6
機率
6.1
樣本空間與事件
試驗: 在不穩定(不確定) 的現象上, 求出一個結果的過程, 叫作試驗。 樣本空間: 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合,以S 表示。(每一種結果發生之機會未必相 等) 例:家裡2個小孩,此2個小孩性別的樣本空間可為S = {BB, BG, GB, GG}或S′ = {2B, 1B1G, 2G}, 其中1男1女的結果: 1B1G 包含老大為男孩老二為女孩及老大為女孩老二為男孩這兩種情形。 甚至可分成S” = {兩同性、 兩異性} 樣本點: 樣本空間S 的每一元素,即稱為一個樣本點。(每個樣本發生的機會未必相等)。 以 n(S) 表該 樣本空間樣本點的個數。 上述樣本空間S = {BB, BG, GB, GG}中BB, BG, GB, GG均為S 的樣本點。 樣本點個數 n(S) = 4 (若樣本空間內的所有樣本點發生機率均等,此時稱為等機率樣本空間) 事件: 樣本空間 S 中之任一子集A 稱事件 A。 以 n(A) 表樣本空間中符合該事件樣本點的個數。 2個小孩性別所有可能的集合為樣本空間S,若事件A表兩小孩為異性的事件,則A = {BG, GB}。 n(A) = 2 互斥事件: A, B 兩事件, 若A ∩ B = ∅ , 則稱 A,B 為互斥事件。 餘事件: A 為樣本空間S 的一事件,則 A′ = S − A稱為 A 的餘事件。 和事件: A, B 兩事件中 A ∪ B 的事件。(A和 B 中至少有一件發生)。 以 n(A ∪ B) 表樣本空間中符 合該和事件樣本點的個數。 積事件: A, B 兩事件中 A ∩ B 的事件。(A和 B 都會發生)。 以 n(A ∩ B)表樣本空間中符合該積事 件樣本點的個數。例題
範例 1: 投擲兩公正骰子, 其點數和的樣本空間 S =?(解:)S = {2, 3, 4, , · · · , 12} 共11個事件,而每一種結果稱為點數和的一事件,但每個事件發生的 機會未必相等。(點數和為2只有(1, 1), 一種情形,點數和為5有(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),四種情 形) 演練 1a: 投擲一顆骰子, 求其點數的樣本空間 S? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 演練 1b: 同時投擲兩枚硬幣, 求兩硬幣正、 反面情形的樣本空間 S? S = { 兩正, 一正一反, 兩反 } 求兩硬幣有相同面的事件A? A = {兩正, 兩反 } 演練 1c: 投擲一硬幣直到出現正面為止, 所投擲的總次數其樣本空間 S 為何? S = {1, 2, 3, 4, · · · } 此非有限樣本空間 範例 2: 投擲兩公正骰子, 其點數情形的樣本空間為? (解:)S = {(1, 1), (1, 2), · · · , (1, 6), · · · , (6, 1), · · · , (6, 6)} , 共62個樣本點, 在此36種情形稱為 兩骰子點數的樣本空間S 。 每個樣本點發生的機會相等 (等機率樣本空間)。 (解:)S2 = {兩個1點,兩個2點,· · · ,兩個6點, 一個1點一個2點, 一個1點一個3點,· · · , 一個1點 一個6點, 一個2點一個3點, 一個2點一個4點,· · · , 一個2點一個6點, 一個3點一個4點,· · · , 一 個3點一個6點,一個4點一個5點,一個4點一個6點,一個5點一個6點,} ,共H6 2 = C26+2−1= 21 個樣本點, 此21種情形亦可稱為兩骰子點數的樣本空間S′ 。 但每個樣本點發生的機會 (次數)不 全相等 (非等機率樣本空間)。 演練 2a: 某一個家庭有3個小孩, 此3個小孩性別的樣本空間為何? S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG} 或 S2 = {3B, 2B1G, 1B2G, 3G} 演練 2b: 某一個家庭有3個小孩, 若此3個小孩性別為同性別的事件為 A, 求 A 與 A 的餘事件? A = {BBB, GGG};A′ = {BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB} 或 A′ = {2B1G, 1B2G} 演練 2c: 某一個家庭有3個小孩, 若 A 表示3個小孩中至少有兩個男孩的事件? 寫出事件 A? A = {BBB, BBG, BGB, GBB} 或 A = {3男, 2男1女} 範例 3: 連續投擲一枚硬幣三次,在等機率樣本空間中,A表示出現二正面一反面的事件,則n(A) =? 3 演練 3a: 投擲一均勻骰子一次,若A 表骰子點數為偶數的事件,B 表骰子點數為1或2點的事件,C表 骰子點數不大於3點的事件; i. 寫出骰子點數的樣本空間 S? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ii. 寫出事件 A, B, C? A = {2, 4, 6}, B = {1, 2}, C = {1, 2, 3} iii. 寫出事件 A ∪ B, 並求 n(A ∪ B) ? A ∪ B = {1, 2, 4, 6};4 iv. 寫出事件 A ∩ B, 並求 n(A ∩ B) ? A ∩ B = {2};1 v. 寫出事件 B ∩ C, 並求 n(B ∩ C) ? B ∩ C = {1, 2};2 演練 3b: 同時投擲兩顆均勻骰子,若 A 表骰子點數和為6的事件,B 表兩骰子點數最大為4點的事件: i. 寫出事件 A, B? A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}, B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} ii. 寫出事件 A ∩ B, 並求 n(A ∩ B) ? A ∩ B = {(4, 2), (2, 4)};2 iii. 寫出事件 A ∪ B, 並求 n(A ∪ B) ? A ∪ B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (1, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 1), (4, 3)};7 + 5 − 2 = 10 範例 4: 袋中有4個球, 編號為1、2、3、4 今依下列方法從袋中取球並觀察號碼, 求以下各試驗中的樣 本空間? 1. 每回取一球, 球取出後不放回, 共取兩回? 2. 每回取一球, 球取出觀察後放回,再取出一球, 共取兩回? 3. 一次同時取出兩球觀察? (解:)S1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2),(3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} ; S2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2),(4, 3),(4, 4)} S3 = {(12), (13), (14), (23), (24), (34)} 演練 4a: 袋中裝有3顆紅色球,4顆白色球, 今依下列方法從袋中取球並觀察其顏色, 求以下各試驗中 球顏色的樣本空間? 1. 每回取一球, 球取出後不放回, 共取兩回? S1 = {RW, RR, W R, W W } 2. 每回取一球, 球取出觀察後放回, 再取出一球,共取兩回? S2 = {RW, RR, W R, W W } 3. 一次同時取出兩球觀察? S3 = {2R, 2W, 1R1W } 演練 4b: 有編號 A、B、C 的3張CD, 若隨機播放完這3張 CD 1. 播放這3張CD 順序的樣本空間 S 為?
2. 若事件E 表首播為 A 這張 CD, 則 E事件為? E = {ABC, ACB}
3. 若事件F 表A 在 B 之前播放, 則F 事件為? F = {ABC, ACB, CAB}
4. 若事件H 表 B 非首先播放, 則H 事件為? H = {ABC, ACB, CAB, CBA}
習題6-1 樣本空間與事件 1. 連續投擲一個硬幣三次, 觀察出現正面反面情形。 若集合 A 表示三次硬幣正反面個數的等機率 樣本空間, 集合 B 表示三次硬幣出現正反面情形的等機率樣本空間, 則 n(A) 與 n(B) 分別為 多少? 2. 一對夫妻有兩個小孩, 依小孩出生次序來觀察其性別, 問小孩性別的等機率樣本空間 S ? 樣本 空間 S 中恰為一男一女的事件有幾個樣本點? 3. 甲、 乙兩人玩剪刀、 石頭、 布 的猜拳遊戲, 問兩人猜一次拳的等機率樣本空間樣本點個數有幾 個? 若猜一次拳是甲獲勝的事件樣本點個數有幾個? 4. 投擲一均勻硬幣2次,若A 表示第一次出現正面的事件, B 表示第二次出現反面的事件,則A,B 是否為互斥事件? 5. 連續投擲一公正骰子兩次,觀察骰子出現的點數,在等機率樣本空間中,令A表示點數和為7的 事件,B 表示點數6至少出現一次的事件,C表示點數相同的事件, 分別求事件A、B、C的樣本點 個數? 6. 連續投擲一公正骰子三次, 觀察骰子出現的點數, 在等機率樣本空間中,A 表示點數5至少出現 一次的事件,B 表示點數和為偶數的事件, 計算 n(A) 與n(A ∩ B) 的個數?
習題
6-1
參考答案
1. n(A) = 4, n(B) = 8 2. S = {(男, 男),(男, 女),(女, 男),(女, 女) } ; n(一男一女)=2 3. 9; 3 4. A ∩ B = {( 正,反)} 5. n(A) = 6, n(B) = 11, n(C) = 6 6. n(A) = 91, n(A ∩ B) = 456.2
機率的定義與性質
等機率樣本空間S: 試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間S 。(若樣本空間內的所有樣 本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間)。例: 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有H6 2 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空間有 62 個樣 本點 (事件)。 骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者 有2個樣本點, 後者只有1個樣本點; 且 (1, 1), (1, 2), · · · ,(3, 6), · · · , (6, 3), · · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出所有可能會 發生且機會均相等的樣本點個數;故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的個數 n(S) = 62。 機率的定義(古典機率): 利用排列、 組合數出樣本空間的個數或數出試驗有幾種不同的結果。 事件A 的機率就是數出在等機率樣本空間S內符合A 事件的樣本個數n(A) 與等機率樣本空 間個數n(S) 的比值。 即P (A) = n(A) n(S) (拉普拉斯的古典機率) 。 ,特別是 P (∅) = 0, P (S) = 1 注意: 某一試驗可能發生的情形共有n 種不同的事件(樣本點),並不意謂每一事件(樣本點)發 生機會均等。 只有在等機率樣本空間內每一事件(樣本點) 發生的機會才相等。 例如: 投擲兩公正硬幣(正反面個數有3種不同的情形): 樣本空間 S′ = {兩正面、 一正一反、 兩 反面}或 S = {正正、 正反、 反正、 反反}。S′ , S 均為投擲兩硬幣正反面結果的樣本空間, 其 中 S 才是等機率樣本空間。 而一正一反的機率為 P (A) = n(A) n(S) = 24 機率的基本性質: 1. 空事件的機率: P (∅) = 0。 2. 全部事件的機率: P (S) = 1。 3. 若事件 A ⊂ S ,則 0 ≤ P (A) ≤ 1。 4. 餘事件 A′的 機率 : P (A′ ) = 1 − P (A)。 5. 機率的取捨原理 (排容原理): P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A∪B ∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C)+P (A∩B ∩C) 6. 互斥事件的機率: 若A ∩ B = ∅ , 則P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 7. P (B) = P (A ∩ B) + P (A′ ∩ B) 機率的應用: 事前發生機率 ⇒ 建立機率模型 ⇒ 推估或預測未來機率或模式。 例如: 常態機率函數 (常態經驗法則: 68 − 95 − 99.7)。 二項式機率分配 :P (x = k) = Cn kpk(1 − p)n−k 袋中有機會均等的5紅球3白球; 每回取出一球, 則 求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 3 8 (且與抽球順序無關)。 若取出3回中有2白球則第二回取出白球的機率 P (W |2W 1R) , 則不管球是否放回其條件
機率均相等。 每次取出一球取3回均為白球則 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 2 7 ·16 機率不 相等。 1. 求第 k 回抽中白球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P (· · · Wk) : P球放回 = P球不放回 2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P rob : P一次取n球 = P一次一球,球不放回 6= P一次一球,球放回 3. 求前 n 回分別取出 k1, k2, · · · , kn 所指定的顏色球, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機 率未必相同。 E(X = w球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np
例題
範例 1: 某種苗場專門培育種子,且苗場品管規定種子發芽率須達80% ,才能將這批種子批發販售。 現有一批種子經抽驗500顆培育,有418顆發芽,則這批種子的發芽機率為多少? 是否達到該苗場 的訂定標準? 83.6%;yes 演練 1a: 已知要取得機車駕照須通過筆試及路考兩部份 (不分先後測驗順序), 若通過路考的機率為 5 6,而通過筆試的機率為 9 10,通過兩項測驗取得駕照的機率為 4 5,問這兩項測驗是否為互斥事 件? 某人欲考取機車駕照, 則此人通過筆試或路考的機率為何? 否; 14 15 範例 2: 有2男2女任意排成一列, 求女生不相鄰的機率為何? 12 24 2男2女任意排成一列, 求女生不相鄰且女生排首位的機率為何? 8 24 演練 2a: 從一副撲克牌中任抽選一張, 則抽中Ace 的機率為何? 4 52 = 1 13 演練 2b: 任選一兩位數, 此兩位數恰為10的倍數機率為? 1 10 演練 2c: 儲物櫃中裝有兩類商品各10件,現從櫃中任取2件,此2件商品是不同類商品機率為何? 10×10 C20 2 = 10 19 i. 若儲物櫃中兩類商品各100件,從櫃中任取2件,此2件商品是不同類商品機率為何? 100×100 C200 2 = 100 199 ii. 儲物櫃中裝有兩類商品各n 件,現從櫃中任取2件,此2件商品是不同類商品機率為 p , 選出下列正確敘述選項? (1) 無論n 值為何, p值均相同。(2) p值最大為1 (3) n 愈大, 則P 值愈小(4) n 愈大, 則P 值愈大(5) 無論 n 值為何, P ≥ 1 2 2,3,5範例 3: 袋中裝有機會均等的3顆紅色球,2顆黑色球, 今依下列方法從袋中取球並觀察其顏色,求以 下各試驗中球顏色的等機率樣本空間 S ? 及其樣本點個數n(S)? 1. 每回取一球, 球取出後不放回, 共取兩回? (解:)S1 = {R1R2, R1R3, R2R1, R2R3, R3R1, R3R2,R1B1, R1B2, R2B1, R2B2, R3B1, R3B2, B1R1, B1R2, B1R3, B2R1, B2R2, B2R3,B1B2, B2B1} ;n(S1) = C15C14 = 20 2. 每回取一球, 球取出觀察後放回,再取出一球, 共取兩回? (解:)S2 = {R1R1, R1R2, R1R3, R2R1, R2R2, R2R3, R3R1, R3R2, R3R3,R1B1, R1B2, R2B1, R2B2, R3B1, R3B2,B1R1, B1R2, B1R3, B2R1, B2R2, B2R3,B1B1, B1B2, B2B1, B2B2} ; n(S2) = C15C15 = 52 = 25 3. 一次同時取出兩球觀察? (解:)S1 = {R1R2, R1R3, R2R3,R1B1, R1B2, R2B1, R2B2, R3B1, R3B2, B1B2} ;n(S3) = C5 2 = 10 演練 3a: 袋中有3紅球,2黑球, 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色 i. 取出一球, 且此球是紅色球的機率為? 3 5 ii. 取出一球放回, 再取出一球,此兩球均是紅色球的機率為? 9 25 iii. 取出一球不放回,繼續再取出一球, 此兩球均是紅色球的機率為? 3 10 iv. 一次取出兩球, 此兩球均是紅色球的機率為? 3 10 範例 4: 袋中有3紅球 (3R),2白球 (2W), 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色: 1. 每回取出一球,取出後放回袋內,取3回, 則此3球顏色為2紅1白的機率為? 54 125 2. 每回取出一球,取出後不放回袋內,取3回,則此3球顏色為2紅1白的機率為? 3 5 3. 一次取出3球, 則此3球顏色為2紅1白的機率為? 3 5 演練 4a: 袋中有3紅球 (3R),2白球 (2W), 由袋中取出球 (每球機會均等)觀察其顏色 i. 每回取出一球, 取出後放回袋內, 求第二回取到紅色球的機率為? 3 5 ii. 每回取出一球, 取出後不放回袋內, 求第二回取到紅色球的機率為? 3 5 iii. 每回取出一球, 取出後放回袋內, 求第三回取到紅色球的機率為? 3 5 範例 5: 連續投擲一公正骰子2次, 觀察其點數列出等機率樣本空間後, 求出現點數和為5的機率? n(S) = 62;P 5 = 364 = 19
演練 5a: 連續投擲一公正骰子2次, 求出現點數和為7的機率? P7 = 366 = 16 演練 5b: 一次投擲兩公正骰子, 觀察其點數列出等機率樣本空間後, 求出現點數和為5的機率? n(S) = 62;P = 4 36 = 1 9 演練 5c: 一次投擲兩公正骰子, 求出現點數相同的機率? P = 6 36 = 1 6 演練 5d: 一次投擲兩公正骰子, 分別求出現點數和為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的機率? (解:) 點數和x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P和 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 i. 點數和為偶數的機率與點數和為奇數的機率各為多少? 均為 1 2 ii. 哪一種點數和的機率為最大? 7 iii. 點數和不小於10的機率為何? 1 6 iv. 點數和大於7的機率與點數和小於7的機率是否相等? 均為 15 36 v. 若有一顆骰子擲出2點, 則點數和大於7的機率與點數和小於7的機率是否相等? 若讓 你猜測點數和與7比大小, 你會如何猜測? P (x > 7) = 16, P (x < 7) = 46; 猜比7小 演練 5e: 凱凱想要建立一個兩人玩骰子的公正遊戲, 規則如下: 兩個人各擲出一顆骰子所得的點數和 除以3; 若點數和能整除3則第一位玩家獲勝,若不能整除3則第二位玩家獲勝。 1. 先建立各種點數和的機率表格? 參考上表 2. 第一位玩家獲勝的機率為何? P (I) = 2+5+4+1 36 = 1 3 3. 現規定第二位玩家每次獲勝可得1分, 應規定第一位玩家每次獲勝應該得幾分? 才會使 這遊戲為公平的遊戲。 2 範例 6: 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取2張牌中: 1. 求2張牌均為同一花色的機率? 4C13 2 C52 2 = 4 17 2. 求2張牌都沒有出現A 的機率? C48 2 C52 2 = 188 221 3. 求2張牌花色都沒有出現紅心的機率? C39 2 C52 2 = 19 34 4. 求2張牌有出現A 或 K的機率? P (A ∪ K) = 33 221 + 33 221 − 8 663 = 190 663 演練 6a: 從一副均勻公正撲克牌52張牌中任取5張牌中: 1. 恰為2對 (點數形如 aabbc) 的機率? C13 3 C 3 2C 4 2C 4 2C 4 1 C52 5 = 198 4165
2. 恰為3條 (點數形如 aaabc) 的機率? C13 3 C 3 1C 4 3C 4 1C 4 1 C52 5 = 88 4165 3. 求3張牌為同一點數,另2張亦為同點數的機率 (形如 aaabb)? 2C13 2 C 4 3C 4 2 C52 5 = 6 4165 4. 求5張牌均為 Ace 的機率? 0 5. 求5張牌同一花色的機率? C13 5 C52 5 = 1 16660 6. 其中有4張牌為Ace 的機率? C4 4C 48 1 C52 5 = 1 54145 範例 7: 連續投擲一枚均勻硬幣5次,觀察其正、 反面結果,列出等機率樣本空間,求至少有一次是正 面的機率? n(S) = 25 = 32; P = 1 − p(+++++) 32 = 31 32 演練 7a: 連續投擲一枚均勻硬幣5次,求恰為3次正面2次反面的機率? P = C5 3 25 = 5 16 演練 7b: 投擲兩均勻硬幣, 求至少有一次是正面的機率? 1-P(兩反) = 3 4 演練 7c: 投擲兩均勻硬幣, 求恰一次正一次反面的機率? P = 2 4 = 1 2 演練 7d: 連續投擲一枚均勻硬幣2次, 求恰一次正一次反面的機率? P = 2 4 = 1 2 演練 7e: 連續投擲一枚均勻硬幣2次, 求依序為正面、 反面的機率? P = 1 4 範例 8: 同時擲3粒骰子,A 表3粒骰子的點數均不同的事件?B 表恰有兩粒點數相同的事件, 求事件 A 及B 的機率? P (A) = 5 9, P (B) = 5 12 演練 8a: 同時丟擲2粒均勻的骰子,則兩骰子點數乘積的等機率樣本空間個數為多少? n(S) = 36 若A表點數積為偶數的機率,則P (A) =? 又若B表點數積為奇數的機率,比較P (A), P (B) 的大小? P (A) = 36−3×3 36 = 3 4;P (B) = 9 36 演練 8b: 鄭老師假日從A地出發, 打算利用下圖路線 (岔路機會均等)決定最後休憩方案, 問: A B D F 電影 公園 E 美食 C 1. 鄭老師最後選擇美食活動的機率為何? 3 8 2. 鄭老師最後選擇公園活動的機率為何? 4 8 3. 鄭老師最後選擇電影活動的機率為何? 1 8 範例 9: 已知10件產品中,有4件是瑕疵品, 今從中取三件, 求最多只取到1件瑕疵品的機率 P (A) ? 求三件中至少有1件瑕疵品的機率 P (B)? P (A) = 2 3, P (B) = 5 6
演練 9a: 連續投擲一均勻硬幣n次,至少要擲多少次才會使至少出現1次正面的機率大於0.999 ?(log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771) 10次 演練 9b: 某氣象風險公司預報的準確率為80% ,求它5次預報中至少報錯一次的機率? 1 − (0.8) 5 ≈ 0.672 演練 9c: 某人說話習性為平均5句話中有1句為謊話。 現某人講了10句話, 若 A 表10句話全為真的 事件,B 表10句話全為假的事件,C 表10句話有一半為真, 一半為假的事件。 問: 事件 A、B 或C 的機率大小應為何? PA> PC > PB 習題6-2 機率的定義與性質 1. 三張一樣的卡片上分別寫上數字1、2、3, 任意將其排成一排恰為123的機率為何? 2. 有一個不均勻的骰子, 點數3出現的機率是其它點數的2倍, 則投擲此種骰子出現3點的機率為 何? 又投擲此種骰子出現奇數點的機率為何? 3. 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取1張牌,則 (a) 抽到花色是紅心的機率? (b) 抽到號碼是 A 的機率? (c) 抽到紅心 A 的機率? 4. 紅球20個,白球10個, 從袋中取球: (a) 每次取一個, 取出不放回,共取5次, 則取出3紅球的機率為? (b) 每次取一個, 取出後再放回去, 共取5次,則取到3紅球的機率為? (c) 一次取出5個, 取到3紅球的機率為? 5. 璇璇想要建立一個兩人玩骰子的公正遊戲,規則如下: 每個人各擲出一次骰子所得的點數, 若點 數相同或點數較大與點數較小的差為1或2則第一位玩家獲勝, 若大點數與小點數的差為3、4或 5則第二位玩家獲勝。 (a) 先建立各種點數差的機率表格? (b) 哪一種點數差的機率為最大? (c) 第一位玩家獲勝的機率為何? (d) 現規定第一位玩家每次獲勝可得1分, 應規定第二位玩家每次獲勝應該得幾分? 才會使這 遊戲為公平的遊戲。 6. 一盒中有編號1到10號的10顆球,今由盒中取4球,則4球之號碼中第二大數目是7的機率為何? 7. 投擲3粒公正骰子, 問恰好有兩粒點數相同的機率為何? 又3粒骰子點數均不同的機率?
8. 設三人玩剪刀、 石頭、 布、 猜拳遊戲一次, 問三人不分勝負的機率為何? 又其中甲得勝的機率為 何? 9. 在8人中,任意兩人都不在同一個月分出生的機率是多少? 10. 在一試題中, 發生 A 的機率為 1 2 ,A 和 B 同時發生的機率為 12,1 又 A 和 B 的和事件為樣本 空間,求發生 B 事件的機率為何? 11. 丟一個硬幣4次, 問至少出現2次正面的機率是多少? 12. 投擲一均勻骰子60次, 恰好在第60次出現了第10個么點的機率為何? 13. 一副公正撲克牌中, 從52張牌任取5張牌, 則5張牌為同點數二張另外同點數三張的機率為? 又 若5張牌為兩對, 即 (x, x, y, y, z)形式的機率為? 14. 已知10支籤中有3支是中獎的, 今有10人依序各抽一支, 求第3個與第4個抽籤者都中獎的機 率? 15. 甲、 乙各自寫一個二位數字, 假設每個數字出現機率相等, 求甲的數字大於乙的數字的機率? 16. 四顆不同的球任意放入甲、 乙、 丙三個箱子, 求沒有空箱的機率? 17. 設n 為正整數, 連續投擲一公正骰子n 次,n 至少要多少時才會使6點至少出現1次的機率大於 0.9999 ?(log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771)
習題
6-2
參考答案
1. 1 6 2. 2 7; 4 7 3a. 13 52 = 1 4 3b. 4 52 = 1 13 3c. 1 52 4a. 30 × 29 × 28 × 27 × 26 ×20 × 19 × 18 × 10 × 9 5! 3!2! = 0.36 4b. C5 3( 23)3( 13)2 = 243 ≈80 0.3292 4c. C 20 3 C210· 5! P30 5 = 0.36 5a. 點數差P 0 1 2 3 4 5 差 6 36 10 36 8 36 6 36 4 36 2 36 5b. 1 5c. P (I) = 6+10+8 36 = 2 3 5d. 2 6. C 6 2 · C13 C410 7. c 3 2· C16· 5 63 = 5/12; 6·5·4 63 = 5 9 8. 1 3, 1 3 9. P812 128 10. 7/12 11. 1116 12. C59 9 ( 56)50( 16)10 13. 4165,6 189?4165 14. 151 15. 18089 16. 49 17. n > log 6−log 54 ≈ 50.57, n ≥ 516.3
條件機率與貝氏定理
條件機率: 設A, B 為樣本空間S 的兩事件, 已知在事件B 發生的情況下 P (B) > 0 , 發生事件 A 之機 率, 以P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) 表之。 1. P (∅|B) = 0 2. P (B|B) = 1 3. 0 ≤ P (A|B) ≤ 14. P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
5. P (A ∩ B ∩ C) = P (A ∩ B)P (C|A ∩ B) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B) 條件機率乘法法則: P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B)
P (A1∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1∩ A2) 取捨原理:P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
合計機率法則: 若 A1, A2, · · · , An 是樣本空間 S 的一個分割,B 為S 的一任意事件 則P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + · · · + P (An)P (B|An)
獨立事件: 設 A, B 為同一樣本空間的兩事件, 若 P (A ∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B 為獨立事 件。 若兩事件不是獨立稱為相依事件。 若A, B 為獨立事件, ⇔ A′ , B′ 亦為獨立事件。 1. P (A ∩ B) = P (A) · P (B) 2. P (B|A) = P (B) 3. P (A|B) = P (A) A, B, C 三事件獨立: ⇔ A, B 獨立; B, C 獨立; A, C 獨立且P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) ⇔ A′ , B′ , C′亦獨立 ; A′ , B, C 亦獨立; · · · 注意: 若 A, B, C 三事件為兩兩獨立事件未必A、B、C 三事件獨立。 貝士定理: 若 A1, A2, · · · , An 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 S 的一任意事件; 則在事件 B 發生狀況 下, 事件 Ak 發生的機率為 P (Ak|B) = P (AP (B)k∩ B) = nP (Ak) · P (B|Ak) X i=1 P (Ai) · P (B|Ai) ; i = 1, 2, · · · , n 一般簡易題目可藉由樹形圖分別求出各分割事件的機率。 貝士定理是合計機率法則的逆問題。 也就是已知各種“原因 ” 機率, 而在進行隨機試驗中 A 事
件已發生下, 問在這種條件下, 各“原因 ”事件發生的機率是多少? 事前機率 → 新資訊(抽樣、 研究報告、 品管) → 貝氏定理 → 事後機率 族群 有生病 檢查無病症 檢查有病症 無生病 檢查無病症 檢查有病症 檢測結果\樣本對象 生病族群 健康族群 檢測生病 (陽性) 真陽性(生病者檢查結果為生病) 假陽性(健康者檢查結果誤判為生病)型II錯誤 檢測健康 (陰性) 假陰性(生病者檢查結果誤判為健康)型I錯誤 真陰性(健康者檢查結果為健康) 抽籤順序與機率關係: 在公平遊戲下, 第n 位抽籤中獎的機率與首位抽籤中獎機率相等(中 獎機率與抽獎順序無關係) 樣本可重複與否(取出物放回與否) 的機率問題及條件機率問題: 袋中有機會均等的5紅球 (5R)、3白球 (3W), 每回取出一球, 則 求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 3 8 (且與抽球順序無關)。 若取出3回中有2白球,則第二回取出白球的機率P (W |2W 1R) ,則不管球是否放回其條件 機率均相等。 每次取出一球, 取3回均為白球則 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 2 7 ·16 機率 不相等。 機率關係: P (n 球結果) : P一次n球 = P一次一球,球不放回,取n次 6= P一次一球,球放回,取n次 1. 袋內裝有機會均等的 r 個紅球 (Rr)、w 個白球(Ww), 求第 k 回抽中白球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同均為 w r + w。 P (· · · W k) : P球放回= P球不放回 = w r + w 2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其條件機率相同。 條件機率關係: P (W |2W 1R) : P一次一球,球不放回 = P一次一球,球放回 3. 求前 n 回分別取出 k1, k2, · · · , kn 所指定的顏色球, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機 率未必相同。 4. 期望值問題:E(X = W球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np
表 1: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題) 取球方式 (抽獎) 一次取一球,取出不放回,共取n球(n 人依序抽獎) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎) 第i位抽中獎品機率 第i位抽中機率 p1 = p2 = · · · = pn 第i位抽中機率 p1 = p2 = · · · = pn 中獎機率與次序無關 每 回 為 條 件 機 率 受 到 前 人抽中及沒抽中的 影 響(每 人 是 否 中獎為相依事件) 每回均為獨立事件(二項式機率) 若已知第k位中獎與否 ⇒ 改變後人中 獎機率 若已知第k位中獎與否 ⇒ 不改變後人 中獎機率 n(球) 人無序結果發 生的機率 如同一次取出 n球所發生事件的機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式 機率 Cn k(p)k(1 − p)n−k 例題說明: 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 取出兩球均為紅球的 機率 P (R1∩R2) = P (R1)P (R2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2) = C2 2( 3 5) 2 = 9 25 (獨立事件) 第一球為 R, 第二球 為 W 的機率 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1∩ W2) = P (R1)P (W2) = 3 5 × 2 5 = 6 25 無 序 結 果:2 球 為 1R1W 的機率 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)p(W2|R1) + P (W1)P (R2|W1) = 3 5· 2 4+ 2 5· 3 4 = 3 5 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)P (W2) + P (W1)P (R2) = C12( 3 5)( 2 5) = 12 25 與 一 次 取 出 兩 球 為1R1W 的 機 率 C3 1C12 C5 2 = 3 5 相同 條件機率: 已知第一球為 R 則 第二球為 R 的機率 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) = 2 4 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 第 一 球 為W則 第二球為 R 的機率 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) = 3 4 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 取 出 3 球為 2R1W, 則第3球為 R 機率 P (R3|2R1B) = = 1R1W排列 (2R1W排列) = 2! 3!/2! = 2 3 P (R3|2R1B) 獨立 = P (R3) S:2R1B = P (R3) = 2 3 期望值 (n 人中獎個 數) 取出n球R球期望值 E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np
例題
條件機率 範例 1: 3男2女任意排成一列, 在兩女生不相鄰條件下, 求女生排首位的機率為何? 36 72 3男2女任意排成一列, 在女生排首位條件下, 求兩女生不相鄰的機率為何? 36 48 演練 1a: 袋中有3紅球,2黑球, 每回從袋中取出一球 (每球機會均等) 觀察其顏色, 不再放回袋內: i. 若已知第一次取到紅色球, 則第二回亦是紅色球的機率為? 2 2+2 = 1 2 ii. 若已知第一次取到紅色球, 則第二回是黑色球的機率為? 2 2+2 iii. 若已知第一次取到黑色球, 則第二回是紅色球的機率為? 3 1+3 範例 2: 投擲大小相同的兩公正骰子,若 A表示點數和為5的事件,B表示點數積為5或6的事件,求 P (A|B) 與P (B|A) 1 3; 1 2 演練 2a: 一家醫藥科技研發公司, 針對生髮藥劑實驗室得出使用藥劑與促進生髮的結果 (人數) 如下 表: 效果\ 藥劑 使用生髮藥劑 使用安慰劑 有效生髮 1600 1200 無有效生髮 800 400 i. 在實驗對象中任選一人, 此人為有效生髮的機率為何? 2800 4000 = 7 10 ii. 在實驗對象中任選一人, 此人為使用生髮藥劑且有效生髮的機率為何? 1600 4000 = 2 5 iii. 使用該生髮藥劑可能促進生髮的機率為何? 1600 1600+800 = 2 3 該公司廣告宣傳“每3人使用該公司生髮藥劑, 就有2人有效生髮”是否恰當? 請說明? 不恰當, 機率值為大數法則, 可能3人使用藥劑此3人都無效, 不宜直接用平均闡述 iv. 在有效生髮的實驗對象中任選一人, 此人有使用生髮藥劑的機率為何? 1600 1600+1200 = 4 7 範例 3: 擲一粒骰子一次,若已知出現的點數為偶數,求所擲出的點數小於5的機率? 2 3 擲一粒骰子一次, 若已知擲出的點數小於5, 求點數為偶數的機率? 2 4 演練 3a: 同時擲兩粒均勻骰子 i. 若已知點數和為10, 求兩骰子點數均為偶數機率? 2 3 ii. 若已知兩骰子點數均為偶數, 求點數和為10的機率? 2 9 演練 3b: 同時擲兩粒均勻骰子, 若已知點數和為偶數, 求兩骰子點數相同的機率? 1 3 演練 3c: 擲一均勻硬幣3次,若已知至少出現1次正面, 求正面恰好出現3次的機率? 1 7演練 3d: 同時擲兩均勻硬幣, 若已知至少有一正面, 求兩硬幣均為正面的機率? 1 3 條件機率乘法法則 範例 4: 某校系入學考試分筆試與口試兩階段, 通過第一階段筆試的機率為 1 20 ; 若通過筆試可繼續 參加口試, 而通過口試的機率為 2 3 , 求通過此校系的入學機率? 1 30 演練 4a: 某工廠的品管部門分成兩階段篩選成品,通過第一階段篩選的機率為 4 5 ;若通過第一階段篩 選, 再進行第二階段篩選, 已知通過這兩階段篩選的成品機率為 2 3 , 求經過第一階段篩選完 的成品通過第二階段篩選的機率為何? 5 6 演練 4b: 某大學針對微積分課程發現,已知選修微積分課程的學生有 4 5 的機率能通過考試取得學分。 若全校學生取得微積分課程學分的機率為 2 3, 問此大學的學生選修微積分課程的機率為何? 5 6 演練 4c: 某公司員工有 80% 為男性, 碩士學歷以上的員工有 60% , 且知碩士學歷以上者有 90% 為 男性, 問: i. 任意選取此公司一名員工,此員工為男性且有碩士學歷以上的機率為何? 0.54 ii. 任意選取此公司一名員工,此員工為女性且有碩士學歷以上的機率為何? 0.06 演練 4d: 袋中有3紅球,2黑球, 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色 i. 取出一球, 此球是紅色球的機率為? 3 5 ii. 取出一球放回袋內, 再取出一球, 則二次均取到紅色球的機率為? 9 25 iii. 取出一球放回袋內, 再取出一球, 則第二次取到紅色球的機率為? 3 5 iv. 取出一球放回袋內, 再取出一球, 若已知第一次取到紅色球, 則第二次亦是紅色球的機 率為? 3 5 v. 取出一球放回袋內, 再取出一球, 若已知第二次取到紅色球, 則第一次亦是紅色球的機 率為? 3 5 演練 4e: 袋中有3紅球,2黑球, 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色 i. 取出一球不放回袋內, 再取出一球, 則第二次取到紅色球的機率為? 3 5 ii. 取出一球不放回袋內, 再取出一球, 則二次均取到紅色球的機率為? 3 10 iii. 取出一球不放回袋內, 再取出一球, 若已知第一次取到紅色球, 則第二次亦是紅色球的 機率為? 2 4 iv. 取出一球不放回袋內, 再取出一球, 若已知第二次取到紅色球, 則第一次亦是紅色球的 機率為? 3 10 3 5 = 12
獨立事件 範例 5: 某一家庭有兩個小孩(男女性別機率相等),若E表至少有一男孩的事件,F表兩個均為男孩 的事件,問事件 E,F 是否為獨立事件? No;P (E ∩ F ) = 1 4 6= P (E)P (F ) = 3 16 演練 5a: 若A、B 事件的機率 P (A) = 0.3, P (B) = 0.5且 P (A ∪ B) = 0.85,問下列敘述何者為真? (1) A、B 為獨立事件 (2) A、B 為互斥事件 (3) P (A ∩ B) = 0.15 (4) P (A ∪ B) = 0.65 1,3,4 演練 5b: 某家庭有3個小孩 (男女性別機率相等), 若 E 表至少有一男孩、 一女孩的事件,F 表至多一 個男孩的事件, 問事件 E,F 是否為獨立事件? Yes;P (E ∩ F ) = P (E)P (F ) = 3 8 演練 5c: 從一副撲克牌中任意抽出一張: i. 取出觀看後放回, 再取出一張, 若第一張為 Ace牌的機率為 P (A1) , 第二張為 Ace 牌 的機率為 P (A2) ,問A1, A2 是否為獨立事件? 又P (A1∩ A2) 機率值為多少? P (A1) = P (A2) = 524 ;P (A1∩ A2) = P (A1)P (A2),A1, A2 為獨立事件
ii. 若取出觀看後不放回,再取出一張,若第一張為Ace牌的機率為P (E1) ,第二張為Ace 牌的機率為 P (E2)? , 問A1, A2 是否為獨立事件? 又 P (A1∩ A2) 機率值為多少? P (E1) = P (E2) = 524;P (E1∩ E2) = 2211 6= P (E1)P (E2),E1, E2 非獨立事件 演練 5d: 小雯有3張搖滾CD,4張熱門歌曲CD,和2張古典音樂CD在他的汽車上。 某天他要開車時 任意拿了2張CD, 問 i. 它所拿的兩張 CD 彼此是否為獨立事件? 相依 ii. 它所拿的兩張 CD 都是搖滾 CD 的機率為何? 1 12 範例 6: 甲、 乙二人射擊同一靶, 設甲、 乙射擊命中率各為 1 4 ,13 ,且兩人射擊為獨立事件, 今兩人各 射擊一發, 求兩人均沒命中的機率? 1 2 演練 6a: 根據採煤公司統計, 礦工會得黑肺疾病的機率是 5 11, 同樣的, 礦工會患上關節炎的機率是 1 5; 如果一個礦工的健康問題不受其他影響, 現隨機選擇一礦工, 問沒有發展得黑肺病, 但會患 上關節炎的機率為何? 6 55 此礦工得黑肺疾病又患上關節炎的機率為何? 1 11 演練 6b: 已知 A、B 兩事件為獨立事件, 且兩事件發生的機率為 1 12 , 其中 P (A) = 1 2 , 求發生A或B 事件的機率? P (A ∪ B) = 7 12 貝氏定理
範例 7: 據研究每10萬人有1人會患某一種疾病, 此疾病的現行檢測方法結果為: 患有此疾病的人有 99%可正確檢測患有此病(陽性),未患有此疾病的人有99.5%可以正確檢測未患此疾病(陰性)。 根據研究結果可知道: 1. 用此檢測方法判斷為患有疾病 (陽性),而真正患有此疾病的機率為何? 0.99×0.00001 0.99×0.00001+0.005×0.99999 ≈ 0.002 2. 用此檢測方法判斷為未患有疾病(陰性), 而真正為健康者的機率為何? 0.995×0.99999 0.995×0.99999+0.01×0.00001 ≈ 0.9999999 3. 解釋上述機率值的意義? (解:)患病率的高低與一個檢測診斷方法有很密切的關係。 此檢測法診斷真正生病的人價值 不高, 但對健康的人診斷價值很高。 演練 7a: 假設我們發現, 單詞“勞力士”在2000則 e-mail 中有250則為大量信件 (垃圾郵件) 和1000 則e-mail中有5則非大量郵件(非垃圾郵件)。 假設一則e-mail它進入垃圾郵件或不是垃圾 郵件的機會相同。 估計包含單詞“勞力士” 傳入的郵件是垃圾郵件的機率? 如果我們拒絕此 e-mail 為垃圾郵件的門檻值是0.9, 我們會拒絕這樣的 mail 嗎? 0.125 0.125+0.005 = 25 26 ≈ 0.962; 垃圾郵件 演練 7b: 電子郵件篩選功能將拒絕郵件而將此類郵件為垃圾郵件,設定的門檻值為0.9。若已知在2000 則垃圾郵件和1000則非垃圾郵件中分析: 出現單字 “股票” 分別有400則垃圾郵件和60則 非垃圾郵件;而出現單字“低估”一詞分別有200則垃圾郵件和25則非垃圾郵件。 假設我們有 關於它是否是垃圾郵件沒有先前經驗知識, 試估計收件箱的郵件包含兩個單字“股票”和“低 估”它為垃圾郵件的機率? 此郵件篩選器將拒絕此類郵件為垃圾郵件嗎? 0.2×0.1 0.2×0.1+0.06×0.025 = 40 43 ≈ 0.930; 歸為垃圾郵件 範例 8: 某國小有甲、 乙、 丙三班, 男生的比率分別為 60%, 50%, 40% , 現在任選一班, 再從此班選 取一學生。 設每班被選中的機會相等,且同一班每位學生被選中的機會也相等;若已知選中的是男 生, 求這男生是屬於甲班的機率? 2 5 演練 8a: 有三個外觀相同的袋子, 其中甲袋裝有4個紅色球、3個白色球; 乙袋裝有5個紅色球、2個白 色球; 丙袋裝有3個紅色球、3個白色球。 現隨機任選一袋, 再從袋中任意抽出一球, 觀察其顏 色,若此球為白色球, 問此球來自甲袋的機率為何? 6 17 範例 9: 奧林匹克運動會的選手都要通過事先的藥物檢定,而這種檢定對未服用禁藥者正確率達99% ,對服用禁藥者被檢定出來服用禁藥的正確率只達到95% 。 現有一群選手已知有90% 沒有服藥, 今從中任意抽選1人, 檢定出此人有服禁藥,求此人確實服用禁藥的機率? 95 95+9 ≈ 0.9135
選手群 服禁藥 檢定無 檢定服藥 無服禁藥 檢定無 檢定服藥 檢測結果\ 樣本對象 服禁藥 未服禁藥 檢測服藥 (陽性) 檢測正常 (陰性) 演練 9a: 假設在一個門診中病患有 4% 感染了禽流感。 此外, 假設抽血檢測是否為禽流感方法中, 患 者感染禽流感抽血試驗為陽性 (檢測有禽流感) 的有 97% 和沒有感染禽流感者抽血檢測陽 性(檢測有禽流感)的有 2% 。 求下列問題的機率值: 1. 患者檢測呈陽性禽流感(檢測感染)則這個患者的確感染禽流感的機率? 97 145 ≈ 0.669 2. 在病人測試呈陽性禽流感(檢測感染)但這個患者不是感染禽流感的機率? 48 145 ≈ 0.331 3. 病人測試為陰性禽流感(未感染禽流感)但此患者的確被感染禽流感的機率? 1 785 ≈ 0.00127 4. 病人測試陰性禽流感 (未感染禽流感) 此患者不是感染禽流感的機率? 784 785 ≈ 0.9987 演練 9b: 某製造工廠生產 A、B 兩產品, 已知 A、B 兩產品分別佔總產品數的 70% 及 30%, 若A 產 品的不良率為0.01,B 產品的不良率為0.05, 問: i. 由此家製造廠生產出不良品的機率為何? 0.022 ii. 由此家製造廠生產的不良品中, 此不良品為 A 產品的機率為何? 7 22 演練 9c: 已知某地區有 5% 的女子懷孕, 且某一種驗孕試劑針對真正懷孕的女子呈現陽性反應 (驗孕 檢測為懷孕) 的機率為 99% , 對沒有懷孕的女子呈現陽性反應的機率為 5% ,問: i. 此地區的任一位女子用此驗孕試劑檢測, 發生錯誤的機率為何? 0.048 ii. 若已知驗孕檢測錯誤, 此女子沒有懷孕的機率為何? 95 96 ≈ 0.9896 iii. 若已知驗孕檢測錯誤, 此女子為真正懷孕的機率為何? 1 96 iv. 此地區的任一位女子用此驗孕試劑檢測, 結果正確的機率為何? 0.952 v. 若已知驗孕檢測為懷孕, 此女子沒有懷孕的機率為何? 95 194 ≈ 0.49 vi. 若已知驗孕檢測為懷孕, 此女子真正懷孕的機率為何? 99 194 ≈ 0.510 習題6-3 條件機率與貝氏定理 1. 2男2女任意排成一列, 在兩女生不相鄰條件下求女生排首位的機率為何? 2. 2男2女任意排成一列, 在女生排首位條件下求兩女生不相鄰的機率為何? 3. 某一家庭有兩個小孩 (男女性別機率相等), 若已知至少有一男孩,求兩個均為男孩的機率? 4. 大學新生健檢結果, 體重超重者佔 40% , 血壓異常者佔 10% , 兩者都有者佔 8% , 今任選一人 健檢,
(a) 若已知此人體重超重, 則他血壓異常的機率為多少? (b) 若已知此人血壓異常, 則他體重超重的機率為多少? 5. 若E、F 為同一樣本空間S 中的兩事件,若已知機率 P (E) = 1 3, P (F ) = 1 2, 及P (E|F ) = 2 5 , 求P (F |E) 值? 6. 樣本空間 S 的三個事件 A、B、C, 已知 P (A) = P (B) = P (C) = 1 3, P (A ∩ B) = 1 6, P (A ∩ C) = 1 12, P (B ∩ C) = 1 9 , 求P (A|B)、P (B|C) 及P (C|A) =? 7. 連續投擲一公正硬幣3次,在最少出現一次正面下, 求最多出現2次正面的機率? 8. 連續投擲一公正骰子兩次, 求第一次不出現6點且第二次出現5點的機率? 9. 丟一個硬幣三次,已知3次中只出現一次正面, 求第二次丟出正面的機率? 10. 若事件A、B 為獨立,則下列何者為真? (1) P (A ∩ B) = 0 (2) P (A ∪ B) = 1 − P (A ∩ B) (3) P (A ∩ B) = P (A)P (B) (4) P (A ∪ B) = 1 − P (A)P (B) 11. 若A 表示擲一顆骰子兩次點數和為10的事件,B 表示擲一顆骰子兩次點數和為奇數的事件, 分 別求出P (A), P (B) 並判別 A、B 是否為獨立事件? 12. 設甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5, 0.4 且各自解題互不受影響, 問至少有 一人解出此問題的機率為? 13. 某公司計畫購買某一品牌的機器 (每台機器均獨立運作), 根據過去經驗, 該品牌的機器至少可 維持6個月而不產生任何損壞的機率僅有50%。 現若購買3部該機器,試問6個月後僅剩下一部 機器均無損壞可工作的機率為何? 14. 已知某班有50位學生,其中有20位女生,現用簡單隨機抽樣法,任意抽出兩位學生,第一位抽到 女生的條件下, 問第二位抽到女生的機率為? 15. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,5,9 的事件,B 表示 取到球號2,5,8的事件, C 表示取到球號為3,5,7的事件。 問 A、B、C 三事件是否為獨立事件? 16. 甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5與 0.4 , 且三人解出與否為獨立事件, 求 (a) 三人都解出此問題的機率為多少? (b) 至少有一人解出此問題的機率為多少? 17. 設甲、 乙兩人參加考試, 甲通過的機率為0.6, 乙通過的機率為0.7, 且兩人各自通過與否是獨立 的, 求 (a) 甲、 乙都通過的機率?
(b) 甲通過, 乙沒通過的機率? 18. 袋中有10個球其中紅球3個, 白球2個,黃球5個。 今由袋中每次取一球 (a) 取出後, 球不放回, 連取兩次皆紅球的機率為何? (b) 取出後, 球放回袋內, 連取兩次皆紅球的機率為何? 19. 某次測驗中, 甲、 乙、 丙三人及格的機率分別為 2 5,34 ,13 , 若三人應試彼此不受影響, 求 (1) 三 人全都及格的機率為?(2)在至少有1人及格下, 3 人都及格的機率? 20. 某高中三年級學生中有55%為女生,而男生中有 65%住校,女生有75% 住校,今任選一學生, 求(1) 此生為住校生的機率為?(2) 若已知此生為住校生則此生為男住校生的機率? 21. 一種檢驗某疾病的儀器, 依過去經驗得知: 患此疾病的人, 有 90% 的機率經此儀器檢驗會呈陽 性(判斷為患有此疾病),未患有此疾病的人,有5% 的機率會被誤檢為陽性。 假設某地區有 6% 的人罹患此疾病, 從此地區任選一人接受檢驗, 求此人檢驗結果呈現陽性的機率? 若檢驗結果 呈陽性反應下, 求此人確實罹患此疾病的機率? 22. 根據經驗知, 某電腦工廠檢驗產品中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.2, 將不良品檢驗為良品 的機率為 0.16 ; 又已知該產品不良品佔 5% , 良品佔 95% , 若一件產品被檢驗為良品, 但該產 品實際上為不良品之機率為?(小數點後第三位四捨五入) 23. 甲說實話的機率為 7 10 , 乙說實話的機率為 10,9 今袋中有3白球7黑球, 自袋中取出一球, 若甲 乙二人均說是白球, 則此球確為白球的機率為多少? 24. 某工廠有甲、 乙、 丙三部機器生產同一種螺絲, 其產量所佔比例為甲 25%, 乙35%, 丙40%, 在 各機器產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙機器各佔 5%, 4%, 2% ; 今從倉庫中任取一產品, 其為不 良品,則此產品來自甲機器生產的機率為? 25. 某螢幕面板製造商有甲、 乙、 丙三個工廠, 其產量所佔比例為甲 50%, 乙30%, 丙20%, 在各工 廠產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙工廠各佔 1%, 2%, 3% , 求整個公司產品不合格率? 若今從倉 庫中任取一產品,其為不良品, 則此產品來自甲工廠生產的機率為? 26. 某公司由甲、 乙兩供應商分別提供 70%, 30%的LED 螢幕, 再組裝成電視機。 若由此公司生產 的電視機中任意抽樣一件, 則此電視機的螢幕來自甲廠商的機率為? 如果提供抽樣的電視機螢 幕為次級品, 而由過去資料顯示甲供應商有3% 是次級品, 乙供應商有 6% 是次級品;則此抽樣 的次級品來自甲供應商的機率為?
習題
6-3
參考答案
1. 8 12 2. 8 12 3. 1 34a. 408 = 15 4b. 4 5 5. 35 6. 12;13;14 7. 6 7 8. 365 9. 13 10. 2,3,4 11. P (A) = 121, P (B) = 12;非 獨立事件 12. 1 − 0.12 = 0.88 13. 38 14. 1949 15. P (A ∩ B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C) 不是獨立事 件 16a. 0.12 16b. 0.88 17a. 0.42 17b. 0.18 18a. 1 15 18b. 1009 19. (1)1 10, (2) 1 9 20. 70.5%,117282 ≈ 41.5% 21. 0.101;10154 22. = 1 96 ≈ 0.01 23. 9 10 24. 25 69 25. 1.7%;175 26. 0.7;21 39 ≈ 0.5385 . . . .教用版附答案. . . .
