE × CD = × a × a = a 2 2 2 2 16.設 a, b, c, d 都是正數，試證：必存在以三數. b 2 + c 2 , a 2 + (c + d ) 2 ,. ( a + b) 2 + d 2. 為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。 17.設 a, b, c, d 為正有理數，試證： a 2 + d 2 , b 2 + c 2 , a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2(cd − ab). 中任. 意二數之和必大於第三數。 18.已知三角形 ABC 的三邊長是連續正整數,且最大角的度數是最小角度數的 2 倍,試求此三邊長。解:4,5,6.. 5.

(6) 19.已知 ABCD 為圓內接四邊形， AB ＜ AD 且 BC ＞ CD ，若 ∠ BAD 及 ∠ BCD 的角平分線分別交此圓於 E、F 點，且若六邊形 ABECDF 中有四條邊長相等，試證： BD 為此圓之直徑。解：因為 AE 、 CF 分別為 ∠ BAD、 ∠ BCD 的角平分線所以 ∠BAE = ∠DAE ， ∠BCF = ∠DCF ⇒ BE = ED ， BF = DF 又 AB ＜ AD 且 BC ＞ CD ⇒ BC > BE = ED > EC 、 CD 且 AB 、 AF < BF = DF < AD 又已知六邊形 ABECDF 中有四條邊長相等，故 AB = AF = EC = DC =  = BF  = BA + AF = 2  AF ， ⇒ BA AF ， DF  = CD  ， BE  = ED  = EC  + CD  = 2 EC  = 2 且 EC AF  = EC  = CD  = x° ， FD  = BE  = 2 x° 令 AF = x° ，則 BA +  + DC  + CE  + EB  = 360° 而 BA AF + FD. ∴ x° + x° + 2 x° + x° + x° + 2 x° = 360° ⇒ x = 45° 則 ∠BCD =. 1 1 1 BD = × 4 x° = ×180° = 90° 2 2 2. 故 BD 為此圓之直徑 20.正方形 ABCD 中，P 點為其內部一點，使得. ∠PBC = ∠PCB = 15° ，試證： ∆PAD 為正三角形解:在 ∆ABP 內取一點 Q ,使得 ∆ABQ ≅ ∆BCP 並證明 ∆PQB 為正三角形。.  ∠PBC = ∠PCB = 15°，∴ PBC 為等腰三角形 ⇒ PB = PC 又 ∠PBA = ∠PCD. = 75° ， BA = CD. ∴ PBA ≅ PCD ⇒ PA = PD. 故欲證  PAD 為正三角形，只需證 ∠PAD 6. = 60° 即可.

(7) 21.設 a1 和 a2 為連續整數，即 a2 若 a2545. = a1 + 1，且令 an 表示 an−1 + an−2 2. 2. 除以 7 的餘數（ n ≥ 3 ），. = 1，試求 a4 之值。. 解：將 a1 、 a2 以 7k、7k+1、7k+2、7k+3、7k+4、7k+5、7k+6 七種情形分別討論，再找出 an 同餘數（mod 7），列表如下. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7. a8. 7k. 7k+1. 1. 2. 5. 1. 5. 5. 7k+1. 7k+2. 5. 1. 5. 5. 1. 5. 7k+2. 7k+3. 6. 3. 3. 4. 4. 4. 7k+3. 7k+4. 4. 4. 4. 4. 4. 4. 7k+4. 7k+5. 6. 5. 5. 1. 5. 5. 7k+5. 7k+6. 5. 5. 1. 5. 5. 1. 7k+6. 7k+7. 1. 1. 2. 5. 1. 5. 由上表可知 a6 、 a7 、 a8 具有規律性，三個一循環. ⇒ a2545 = a7 =1，∴ a4 = 1 4 ， B = 88  22.試 n 為正整數且 A = 44   8 ，試證：A+2B+4 必為完全平方數 2 n位數. n位數. 解： A = 44 4 = . 4 2n 8 (10 − 1) , B = 88  8 = (10n − 1)    9 9 n位數. A + 2B + 4 =. 4 2n 16 4 16 16 4 (10 − 1) + (10n − 1) + 4 = ⋅102 n + ⋅10n + = (10 n + 2) 2 9 9 9 9 9 9. 2 n位數. 2 = [ (10n + 2)]2 ,其中 3 10n + 2 (10n + 2 各位數字和為 3) 3 故 A+2B+4 必為完全平方數. 7.

(8)