高二下第二次期中考數學題庫(40)

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(1)

Sec2-2

一、 單選題

(   )1.坐標空間中一質點自點 P(1,1,1)沿著方向

a (1,2,2)等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達平面 x  y  3z  28 上﹐立即轉向沿著方向

b  ( 2,2, 1) 依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過幾 秒此質點會剛好到達平面 x  2 上﹖ (1)1 秒 (2)2 秒 (3)3 秒 (4)4 秒 (5)永遠不會到達﹒  解答  2 解析 設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R﹐如下圖所示﹒ 將參數式 1 : 1 2 1 2 x t PQ y t z t           

t )代入 x  y  3z  28﹐ 得(1  t)  (1  2t)  3(1  2t)  28  3  5t  28  t  5﹐即 Q(6,11,11)﹒ 再將參數式 6 2 : 11 2 11 x s QR y s z s           

s  )代入 x  2﹐ 得 6  2s  2  s  2﹐即 R(2,15,9)﹒ 因為 6 2 15 5 QR PQ   ﹐所以經過 2 5 2 5   秒到達 R 點﹐故選(2)﹒ Q P R x-y + 3z= 28 (   )2.空間中﹐方程式 x  3y  2 代表的圖形是 (A)xy 平面上之直線 (B)與 xy 平面平行之直線 (C) 與 xy 平面平行之平面 (D)與 xy 平面垂直之平面﹒  解答  D 解析 x  3y  2  法向量  (1 , 3 , 0)﹐∵(1 , 3 , 0)  (0 , 0 , 1)  0﹐∴x  3y  2 與 xy 平面垂直﹐故選(D)﹒

(2)

(   )3.兩直線x312y  與1 z x54  y 1 2z31的相對位置關係為 (1)平行 (2)重合 (3)歪斜線 (4)相交於一點﹒  解答  4 解析 1 3 1 1 1 0 1 3 1 2 2 1 x t x y z y t z t              ﹐t 為實數﹐ 1 4 5 4 1 2 1 3 5 1 1 3 2 2 2 x s z x y y s z s                    ﹐s 為實數﹐ 1 3 4 5 1 1 2 1 3 1 2 2 t s t s t s                     j k l ﹐由得﹕t  0﹐s   1﹐ 代入1  0  1 32 2(合) 相交於一點﹐故選(4)﹒

二、多選題

(   )1.過 A(1,0,0)且與直線x11 y21 z 垂直的直線方程式為 823 x a   ﹐選出正確的選項﹖by cz (1)a  1 (2)b  6 (3)c  11 (4)a  b  c  18 (5)a  b  c﹒

 解答  13 解析 設 P(1  t,  1  2t,3  2t)﹐t  ﹐為L:x11 y21 z23上的一點﹐AP

( , 1 2 ,3 2 )t   tt ﹐ 8 ( , 1 2 ,3 2 ) (1,2, 2) 2 4 6 4 9 8 0 9 t   tt       t t t    t t AP

( , , ) //(8,7,11)9 9 98 7 11 ﹐∴方程式為x81 7 11y z ﹐∴a  1﹐b  7﹐c  11﹒

(3)

(   )2.過 A (2 , 0 , 1)﹐B (1 , 2 ,  1)兩點之直線方程式可為 (1)x13 2y z21 (2)x11 2 2yz21 (3)x  2  2t﹐y   4t﹐z  1  4t(t 為實數) (4)2x  3y  4z  0 (5) 2 4 0 1 0 x y y z          ﹒  解答  235 解析 AB

 ( 1,2, 2)   (1, 2, 2)﹐ (1)╳ (2)○﹕x11 y22 z21 (3)○﹕同於 x  2  t﹐y   2t﹐z  1  2t(t 為實數) (4)╳﹕表平面方程式 (5)○﹕A﹐B 二點代入均成立﹐表過 A﹐B 二點 故選(2)(3)(5)﹒ (   )3.空間中﹐L1﹕ 3 4 x y      ﹐L2﹕ 4 5 y z      ﹐則下列有關 L1﹐L2敘述哪些選項是正確的﹖ (A)直線 L1與 xy平面垂直 (B)直線 L2與 x 軸平行 (C)直線 L1與 y 軸互為歪斜線 (D)直線 L1與直線 L2交於一 點 (E)直線 L1在平面 x  3 上﹒  解答  ABCDE 解析 L1﹕ 3 3 4, 4 x x y t y z t           ﹔L2﹕ 4 4, 5 5 x s y y s z z           L1與 z 軸平行﹔L2與 x 軸平行﹐且 L1與 L2相交於(3 , 4 , 5)﹐故選(A)(B)(C)(D)(E)﹒

(4)

三、填充題

1.(1)求通過點(2 , 3 , 4)與平面 x  y  2z  5 垂直的直線參數式﹒ (2)求通過點(3 , 2 , 1)與 z 軸平行的直線參數式﹒  解答  (1) 2 3 4 2 x t y t z t            (t 是實數);(2) 3 2 1 x y z t          (t 是實數) 解析 (1)因為直線與平面 x  y  2z  5 垂直﹐  所以平面 x  y  2z  5 的法向量(1 ,  1 , 2)即為此直線的一個方向向量﹐  又因為直線通過點(2 , 3 , 4)﹐所以其參數式為 2 3 4 2 x t y t z t            (t 是實數)﹒ (2)因為 z 軸的一個方向向量為(0 , 0 , 1)﹐  所以(0 , 0 , 1)是與 z 軸平行直線的一個方向向量﹐又因為此直線過點(3 , 2 , 1)﹐  所以其參數式為 3 2 1 x y z t          (t 是實數)﹒ 2.判別直線 L1﹕ 2 1 2 3 1 xy z   與 L2 2 6 3 4 6 2 xyz   的相交情形﹒  解答  重合 解析 因為 L1﹐L2的方向向量(2 , 3 , 1) (4 , 6 , 2)﹐ 互相平行﹐所以 L1﹐L2不是互相平行就是重合﹒ 由 L2的參數式可知(  2 ,  6 ,  3)是 L2上一點﹐ 將(  2 ,  6 ,  3)代入 L1﹕ 2 1 2 3 1 xy z   ﹐得 4 6 2 2 3 1      (成立)﹐ 可知點(  2 ,  6 ,  3)在 L1上﹐因此直線 L1與 L2重合﹒ 3.判別直線 L﹕x21 y33 z44與平面 E 3﹕ x  2y  z  1 的相交情形﹒  解答  交於點(5 , 9 , 4)

(5)

解析 由題意可知﹕ 直線 L 的參數式為 1 2 3 3 4 4 x t y t z t             (t 是實數)﹐代入 E 3﹕ x  2y  z  1﹐得 4t  8﹐解得 t  2﹒ 故直線 L 與平面 E 交於點(x , y , z)  (5 , 9 , 4)﹒ 4.求兩平面 2x  3y  2z  2 和 6x  y  z  1 之交線 L 的參數式﹒  解答  1 42 x t y t z t           (t 是實數) 解析 設點 P (x , y , z)在交線 L 上﹐即 2 3 2 2 6 1 x y z x y z          ﹒ 令 x  t﹐整理得 3 2 2 2 1 6 y z t y z t            ‚ 由  2  ﹐得 5y   10t﹐解得 y   2t﹐再將 y   2t 代入﹐解得 z  1  4t﹒ 因此 P 點的坐標為(t ,  2t , 1  4t)﹐即交線 L 的參數式為 L﹕ 1 42 x t y t z t           (t 是實數)﹒ 5.求兩平行線 L1﹕ 1 2 2 2 1 xy z   與 L2 1 3 1 2 2 1 xyz   之間的距離﹒  解答  3 解析 在直線 L1上取一點 P (1 , 0 ,  2)﹐則 P 點到 L2的距離就是兩平行線 L1與 L2的距離﹒ 由點 P 作直線 L2的垂線 PQ 與 L2交於 Q 點﹐ 並由直線 L2的對稱比例式可令 Q 點坐標為(1  2t , 3  2t , 1  t)﹐t 是實數﹐ 且得PQ

(2 ,3 2 ,3ttt)﹒ 因為PQ

L2﹐所以PQ

和 L2的方向向量(2 , 2 , 1)垂直﹐ 即(2t , 3  2t , 3  t)  (2 , 2 , 1)  0﹐乘開得 9t  9  0﹐解得 t   1﹐即PQ

 ( 2,1, 2)﹒

(6)

故兩平行線 L1與 L2的距離為 2 2 2 |PQ

| ( 2)  1 2 3 6.已知直線 L1﹕ 2 1 2 3 1 xy z   與 L2 1 2 0 3 1 z z x y c      互相垂直﹐求 z0與 c 的值﹒  解答  z0  9﹐c   9 解析 因為 L1與 L2垂直﹐所以 L1﹐L2的方向向量(2 , 3 , 1) (3 , 1 , ﹐ c)互相垂直﹐ 即(2 , 3 , 1)  (3 , 1 , c)  0﹐乘開得 6  3  c  0﹐解得 c   9﹒ 又由 L2的對稱比例式可知 L2上的點為(1  3t , 2  t , z0  9t)﹐ 將(1  3t , 2  t , z0 9t)代入 L1﹕ 2 1 2 3 1 xy z   ﹐得3 1 2 0 9 1 2 3 1 z t tt     解得 t  1﹐z0  9﹒ 故 z0  9﹐c   9﹒ 7.已知上等稻禾 3 捆﹑中等稻禾 2 捆﹑下等稻禾 1 捆﹐共可打出稻米 34 斗﹔上等稻禾 2 捆﹑中等稻禾 1 捆﹑ 下等稻禾 3 捆﹐共可打出稻米 26 斗﹔上等稻禾 1 捆﹑中等稻禾 3 捆﹑下等稻禾 2 捆﹐共可打出稻米 24 斗﹒ 問﹕上等稻禾 1 捆﹐中等稻禾 1 捆﹐下等稻禾 1 捆﹐各可以打出稻米多少斗﹖  解答  8 斗﹐4 斗﹐2 斗 解析 設上等稻禾 1 捆可打出稻米 x 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 y 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米 z 斗﹒ 依題意可列得聯立方程式 3 2 34 2 3 26 3 2 24 x y z x y z x y z              ﹐並解得 x  8﹐y  4﹐z  2﹒ 因此﹐上等稻禾 1 捆可打出稻米 8 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 4 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米 2 斗﹒ 8.求點 A (2 ,  1 , 0)到直線 L﹕x14 y33 之投影點的坐標﹒z2  解答  (3 , 0 , 2)

(7)

解析 設點 A 到 L 的投影點為 B 點﹒

由 L﹕x14 y33z2可設 B 點的坐標為(4  t , 3  3t ,  2t)﹐並得AB

(2t, 4 3 , 2 ) tt

因為AB

與 L 的方向向量(1 , 3 ,  2)垂直﹐所以(2  t , 4  3t ,  2t)  (1 , 3 ,  2)  0﹐

(8)

Sec2-3

一、單選題 (   )1.若方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d         有唯一解 x  2﹐y  4﹐z  3﹐則方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 d x b y c z a d x b y c z a d x b y c z a           的解(x,y,z)  (1)(1,4,3) (2)(4,4,3) (3)(1,  4,  3) (4)(1,  2,  3)﹒  解答  3 解析 將(x,y,z)  (2,4,3)代入方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 a b c d a b c d a b c d              1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 d b c a d b c a d b c a               與 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 d x b y c z a d x b y c z a d x b y c z a         比較係數知(x,y,z)  (1,  4,  3)﹐故選(3)﹒ (   )2.下列哪一個 a 值使得聯立方程式 1 1 3 2 x y z x y az a x y z              

有無限多組解﹖ (1)a  1 (2)a  2 (3)a  3

(4)a  4 (5)a  5﹒  解答  3 解析 將聯立方程式編號為 1 1 3 2 x y z x y az a x y z                   j k l ﹐ 然後用加減消去法求解如下﹕ 由  及  消去 x﹐得 1 ( 1) 2 2 1 x y z a z a z               j m n 因為有無限多組解﹐所以﹐為相同的方程式﹒由解得 1 2 z﹐代入﹐解得 a  3﹒ 故正確的選項為(3)﹒ (   )3.設三平面 E1 : 3x  7y  z   9﹑E2 : x  y  z  3﹑E3 : 3x  2y  z  0﹐則三平面的相交情形為 何﹖ (1)三平面互相平行 (2)三平面交於一直線 (3)三平面兩兩交於一線﹐而這三直線互相平 行 (4)三平面交於一點﹒  解答  2

(9)

解析 3 7 9 3 3 2 0 x y z x y z x y z                   j k l     4x  6y   6  2x  3y   3……      2x  3y  3…… 由知﹐三平面交於一線﹐故選(2)﹒

二、多選題

(   )1.設 3 4 6 2 1 3 a x a y                    有解﹐則 a  (1)  1 (2)1 (3)3 (4)5﹒  解答  123 解析 3 4 ( 5)( 1) 2 1 a a a a        6 4 6( 1) 3 1 x a a       3 6 3( 1) 2 3 y a a       ﹐ 則 a  5﹐ 1 時唯一解﹔a   1 時無限多解﹔a  5 時無解﹐ 故選(1)(2)(3)﹒

(   )2.空間相異三平面 E1﹑E2﹑E3﹐且 E1與 E2交線為 L﹐下列何者正確﹖ (1)若 L⊥E3﹐則三平面相 交於一直線 (2)若 L 在 E3上﹐則三平面相交於一直線 (3)若 L // E3﹐則 E1 // E3 (4)若 L // E3﹐ 則三平面兩兩相交 (5)若 L 交 E3於一點﹐則 E1與 E3交於一直線﹒  解答  25 解析 (1)╳﹕交於一點﹒ (2)○ (3)╳﹕不一定﹐可能相交﹒ (4)╳﹕可能 E1 // E3或 E2 // E3﹒ (5)○ 故選(2)(5)﹒ (   )3.設 a 為實數且 a  0﹐關於方程組 2 2 2 z ax y a x ay z x y az a                    的解﹐何者正確﹖ (1)當 a  1 時﹐有無限 多組解 (2)當 a  2 時﹐恰有一組解 (3)當 a  3 時﹐無解 (4)當 a   1 時﹐有無限多組解  (5)當 a   2 時﹐無解﹒  解答  24

(10)

解析 1 1 1 1 1 1 a a a a a    a3 1 a  1 a  1 a  a  a  1 a (a2  1)2 (1)a  1 : 2 2 2 x y z x y z x y z                  無解﹒ (2)a   1 : 2 2 2 x y z x y z x y z                   無限多解﹒ 故選(2)(4)﹒ 三、填充題 1.已知圓 C 通過(1 ,  1) (2 , 2) ( ﹐  1 , 3)三點﹐求圓 C 之圓心的坐標及其半徑﹒  解答  (0 , 1)﹐ 5 解析 設圓 C 的方程式為 x2  y2  dx  ey  f  0﹒ 因為圓 C 通過(1 ,  1) (2 , 2) ( ﹐ ﹐  1 , 3)三點﹐ 所以可列出三元一次聯立方程式 2 0 2 2 8 0 3 10 0 d e f d e f d e f                  ‚ ƒ ﹐ 利用加減消去法﹐由  及  消去 f﹐得 2 0 3 6 0 2 4 8 0 d e f d e d e                 „ … 由﹐解得 d  0﹐e   2﹐再代回﹐得 f   4﹒ 因此圓 C 的方程式為 x2  y2 2y  4  0﹐將其改寫成 2 ( 1)2 ( 5)2 xy  ﹐ 可得圓 C 之圓心的坐標為(0 , 1)﹐半徑為 5﹒ 2.已知聯立方程式 2 2 3 3 0 3 2 7 x y z x y z x y z               恰有一組解 x  a﹐y  b﹐z  c﹐求 a 的值﹒  解答  2

(11)

解析 利用加減消去法﹐操作如下﹕ 2 2 3 3 0 3 2 7 x y z x y z x y z               → 3 0 2 2 3 3 2 7 x y z x y z x y z               消去z 3 0 4 5 3 5 7           x y z x y x y 消去y 3 0 4 5 3 5 10 x y z x y x         ﹐ 解得 x  2﹒ 或由克拉瑪公式﹕ 因為聯立方程式恰有一個解﹐所以ax ﹒ 計算﹕ 2 1 2 1 3 1 12 3 2 ( 2) 2 18 25 3 1 2                ﹐     3 1 2 0 3 1 18 7 0 ( 3) 0 42 50 7 1 2 x                ﹐ 可得ax 50252﹒ 3.有一工程﹐甲乙兩人合作 12 天可完成﹐乙丙兩人合作 15 天可完成﹐甲丙兩人合作 20 天可完成﹒試問甲乙 丙三人獨作各需幾天才可完成﹖  解答  30 天﹐20 天﹐60 天 解析 設甲獨作 x 天可完成﹐乙獨作 y 天可完成﹐丙獨作 z 天可完成﹒ 依題意可得 1 1 1 12 1 1 1 15 1 1 1 20 x y y z z x                 ‚ ƒ ﹒令 1 u x  ﹐ 1 v y  ﹐ 1 w z  ﹐則有 1 12 1 15 1 20 u v v w w u               „ … † ﹒ 由    得2(u v w  )15﹐即u v w  101  ﹒ 由  得w601 ﹐  得u301 ﹐  得v201 ﹐因此 x  30﹐y  20﹐z  60﹒ 故甲獨作 30 天可完成﹐乙獨作 20 天可完成﹐丙獨作 60 天可完成﹒ 4.已知聯立方程式 2 0 0 3 0 x y z x ay z x y z               除了 x  0﹐y  0﹐z  0 之外﹐還有其他的解﹐求 a 的值﹒

(12)

 解答  57 解析 因為除了 x  0﹐y  0﹐z  0 之外﹐還有其他的解﹐ 所以聯立方程式 2 0 0 3 0 x y z x ay z x y z                ‚ ƒ 有無限多組解﹐ 利用加減消去法﹐將  及    3 消去 x﹐得 2 0 ( 1) 3 0 4 7 0 x y z a y z y z               „ …﹒ 因為聯立方程式有無限多組解﹐所以﹐兩式是兩個相同的方程式﹐ 因此a41 37﹐解得a 57﹒ 〈另解〉 因為聯立方程式有無限多組解﹐所以 1 1 2 1 1 3 2 ( 1) 1 ( 6 ) 0 3 1 1 a a a              ﹐ 整理得 7a  5  0﹐解得a 575.判定三平面 E1﹕x  y  z  3﹐E2﹕x  2y  3z   4﹐E3﹕ x  y  3z  1 的相交情形﹒5  解答  三平面交於一直線 解析 因為三平面 E1﹐E2﹐E3的法向量 1 (1, 1,1) n  

n2 (1,2, 3)

n3 (5,1, 3) 均不互相平行﹐ 所以此三平面的相交情形只有 3 種﹐我們只需求出三平面的交點個數﹐ 就可以判定它們的相交情形是 3 種情形中的哪一種﹒ 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 3 2 3 4 5 3 1 x y z x y z x y z                 ‚ ƒ ﹐ 利用加減消去法﹐由  及    5 消去 x﹐得 3 3 4 7 6 8 14 x y z y z y z              „ …﹐

(13)

再由    2 消去 y﹐得 3 3 4 7 0 0 x y z y z             „ † ﹒ 因為兩個不平行的平面交於一直線﹐ 所以此三平面交於一直線﹐如圖所示﹒ 6.解下列各三元一次聯立方程式﹕ (1) 2 4 2 3 3 2 2 1 x y z x y z x y z               ﹒ (2) 2 3 0 3 2 2 2 0 x y z x y z x y z               ﹒  解答  (1)x  1﹐y  1﹐z  2;(2)x  2﹐y   1﹐z  1 解析 (1)先將聯立方程式編號為 2 4 2 3 3 2 2 1 x y z x y z x y z                ‚ ƒ ﹐然後用加減消去法求解如下﹕  由    2﹐    3 消去 x﹐得 2 4 3 5 5 8 11 x y z y z y z               „ …﹐  由    5 消去 y﹐得 2 4 3 5 7 14 x y z y z z             „ † ﹐  由解得 z  2﹐代回解得 y  1﹐再將 y  1﹐z  2 代回解得 x  1﹒  故聯立方程式的解為 x  1﹐y  1﹐z  2﹒ (2)先將聯立方程式交換位置並編號為 0 2 3 0 3 2 2 2 x y z x y z x y z               ‚ ƒ ﹐然後用加減消去法求解如下﹕  由    2﹐    3 消去 x﹐得 0 0 2 x y z y z y z              „ …﹐  由  消去 y﹐得 0 0 2 2 x y z y z z            „ † ﹐

(14)

 由解得 z  1﹐代回解得 y   1﹐再將 y   1﹐z  1 代回解得 x  2﹒  故聯立方程式的解為 x  2﹐y   1﹐z  1﹒ 7.已知三平面 E1﹕ x  y  z  2﹐E2 2﹕x  2y  z  1﹐E3﹕x  8y  cz  d 交於一直線﹐求 c﹐d 的值﹒  解答  c  5﹐d  1 解析 因為三平面交於一直線﹐所以聯立方程式 2 2 2 1 8 x y z x y z x y cz d               有無限多組解﹒ 先將聯立方程式調整順序並編號為 2 1 2 2 8 x y z x y z x y cz d                ‚ ƒ ﹐然後用加減消去法求解如下﹕ 由    2 及  消去 x﹐得 2 1 5 3 0 10 ( 1) 1 x y z y z y c z d                „ …﹐ 由    2 消去 y﹐得 2 1 5 3 0 ( 5) 1 x y z y z c z d               „ † 因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由式可知 c  5﹐d  1﹒ 8.試就實數 a 的值﹐討論聯立方程式 1 1 1 ax y z x ay z x y az               的解﹒  解答  見解析

(15)

解析 計算 3 2 1 1 1 1 3 2 ( 1) ( 2) 1 1 a a a a a a a         ﹐ 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 x a a a     2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 y a a a     2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 z a a a     (1)當  0﹐即 a  1 且 a   2 時﹐ 聯立方程式的解為xxa12﹐同理可得y z  a12﹒ (2)當 a  1 時﹐聯立方程式為 1 1 1 x y z x y z x y z               ﹐ 表示三個相同平面﹐其解為平面上的任意點﹒ (3)當 a   2 時﹐聯立方程式為 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x y z                ﹐ 利用高斯消去法得聯立方程式無解﹒

(16)

Sec3-1

一、單選題 (   )1.選出經過一系列的列運算後可以化成 1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1           的矩陣﹕ (1) 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1            (2) 1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0               (3) 1 1 2 5 1 1 1 2 0 0 0 0            (4) 2 1 3 6 1 1 1 2 0 0 0 1           ﹒  解答  1 解析 原矩陣所表聯立方程式為 2 3 7 2 1 x y z y z z            ﹐其恰有一組解(x,y,z)  (2,1,1)﹒ 因為矩陣的列運算並不會影響聯立方程式的解﹐所以可藉由選項中的矩陣所表聯立方程式之解是 否與原矩陣相同作判斷﹒ (1)此矩陣與原矩陣所表聯立方程式的解同為(x,y,z)  (2,1,1)﹒ (2)因為有(0,0,0)的解﹐所以與原矩陣所表聯立方程式的解不同﹒ (3)第三列全為 0﹐由另二列得知此矩陣所表聯立方程式有無限多組解﹒ (4)因為第三列最右邊的數不為 0﹐其餘各數都是 0﹐所以此矩陣所表聯立方程式無解﹒ 故選(1)﹒ (   )2.方程組 2 3 4 12 2 5 3 7 2 1 x y z x y z x y z                ﹐若利用列運算將增廣矩陣化為 1 2 1 0 1 22 0 0 1 a b c            ﹐則a + b + c = (1) 7 (2) 5 (3) 3 (4)  2 (5)  4﹒  解答  1 解析 2 3 4 12 1 2 1 5 3 7 2 1            → 0 1 2 22 1 2 1 5 0 13 1 16            互換 → 1 2 1 5 0 1 2 22 0 13 1 16              (13) → 1 ( ) 27 1 2 1 5 0 1 2 22 0 0 27 270                 → 1 2 1 5 0 1 2 22 0 0 1 10             ﹐ ∴a = 5﹐b = 2﹐c = 10  a + b + c = 7﹒

(17)

(   )3.若方程組 2 1 3 3 1 3 x y z a x y z a x y z a                 有解﹐求 a 之值為 (1)1 (2)2 (3) 3 2 (4) 5 2 (5) 7 2﹒  解答  3 解析 ∵有解 ∴2a   3 0 a 32 故選(3)﹒

二、多選題

(   )1.下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖ (1) 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4            (2) 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0            (3) 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2            (4) 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5            (5) 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0           ﹒  解答  123 解析 列出增廣矩陣所表示的一次聯立方程式﹕ (1) 2 2 3 3 4 4 x x y y z z             (2) 0 0 2 0 0 3 0 0 x x y y z z             (3) 2 3 4 0 2 3 1 2 2 x y z x y z y z z               (4) 2 3 4 4 3 2 1 0 5 x y z x y z            無解

(18)

(5) 2 3 4 4 3 2 1 0 0 x y z x y z            無限多組解 故選(1)(2)(3)﹒ (   )2.已知聯立方程式 3 3 1 5 x y z x y z x y az b               ﹐則下列選項哪些正確﹖ (1)若 a  7﹐則方程組有無限組多解 (2)若方程組無解﹐則 b  9 (3)若 b  9﹐則方程組恰有一解 (4)若 b  9﹐則方程組必為無限多 組解 (5)若 a  7﹐則方程組恰有一解﹒  解答  25 解析 ∴若 a  7﹐則恰有一組解  若 a  7﹐b  9﹐則無限多組解  若 a  7﹐b  9﹐則無解  故選(2)(5)﹒ (   )3.有關矩陣 1 0 0 1 A      與矩陣 1 3 2 2 3 1 2 2 B               ﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)AB  BA 

(2)A2B  BA2 (3)A11B3  B6A5 (4)AB12  A7 (5)(ABA)15  AB15A  解答  245 解析 (1)╳﹕ 1 3 1 3 1 0 2 2 2 2 0 1 3 1 3 1 2 2 2 2 AB                                ﹐     1 3 1 3 1 0 2 2 2 2 0 1 3 1 3 1 2 2 2 2 BA                              ﹐∴AB  BA

(19)

(2)○﹕ 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 A                ﹐∴A2B  BA2 (3)╳﹕ cos60 sin 60 sin 60 cos60 B        ﹐     11 3 ( 2 5) 3 3 cos180 sin180 1 0 ( ) sin180 cos180 0 1 A BA ABABA   A A I  A        ﹐     6 5 cos360 sin 360 ( 2 2) 1 0 sin 360 cos360 0 1 B A   A  A  A A       ﹐    ∴A11B3  B6A5

(4)○﹕AB12  A(B6)2  A﹐A7  (A2)3A  A﹐∴AB12  A7

(5)○﹕

15

15 2 2 2 15

(ABA) (ABA ABA)() ( ABA) ABA BA A BA AB A 個 故選(2)(4)(5)﹒

三、填充題

1.已知 x  1﹐y   1﹐z  2 為聯立方程式 6 0 2 2 1 0 2 3 1 0 ax by cz ax by cz ax by cz            的一組解﹐求 a﹐b﹐c 的值﹒  解答  a  1﹐b  5﹐c   1 解析 因為 x  1﹐y   1﹐z  2 為原聯立方程式的一組解﹐所以 2 6 0 2 4 1 0 2 6 1 0 a b c a b c a b c                   ‚ ƒ 由  得 a  6c  7  0  由  得 4a  2c  2  0  再由解得 a  1﹐c   1﹒代入得 b  5﹒ 故 a  1﹐b  5﹐c   1﹒ 2.已知矩陣 1 3 4 3 4 2       經過列運算﹐得 1 0 0 1 a b       ﹐求 a﹐b 的值﹒

(20)

解析 利用矩陣的列運算﹐得 故 a   2﹐b  2﹒ 3.已知有一個 x﹐y﹐z 的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運算得 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2           ﹐求此聯立方程 式的解﹒  解答  x  0﹐y   1﹐z  2 解析 因為題目中的矩陣表示聯立方程式 2 3 4 2 3 2 x y z y z z            ﹐ 所以聯立方程式的解為 x  0﹐y   1﹐z  2﹒ 4.利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式 2 5 2 7 7 8 31 x y z x y z x y z              ﹒  解答  1 3 x t y t z t           (t 為任意實數) 解析 利用矩陣的列運算﹐得 2 1 1 5 1 2 1 7 7 8 1 31           

(21)

即原聯立方程式與聯立方程式 1 3 x z y z        同解﹒ 若令 z  t﹐則原聯立方程式的解為 1 3 x t y t z t           (t 為任意實數)﹒ 5.利用矩陣的列運算﹐可將矩陣 1 1 0 5 0 1 1 7 1 0 1 8           化為 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c           ﹐求a﹐b﹐c 的值﹒  解答  a  3﹐b  2﹐c  5 解析 利用矩陣的列運算﹐得 故 a  3﹐b  2﹐c  5﹒ 6.利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式 2 3 3 2 1 7 4 5 4 x y z x y z x y z            ﹒  解答  無解

(22)

解析 利用矩陣的列運算﹐得

(23)

Sec3-2

一、單選題 (   )1.設 A 是 n 階方陣﹐且 aij  i2  j2﹐若矩陣 A 所有元素的和為 40n2﹐求 n 值為 (1)5 (2)6 (3)7 (4)8 (5)9﹒  解答  3 解析 2 1 1 40 n n ij i j a n   



2 2 2 1 1 ( ) 40 n n i j i j n   



  2 2 1 ( 1)(2 1) ( ) 40 6 n i n n n ni n    

  2 2 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 40 6 6 n n n n n n n     n      (n  1)(2n  1)  2  240  (n  1)(2n  1)  120 ∴n  7 故選(3)﹒ (   )2.設 A 是一個 3 階方陣﹐其(i,j)位置的元素為 2i  j﹐則矩陣 A 的所有元素和為 (1)50 (2)52 (3)54 (4)56 (5)58﹒  解答  3 解析 3 4 5 5 6 7 7 8 9 A           ﹐所有元素和為 54 故選(3)﹒ (   )3.設 A﹐B﹐C 皆為二階方陣﹐O 為二階零矩陣﹐判斷下列敘述何者為真﹖ (1)若 AB  AC 且 A  O﹐則 B  C (2)A(BC)  (AB)C (3)若 AB  O﹐則 A  O 或 B  O (4)若 A2  A﹐則 A  O 或 A  I (5)若 AB  O﹐則 BA  O﹒  解答  2 解析 (1)╳﹕矩陣的乘法消去律不成立 (2)○﹕矩陣的乘法結合律成立 (3)╳﹕取 3 2 3 2 A  O    ﹐ 2 4 3 6 BO   ﹐但 AB  O (4)╳﹕取 1 0 0 0 A    ﹐ 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A        A       ﹐ 但 A  O 且 A  I (5)╳﹕取 1 0 0 0 A    ﹐ 0 0 1 0 B    ﹐

(24)

則 0 0 0 0 ABO   ﹐ 0 0 1 0 BAO   故選(2)﹒ 解析 由矩陣的基本性質知(4)不一定成立﹒

二、多選題

(   )1.關於矩陣 3 4 2 5 1 6 A         

  ﹐選出正確的選項﹕ (1)A有 2 列 3 行 (2)A 是 3  2 階的矩陣 (3)A 是 2

階方陣 (4)第(1,2)元是 2 (5)6 是第(3,2)元﹒

 解答  25

解析 因為 A 是 3 列 2 行的 3  2 階矩陣﹐且第(1,2)元是 4 6﹐ 是第(3,2)元﹐

所以選(2)(5)﹒

(   )2.已知 A﹑B﹑C 均為二階方陣﹐O 為二階零方陣﹐I 為二階單位方陣﹐則下列敘述何者正確﹖  (1)若 AB  AC﹐且 A  O﹐則 B  C (2)(A  B)3  A3  3A2B  3AB2  B3 (3)若 A2  O﹐則 A  O (4)A2A3  A3A2 (5)A2  4I  (A  2I)(A  2I)﹒

 解答  45

解析 (1)╳﹕矩陣乘法不具有消去律

(2)╳﹕∵AB  BA ∴(A  B)3  A3  3A2B  3AB2  B3

(3)╳﹕令 1 1 1 1 A  O    但 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A          O         (4)○﹒

(5)○ (﹕ A  2I)(A  2I)  A2  2AI  2IA  4I2  A2  4I

故選(4)(5)﹒

(   )3.設 A﹑B 皆為二階矩陣﹐I 為二階單位矩陣﹐O 為零矩陣﹐下列敘述何者錯誤﹖ (1)若

1 0 1 0 0 0 A 0 0 B             ﹐則 A  B (2)若 A  cos sin sin cos         

 且 A2  I﹐則 A  I (3)若 A2  O﹐則 A  O (4)A2  B2  (A  B)(A  B) (5)(A  I)2  A2  2A  I﹒

(25)

解析 (1)╳﹕ 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 3 4 0 0 5 6                        ﹒ (2)╳﹕取 A  cos sin sin cos           且 A2  I﹐但 A  I﹒ (3)╳﹕ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0                  ﹒ (4)╳﹕AB 不一定等於 BA﹒ (5)○ 故選(1)(2)(3)(4)﹒

三、填充題

1.已知 2 1 3 5 A      ﹐ 1 4 4 0 B      ﹐且 3(X  A  2B)  X  A﹐求矩陣 X﹒  解答  1 11 9 5       解析 因為 3(X  A  2B)  X  A﹐所以 3X  3A  6B  X  A  2X   2A  6B﹒ 故 2 1 3 12 1 11 3 3 5 12 0 9 5 X   A B                 ﹒ 2.已知矩陣 1 1 1 1 A       ﹐ 1 0 0 1 I      ﹐求下列各矩陣﹕

(1)A2﹒ (2)A3﹒ (3)(I  A)3

 解答  (1) 2 2 2 2       ;(2) 4 4 4 4       ;(3) 14 13 13 14       

(26)

解析 (1) 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 A                    ﹒ (2) 3 2 2 2 1 1 4 4 2 2 1 1 4 4 AA A                   ﹒ (3)因為 IA  AI  A﹐所以  (I  A)3  I3  3I2A  3IA2  A3  I  3A  3A2  A3   1 0 3 1 1 3 2 2 4 4 0 1 1 1 2 2 4 4                            1 0 3 3 6 6 4 4 14 13 0 1 3 3 6 6 4 4 13 14                                  ﹒ 3.已知矩陣 1 4 A x y        ﹐ 1 1 x B y        ﹐ 1 0 0 1 I    ﹐且 A  2B  tI﹐求 (1)實數 t﹐x﹐y 的值﹒ (2)矩陣 3A  2B﹒  解答  (1)t  3﹐x   2﹐y  1;(2) 1 16 8 1       解析 (1)因為 A  2B  tI﹐所以 1 4 2 2 0 2 2 0 x t x y y t                     3 4 2 0 2 3 0 x t x y t             ﹒  因此 3 4 2 0 2 0 3 t x x y t            ﹐解得 t  3﹐x   2﹐y  1﹒ (2)因為 1 4 2 1 A     ﹐ 1 2 1 1 B     ﹐所以 3 12 2 4 1 16 3 2 6 3 2 2 8 1 AB                ﹒ 4.已知 1 2 3 4 A     ﹐ 2 3 1 k B   ﹐且 AB  BA﹐求 k 的值﹒  解答   2

(27)

解析 因為 AB  BA﹐所以 1 2 2 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 4 k k                        ﹐即 6 4 6 2 8 3 12 10 6 10 k k k k               ﹒ 因此 2 8 4 3 12 6 k k        ﹐解得 k   2﹒ 5.已知 0 1 2 2 1 0 A     ﹐ 3 2 1 1 2 3 B   ﹐且 X  2Y  5A 2﹐ X  Y  5B﹐求矩陣 X﹐Y﹒  解答  6 5 4 4 5 6      ﹐ 3 0 3 3 0 3        解析 令 2 5 2 5 X Y A X Y B         ‚ 由    2﹐得 5X  5A  10B﹐即 6 5 4 2 4 5 6 X  A B    ﹒ 由  2  ﹐得 5Y  10A  5B﹐即 3 0 3 2 3 0 3 YA B      ﹒ 6.已知矩陣A 2 1 21 0 3  ﹐ 1 1 0 1 2 2 B     ﹐ 1 1 1 2 0 1 0 1 1 C              ﹐求下列各矩陣﹕ (1)(A  B)C (2)AC  BC  解答  (1) 5 1 1 6 1 3      ;(2) 5 1 1 6 1 3       解析 (1)由矩陣的加法與乘法定義﹐得   1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 ( ) ( ) 2 0 1 2 0 1 1 0 3 1 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 A B C                            

(28)

      5 1 1 6 1 3       ﹒ (2)因為(A  B)C  AC  BC﹐所以 5 1 1 6 1 3 AC BC     ﹒ 7.已知 A﹐B 都是 3  2 階矩陣﹐且 A  [aij]﹐B  [bij]﹐其中 aij  i  j﹐bij  2i  j﹐求矩陣 A  B﹒  解答  3 3 6 6 9 9           解析 由題意﹐得 11 12 21 22 31 32 2 3 3 4 4 5 a a A a a a a                   ﹐ 11 12 21 22 31 32 1 0 3 2 5 4 b b B b b b b                   ﹒ 故 3 3 6 6 9 9 A B            ﹒

(29)

Sec3-3

一、單選題 (   )1.已知方陣 a b c d e f g h i           的反方陣為 a b c d e f g h i                ﹒試問下列哪一個選項為 g h i a b c d e f           的反方陣? (1) a b c d e f g h i                 (2) a d g b e h c f i                 (3) g h i a b c d e f                 (4) g a d h b e i c f                 (5) c a b f d e i g h                ﹒  解答  5 解析 令 a b c A d e f g h i           ﹐ 1 1 a b c A d e f A A I g h i                     1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 A AI                                             ﹐故 g h i a b c d e f          的反方陣為 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 a b c a b c c a b d e f d e f f d e g h i g h i i g h                                                                           ﹐故選(5)﹒ (   )2.對任意 x  0﹐令 A(x)  2 4 1 0 log 1 1 3 6log 3 1 x x              ﹐並令 B 

x x|  且0 A x( )有乘法反元素 ﹐則

集合 B  (1)空集合 (2)  18    (3)2 (4) 1 ,2 8        (5)以上皆非﹒  解答  5 解析 ∵det(A)  2 2 4 4 1 0 log 1 (log 3)(3 6log ) 1 3 6log 3 1 x x x x     

當 det(A) 0 時﹐3  6log4x  0 或 log2x  3  0

 log4x  1 2  或 log2x  3  x 4 12 1 2   或 x  23 8﹐ ∵A(x)有乘法反元素﹐∴det(A)  0 ﹐ ∴B x x| 0,x12, 8  ﹐故選(5)﹒

(30)

(   )3.設二階方陣 1 2 A c d        ﹐已知矩陣 A 存在反方陣 A  1﹐且 A  1  A﹐則 c 值為下列何者﹖ (1)0  (2)1 (3)  1 (4)2 (5)  2﹒  解答  1 解析 detA  d  2c  0 1 1 2 1 2 d A c d c       又 A  1 A ∴ 1 2 0 2 d d d c c dc      故選(1)﹒

二、多選題

(   )1.下列哪些是轉移矩陣﹖ (1) 0.3 0.8 0.7 0.2        (2) 3 1 1 1 3 4        (3) 0.5 0.5 0.7 0.3        (4) 0.2 0.7 1.2 0.3        ﹒  解答  12 解析 因為轉移矩陣須具有「每一個元都是大於或等於 0 的實數」及「每一行的各元之和都等於 1」兩個特 性﹐所以選(1)(2)﹒

(   )2.已知 A﹑B﹑C 均為 n 階矩陣﹐Onn為 n 階零矩陣﹐則下列何者為真﹖ (1)det(A  B)  det(A)  det(B) (2)若 k 為實數﹐則 det(kA)  kn det(A) (3)若 AB  AC 且 det(A)  0﹐則 B  C (4)若 A﹑B 均為可逆矩陣﹐則(AB) 1  B 1A 1 (5)若 AB  BA﹐則(A  B)n 0 n C An 1 n C An 1B  2 n C An 2B2 … n k C An  kBk … n n C Bn  解答  2345 解析 (1)╳ (2)○

(3)○ det(﹕ A)  0  A 1存在﹐∴A 1(AB)  A 1(AC)﹐∴B  C﹒

(4)○ (5)○

(31)

(   )3.所謂「轉移矩陣」必須滿足下列兩個條件﹕ (甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 (乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1 以 2  2 矩陣為例﹐ 0.2 0.3 0.8 0.7       和 0.9 0.6 0.1 0.4       滿足(甲)(乙)這兩個條件﹐因此都是轉移矩陣﹒今設 A﹑B 是兩個 n  n 的轉移矩陣﹐請問下列哪些敘述是正確的﹖ (1)A2是轉移矩陣 (2)AB 不滿足 條件(乙) (3)21(A B )是轉移矩陣 (4)14(A2B2)是轉移矩陣﹒  解答  13 解析 若 A﹑B 為轉移矩陣﹐則12(A B )﹐AB 均為轉移矩陣﹒ 證明﹕設 A  [aij]n  n﹐B  [bij]n  n﹐則j﹐ 1 1 n ij i a  

且 1 1 n ij i b  

故j﹐ 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (1 1) 1 2 2 2 n n n ij ij ij ij i i i a b a b         

 j﹐ 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 n n n n n n n ik kj ik kj kj ik kj i k k i k i k a b a b b a b            

 

 

 

三、填充題

1.已知 5 2 2 1 A      ﹐求滿足 1 2 1 6 2 5 AX       的矩陣 X﹒  解答  11 6 9 28 14 23        解析 由反方陣公式﹐得 1 1 1 2 1 2 2 5 2 5 1                 A ﹒ 因為 1 2 1 6 2 5 AX      ﹐所以 1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 6 9 6 2 5 2 5 6 2 5 28 14 23 XA                         ﹒

(32)

2.已知 1 2 3 4 A     ﹐ 2 1 1 1 B       ﹐ 2 1 1 3 C   ﹐求滿足 AX  3B  C 的矩陣 X﹒  解答  6 2 5 3        解析 因為 AX  3B  C﹐所以 AX  C  3B  X  A  1(C  3B)﹐ 即 4 2 2 1 2 1 4 2 4 4 12 4 1 1 1 ( 3 ) 3 1 1 3 1 1 3 1 2 6 10 6 2 2 2 X                               6 2 5 3        ﹒ 3.已知 1 3 2 5 a b A   是轉移矩陣﹐求 a﹐b 的值﹒  解答  a  2﹐b  3 解析 因為 53 52 5 5 a b A              ﹐所以由轉移矩陣的定義﹐得 3 1 5 5 2 1 5 5 a b          ﹐ 解得 a  2﹐b  3﹒ 4.資料顯示﹐某城市在晴天之後隔天下雨的機率為15 ﹐而在雨天之後隔天也是雨天的機率為13 ﹒ (1)寫出此天氣的轉移矩陣﹒ (2)若此城市星期日下雨﹐求星期二下雨的機率﹒  解答  (1) 4 2 5 3 1 1 5 3             ;(2)11 45 解析 (1)此天氣的轉移矩陣為 4 2 5 3 1 1 5 3 A              ﹒ (2)因為星期日下雨﹐所以 0 0 1 X      ﹐

(33)

 於是 1 0 4 2 2 0 5 3 3 1 1 1 1 5 3 3 X AX                             ﹐ 2 1 4 2 2 34 5 3 3 45 1 1 1 11 5 3 3 45 X AX                                      ﹐  故星期二下雨的機率為1145﹒ 5.小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上學的路線﹕若某一天走乙路線上 學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就 走乙路線上學﹒ (1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒ (2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的機率為何﹖  解答  (1) 1 1 2 1 0 2             ;(2)5 8 解析 (1)轉移矩陣 1 1 2 1 0 2 A              ﹒ (2)因為星期一用丟硬幣決定上學路線﹐所以 0 1 2 1 2 X              ﹐  於是 1 0 1 1 3 1 2 2 4 1 1 1 0 2 2 4 X AX                                      ﹐ 2 1 5 1 3 1 8 2 4 1 1 3 0 2 4 8 X AX                                      ﹒  故小明在星期三走甲路線上學的機率為58

(34)

數據

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參考文獻

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