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狭义相对论

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Academic year: 2021

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(1)

第六章 狭义相对论

Special Theory of Relativity

(2)

相对论的创始人:

Albert · Einstein

(1879----1955)

1905年,狭义相对论

(Special Theory of Relativity) 1916年,广义相对论

(3)

第一讲 狭义相对论时空

Time and Space of the Special Theory

of Relativity

(4)

6.1 相对论的实验基础

2、伽利略变换 设两个惯性系 , 相对于 以速度 v 沿 公共方向x 轴运动,在 时,两坐标系重合, 现在要研究静止在 系和 系中的两个观察者在 同一时刻测得质点P在某一时刻位置间的关系。

 

1、伽利略相对论原理 力学规律在一切作匀速运动的惯性参考系都是等 效。  

0 t  t

一、伽利略相对论原理和伽利略变换

 

(5)

y  yv

P x y z, ,  xx OO zz 伽利略变换 时间是绝对的; 长度是绝对的 '

'

x

x vt

x

x

vt

y

y

y

y

z

z

z

z

t

t

t

t

  

 

 

 

or

(6)

加速度: dx dx v dt dt    

u

 

u

v

2 2 2 2 d x d x dt dt    2 2 2 2

d x

d x

f

m

m

dt

dt

牛顿第二定律在任 何惯性系均成立: 伽利略速度变换 将上式微分即得 速度叠加原理

(7)

二、相对论实验基础

另外一个重要的物理问题就是电磁波的传播速 度(也就是光速),是否符合伽利略变换? 或者说光速满不满足速到叠加原理? 旧时空中,人们认识的波通常是机械波,其传 播是依赖于媒质的。传播速度正比于(k/m)1/2的。 所以大家很自然的设想电磁波也应该依赖媒质 传播。由于光速非常大,那么这种媒质应该是 一种刚性极强,又非常稀疏的介质,大家称作 “以太”!

(8)

OM O1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) l l cl l v l v t c v c v c v c c c c            2 2 ct O

O

2 1 2vt 2 M 2 M T 1 M * S O 1、迈克尔逊—莫雷实验 地球运动方向

(9)

OM O2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ct vt l   1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) (1 ) 2 l l v l v t c c c c c v        1 2 1 2 ( ) v c t t t l v c c      把仪器旋动 900 t' l v( )2 c c    改变量: 2 2l v t t c c            条纹移动的总数 2 2 2 2 2 ( ) l v l v N T cT c c       ~ 11 l m

~ 5 10 m 7 ( ) ~ 10v 2 8 N ~ 0.4 迈克尔孙实验 否定了特殊参 考系的存在, 它表明了光速 不依赖于观察 者所在的参考 系。

(10)

2、双星实验证明了光速与光源无关

2

1

3、高速运动粒子实验也证明了光速与光源无关 0

 

 

4、其它… 到目前为止,所有实验都证明光速不依赖观察者 所在的参考系,而且与光源速度无关。 结论:光速不变

(11)

6.2 相对论的基本原理

洛仑兹变换

1、狭义相对论的基本原理 根据实验事实, Albert Einstein提出了如下两 条基本假设: a) 一切物理规律,无论是力学的,还是电磁学 的,对于所有惯性系都具有相同的数学形式,这 就是相对性原理。 b) 在所有惯性系中,真空中的光速在任何方 向上都恒为c,并与光源的运动无关,这就是光 速不变原理。

(12)

相对论的基本假设是与旧时空观矛盾的 举例说明 O O’ ∑ ∑’ v P P1 P2 x

(13)

2、间隔不变性 ( interval invariance ) 若有两个惯性参考系∑和∑

相对于∑沿 x轴正向以匀速 运动,把两个坐标完全重合的时 刻选作两个坐标系时间 t 和 t’ 的起算点。 x, x’ 0’ 0 z z’ y y’ ∑’

v

v

(14)

当∑

∑的坐标原点0,0重合时(t=t’=0)发 出一光脉冲,根据光速不变原理,在∑系观察者看 来,任何时间 t 光的波前皆为一球面,即 也就是: 而在

系观察者看来,因为光脉冲也是在

的原点0发出,根据光速不变原理,任何时刻 t’ 光 的波前同样是球面,即 2 2 2

t

c

r

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

t

c

z

y

x

2 2 2

t

c

r

(15)

或者 因为时间和空间是均匀的,而且空间是各向 同性的,这就意味着∑系和∑

系之间的时空变换 必须是线性的。通过线性变换可知:对于以光信 号联系的两事件上的两个二次式,从两个惯性系 观察都等于零,因此必然相等。即 对于不以光信号联系的其他事件,从两惯性系观 察,它们虽然不等于零,但由于时空坐标变换是 线性的。这两个二次式至多只能相差一个系数A。

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

t

c

z

y

x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

t

c

z

y

x

(16)

其中系数A仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有 关,系数A不可能与坐标或时间有关。否则空间的 不同点及时间的不同时刻就不等价了,这与时间, 空间的均匀性相矛盾。另外,系数A也不可能与惯 性系的相对速度的方向有关。因为这与空间的各 向同性的性质相矛盾。由此可见 由于

系相对∑系的运动速度显然与∑系相对∑

系的运动速度相同,因此

)

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

A

t

c

z

y

x

)

(v

A

A

)

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

A

t

c

z

y

x

(17)

从以上两个式子可看出: 为了从两个值±1中选择一个,我们应注意:A只 可以永远等于+1,或永远等于-1,假如A(v) 真的 对于某些速度为+1,而对于另外某些速度为-1, 那么,就一定有些速度存在,与这些速度相应的 A(v) 是在+1与-1之间,而这是不可能的,既然如 此, A(v) 要么只取+1,要么只取- 1,最后,我们 取A(v) 应该永远为+1,这是因为恒等式 是变换式 1 , 1 2    A A 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

t

c

z

y

x

)

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

c

z

y

x

A

t

c

z

y

x

(18)

的一个特殊例子,可见其中A(v) = +1。 假如x1,y1,z1,t1及x2,y2,z2,t2∑系任何 两个事件的坐标,则 称为这两个事件的间隔 同理,在∑

系中任何两个事件的间隔为: 由上述比例关系式得到 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

x

x

y

y

z

z

c

S

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

x

x

y

y

z

z

c

S

2 2

S

S

(19)

这就是间隔不变式。 如果两事件彼此无限地接近,那么间隔为: 也可得到 因此,我们得到一个很重要的结论:两个事件的 间隔在所有惯性系里都是一样的,即当由一个惯 性系变换到任何另一惯性系时,它是不变的。这 就是间隔不变性也是光速不变的数学表示。 2 2 2 2 2 2

dz

dy

dx

dt

c

dS

2 2

dS

S

d

(20)

3、闵可夫斯基空间(Minkowski Space) 由间隔不变性可知: 令 根据Albert Einstein求和法则,且有 或者

invariant

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y

z

c

t

x

y

z

c

t

x

)

,

,

(

)

,

,

(

1 2 3 4

ict

x

x

x

x

y

z

x

)

4

,

3

,

2

,

1

(

inv.

u

x

x

u u

inv.

u u

x

x

(21)

如果把x1, x2, x3, x4看作一个四维空间坐标矢量 的四个分量,那么间隔不变性意味着∑系与∑

系 之间的变换是一个由线性变换式 所表征的四维空间旋转操作,通常把由这个x1, x2, x3, x4 所组成的空间叫做闵可夫斯基空间。 4、洛仑兹变换 ( Lorentz Transformation ) 这里讨论闵可夫斯基空间的坐标变换的具体 形式。因为要求在坐标变换下不改变闵可夫斯基 空间的矢量长度,根据间隔不变性和变换式,我 们看到: v uv u

a

x

x

(22)

可见变换系数 服从下列 正交条件: 下面具体地确定变换系数,为了方便计算,我们 把 写成如下形式:

inv.

u u

x

x

v uv u

a

x

x

 

v u uv

a

a

uv

a

v uv u

a

x

x

(23)

                           4 44 3 43 2 42 1 41 4 4 34 3 33 2 32 1 31 3 4 24 3 23 2 22 1 21 2 4 14 3 13 2 12 1 11 1 x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x 选择坐标系的相对运动方向沿着x方向,变换关系可 以简化成 ' 11 12 ' ' ' 21 22

x

a x

a ct

y

y

z

z

ct

a x

a ct

 

(24)

11

0,

22

0

a

a

由于x轴与x/轴同向,时间t和t/正向相同, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 12 21 22 (a x a ct )  y  z (a x a ct )  xy  z c t 2 2 11 21 1 aa 11 12 21 22 0 a aa a  ② 2 2 12 22 1 aa   ③ 再代入 ,则得 2 '2 SS

(25)

在 系上看, 点坐标 ,而从 系上看,这一点坐 标为 x  0 11 12

0

a vt

a ct

12 11 a v a   c ④ 11 22 2 2 1 1 a a v c    12 21 2 2 1 v c a a v c     O

x

vt

代入(1)式得 联立①和④ 得:

(26)

2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 x vt x x vt v c y y z z v t x c t t x c v c                              这样我们就得到Lorentz变换式

(27)

式中取: 根据 ,写成矩阵形式,即为: 1 1 1 1 , 2 2 2 c v c v          

x

a

x

u

u





3 2 1 3 2 1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

x

x

x

x

i

i

x

x

x

x





(28)

类似地,如果把该式中的 v 改成 -v ,就可得到逆 变换的关系式:                                          4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x i i x x x x





Lorentz变换表明: a) 空间和时间是统一的,时空的度量与物 质运动密不可分。 b) 如果对Lorentz变换式中把 c 看成无穷

(29)

所以说伽利略变换是洛仑兹变换在低速运动下的 一个近似。 c) 以上所得到的洛仑兹变换式,是在一种特 殊的运动条件下所构成的时空变换关系,即

系 相对于∑系沿x正方向运动,而且x’与x平行,如果

系相对于∑系不是沿x正方向运动,那么以上 洛仑兹变换式不能适用。

t

t

z

z

y

y

vt

x

x

,

,

,

(30)

1、相对论时空结构 以第一个事件为空时原点(0,0,0,0),设第二个 事件的空时坐标为(x,y,z,t),这两个事件的间隔为: 式中 为两事件的空间距离。 对于任意两个事件,间隔并不一定为零 。因 此,可以把间隔分成三类: (1) 若两事件可以用电磁信号(光波)联系, 此时, ; (2) 若两个事件可以用低于电磁信号传播的作 2 2 2 2 2 2 2 2 2

r

t

c

z

y

x

t

c

S

2 1 2 2 2

)

(

x

y

z

r

0

,

2

ct

S

r

6.2 相对论的时空理论

(31)

用来联系,此时 (3) 若两个事件的空间距离超过了光波在时间t 所传播的距离,此时 为了说明问题的方便,把三种间隔用一个三 维时空图形表示出来,事件用一个三维时空点P来 表示。

;

0

,

2

ct

S

r

;

0

,

2

ct

S

r

(32)

x y ct ·P o 45o

(33)

概括起来,事件P相对于事件0的时空关系可 作如下的绝对分类: (1) 类时间隔 a) 绝对将来,即P在0的上半光锥内。 b) 绝对过去,即P在0的下半光锥内。 (2) 类光间隔 P点在光锥面上。 (3) 类空间隔 P与0绝对远离,P点在光锥之外。

0

2

S

0

2

S

0

2

S

(34)

2、因果律 如果两事件P1(x1, t1)和P2(x2, t2)有因果关系,就是 指P1是P2的“原因”,P1的效应通过讯号或者扰 动传达到P2,P2是P1的“结果”,反之亦然。 结论:因果事件先后秩序的绝对性对相对论理论 的要求是:所有物体运动的速度、信号传播的速 度及作用传递的速度等都不能超过光速c . 举例说明

(35)

3、同时的相对性 定性描述: 一个作匀速运动的车子,其前后两门皆用光 信号控制其开和关。 后门 前门 车子 O. ∑ O’. ∑’ 地面

v

(36)

在车厢中o’与地面上o点相遇时发一光信号, 在与车厢相对静止的

系中的观察者看来,由光 速不变原理,光信号必然同时到达前、后门,所 以看到的是前、后门同时开启。 但∑系观察者看来,因光往前、往后的传播速 度都是c (光速不变原理),而前、后门又都以速 度 前进,所以从∑系看到的是光信号相对于后门 的传播速度是(c+v),相对于前门的传播速度是(c-v),因此后门先开、前门后开。 开门是一个事件,开前门与开后门则是两个 事件,从

系看来,这两个事件是同时事件;从 ∑系看来,这两个事件是不同时事件。这就是同

v

(37)

时的相对性。 定量描述: 一物体a’b’随∑

系一起运动,M’处于a’b’的中点 上,在M’点发一光脉冲,在∑

系看来,光信号 将同时到达a’和b’,这两个事件以 及 ∑’ o o’ a’ M’ b’ x x’

v

) . (x1t1 (x2.t2)

)

.

(

x

1

t

1

(

x

2

.

t

2

)

(38)

表示,那么在∑系中,是否也观察到光信号同时到a’,b’ 呢? 根据Lorentz变换式:

)

(

1

)

(

1

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1

x

c

t

v

x

c

v

t

t

x

c

t

c

v

x

c

v

t

t

(39)

两式相减,得到: 由于 ,因此 t2>t1. 这就说明:在∑系看来,信号不是同时到达a’

l

c

l

c

x

x

c

t

t

t

t









0

)

(

)

(

2 1 2 1 1 2

0

l

c

(40)

b’点的,t2的读数大于t1的读数,即t1时刻在先, t2时刻在后,即信号是先到a’点,后到b’点。 由此得到结论:若两个事件在某一参考系中 为同时异地事件,那么根据Lorentz变换式,在其 他参考系中这两个事件就不是同时的。这就是同 时的相对性。 4、运动尺度的缩短—空间距离的相对性 测量物体的长度往往就是用一根尺子去和物 体比较,看物体的两端与尺子上哪两点重合,关 键在于必须对其物体的两个端点进行同时测量。 测量物体每一端的坐标都是一个事件,同时测量 意味着是同时事件。

(41)

设在∑

系内有一根平行x’轴的静止的杆,在

系的观察者观测,杆的后端坐标为 ,前端坐 标为 ,杆相对于∑

系的观察者没有运动。因此,

系的观察者测得杆长为 l0x2  x1 2 x 1 x ∑’ o o’ x’ x

v

l0 A(x1) t B(x2) t2

(42)

在∑系测量,杆后端在t1时刻与x轴上的A点重 合,A点的坐标为x1,前端在t2时刻与x轴上的B

重合,B点的坐标为x2,由于测量是同时的,则 系观察者观测到杆的两端与x轴的A

B两点重合是 同时的,即t1=t2。测杆的长为 根据 Lorentz变换式可得: 2 1

x

x

AB

l

2 2 0

1

c

v

l

l

l

2 2 0

1

c

v

l

l

变换坐标说明 相对性

(43)

5、运动时钟的延缓—时间间隔的相对性 现在来讨论:在不同的惯性系中观察同一物 质运动过程所经历的时间,其结果是否相同? 设在∑

系中有一静止时钟,在

系内的同 一地点每隔△t’时间发出一光信号,即 这些信号的时间间隔在∑系看来则为:

.

2 3 1 2

t

t

t

t

t

.

2 3 1 2

t

t

t

t

t

2

1

t

t

(44)

实例:

运动尺度的缩短和时间延缓也是相关的

介子,以接近光速穿过大气层 其寿命为:2.2×10-6 s 飞过的路程: 但是,按照 计算,它的寿 命变为 按此寿命,它行进的路程为: 6 0

2.2 10

660

l

c

m

0.97

v

c

5 2 2

'

~ 10

1

s

v c

5

10

3000

l

c

m

我们认为介子寿命变长,介子认为大气层变薄!

(45)

6、速度和加速度变换式 (1)这里,我们要找出某个粒子在一个参考系 内的速度与在另一个参考系内的速度之间的变换 关系。 假定

∑’

系相对于∑系以速度v沿着x轴正方向 运动,设粒子相对于∑系、∑

系的速度分别为

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

t

d

z

d

t

d

y

d

t

d

x

d

u

u

u

u

dt

dz

dt

dy

dt

dx

u

u

u

u

z y x z y x

(46)

利用Lorentz变换以及其变换是线性的性质,微分 得到

dz

z

d

dy

y

d

vdt

dx

x

d

2

1

2 2

1

c

dx

v

dt

t

d

(47)

dt’去除dx’

dy’

dz’,则得

dt

dx

c

v

v

dt

dx

dx

c

v

dt

vdt

dx

t

d

x

d

2 2

1

x x x

u

c

v

v

u

u

2

1

dt dx c v dt dy dx c v dt dy t d y d 2 2 2 2 1 1 1        

2 2 1 1 y y x u u v u c     

(48)

2 2 2 2 1 1 1 dz dz dz dt v v dx dt dt dx c c dt

      x z z u c v u u 2 2 1 1    

(49)







x z z x y y x x x x z z x y y x x x

u

c

v

u

u

u

c

v

u

u

u

c

v

v

u

u

u

c

v

u

u

u

c

v

u

u

u

c

v

v

u

u

v

v

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

逆变换

(50)

(3) 我们还可推出两个惯性系之间物体加速度 的变换关系,即                                        ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x z z x z z x x y y x y y x x x x a vu c vu a c vu t d u d a a vu c vu a c vu t d u d a a c vu t d u d a   

(51)

第二讲

相对论力学和电动力学

Relativistic Mechanics and

Electrodynamics

(52)

6.3 相对论理论的四维形式

1、洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换形式为 2 ' ' 2 2 2 2 ' ' , 1 1 , v t x x vt c x t v v c c y y z z         x y z ict, , ,  闵可夫基四维坐标 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x i x x x x x x i x                                    2 1 , 1 v c       x  a x

a xa xa xa xa x 其中 x  a x  1 , 2 , 3 , 4 , xx xy xz xict 令 则上式可写为 洛伦兹变换

(53)

. 2 2 2 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 i A i                              令: 矩阵A为洛伦 兹变换矩阵 A的转置是A的逆矩阵 1 , AA 或AAI I为单位矩阵 a a    1, 0,           A是正交矩阵,洛伦茲变换是正交变换 克罗内克尔符号

(54)

洛伦兹变换的反变换 x a x a a          a x   x例1.利用洛伦兹变换证明间隔不变性。 证明: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 Sxyzc txxxxx x  同理: 2 S  x x   , x x    a x a x       x xx x   2 2 有 即S S 可见间隔在洛伦兹 变换下是不变的。

(55)

变换:偏导运算变换 达朗贝尔算符 □= ' x   2、物理量按洛伦兹变换性质分类 (1)标量 物理量在洛伦兹变换下不变的量 (2)矢量 与坐标有同样变换关系的量 2 2 Sx x  Sdx dx 例:间隔 ,d 为标量 g  a g  (3)张量 张量的变换关系为 T  a a T   2 2 2 1 c t    

(56)

dx U d    U 四维速度矢量 2 2 1 u d dt c    2 2 1 1 u dt d u c      2 2 1 1 u dx dt U u u dt d u c dx u dt                其中 ,( =1,2,3)为通常意义下的速度 1 2 3

( ,

,

, )

U

u u u ic

四维速度分量 U  a U 参考系变换时,

(57)

3、多普勒效应与光行差公式 (1)四维波矢量 四维相位

k x

t

  

四维相位

是标量

1 2 3 ( , , , i ) ( , i ) k k k k k c c      '

k

a k

  k

满足洛伦兹变换 (2)多普勒效应 推导

k

'

'

k'

 

 

'

(1

v

cos )

c

 

(58)

相对论的多普勒效应公式 若 为光源的静止参照系,则 , 为静 止光源的辐射角频率。     0 0 2 ' 0 1 2 (1 cos ) (1 cos ) v c v v c c           

(59)

若迎着光源运动方向观察辐射,由于 则  0 v  c 经典多普勒效应公式 0 1 1 v c v c      0 1 v cos c     

0 v c

 显然 这种现象称为纵向多普勒效应 若在垂直于光源运动方向观察, 则 2   

2 0 1 (vc) 0 v c    显然   这种现象称为横向多普勒效应

(60)

S v y

0

o 0 0 1 1 v c v c       纵向多普勒效应  

S v y 当   90o 2 0 1 (v c) 0      横向多普勒效应

(61)

光行差代表在不同的参考系观察光的传播方 向之间的关系。

' v   k k 1 11 1 14 4 1 2 v k a k a k k c           ' ' ' cos k    1 cos cos k k c      ' ' 2 cos cos v c c c   (3)光行差公式

(62)

cos cos 1 cos v c v c        2 2 sin 1 sin 1 cos v c v c        sin (cos ) tg v c        ' ' cos cos v c           即:

2 2 3 3 2 3 k k k k           (1 v cos ) =4 c       光行差公式 还可以通过速度变换公式求得

(63)

相对论原理要求一切惯性参考系都是等价的。在 不同惯性系,物理规律应该表现为相同的形式, 即物理规律的协变性。 4、物理规律的协变性 例如在 系中 FG

  

F  a F a G GF  G协变性   系

(64)

1、四维电流矢量与连续性方程的协变性 0 j   U ( , ) u U   u ic (1)四维电流密度矢量 2 2 1 1 u v c    为标量,静 止电荷密度 0  0 2 2 0 4 2 2 1 1 u j u v c j ic ic v c      =

( ,

)

j

j ic

6.3 电动力学理论的协变性

(65)

0

j

t

 

0

j

x

 

j  a j  在 系里观察,电荷静止,只有电荷密度 ; 在 系观察,电荷运动,既有电荷密度 又有 电流密度 。    0

j

,

xx ict (2)连续性方程的协变性 运动电荷电量 这说明电流密度和电荷密度是个统一物理量 0 2 1     

(66)

2、四维势矢量和达朗贝尔方程的协变性 达朗贝尔方程 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 1 1 A A j c t c t                  2 1 0 A c t       洛伦兹条件 引入 A4 0 0 2 1 ( , ) 2 0 0 4 0 j j ic c c i j c                    定义 4 i A c   A  0 j A ( ,A i ) c    0 A x      2 2 2 2 1 0 0 c t Aj            

(67)

四维矢量 ( , ) xx ict k ( ,k i ) c    ( , ) jj ic

( , ) U   u ic ( , i ) A A c    矢量变换为 ' ga g  0 0 0 1 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 i a i                   2 2 1 , 1 v c v c     

(68)

3、电磁张量和麦克斯韦方程的协变性

B

 

A

E A t

     其分量为 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 A A B x x A A B x x A A B x x                   4 1 1 1 4 4 2 2 2 4 3 4 3 3 4 ( ) ( ) ( ) A A E ic x x A A E ic x x A A E ic x x                   在电磁场中矢量 和磁感应强度 可以由矢势 和标势 得到

E

B

A

(69)

引入一个四维张量 F A A x x            F  F 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 0 0 0 0 i B B E c i B B E c F i B B E c i i i E E E c c c                           0 E      4   0 0 0 E B j t          1, 2,3 0 F j x        电场 和磁场 是 张量 的不同分量

E

B

F

 推导

(70)

0 B  

(1, 2,3)

B E t      (2,3, 4)(3, 4,1)(4,1, 2) 0 F F F x x x               当

4

43 41 42 0 4 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 2 0 F F F j x x x i i i E E E c c c ic x x x E c                             

1

13 12 14 0 1 2 3 4 1 3 2 0 1 2 3 1 1 2 0 1 1 ( ) F F F j x x x i E B B c j x x ic t E B j                       0 F j x        对于 推导

(71)

, , 1 2 3    当 为 ,, 23 31 12 3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 0 F F F x x x B B B x x x                   即:  B 0 23 34 42 4 2 3 3 2 1 2 3 3 1 2 2 3 0 0 0 F F F x x x i i E E B c c ic t x x E B E t x x                1 1 ( E) B t      即: 张量变换: '

F



a a F

   , , 2 3 4    当 为 ,, F F F 0 x x x               对于

(72)

E

' 41 41 14 14 44 11 41` ' 42 12 42 41 22 12 44 22 42` 2 ' 43 13 43 41 33 12 44 33 43` 2 1 1 F a a F a a F F i F F a a F a a F F i F F a a F a a F                 ' x x E E   ' y E  ' z E

B

' 23 22 33 23 ' 12 42 12 11 22 12 14 22 42` 2 ' 31 34 31 33 11 31 33 14 34` 2 1 1 F a a F F i F F a a F a a F F i F F a a F a a F                ' 1 1 x BBB 电磁场变换规律

(73)

是统一的物理量,在一个惯性系中,若只 有静止的电场 ,则另一个相对运动的惯性系 中,则 同时存在。 ' 1 1 ' 2 2 3 ' 3 3 2 ( ) ( ) E E E E vB E E vB

     ' 1 1 ' 2 2 2 3 ' 3 3 2 2 ( ) ( ) B B v B B E c v B B E c        , E B E , E B // // ( ) E E E

E v B       // 2 ( ) B B v B B E c          // v c v E   E v B B,   BE 上式可以写成更紧凑的形式

(74)

例1

x x  ' P R Re v O O ' ' 0 1 4 e R    ' 0 A  利用反变换关系 ' Aa A  1 2 3 ' 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A i A A i i i                                     解:在 系中,粒子静止

(75)

' 2 ' ' 1 11 1 41 4 2 ' 0 2 1 (1) 4 1 v i c e A a A a A i c v R c          2 0 3 0 A  ,A  ' 4 4 A   A ' ' 2 2 0 2 1 1 4 1 1 e R v c        ' 2 2 2 Rx  y  z 是系的距离,可以用 系中的距离 代替。 R 2 1 xx   , y  y z  z 由于洛伦兹收缩

(76)

2 2 ' '2 '2 '2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (1 ) 1 1 x v x v R x y z y z R v v c c c c            代入(1)得: 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 4 ( ) (1 ) 1 4 ( ) (1 ) ev A v x v R c c e v x v R c c             2 2 2 x P R x P R x y z      其中 是 点在 系的坐标矢量, 是原点到 点的距离,

(77)

1、四维动量矢量 ( , ) u U  u ic 2 2 1 1 u u c    0 Pm U P P, iW c       0 0 2 2 1 u m u P m u u c     u  c 0 P m u= 四维速 度矢量 四维动 量矢量 m 是静止质量0 空间分量 经典动量

6.6 相对论动力学

固有时间隔 固有长度间隔

(78)

2 0 4 0 2 2 1 m c i iW P m i c c u c c       2 0 2 2 1 m c W u c   这里 , 是相对论中的能量 1 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 2 u u c c      2 2 0 0 1 2 Wm cm u  2 0 0 Wm c 定义静止能量 由此可见,相对论能量W不仅包括物体的动能T 还包括静止能量W0=mc2,物体静止时仍然有能 量。能量守恒定律——利用原子能的理论根据。

(79)

2 2 2 2 0 0 0 1 u c m c TWW   m c  物体的动能为 P P, iW c       四维动量 2 2 2 W P P P P c  可构成不变量,      不变量

2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 0 0 P W W m c m c W m c P m c c c W P c m c            在物体静止内, , ,因而不变量为 ,代入上式得 ,则有 这是关于物体的能量、动量和质量的一重要公式。

(80)

3、相对论力学方程

, 4

dP K K K d     2 1 dP dP K d  dt    2、质能关系 由相对论能量、动量表示为

2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 m c m u W P u c u c m m W mc P mu u c         质能关系式 , 定义运动质量 ,则有 , 四维力矢量 四维力矢量 的空间分量

(81)

方程形式与牛顿方程一致。 2 0 2 1 1 m u dP K P dt       , 2 2 2 1 1 F    K  u c K 0 2 2 1 m dP F P mu m dt u c     , , 2 0 4 4 2 2 1 u m c dP i dW i d K dc dcdt u c            定义力: 则得方程 4 K 的第四个分量

(82)

2 0 0 3 2 2 2 2 2 1 1 m c m u d du dt u c u c dt         

0 2 2 2 0 0 3 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 1 1 1 (1 ) m u dP d F u u u dt dt u c m du m u u du u dt c dt u c u c m u du dW dt dt u c                      

dW

F u

dt

 

F u 是功率 2 0 2 2 4 1 ( , ) m c W u c i i K F u k u c c i K K K u c             相对论能量

(83)

相对论力学方程 dP F dt dW F u dt    2

(

)

(

)

P

mu

W

mc

是相对论协变方程 ① 四维速度 ② 四维动量 ③ 四维力

,

u U   u ic , iW P P c       , i u , i K K K u F F u c c              

(84)

用电磁场张量 和 表示

Fe E  u B F U

2 2 1 1 K eF U K e E u B u c         2 2 1 u F K c  

1 12 2 13 3 14 4 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 K eF U eF U eF U iE eB u eB ru e ic c e u B e E e E u B                        

dP e E u B dt    带电粒子在电磁场中的 运动方程。 洛伦兹力:

(85)

例.带电 π 介质衰变为 μ和中微子。      2 139.57 / mMeV c m 105.66MeV c/ 2 m  0     ( ) P ( ) P 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, P W m c W P c m c W P c              2 2 2 4 2 ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) (2) PP  , P cm cP cm c 各粒子静质量为 求π介子质心系中μ子的动量、能量和速度。 由能量和动量守恒定律有

(86)

将(1) 代入 (2)得: 2 2 2 4 2 P cm cm cPc 2 2 2 2 2 2 2 2 v m m P P P c m m m W m c Pc c m                  29.79 / 109.78 P MeV c W MeV   2 2 2 1 109.78 1.0390 105.66 1 W m c v c       0.2714 vc

(87)

表示速度 方向会改变,但大小不变。 例3. 讨论带电粒子在均匀恒定常磁场中的运动。

F

eu B

dP eu B dt   ( ) 0 dW eu B u dt     2 0 2 2 1 m c W u c    常数 u u  常数 0 0 2 2 2 2 ( ) 1 1 m u m dP d du eu B dtdtu c  u c dt   (1) e u u B    即:

(88)

z BB e uu ex xu ey yu ez z ( y x x y) (2) u B  B u eu e 将 (1) 代入 (2)得: 0 z uuz  常数 0 eB m    x y y x u u u u      cos sin x y u C t u C t      2 2 2 2 2 2 z x y u C u u u u u C          cos sin x y u u t u u t        (1)(2) z u u   常数 常数 设: 令:

(89)

当 时,粒子做螺旋运动 若 ,则粒子做匀速圆周运动,角频率 uz  0 0 m u u a eB      圆半径 0 z u  0 1 eB u c m      当 时 ,则 与非相对论一致。 0 eB m   在非相对论情形, 与粒子及速度无关。 2 0 2 1 1 eB m v c       ,其中 0 eB m     在相对论情形, 随粒子速度增大而减小,速度增大 增大,

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