國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第14頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05.
1−2 多項式與其加減運算
一、認識多項式： ◎多項式的定義：由數和文字符號 x 進行加法和乘法運算所構成的式子，稱為 x 的多項式。 例如：2x、3x2、x2＋2x＋3 是 x 的多項式。 【說明】如下圖，小正方形的邊長為 1 單位，面積是 1 平方單位； 長方形的長為 1 單位、寬為 x 單位，面積是 x 平方單位； 大正方形的邊長為 x 單位，面積是 x2平方單位。 1 1 1 1 x x x x2 x 由上面三種圖所組成的圖形，其面積可以用 1、x、x2的式子表示。 例如下圖中，甲的面積表示成 2x，乙的面積表示成 3x2，丙的面積表示成 x2＋2x＋3。 甲：2x 1 x x x x x2 x2 x x2 1 1 乙：3x2 丙：x2 ＋2x＋3 像 2x、3x2、x2＋2x＋3 這類由數和文字符號 x 進行加法和乘法運算所構成的式子， 稱為 x 的多項式。 同理 1 2 x－3、－x 2、4 這一類的式子也是 x 的多項式。 【觀念釐清】但是當x出現在分母或絕對值符號內的時候，則不是x的多項式，例如： 1 x－2 、｜x｜。 ◎項、係數：在 x 的多項式 ax2＋bx＋c 中，二次項是 ax2，係數為 a；一次項是 bx ，係數為 b； 常數項是 c。 【說明】在多項式 7x2＋6x＋5 中，加號(＋)所隔開的每一部分：7x2、6x、5 都稱為此多項式的項。 7x2稱為這個多項式的二次項(或 x2項)，7 為二次項(或 x2項)的係數； 6x 稱為這個多項式的一次項(或 x 項)，6 為一次項(或 x 項)的係數； 5 稱為這個多項式的常數項(或零次項)。 【觀念釐清】因為 5x3－3x2＋1＝5x3＋(－3)x2＋0．x＋1， 可知 x3項的係數是 5；x2項的係數是－3；x 項的係數是 0；常數項是 1。 ◎多項式的次數：在一個多項式中，係數不為 0 且次數最高的項稱為最高次項，而最高次項的次數 稱為此多項式的次數。 【說明】例如多項式 x3＋5x2－x＋1 的次數是 3，也稱此多項式為 x 的三次多項式或三次式。 同理，－3x2＋4 的次數是 2，稱為 x 的二次多項式或二次式。國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第15頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 練習 1：下列多項式分別是幾次多項式？各項的係數是多少？完成下表。 (1) 6x3＋3x2＋8x－4 (2)－x＋x2－4x3＋6 (3) 3－x2 多項式的次數 x3項係數 x2項係數 x 項係數 常數項 ◎單項式：如果一個多項式只有單獨一項，則稱此多項式為單項式。 例如：3 4 x 2、－2x、13 都是單項式。 ◎常數多項式：如果單項式為常數項時，則稱此單項式為常數多項式。 例如：13、－1 2 、0 都是常數多項式。 【觀念釐清】常數多項式又分為兩種： (1)當常數多項式不為 0 時，規定這個多項式的次數是 0，稱為零次多項式。 例如：13、－12 都是零次多項式。 (2)當常數多項式為 0 時，稱為零多項式。不討論零多項式的次數。 練習 2：若多項式(a－2)x2＋(b＋3)x＋c 是一個零次多項式，則 a、b、c 三個數的條件為何？ 二、多項式的加減運算： ◎升冪排列、降冪排列：將 x 多項式的各項按照 x 的次數由小到大排列，稱為升冪(或升次)排列； 按照 x 的次數由大到小排列，稱為降冪(或降次)排列。 【觀念釐清】(1)如果沒有特別規定，一般都以降冪排列來表示多項式。 (2) 3x2＋6x3－4＋8x，按升冪排列為－4＋8x＋3x2＋6x3；按降冪排列為 6x3＋3x2＋8x－4。 練習 3：將下列各多項式按照指定方式排列。 (1) 3x＋x2－2 (2) 1＋2x3－4x 按升冪排列 按降冪排列 ◎同類項：文字符號及次數均相同的項稱為同類項。例如：2x2與－1 3 x 2是同類項；3 和－4 是同類項。 ◎多項式的加減運算：兩個多項式相加減時，就是將同類項合併計算(係數相加減)。 【說明】(1) (x2＋3x＋2)＋(2x2＋2x＋2)＝(1＋2)x2＋(3＋2)x＋(2＋2)＝3x2＋5x＋4。 (2) (x2＋5x＋1)－(2＋3x2＋x)＝x2＋5x＋1－2－3x2－x＝(1－3)x2＋(5－1)x＋(1－2) ＝－2x2＋4x－1。
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第16頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 【觀念釐清】(1)先把多項式按降冪(或升冪)排列，再以直式、橫式或分離係數法來做加減運算。 (2)在直式計算時，為了方便，將文字符號省略，只寫出各項係數，稱為分離係數法。 (3)如果多項式中缺少某一項，代表這項係數是 0，在直式計算時缺項的部分會補上 0。 練習 4：求(4x＋5＋2x2 )與(1＋2x＋x2)的和。 練習 5：計算下列各式。(1) (5x＋3x2＋1)＋(x2＋7x＋5) (2) (3x－5＋5x2 )＋(6＋2x2－3x) 練習 6：計算(－x2＋2x＋1)＋(2x2－5)。 練習 7：計算下列各式。(1) (5x－x2 )＋(2x2－3) (2) (4x－x3＋8)＋(－2x3＋3x2 ) 練習 8：計算(x2＋5x＋1)－(2－3x2－x)。 練習 9：計算下列各式。(1) (－x＋1＋2x2 )－(5x2－3) (2) (7－x2 )－(2x－4x3＋6) 練習 10：設 A、B、C 皆為多項式，且 A＝3x2＋6x－9，B＝－3x2＋4x，C＝－2x＋3，則 (1) A－B＋C＝？ (2) A－(B＋C)＝？
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第17頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 練習 11：設 A、B、C 皆為多項式，且 A＝－3x2－7＋x，B＝1－2x2，C＝－2x＋6，則 (1) A－B－C＝？ (2)A－(B－C)＝？ 練習 12：若 A 是多項式，且 A＋(－4x2＋1＋5x)＝x3＋5－2x，則多項式 A 為何？ 練習 13：若 B 是多項式，且 B－(6x3－2＋x2 )＝5x2＋11－3x，則多項式 B 為何？ 自我評量 1. 依照下列各式回答問題。 (A) x3＋x2 (B) 4x－1 (C) x +2 (D) 1＋5 x (E) 10 (F)－x 2－2x－1 (G) 0 (H)2 2 7 3x + (I)－6x 3 (1)哪些是 x 的多項式？ 答： 。 (2)哪些是 x 的三次多項式？答： 。 (3)哪些是 x 的單項式？ 答： 。 (4)哪些是 x 的常數多項式？答： 。 2. 試問 x－4x2＋6 是幾次多項式？各項係數分別是多少？ 3. 根據題目所給的多項式，完成下面表格。 多項式 按降冪排列 按升冪排列 (1) 4x2－2x3＋x＋5 (2) 7－2x2＋5x (3) 6x2－12 4. 計算下列各式。 (1) (5＋2x2＋3x)＋(－1＋x2＋x) (2) (3＋x2)＋(5x－3－3x2) (3) (x2－2＋5x)－(2x＋3x2 )＋(4x2－7) (4) (3x＋4x2＋2)－[(2x－1＋4x2 )＋(2x2＋2x)]
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第18頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 5. 若多項式 A 與(－6x3＋7x2－3x＋9)的和為 x2＋x－1，則多項式 A 為何？ 6. 若多項式(a－3)x2＋(b＋1)x＋c－2 是一次多項式，則 a、b、c 三個數的條件為何？ 習作 1. 依照下列各式回答問題。 (A) 4x2－3＋5x＝0 (B) 3 x＋5 (C)－x 20 (D) 0 (E) x 2 3＋4 (F)－ 1 2 (G) 3x 2＋｜x－4｜ (H) 8x2 (I) x－(2－x2) (1)哪些是 x 的二次多項式？答： 。 (2)哪些是 x 的單項式？ 答： 。 (3)哪些是 x 的常數多項式？答： 。 (4)哪些不是 x 的多項式？ 答： 。 2. 回答下列問題。 (1) 5x3＋6x－3x2＋1 (2) x2－1－x3 按升冪排列 按降冪排列 多項式的次數 x 項的係數 常數項 3. 計算下列各式。 (1) (3x2＋4x＋1)＋(2x2＋6x－8) (2) (x2＋5x－4)＋(5－2x) (3) (－4x2＋1＋x3 )＋(2x2＋4x) (4) (2x2－3x＋1)－(4x2－7x＋6) 4. 計算下列各式。 (1) (5x2－1＋6x)－(2x＋3x2 ) (2)－(2x3－1)＋(2－4x2＋3x)
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第19頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 5. 以分離係數法做多項式加法，過程如右圖， 則 a＋b＋c＝？ 6. 若 4x－5x2與多項式 A 的和為 4x3＋3x2－1，則多項式 A 為何？ 7. 若(m－3)x3＋(2n＋6)x2＋2mx＋n＋1 為 x 的一次多項式，求 m、n 的值。 8. 化簡 x2－[5x3－3＋x－(－3x2＋4)]。 9. 若單項式 A 與 2x2－4x＋1 相加之後的一次項係數是 3，則單項式 A 為何？ 類題補充
1. 若 A＝(a－4)x3＋(b－2)x2＋(a＋b－7)x＋5 為 x 的一次多項式，則 A＝？
2. 下列各選項中有幾個是 x 的多項式？ (A) 2 個 (B) 3 個 (C) 4 個 (D) 5 個 (甲) 3x－2＝4 (乙) 5
x ＋8 (丙) 2x－2 (丁)2 x −4 (戊)－x
2－2x－1 (己) 4x＋1
2 (庚)6x−4
3. 若(a＋b＋1)x2＋(a－b－1)x＋5 為常數多項式，則 a＋b＝？ x2 項 x 項 常數 項 －2 ＋ 3 ＋ a ＋) b － 5 － 1 －2 ＋ c ＋ 6
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第20頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 4. 若 2ax3－5x2＋4x＋6x3－bx2＋3 為一次多項式，求 a＋b＝？
5. 若 ax3＋2x2－x3＋ax2－3x＋4 為 x 的二次多項式，則合併同類項後，x2的係數是多少？
6. 設 a、b、c 為常數，若(2ax2－5x＋3)－(bx＋2x2－c)為零多項式，則 a＋b＋c＝？
7. 已知(ax2－x＋1)－(3x2＋bx＋c)＝5x＋8，求 a＋b＋c＝？
8. 右圖的每一個角都是直角，則周長＝ 。(以 x 來表示)
9. 設 a、b、c 為整數，且 ax2＋bx＋c＝2(x－1)2－3(x－1)＋4，則 c＝？
10. 已知 A、B 為兩多項式，若 A＋B＝5x2－4x＋3，A－B＝5x2＋6x－5， 則 A＝ ，B＝ 。 2 x 2x 5x 6x＋1 3x
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第21頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. 加強練習 1. (甲) y－1 3 (乙) 5 x ＋8 (丙) 3x－2 (丁) 1 6y－5 (戊) 4x＋ 1 2 (己)｜6x－4｜ 上述各項中有幾項是 x 的多項式？ (A) 0 項 (B) 1 項 (C) 2 項 (D) 3 項 2. 化簡(x2＋1)＋(x2＋2)＋(x2＋3)＋…＋(x2＋99)後，多項式的次數為 次，x2項的係數為 。 3. 若 A＝－x2＋(a－3)x－3，B＝bx2－3x＋(c＋1)，且 A＝B，則下列何者正確？
(A) a＞b＞c (B) a＞c＞b (C) b＞c＞a (D) b＞a＞c
4. 甲、乙、丙三人在計算(ax2＋bx＋c)－(－2x2＋x－5)的結果，甲得 5x2＋7x，乙得 2x2＋5x＋10， 丙得 x2＋3x＋6，老師說甲只做對平方項，乙只做對常數項，丙只做對一次項，請問下列何者正確？ (A) a＝3 (B) b＝5 (C) c＝4 (D) a×b×c＝30
5. P(x)與 Q(x)均為 x 的多項式，且 P(x)＋Q(x)為 x 的三次多項式，則下列敘述何者正確？ (A) P(x)與 Q(x)可能是四次多項式 (B) P(x)與 Q(x)一定都是三次多項式
(C) P(x)與 Q(x)兩多項式次數必相同 (D) P(x)－Q(x)一定是三次多項式
6. 已知多項式 a(x2＋3x－2)＋b(x2－2)＋x－3 為常數多項式，求 a＋b＝ 。
7. 已知 A、B 為兩個 x 的多項式，若 2A＋B＝4x2－x－1，A－2B＝－x2－2x－4，請依升冪排列回答 多項式 A 為何？
8. 若(a－b＋1)x2＋(2a＋b－7)x＋(c＋2)為 x 的零多項式，則 a＋b＋c＝？ 9. 已知 f(x)為二次式，g(x)亦為二次式，則 f(x)－g(x)為多少次式？ (A) 2 次 (B) 1 次 (C) 0 次 (D)以上皆有可能 10. 化簡多項式 5x－2 3 － 7x－1 5 的結果為何？ (A) 4x－7 (B) 4x－13 (C) 4x－7 15 (D) 4x－13 15 11. 若(2x－1)－A＝－x2＋4x－4，又(2x－1)＋B＝－x2＋4x－4，則多項式 A－B＝？ 12. 已知 A＝2x2－3x＋4，B＝x2－x＋6，C＝－5x2＋4x－1，請用 x 表示 5A－(4B－3C)＝？ 13. 若 A 為二次多項式，B 為三次多項式，則 2A－B 為幾次多項式？ (A) 3 次 (B) 2 次 (C) 1 次 (D) －1 次 14. 已知多項式 3x2－18x＋10 可寫成 3(x＋a)2＋b 的形式，則 a＋b＝？
15. 已知多項式 A＝3x2＋(a＋1)x＋7，多項式 B＝(b－1)x2－5x＋3，若多項式 A＋B 為常數多項式， 則 a＋b＝？
16. 已知多項式 2x2－5x＋6 減掉多項式 B 後，得到 3x2＋4x－5，則 B＝？
17. 已知 A、B 為兩多項式，若 A＋B＝2x2＋x－1，B＝4x2－7x＋3，則 A－B＝？ (A)－2x2＋8x－4 (B)－6x2＋15x－7 (C) 15x－7 (D)－9x＋4
國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 1-2 多項式與其加減運算(第22頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.05. Ans：1.(C)；2.二，99；3.(A)；4.(A)；5.(A)；6. 0；7.－6 5－ 4 5x＋ 7 5x 2；8. 3；9.(D)；10.(C)； 11. 2x2－4x＋6；12.－9x2＋x－7；13.(A)；14.－20；15. 2；16.－x2－9x＋11；17.(B)。 心得筆記
