第六章 狭义相对论
Special Theory of Relativity
相对论的创始人:
Albert · Einstein
(1879----1955)
1905年,狭义相对论
(Special Theory of Relativity) 1916年,广义相对论
第一讲 狭义相对论时空
Time and Space of the Special Theory
of Relativity
6.1 相对论的实验基础
2、伽利略变换 设两个惯性系 , 相对于 以速度 v 沿 公共方向x 轴运动,在 时,两坐标系重合, 现在要研究静止在 系和 系中的两个观察者在 同一时刻测得质点P在某一时刻位置间的关系。
和
1、伽利略相对论原理 力学规律在一切作匀速运动的惯性参考系都是等 效。
0 t t一、伽利略相对论原理和伽利略变换
y y v
P x y z, , x x O O z z 伽利略变换 时间是绝对的; 长度是绝对的 ''
x
x vt
x
x
vt
y
y
y
y
z
z
z
z
t
t
t
t
or
加速度: dx dx v dt dt
u
u
v
2 2 2 2 d x d x dt dt 2 2 2 2d x
d x
f
m
m
dt
dt
牛顿第二定律在任 何惯性系均成立: 伽利略速度变换 将上式微分即得 速度叠加原理二、相对论实验基础
另外一个重要的物理问题就是电磁波的传播速 度(也就是光速),是否符合伽利略变换? 或者说光速满不满足速到叠加原理? 旧时空中,人们认识的波通常是机械波,其传 播是依赖于媒质的。传播速度正比于(k/m)1/2的。 所以大家很自然的设想电磁波也应该依赖媒质 传播。由于光速非常大,那么这种媒质应该是 一种刚性极强,又非常稀疏的介质,大家称作 “以太”!① OM O1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) l l cl l v l v t c v c v c v c c c c 2 2 ct O
O
2 1 2vt 2 M 2 M T 1 M * S O 1、迈克尔逊—莫雷实验 地球运动方向② OM O2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ct vt l 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) (1 ) 2 l l v l v t c c c c c v 1 2 1 2 ( ) v c t t t l v c c 把仪器旋动 900 t' l v( )2 c c 改变量: 2 2l v t t c c 条纹移动的总数 2 2 2 2 2 ( ) l v l v N T cT c c ~ 11 l m
~ 5 10 m 7 ( ) ~ 10v 2 8 N ~ 0.4 迈克尔孙实验 否定了特殊参 考系的存在, 它表明了光速 不依赖于观察 者所在的参考 系。2、双星实验证明了光速与光源无关
2
1
3、高速运动粒子实验也证明了光速与光源无关 0
4、其它… 到目前为止,所有实验都证明光速不依赖观察者 所在的参考系,而且与光源速度无关。 结论:光速不变6.2 相对论的基本原理
洛仑兹变换
1、狭义相对论的基本原理 根据实验事实, Albert Einstein提出了如下两 条基本假设: a) 一切物理规律,无论是力学的,还是电磁学 的,对于所有惯性系都具有相同的数学形式,这 就是相对性原理。 b) 在所有惯性系中,真空中的光速在任何方 向上都恒为c,并与光源的运动无关,这就是光 速不变原理。相对论的基本假设是与旧时空观矛盾的 举例说明 O O’ ∑ ∑’ v P P1 P2 x
2、间隔不变性 ( interval invariance ) 若有两个惯性参考系∑和∑
’
,∑’
相对于∑沿 x轴正向以匀速 运动,把两个坐标完全重合的时 刻选作两个坐标系时间 t 和 t’ 的起算点。 x, x’ 0’ 0 z z’ y ∑ y’ ∑’v
v
当∑
’
和∑的坐标原点0’,0重合时(t=t’=0)发 出一光脉冲,根据光速不变原理,在∑系观察者看 来,任何时间 t 光的波前皆为一球面,即 也就是: 而在∑’
系观察者看来,因为光脉冲也是在∑’
系 的原点0’发出,根据光速不变原理,任何时刻 t’ 光 的波前同样是球面,即 2 2 2t
c
r
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
t
c
z
y
x
t
c
z
y
x
2 2 2t
c
r
或者 因为时间和空间是均匀的,而且空间是各向 同性的,这就意味着∑系和∑
’
系之间的时空变换 必须是线性的。通过线性变换可知:对于以光信 号联系的两事件上的两个二次式,从两个惯性系 观察都等于零,因此必然相等。即 对于不以光信号联系的其他事件,从两惯性系观 察,它们虽然不等于零,但由于时空坐标变换是 线性的。这两个二次式至多只能相差一个系数A。0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
t
c
z
y
x
t
c
z
y
x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t
c
z
y
x
t
c
z
y
x
即 其中系数A仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有 关,系数A不可能与坐标或时间有关。否则空间的 不同点及时间的不同时刻就不等价了,这与时间, 空间的均匀性相矛盾。另外,系数A也不可能与惯 性系的相对速度的方向有关。因为这与空间的各 向同性的性质相矛盾。由此可见 由于∑
’
系相对∑系的运动速度显然与∑系相对∑’
系的运动速度相同,因此)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t
c
z
y
x
A
t
c
z
y
x
)
(v
A
A
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t
c
z
y
x
A
t
c
z
y
x
从以上两个式子可看出: 为了从两个值±1中选择一个,我们应注意:A只 可以永远等于+1,或永远等于-1,假如A(v) 真的 对于某些速度为+1,而对于另外某些速度为-1, 那么,就一定有些速度存在,与这些速度相应的 A(v) 是在+1与-1之间,而这是不可能的,既然如 此, A(v) 要么只取+1,要么只取- 1,最后,我们 取A(v) 应该永远为+1,这是因为恒等式 是变换式 1 , 1 2 A A 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
t
c
z
y
x
t
c
z
y
x
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t
c
z
y
x
A
t
c
z
y
x
的一个特殊例子,可见其中A(v) = +1。 假如x1,y1,z1,t1及x2,y2,z2,t2是∑系任何 两个事件的坐标,则 称为这两个事件的间隔。 同理,在∑
’
系中任何两个事件的间隔为: 由上述比例关系式得到 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
x
x
y
y
z
z
c
S
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
x
x
y
y
z
z
c
S
2 2S
S
这就是间隔不变式。 如果两事件彼此无限地接近,那么间隔为: 也可得到 因此,我们得到一个很重要的结论:两个事件的 间隔在所有惯性系里都是一样的,即当由一个惯 性系变换到任何另一惯性系时,它是不变的。这 就是间隔不变性也是光速不变的数学表示。 2 2 2 2 2 2
dz
dy
dx
dt
c
dS
2 2dS
S
d
3、闵可夫斯基空间(Minkowski Space) 由间隔不变性可知: 令 根据Albert Einstein求和法则,且有 或者
invariant
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y
z
c
t
x
y
z
c
t
x
)
,
,
(
)
,
,
(
1 2 3 4
ict
x
x
x
x
y
z
x
)
4
,
3
,
2
,
1
(
inv.
u
x
x
u uinv.
u ux
x
如果把x1, x2, x3, x4看作一个四维空间坐标矢量 的四个分量,那么间隔不变性意味着∑系与∑
’
系 之间的变换是一个由线性变换式 所表征的四维空间旋转操作,通常把由这个x1, x2, x3, x4 所组成的空间叫做闵可夫斯基空间。 4、洛仑兹变换 ( Lorentz Transformation ) 这里讨论闵可夫斯基空间的坐标变换的具体 形式。因为要求在坐标变换下不改变闵可夫斯基 空间的矢量长度,根据间隔不变性和变换式,我 们看到: v uv ua
x
x
及 可见变换系数 服从下列 正交条件: 下面具体地确定变换系数,为了方便计算,我们 把 写成如下形式:
inv.
u ux
x
v uv ua
x
x
v u uva
a
uva
v uv ua
x
x
4 44 3 43 2 42 1 41 4 4 34 3 33 2 32 1 31 3 4 24 3 23 2 22 1 21 2 4 14 3 13 2 12 1 11 1 x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x 选择坐标系的相对运动方向沿着x方向,变换关系可 以简化成 ' 11 12 ' ' ' 21 22
x
a x
a ct
y
y
z
z
ct
a x
a ct
11
0,
220
a
a
由于x轴与x/轴同向,时间t和t/正向相同, 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 12 21 22 (a x a ct ) y z (a x a ct ) x y z c t 2 2 11 21 1 a a ① 11 12 21 22 0 a a a a ② 2 2 12 22 1 a a ③ 再代入 ,则得 2 '2 S S在 系上看, 点坐标 ,而从 系上看,这一点坐 标为 x 0 11 12
0
a vt
a ct
12 11 a v a c ④ 11 22 2 2 1 1 a a v c 12 21 2 2 1 v c a a v c O
x
vt
代入(1)式得 联立①和④ 得:2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 x vt x x vt v c y y z z v t x c t t x c v c 这样我们就得到Lorentz变换式
式中取: 根据 ,写成矩阵形式,即为: 1 1 1 1 , 2 2 2 c v c v
x
a
x
u
u
3 2 1 3 2 10
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
x
x
x
x
i
i
x
x
x
x
类似地,如果把该式中的 v 改成 -v ,就可得到逆 变换的关系式: 4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x i i x x x x
Lorentz变换表明: a) 空间和时间是统一的,时空的度量与物 质运动密不可分。 b) 如果对Lorentz变换式中把 c 看成无穷所以说伽利略变换是洛仑兹变换在低速运动下的 一个近似。 c) 以上所得到的洛仑兹变换式,是在一种特 殊的运动条件下所构成的时空变换关系,即∑
’
系 相对于∑系沿x正方向运动,而且x’与x平行,如果 ∑’
系相对于∑系不是沿x正方向运动,那么以上 洛仑兹变换式不能适用。t
t
z
z
y
y
vt
x
x
,
,
,
1、相对论时空结构 以第一个事件为空时原点(0,0,0,0),设第二个 事件的空时坐标为(x,y,z,t),这两个事件的间隔为: 式中 为两事件的空间距离。 对于任意两个事件,间隔并不一定为零 。因 此,可以把间隔分成三类: (1) 若两事件可以用电磁信号(光波)联系, 此时, ; (2) 若两个事件可以用低于电磁信号传播的作 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r
t
c
z
y
x
t
c
S
2 1 2 2 2)
(
x
y
z
r
0
,
2
ct
S
r
故
6.2 相对论的时空理论
用来联系,此时 (3) 若两个事件的空间距离超过了光波在时间t 所传播的距离,此时 为了说明问题的方便,把三种间隔用一个三 维时空图形表示出来,事件用一个三维时空点P来 表示。
;
0
,
2
ct
S
r
故
;
0
,
2
ct
S
r
故
x y ct ·P o 45o
概括起来,事件P相对于事件0的时空关系可 作如下的绝对分类: (1) 类时间隔 a) 绝对将来,即P在0的上半光锥内。 b) 绝对过去,即P在0的下半光锥内。 (2) 类光间隔 P点在光锥面上。 (3) 类空间隔 P与0绝对远离,P点在光锥之外。
0
2
S
0
2
S
0
2
S
2、因果律 如果两事件P1(x1, t1)和P2(x2, t2)有因果关系,就是 指P1是P2的“原因”,P1的效应通过讯号或者扰 动传达到P2,P2是P1的“结果”,反之亦然。 结论:因果事件先后秩序的绝对性对相对论理论 的要求是:所有物体运动的速度、信号传播的速 度及作用传递的速度等都不能超过光速c . 举例说明
3、同时的相对性 定性描述: 一个作匀速运动的车子,其前后两门皆用光 信号控制其开和关。 后门 前门 车子 O. ∑ O’. ∑’ 地面
v
在车厢中o’与地面上o点相遇时发一光信号, 在与车厢相对静止的∑
’
系中的观察者看来,由光 速不变原理,光信号必然同时到达前、后门,所 以看到的是前、后门同时开启。 但∑系观察者看来,因光往前、往后的传播速 度都是c (光速不变原理),而前、后门又都以速 度 前进,所以从∑系看到的是光信号相对于后门 的传播速度是(c+v),相对于前门的传播速度是(c-v),因此后门先开、前门后开。 开门是一个事件,开前门与开后门则是两个 事件,从∑’
系看来,这两个事件是同时事件;从 ∑系看来,这两个事件是不同时事件。这就是同v
时的相对性。 定量描述: 一物体a’b’随∑
’
系一起运动,M’处于a’b’的中点 上,在M’点发一光脉冲,在∑’
系看来,光信号 将同时到达a’和b’,这两个事件以 及 ∑ ∑’ o o’ a’ M’ b’ x x’v
) . (x1 t1 (x2.t2))
.
(
x
1
t
1
(
x
2
.
t
2
)
表示,那么在∑系中,是否也观察到光信号同时到 达a’,b’ 呢? 根据Lorentz变换式:
)
(
1
)
(
1
2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1x
c
t
v
x
c
v
t
t
x
c
t
c
v
x
c
v
t
t
两式相减,得到: 由于 ,因此 t2>t1. 这就说明:在∑系看来,信号不是同时到达a’
l
c
l
c
x
x
c
t
t
t
t
0
)
(
)
(
2 1 2 1 1 20
l
c
和b’点的,t2的读数大于t1的读数,即t1时刻在先, t2时刻在后,即信号是先到a’点,后到b’点。 由此得到结论:若两个事件在某一参考系中 为同时异地事件,那么根据Lorentz变换式,在其 他参考系中这两个事件就不是同时的。这就是同 时的相对性。 4、运动尺度的缩短—空间距离的相对性 测量物体的长度往往就是用一根尺子去和物 体比较,看物体的两端与尺子上哪两点重合,关 键在于必须对其物体的两个端点进行同时测量。 测量物体每一端的坐标都是一个事件,同时测量 意味着是同时事件。
设在∑
’
系内有一根平行x’轴的静止的杆,在 ∑’
系的观察者观测,杆的后端坐标为 ,前端坐 标为 ,杆相对于∑’
系的观察者没有运动。因此, ∑’
系的观察者测得杆长为 l0 x2 x1 2 x 1 x ∑ ∑’ o o’ x’ xv
l0 A(x1) t B(x2) t2在∑系测量,杆后端在t1时刻与x轴上的A点重 合,A点的坐标为x1,前端在t2时刻与x轴上的B
点
重合,B点的坐标为x2,由于测量是同时的,则∑ 系观察者观测到杆的两端与x轴的A、
B两点重合是 同时的,即t1=t2。测杆的长为 根据 Lorentz变换式可得: 2 1x
x
AB
l
2 2 01
c
v
l
l
l
2 2 01
c
v
l
l
变换坐标说明 相对性5、运动时钟的延缓—时间间隔的相对性 现在来讨论:在不同的惯性系中观察同一物 质运动过程所经历的时间,其结果是否相同? 设在∑
’
系中有一静止时钟,在∑’
系内的同 一地点每隔△t’时间发出一光信号,即 这些信号的时间间隔在∑系看来则为:.
2 3 1 2
t
t
t
t
t
.
2 3 1 2
t
t
t
t
t
21
t
t
实例:
运动尺度的缩短和时间延缓也是相关的
介子,以接近光速穿过大气层 其寿命为:2.2×10-6 s 飞过的路程: 但是,按照 计算,它的寿 命变为 按此寿命,它行进的路程为: 6 02.2 10
660
l
c
m
0.97
v
c
5 2 2'
~ 10
1
s
v c
510
3000
l
c
m
我们认为介子寿命变长,介子认为大气层变薄!6、速度和加速度变换式 (1)这里,我们要找出某个粒子在一个参考系 内的速度与在另一个参考系内的速度之间的变换 关系。 假定
∑’
系相对于∑系以速度v沿着x轴正方向 运动,设粒子相对于∑系、∑’
系的速度分别为)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
t
d
z
d
t
d
y
d
t
d
x
d
u
u
u
u
dt
dz
dt
dy
dt
dx
u
u
u
u
z y x z y x
利用Lorentz变换以及其变换是线性的性质,微分 得到
dz
z
d
dy
y
d
vdt
dx
x
d
21
2 21
c
dx
v
dt
t
d
用dt’去除dx’
,
dy’,
dz’,则得 即 即dt
dx
c
v
v
dt
dx
dx
c
v
dt
vdt
dx
t
d
x
d
2 21
x x xu
c
v
v
u
u
21
dt dx c v dt dy dx c v dt dy t d y d 2 2 2 2 1 1 1
2 2 1 1 y y x u u v u c 即 2 2 2 2 1 1 1 dz dz dz dt v v dx dt dt dx c c dt
x z z u c v u u 2 2 1 1
x z z x y y x x x x z z x y y x x xu
c
v
u
u
u
c
v
u
u
u
c
v
v
u
u
u
c
v
u
u
u
c
v
u
u
u
c
v
v
u
u
v
v
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
逆变换(3) 我们还可推出两个惯性系之间物体加速度 的变换关系,即 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x z z x z z x x y y x y y x x x x a vu c vu a c vu t d u d a a vu c vu a c vu t d u d a a c vu t d u d a
第二讲
相对论力学和电动力学
Relativistic Mechanics and
Electrodynamics
6.3 相对论理论的四维形式
1、洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换形式为 2 ' ' 2 2 2 2 ' ' , 1 1 , v t x x vt c x t v v c c y y z z x y z ict, , , 闵可夫基四维坐标 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x i x x x x x x i x 2 1 , 1 v c x a x
a x a x a x a x a x 其中 x a x 1 , 2 , 3 , 4 , x x x y x z x ict 令 则上式可写为 洛伦兹变换. 2 2 2 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 i A i 令: 矩阵A为洛伦 兹变换矩阵 A的转置是A的逆矩阵 1 , A A 或AA I I为单位矩阵 a a 1, 0, A是正交矩阵,洛伦茲变换是正交变换 克罗内克尔符号
洛伦兹变换的反变换 x a x a a a x x 例1.利用洛伦兹变换证明间隔不变性。 证明: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 S x y z c t x x x x x x 同理: 2 S x x , x x a x a x x x x x 2 2 有 即S S 可见间隔在洛伦兹 变换下是不变的。
变换:偏导运算变换 达朗贝尔算符 □= ' x 2、物理量按洛伦兹变换性质分类 (1)标量 物理量在洛伦兹变换下不变的量 (2)矢量 与坐标有同样变换关系的量 2 2 S x x S dx dx 例:间隔 ,d 为标量 g a g (3)张量 张量的变换关系为 T a a T 2 2 2 1 c t
dx U d U 四维速度矢量 2 2 1 u d dt c 2 2 1 1 u dt d u c 2 2 1 1 u dx dt U u u dt d u c dx u dt 其中 ,( =1,2,3)为通常意义下的速度 1 2 3
( ,
,
, )
U
u u u ic
四维速度分量 U a U 参考系变换时,3、多普勒效应与光行差公式 (1)四维波矢量 四维相位
k x
t
四维相位
是标量
1 2 3 ( , , , i ) ( , i ) k k k k k c c 'k
a k
k
满足洛伦兹变换 (2)多普勒效应 推导k
'
'
k'
,
,
'(1
v
cos )
c
相对论的多普勒效应公式 若 为光源的静止参照系,则 , 为静 止光源的辐射角频率。 0 0 2 ' 0 1 2 (1 cos ) (1 cos ) v c v v c c
若迎着光源运动方向观察辐射,由于 则 0 v c 当 则 经典多普勒效应公式 0 1 1 v c v c 0 1 v cos c
0 v c
显然 这种现象称为纵向多普勒效应 若在垂直于光源运动方向观察, 则 2
2 0 1 (vc) 0 v c 显然 这种现象称为横向多普勒效应
S v y 当
0
o 0 0 1 1 v c v c 纵向多普勒效应
S v y 当 90o 2 0 1 (v c) 0 横向多普勒效应光行差代表在不同的参考系观察光的传播方 向之间的关系。
' v k k 1 11 1 14 4 1 2 v k a k a k k c ' ' ' cos k 1 cos cos k k c ' ' 2 cos cos v c c c (3)光行差公式cos cos 1 cos v c v c 2 2 sin 1 sin 1 cos v c v c sin (cos ) tg v c ' ' cos cos v c 即:
2 2 3 3 2 3 k k k k (1 v cos ) =4 c 光行差公式 还可以通过速度变换公式求得相对论原理要求一切惯性参考系都是等价的。在 不同惯性系,物理规律应该表现为相同的形式, 即物理规律的协变性。 4、物理规律的协变性 例如在 系中 F G
F a F a G G F G 协变性 系1、四维电流矢量与连续性方程的协变性 0 j U ( , ) u U u ic (1)四维电流密度矢量 2 2 1 1 u v c 为标量,静 止电荷密度 0 0 2 2 0 4 2 2 1 1 u j u v c j ic ic v c =
( ,
)
j
j ic
6.3 电动力学理论的协变性
0
j
t
0
j
x
j a j 在 系里观察,电荷静止,只有电荷密度 ; 在 系观察,电荷运动,既有电荷密度 又有 电流密度 。 0
j
,
x x ict (2)连续性方程的协变性 运动电荷电量 这说明电流密度和电荷密度是个统一物理量。 0 2 1 2、四维势矢量和达朗贝尔方程的协变性 达朗贝尔方程 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 1 1 A A j c t c t 2 1 0 A c t 洛伦兹条件 引入 A4 0 0 2 1 ( , ) 2 0 0 4 0 j j ic c c i j c 定义 4 i A c 则 A 0 j A ( ,A i ) c 0 A x 2 2 2 2 1 0 0 c t A j □ □ □
四维矢量 ( , ) x x ict k ( ,k i ) c ( , ) j j ic
( , ) U u ic ( , i ) A A c 矢量变换为 ' g a g 0 0 0 1 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 i a i 2 2 1 , 1 v c v c 3、电磁张量和麦克斯韦方程的协变性
B
A
E A t
其分量为 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 A A B x x A A B x x A A B x x 4 1 1 1 4 4 2 2 2 4 3 4 3 3 4 ( ) ( ) ( ) A A E ic x x A A E ic x x A A E ic x x 在电磁场中矢量 和磁感应强度 可以由矢势 和标势 得到
E
B
A
引入一个四维张量 F A A x x F F 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 0 0 0 0 i B B E c i B B E c F i B B E c i i i E E E c c c 0 E 4 0 0 0 E B j t 1, 2,3 0 F j x 电场 和磁场 是 张量 的不同分量
E
BF
推导0 B
(1, 2,3)
B E t (2,3, 4)(3, 4,1)(4,1, 2) 0 F F F x x x 当
4
43 41 42 0 4 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 2 0 F F F j x x x i i i E E E c c c ic x x x E c 当
1
13 12 14 0 1 2 3 4 1 3 2 0 1 2 3 1 1 2 0 1 1 ( ) F F F j x x x i E B B c j x x ic t E B j 0 F j x 对于 推导, , 1 2 3 当 为 ,, 23 31 12 3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 0 F F F x x x B B B x x x 即: B 0 23 34 42 4 2 3 3 2 1 2 3 3 1 2 2 3 0 0 0 F F F x x x i i E E B c c ic t x x E B E t x x 1 1 ( E) B t 即: 张量变换: '
F
a a F
, , 2 3 4 当 为 ,, F F F 0 x x x 对于E
' 41 41 14 14 44 11 41` ' 42 12 42 41 22 12 44 22 42` 2 ' 43 13 43 41 33 12 44 33 43` 2 1 1 F a a F a a F F i F F a a F a a F F i F F a a F a a F ' x x E E ' y E ' z E B
' 23 22 33 23 ' 12 42 12 11 22 12 14 22 42` 2 ' 31 34 31 33 11 31 33 14 34` 2 1 1 F a a F F i F F a a F a a F F i F F a a F a a F ' 1 1 x B B B 电磁场变换规律是统一的物理量,在一个惯性系中,若只 有静止的电场 ,则另一个相对运动的惯性系 中,则 同时存在。 ' 1 1 ' 2 2 3 ' 3 3 2 ( ) ( ) E E E E vB E E vB
' 1 1 ' 2 2 2 3 ' 3 3 2 2 ( ) ( ) B B v B B E c v B B E c , E B E , E B // // ( ) E E E
E v B // 2 ( ) B B v B B E c // v c v E E v B B, B E 上式可以写成更紧凑的形式例1
x x ' P R R e v O O ' ' 0 1 4 e R ' 0 A 利用反变换关系 ' A a A 1 2 3 ' 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A i A A i i i 解:在 系中,粒子静止' 2 ' ' 1 11 1 41 4 2 ' 0 2 1 (1) 4 1 v i c e A a A a A i c v R c 2 0 3 0 A ,A ' 4 4 A A ' ' 2 2 0 2 1 1 4 1 1 e R v c ' 2 2 2 R x y z 是系的距离,可以用 系中的距离 代替。 R 2 1 x x , y y z z 由于洛伦兹收缩
2 2 ' '2 '2 '2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (1 ) 1 1 x v x v R x y z y z R v v c c c c 代入(1)得: 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 4 ( ) (1 ) 1 4 ( ) (1 ) ev A v x v R c c e v x v R c c 2 2 2 x P R x P R x y z 其中 是 点在 系的坐标矢量, 是原点到 点的距离,
1、四维动量矢量 ( , ) u U u ic 2 2 1 1 u u c 0 P m U P P, iW c 0 0 2 2 1 u m u P m u u c u c 0 P m u= 四维速 度矢量 四维动 量矢量 m 是静止质量0 空间分量 经典动量
6.6 相对论动力学
固有时间隔 固有长度间隔2 0 4 0 2 2 1 m c i iW P m i c c u c c 2 0 2 2 1 m c W u c 这里 , 是相对论中的能量 1 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 2 u u c c 2 2 0 0 1 2 W m c m u 2 0 0 W m c 定义静止能量 由此可见,相对论能量W不仅包括物体的动能T 还包括静止能量W0=mc2,物体静止时仍然有能 量。能量守恒定律——利用原子能的理论根据。
2 2 2 2 0 0 0 1 u c m c T W W m c 物体的动能为 P P, iW c 四维动量 2 2 2 W P P P P c 可构成不变量, 不变量
2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 0 0 P W W m c m c W m c P m c c c W P c m c 在物体静止内, , ,因而不变量为 ,代入上式得 ,则有 这是关于物体的能量、动量和质量的一重要公式。3、相对论力学方程
, 4
dP K K K d 2 1 dP dP K d dt 2、质能关系 由相对论能量、动量表示为
2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 m c m u W P u c u c m m W mc P mu u c 质能关系式 , 定义运动质量 ,则有 , 四维力矢量 四维力矢量 的空间分量方程形式与牛顿方程一致。 2 0 2 1 1 m u dP K P dt , 2 2 2 1 1 F K u c K 0 2 2 1 m dP F P mu m dt u c , , 2 0 4 4 2 2 1 u m c dP i dW i d K d c d c dt u c 定义力: 则得方程 4 K 的第四个分量
2 0 0 3 2 2 2 2 2 1 1 m c m u d du dt u c u c dt
0 2 2 2 0 0 3 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 1 1 1 (1 ) m u dP d F u u u dt dt u c m du m u u du u dt c dt u c u c m u du dW dt dt u c dW
F u
dt
F u 是功率 2 0 2 2 4 1 ( , ) m c W u c i i K F u k u c c i K K K u c 相对论能量相对论力学方程 dP F dt dW F u dt 2
(
)
(
)
P
mu
W
mc
是相对论协变方程 ① 四维速度 ② 四维动量 ③ 四维力
,
u U u ic , iW P P c , i u , i K K K u F F u c c 用电磁场张量 和 表示
F e E u B F U
2 2 1 1 K eF U K e E u B u c 2 2 1 u F K c
1 12 2 13 3 14 4 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 K eF U eF U eF U iE eB u eB ru e ic c e u B e E e E u B
dP e E u B dt 带电粒子在电磁场中的 运动方程。 洛伦兹力:例.带电 π 介质衰变为 μ和中微子。 2 139.57 / m MeV c m 105.66MeV c/ 2 m 0 ( ) P ( ) P 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, P W m c W P c m c W P c 2 2 2 4 2 ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) (2) P P , P c m c P c m c 各粒子静质量为 求π介子质心系中μ子的动量、能量和速度。 由能量和动量守恒定律有
将(1) 代入 (2)得: 2 2 2 4 2 P c m c m c Pc 2 2 2 2 2 2 2 2 v m m P P P c m m m W m c Pc c m 29.79 / 109.78 P MeV c W MeV 2 2 2 1 109.78 1.0390 105.66 1 W m c v c 0.2714 v c
表示速度 方向会改变,但大小不变。 例3. 讨论带电粒子在均匀恒定常磁场中的运动。
F
eu B
dP eu B dt ( ) 0 dW eu B u dt 2 0 2 2 1 m c W u c 常数 u u 常数 0 0 2 2 2 2 ( ) 1 1 m u m dP d du eu B dt dt u c u c dt (1) e u u B 即:z B B e u u ex x u ey y u ez z ( y x x y) (2) u B B u e u e 将 (1) 代入 (2)得: 0 z u uz 常数 0 eB m x y y x u u u u cos sin x y u C t u C t 2 2 2 2 2 2 z x y u C u u u u u C cos sin x y u u t u u t (1)(2) z u u 常数 常数 设: 令:
当 时,粒子做螺旋运动 若 ,则粒子做匀速圆周运动,角频率 uz 0 0 m u u a eB 圆半径 0 z u 0 1 eB u c m 当 时 ,则 与非相对论一致。 0 eB m 在非相对论情形, 与粒子及速度无关。 2 0 2 1 1 eB m v c ,其中 0 eB m 在相对论情形, 随粒子速度增大而减小,速度增大 增大,