排列組合

高中數學

排列組合

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第三章 排列組合

3-1 集合的基本概念

觀念： (3) 差集﹕屬於A_{，但不屬於}B_{的所有元素所成的集} 合，記作A B ，即A B 



x x A x B|  但 



。 (4) 宇集﹕當我們所探討的集合皆為某一個集合U 的子集，則U 就稱為宇集。 (5) 補集（餘集）﹕屬於U 但不屬於A的所有元素 所成的集合，稱為A的補集，記作A' U A  ﹒ 七、笛摩根定律（De Morgan Laws）﹕ (1)　



A B ' A' B'_



 _{ 　(2)}



A B ' A' B'_



 _ 八、集合元素的計數﹕當集合A中所包含元素的個數為有限個時，我們以  n A 來表示集合A中的元素個數。例﹕A1 2 3, , _{，則  }n A 3_。 九、排容原理﹕設A B C、 、 為3 個有限元素的集合﹐則 (1) n A B



_



n A n B n A B



_



(2) n A B C



_{ }



n A n B n C n A B



_

 

n B C_

 

n C_A



n A B C



_{ }



例1：(1)利用列舉法表示所有 18 的正因數組成的集合。 一、集合：是由一些滿足某些條件之事物所組成的整體，記作S表示之。 二、元素：組成集合的每一事物即是。 三、(一)空集合：不含任何元素的集合，記作

 

或 。 (註) 空集合 為任何集合的子集。 (二)子集合：若集合A中的每一個元素都是集合B的元 素，則稱A為B的子集，記作AB（讀作A包含 於B）或BA（讀作B包含A）。 (三)相等集合﹕已知A B、 為兩集合，若A B 且BA，則稱A B、 兩集合相 等，記作A B 。 四、集合與元素的關係：若a_{為集合A的一個元素，則稱}a_{屬於A，通常記作} a A ﹔若a_{不為集合A的元素，則稱}a_{不屬於A﹐記作}a A 。 五、集合表示法： (一)列舉法﹕當集合的元素不多時﹐我們可以把集合的所有元素全部列出﹐再 冠以大括號﹐表示此一集合。如：擲骰子、12 的所有正因數、小於 10 的正 奇數、…等。 (二)描述法﹕在大括號內將元素的共同特性描述出來，再加一直槓﹐而直槓的 後面界定出此集合中元素的屬性。如：C



2k1 0  ， ， ， ，k 4 k



六、集合的運算﹕設A B、 為兩集合，則 (1) 交集﹕同時屬於A且屬於B的所有元素所成的 集合，稱為A與B的交集，記作A B_{ ，即}



|



A B_  x x A x B ，  _。 (2) 聯集﹕屬於A或屬於B的所有元素所成的集合稱 為A與B的聯集，記作A B_{ ﹐即}



|



A B_  x x A x B ，  _。

(2)利用描述法表示所有小於 100 且被 3 除餘 1 的正整數組成的集合。 【練習題】 (1)利用列舉法表示所有 20 的正因數組成的集合。 (2)利用描述法表示所有小於 200 且被 4 除餘 1 的正整數組成的集合。 例2：列出集合 S={1,2,3}的所有子集。 【練習題】列出集合S={a b, }的所有子集。 例3：設 A 為所有 6 的正因數組成的集合，B 為所有 8 的正因數組成的集合。 求A B_ 、A B_ 、A B 及B A 。 【練習題】設A 為所有 10 的正因數組成的集合，B 為所有 15 的正因數組成的 集合。求A B_ 、A B_ 、A B 及B A 。 例4：設宇集 U 為 1 到 100 的正整數組成的集合， A 為 1 到 100 間 3 的倍 數組成的集合， 為A 的補集, 求 n(A')=？

【練習題】在1 到 300 的正整數中，不能被 4 整除的正整數有幾個？ 例5：學校舉辦班際籃球及排球比賽，已知某班級有 12 名同學參加籃球比賽， 10 名同學參加排球比賽，而兩種球類比賽均有參加的有 4 人。試問有多 少位同學至少參加一種球類比賽？ 【練習題】學校舉辦象棋及圍棋比賽，已知某班級有42 位同學參賽， 其中有 34 位同學參加圍棋比賽，而兩種棋賽都參加的同學有 15 人。試問此班有 多少位同學參加象棋比賽？ 例6：一家國際觀光飯店，某日共有 100 名外國旅客住宿。調查結果：能聽懂 英語的旅客占70%，能聽懂法語的旅客占 60%，兩種語言均能聽得懂的 旅客占 40%。試問兩種語言均聽不懂的旅客共有多少人?

【練習題】某次數學考試共有20 道題目，其中屬於基本題者有 10 道題，屬於

考古題者有8 題，既不是基本題也不是考古題者有 5 題。試問有多少數學

例7：某班舉行數學測驗，測驗題分A、B、C_{三題，結果答對}A題者有15 人， 答對B題者有19 人，答對C_{題者有20 人，其中}A、B兩題都答對者有10 人，B、C_{兩者都答對者有12 人，}C_、A兩題都答對者有8 人，三題都答對 者有3 人。試問A、B、C_{三題中至少答對一題者有多少人？} 例8：在 1 到 300 的正整數中，是 2、3 和 5 中某一個數的倍數者共有幾個？ 【練習題】在1 到 600 的正整數中，是 4、5 和 6 中某一個數的倍數者共有幾個?



第三章 排列組合

3-2 加法、乘法原理 觀念： 一、樹狀圖與加法原理：若完成某件工作的方法，依其性質可分成k 類，且第 1 類有m1種方法、第2 類有m2種方法…第k 類有mk 種方法，則完成這件 工作的方法共有m1m2mk種 。 二、乘法 原理：若 完成某件工作要經過k 個步驟，且第1 個步驟中有m1種方法，第2 個步 驟中有m2種方法，…第k 個步驟有mk 種方法，則完成這件工作的方法共 有m1m2mk種。  例1：

右圖是每邊邊長為

1 單位的道路分布圖. 若

小華從

A 點出發走 3 單位長到達 F 點, 則(1)

利用樹狀圖描述所有路徑。

(2)共有幾種路徑？

【練習題】如右圖，一隻螞蟻從A 點出發，沿著正立方體 ABCD-EFGH 的稜線走捷徑到達 G 點。 (1)利用樹狀圖 描述所有路徑 (2)共有幾種路徑？ 例2：餐廳有主菜、湯及飲料等三樣餐點。其中主菜有牛排、豬排、雞排、羊排四 種; 湯則有海鮮湯與蔬菜湯二種; 飲料則提供咖啡或紅茶。則每位客人只能 從主菜、湯及飲料種類中各任選一種，試問有多少種不同的點餐方式? 【練習題】書架上有三種不同的中文書、五種不同的英文書和六種不同的法文書。 小英想從書架上選中文、英文和法文書各一本，共有多少種選法？ 例3：試問 360 的正因數有多少個？

【練習題】求240 的正因數個數？　 例4：自甲地到乙地有電車路線 1 條，公車路線 3 條，自乙地到丙地有電車路 線2 條，公車路線 2 條。今小明自甲地經乙地再到丙地，若甲地到乙地與 乙地到丙地兩次選擇的路線中，電車與公車路線各選一次，則有幾種不同 的路線安排？ 【練習題】兒童樂園有A、B、C 三區， 各區之間有紅、藍、綠三 種顏色的單向電聯車供遊客搭乘， 如右圖所示：某旅 客想從A 區前往 B 區及 C 區遊玩後再返回 A 區, 若該旅 客手中只有三張單程車票， 試問共有多少種不同的乘 車方式？ 例5：大毛與二毛分別喊一個小於 10 的正整數，並要求三毛算出這兩數的乘積 試問大毛與二毛喊的數一共有幾種情形，會讓三毛算出的乘積是偶數？ 【練習題】大毛與二毛分別喊一個小於10 的正整數，並要求三毛算出這兩數的

第三章 排列組合

3-3 排 列 觀念： 一、 階乘的運算：若n_{為自然數﹐則}n_的階乘為n!        n n 1 n 2  3 2 1。 (註) 5! 5 4 3 2 1 120      特殊1! 1 、0! 1 （規定的） 二、完全相異物的直線排列： (1)將n件相異的物品全取排成一列，其排列的方法數有

n

!

種。 (2) 從

n

個不同事物中任選k 個（

1 k n

 

）排成一列，共有 nk ( 1)( 2) ( 2)( 1) ₍ ! _)! n P n n n n k n k n k        



 種排法。 三、有相同物的排列：設有n個物品，共分成k種不同的種類，第1 類有m1 個，第2 類有m2個、…，第k類有mk個（其中m m1 2  mk n），將 此n個物品排成一列，其方法數有 1 2 ! ! ! _k! n m m _m 種。 四、重複排列﹕從n類不同的物品（每類至少k個）中，任意選取k個排成一 列，每類物品皆可以重複選取，其方法數有_nk_種。 五、環狀排列﹕將n個不同的物品排成一環狀，其方法數有n_n! 



n 1 !



種。 【註】﹕在直線排列中須考慮物品排列的前後次序問題， 而環狀排列卻考慮物品相對的位置問題。 例1：(1)求 4!, 5!及 6!的值？ (2)求P₂5、P5₅及P10₃ 的值？ 例2：將甲﹑乙﹑丙 3 人排成一列其方法數有幾種？ 例3：中選會辦理某縣長選舉候選人號次抽籤作業，共有甲、乙 丙、丁、戊等五 位候選人參選，經公開抽籤決定參選號次。試問有多少種可能的抽籤結 果？

【練習題】學校運動會百米賽跑共有6 位參賽者報名參加，經公開抽籤決定比賽 跑道第一至第六道次的順序。試問有多少種可能的抽籤結果？ 例4：自甲、乙、丙、丁、戊等 5 人中任取 3 人排成一列，其方法數有幾種？ 例5：川劇變臉是將選定的臉譜依序黏在臉上，藉快速逐一扯下臉譜達到變臉 效果的把戲。今變臉師傅想從7 張臉譜中，選出 4 張表演一段變臉秀， 有幾種變法呢？ 【練習題】某班想從6 個參觀地點中，選出 3 個進行參訪，若考慮參訪的先後次 序，則有幾種不同的行程安排？ 例6：由 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 十個數字中，任選 3 個相異數字 排成三位數，共有多少種排法？

【練習題】農夫想在他的 3 塊農地上種植黃瓜、木瓜、花生及花卉四種農作物，

其中第3 塊農地因土質因素不適合種植花生。 若此 3 塊農地皆種植不同

作物，則有多少種不同的種法？

例7：男生 4 人及女生 3 人排成一列拍照。求下列各種排列方法：

【練習題】車商將3 輛不同的休旅車及 3 輛不同的跑車排成一列展示。 求下列各種排列方法： (1) 休旅車及跑車相間排列。 (2) 休旅車及跑車各自排在一起。 例7：將 3 個相同的白球及 1 個黑球排成一列，其方法數有幾種？ 例8：從家裡到學校會經過 8 個十字路口，請問路途中碰到 5 個紅燈、 3 個綠 燈的情形有多少種？ 【練習題】某量販店在賣場出口處設置一排收銀櫃檯，其中有兩個相同的現金櫃 檯及四個相同的信用卡櫃檯。問此六個收銀櫃檯共有多少種排列方法?

例9：在右下圖的棋盤街道中, 從 A 到 B 的捷徑走法，共有幾種？

【練習題】在下圖的棋盤街道中，從A 經 C 到 B 的捷徑走法，共有幾種？

例10：將“google”一字所有的字母重新排列，有多少種不同排法？

例11：將右下圖中的黑棋向右移動，每次移動 1 格或 2 格，移到最右邊一格， 共有多少種不同的移法？ 【練習題】一樓梯共有5 級，今有一人上樓，若每步走一級或二級，則上樓的方 法有幾種？ 例12：自 1、2、3、4、5 任取 3 個數字排成三位數且數字可以重複使用，其方 法數為多少？ 例13：兔子挖了三個可以藏身的地方，如果兔子每晚都待在這三個藏身地方 的其中之一，以躲避敵人，那麼未來的七個晚上，兔子有多少種可能的 藏身安排？

【練習題】小吃店只賣牛肉麵、什錦麵、陽春麵、粄條及米粉五種餐點，若某顧客 決定未來三天中午都到小吃店點一份餐點，問該顧客共有幾種點法？ 例14：將 4 本不同的書全部分給甲、乙、丙三人，則下列各有幾種分法？ (1) 任意分。 (2) 甲至少得 1 本。 (3) 甲恰得 1 本。 【練習題】不同的渡船3 艘，每船最多可載 4 人，則下列同時安全過渡的方法各 多少？ (1)4 人同時過渡時。 (2)5 人同時過渡時。 例15：甲、乙、丙、丁 4 人圍一圓桌而坐，共有多少種不同的坐法？

例16：大餐桌上有一個會轉動的小圓盤，今將 7 盤不同的菜放在轉盤的邊緣 上，問共有多少種排列法？ 【練習題】全家6 人到餐廳用餐，圍著一圓桌而坐，問有多少種排列法？ 例17：有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人圍一圓圈作團體遊戲，則下列各種排 列方法各多少？ (1) 甲、乙、丙三人完全相鄰 (2) 甲、乙、丙三人完全分開。 【練習題】四對夫婦共8 人，圍一圓桌而坐，則下列各種排列方法各多少？ (1)每對夫婦均相鄰而坐。 (2)同性不能坐在一起。

第三章 組 合

3-4 組 合 觀念： 一、組合的定義：從

n

個不同事物中取出

k

個（0 k n  ）為一組，其組合數為 ! !( )! n k n C k n k   二、組合公式﹕ (一)剩餘定理﹕

C

n_k



C

n_{n k} 。 (二)巴斯卡公式﹕ 1 1 1 n n n k k k C C  C     ，其中1  k n 1。 三、重複組合：







1 !



1 ! 1 ! n n k k k n k H C k n        (1)從 n 類事物中選取 k 個的組合（每類的個數均至少 k 個且可以重複選取）。 (2)n 元一次方程式

x

₁

   

x

₂



x

n

k

的非負整數解。 (3)將 k 個相同的事物全部分給 n 個人的分法。 四、遞迴關係式的內容包含兩部分 (1)初始條件﹕如1! 1 (2)遞迴關係式﹕如n!  n n



1 !



，其中n2，n為整數。 五、費氏數列： fn  fn1 fn2，n3即為費氏遞迴式，由費式遞迴式推出的數列 1,1, 3 , 5 , 8 ,13 , 21, n f  _ 就稱為費氏數列。 例1：求下列各數：(1)C10₂ (2)C810 (3)C1010 (4)C100 【練習題】計算C10₄ 與C7₃的值。

例2：由 7 個籃球隊員中選出 5 人上場打球，(1)有多少種選法？ (2)若其中某兩 人是主力戰將一定要上場, 則有多少種選法？ 例3：由男生 10 人，女生 5 人中選出一個 5 人小組 (1)選出 3 名男生 2 名女生的 選法有幾種？ (2)若規定男女生至少各有 2 人，則有多少選法？ 【練習題】由男生6 人，女生 4 人中選出一個 5 人小組 (1)若其中 3 人為女生， 則 有多少種選法？ (2)若其中至少有 2 名女生， 則有多少種選法？ 例4：已知兩組互相垂直的平行線段，相交如右圖 (1)共有多少個矩形？(2)包含 A 點的矩形有幾個？ (3)至少包含 A 或 B 兩點之一的矩形共有幾個？ 【練習題】在正五邊形的五個頂點中，(1)共可以連出幾條直線？ (2)共可以連成幾個三角形？ 例5：證明下列兩個組合數的性質： (1)CnkCnn k ， 0 k n

(2) n n 1 n 1₁ 1 1 k k k C C  C _ ，   k n 例6：方程式x y z  10有多少組非負整數解？ 【練習題】方程式x  y z 10的正整數解共有幾組？ 例7：媽媽桌球俱樂部擬購買 8 把桌球拍以供忘記攜帶球拍的會員使用，若球 拍分為刀板、直拍與大陸拍3 類, 試問俱樂部有多少種不同的購買方式？ 【練習題】每碗剉冰可以任選4 份配料，每種配料都可重複選取，如果冰店今天 準備了10 種不同的配料供客人選擇， 那麼一碗剉冰會有多少種不同的組 合？ 例8：將 9 本相同的練習簿任意分給 4 個小朋友。(1)共有幾種分法？ (2)若要求每人至少分到 1 本 則有多少種分法？ 【練習題】將10 枝相同的原子筆分給 3 人。(1)共有幾種分法？ (2)若每個人至少要 分得2 枝，則有幾種分法？

例9：辯論社的 3 個男生與 2 個女生組隊參加奧瑞岡三人制辯論比賽。今欲從 5 人 中，選出2 男 1 女分別擔任一辯二辯與三辯，共有幾種安排方式？ 【練習題】從6 本不同的英文書與 5 本不同的中文書中，選取 2 本英文書與 3 本中 文書排在書架上，共有幾種排法？ 例10：將 9 本不同的書依下列情形分配 方法各有幾種？ (1)分給甲、乙、 丙 3 人，每人各得 3 本。 (2)分裝入 3 個相同的袋子， 每袋裝 3 本。 (3)分裝入 3 個相同的袋子，其中一袋裝 5 本， 另兩袋各裝 2 本。 【練習題】(1)將 8 位同學平分成兩組 有幾種分法？

例11：設數列 an 的首項

a

1=5，且滿足遞迴關係式

a

n



a

n1



3

n



1

，

n



2

(1)利用遞迴關係式求a a2、 3及a4的值。 (2)求一般項

a

n（以n 表示）。 【練習題】設數列 an 的首項a1=1，且滿足遞迴關係式

a

n



a

n1



2

n



1

，

2

n



(1)利用遞迴關係式求a2、a3及a4的值(2)求一般項an（以n 表示）(3)求a20=？

例12：設平面上 n 條直線（其中任兩條不平行, 任三條不共點）可以將平面分 割成

a

n個區域。(1)寫下數列 an 的遞迴關係式 (2)求一般項

a

n。 【練習題】蜜蜂築蜂巢的速度：1 星期後築了 1 個正六邊形蜂巢，2 星期後築了 7 個正六邊形蜂巢，3 星期後築了 19 個正六邊形蜂巢，如圖所示： 按照這樣的速度與規律， 令

a

n是n 星期後蜜蜂所完成的正六邊形蜂巢總數。 (1)寫下an與an1的遞迴關係式 (2)求一般項an

例13：設數列 an 的首項a1=5，且滿足遞迴關係式an 3an12 ，n2 (1)將遞迴關係式

a

n



3

a

n1



2

（

n



2

）改寫成(an) 3( an1)，

2

n



的形式, 其中



為常數 (2)求一般項

a

n。 【練習題】若數列 an 的首項

a

1=1，且滿足遞迴關係式

a

n



3

a

n1



6

，

n



2

(1)將遞迴關係式

a

n



3

a

n1



6

，

n



2

改寫成(an) 3( an1)，

2

n



的形式, 其中



為常數。(2)求一般項

a

n。

例14：設 fn 為費氏數列, 求

f f

8

、

9與 f10的值。

【練習題】如下圖所示， fn分別代表所在正方形邊長，這些正方形的擺放依循往

右， 向上的規律：

第二章 圓錐曲線

3-5 二項式定理 觀念： 一、 二項式定理 對於任意正整數n, 我們有下列的二項展開式： 1 1 1 1 0 1 1 ( )n n n n n n n r r n n n n r n n x y C x C x y  _ C x  y  _ C _ x y  C y 0 n n n r r r r C x  y  



二、巴斯卡三角形 1 1 1 n n n r r r C C _C  例1. 寫出

₍

_{x y}



₎

5_{的展開式。} 【練習題】寫出

(

x y



)

4的展開式。 例2. 求

(

2

x y



)

4的展開式

【練習題】求_(2x3y)4 的展開式。 例3：求

(

2

x



1

)

7的展開式中 3 x 的係數。 【練習題】求

(

2

x



3

)

5的展開式中 3 x 的係數。 例4.求 6 2 2 x x        的展開式中 3

x

的係數。 【練習題】求 6 2 2 x x          展開式中的常數項。 例5.求

(

x

2

 

x

1

)

3的展開式中

_x

2_的係數。

【練習題】求

(

x

2

 

x

2

)

3的展開式中

_x

4_的係數。

例6.設 n 為正整數，證明﹕C0nC1nC2n  Cnn2n