空間向量
精選例題 空間概念 例題1 邊長為1的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ , 則 cos θ =? [Ans:cos θ = 1 3 ] 例題2 求稜邊邊長為 a 的正四面體的體積? [Ans:√2a3 12 ] 例題3 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面 的所夾的兩面角為 θ , 求 cos θ =? 及錐頂點到底面的高 h = ? [Ans:cos θ = 1 √ 3; h = a √ 2] B O D A C 空間向量的坐標表示法 例題1 坐標空間中, 點 B(1, 2, 3) 對 z 軸的對稱點 B′ 的坐標為何? 又點 B 對 xy 平面 的對稱點 R 坐標為何? [Ans:B′(−1, −2, 3), R(1, 2, −3)] E F G H x y z A B C D 1https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題2 正四角錐體 (稜邊相等的金字塔形) 的底面四頂點的空間坐標分別為 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) , 求此錐體的錐頂點坐標? [Ans:±(1 2, 1 2, √ 2 2 )] 例題3 坐標空間中, 平行四邊形 ABCD 三頂點坐標 ,A(1, 2, 5), B(4, −4, −3), C(−6, 5, 9) , 求點 D 的坐標? [Ans:D(−9, 11, 17)] 例題4 已知坐標空間中, 三點 A(3, 2, 6), B(5, −1, 0), C(−3, 4, 3) , 試證明 △ABC 為 等腰直角三角形? 例題5 已知點 P 在線段 AB 上的點, P A : P B = 2 : 3 , 若 A(1,−1, 8), B(11, −6, −2) 求 P 點坐標? [Ans:P (5, −3, 4)] 例題6 設 −⇀OA = (2, 1),−⇀OB = (1, 2), 若 −⇀OP = x−⇀OA+ y−⇀OB , 且 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? C x y O A B 例題7 坐標空間中, 已知 −⇀OA = (1, 2, 3),−⇀OB = (0, 1, −1) (a) 若 −⇀OC = 12 −⇀ OA + 23 −⇀ OB 試描述 C 點的位置? [ans:−⇀OC = (12, 5 3, 5 6)] (b) 若 −⇀OD = −⇀OA+ 2−⇀OB 試描述 D 點的位置?[ans:−⇀OD = (1, 4, 1)] (c) 若 −⇀OP = −⇀OA+ t−⇀OB,0 ≤ t ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? [Ans: 線 段 AM ] (d) 若 −⇀OP = s−⇀OA+ t−⇀OB,0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖 形? [Ans: 平行四邊形 OANE] M O −⇀p = 1−⇀a + 2−⇀b −⇀ OB B E N −⇀ OA A −⇀ OP =−⇀OA + t−⇀OB −⇀p = s−⇀a + 2−⇀b 空間向量的內積 例題1 已知空間向量 −⇀a = (1, 1, 2),−⇀b = (1, −2, −1) 兩向量, 若兩向量的夾角為 θ , 則 θ =? [Ans:θ = 2π 3 ] · 2 · ∼順伯的窩 ∼
https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題2 已知向量 −⇀a = (4, 5, 2),−⇀b = (1, 2, 2) 求 −⇀a 在 −⇀b 上的正射影及正射影長? [Ans:−⇀c = (2, 4, 4), |−⇀c | = 6] 例題3 已知實數 x,y,z 滿足 x2 +4y2 +9z2 = 3 , 求 x+2y+3z 的最大值? [Ans:max=3] 例題4 空間中兩向量 −⇀u , −⇀v 滿足 |−⇀u | = 3, |−⇀v | = 2 且 −⇀u , −⇀v 的夾角為 120◦ 求 |2−⇀u − −⇀v | =? [Ans:√52] 外積、 體積與行列式 例題1 已知坐標空間中,A(1, 2, 1), B(0, 6, 4), C(3, 5, 6) 三點, 求一單位向量 −⇀v , 使其 同時垂直 −AB,⇀ −⇀AC? [Ans:±√3 3 (1, 1, 1)] 例題2 坐標空間中 △ABC 三頂點分別為 A(1, 2, 3), B(−1, 4, 6), C(5, 7, 3) , 求此三角 形的面積? [Ans:32√77] 例題3 設 −⇀a = (2, 1, 3),−⇀b = (1, 2, 1), −⇀c = (−1, 3, 2) 求由 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平 行六面體體積? [Ans:14] 例題4 已知向量 −⇀a = (1, 1, 2),−⇀b = (1, −2, −1) 求由 −⇀a ,−⇀b 所張開出的平行四邊形 面積? [Ans:3√3] 例題5 ⊚求行列式值 3 2 1 −1 2 2 4 1 −3 =? [Ans:−23]; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 =? [Ans:0]; 1 1 1 a b c a2 b2 c2 =? [Ans:(a − b)(b − c)(c − a)]; 例題6 ⊚ 設實數 a > 0, x, y 的方程組 2x − y = 1 x− 2y = a x− ay = 122 有解, 則 a 值 =? Ans:a = 14 例題7 ⊚ 已知空間中四點 A(1, 1, 1), B(2, 1, 0), C(1, 2, 1), D(a, a, 3) 共平面, 求 a 值? Ans: a = −1 例題8 ⊚已知空間中三向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開的平行六面體體積為5, 求 2−⇀a −3−⇀b ,3−⇀b + 4−⇀c , −⇀c 三向量所張開的平行六面體體積? Ans: 30 已知由三向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平行六面體體積 · 3 · ∼順伯的窩 ∼
