國中數學1 2 2最大公因數與最小公倍數

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2−2 最大公因數與最小公倍數

本節課程學習重點:  ◎能找出兩個數以上的最大公因數。 ◎能辨識互質。 ◎能利用短除法或質因數分解找出兩個數或三個數的最大公因數。 ◎能找出兩個數以上的最小公倍數。 ◎能利用短除法或質因數分解找出兩個數或三個數的最小公倍數。 ◎能利用最大公因數與最小公倍數解決日常生活中的問題。 一、公因數與最大公因數: ◎公因數與最大公因數: 若某一個整數同時是幾個整數的因數時,稱這個數為這幾個整數的公因數,在所有的公因數中最大的 數,稱為這幾個數的最大公因數。 【說明】以 12 和 18 為例,12 的因數有 1、2、3、4、6、12;  18 的因數有 1、2、3、6、9、18。        則 12 和 18 的公因數有 1、2、3、6,且 12 和 18 的最大公因數為 6,以符號(12,18)=6 表示。  【觀念釐清】當兩個整數的最大公因數為 1 時,稱這兩個整數互質。 【說明】例如:35 的因數有 1、5、7、35;12 的因數有 1、2、3、4、6、12,則稱 12 和 35 互質。 練習 1:(1)分別列出 18、54 和 72 的因數。 (2)列出 18、54 和 72 的公因數。 (3)以(18,54,72)表示 18、54 和 72 的最大公因數,則(18,54,72)=? 練習 2:判斷下列各組數是否互質。 (1) 1、9 (2) 7、356 (3) 12、33 (4) 11、979。 練習 3:若兩個整數互質,則這兩個數是否都是質數? ◎短除法與最大公因數: 例如:(1)求 36 和 84 的最大公因數: (2)求 12、54 和 90 的最大公因數: 所以(36,84)=22×3(或 12)。 所以(12,54,90)=2×3(或 6)。 也可以(12,54,90)=((12,54),90)=(6,90)=6。 2 12 54 90 3 6 27 45 2 9 15 2 36 84 2 18 42 3 9 21 3 7

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【觀念釐清】利用短除法求幾個數的最大公因數時,其過程就是不斷在每一層除以這幾個數的共同質因 數,直到沒有共同質因數為止,而這些共同質因數的連乘積就是所要求的最大公因數。 練習 4:利用短除法求下列各組數的最大公因數。(1) 126、180 (2) 144、252、360 ◎標準分解式與最大公因數: 【說明】要判別一個整數是否為另一個整數的因數,一般都會使用除法來做。 例如:「判別 18 是否為 72 的因數」,可用 72÷18=4,因為可以整除,所以 18 是 72 的因數。 【觀念釐清】因為 72÷18= 72 18 ,再將其分子與分母約分,得結果為整數,此時可知 18 是 72 的因數; 又 74÷18= 74 18 = 37 9 ,無法約分化簡為整數,所以 18 不是 74 的因數。 練習 5:下列各數中,哪些是 23 ×32的因數? (1) 24 (2) 22×32 (3) 2×33 (4) 2×5 練習 6:24、2×52、22 ×7、2×53、23 ×3 和 25×5 六個數中,哪些是 24×52的因數? 練習 7:22 ×32、22 ×33、24 ×3 中,哪些是 23×32的因數?(Hint:觀察它們的指數) 【觀念釐清】當 A 和 B 兩個整數寫成標準分解式時,若 A 的質因數都是 B 的質因數,且 A 的每個質因數 的次數小於或等於 B 相同質因數的次數,則 A 是 B 的因數。 ◎利用標準分解式求最大公因數: 已知幾個整數的標準分解式時,可以從共同質因數中取次數較小者相乘,即為它們的最大公因數。 【說明】例如:(1) 120=23 ×3×5,108=22×33,可知最大公因數為 22 ×3。 (2) 22×33×52、2×32 ×52、32 ×53×7,可知最大公因數為 32×52。 練習 8:利用標準分解式求下列各組數的最大公因數。 (1) a=24×32、b=23 ×3×5 (2) a=24×32、b=23 ×3×5、c=22×32×5

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練習 9:求下列各組數的最大公因數。 (1)(23×32×5 , 2×33)= 。 (2)(2×5×11 , 3×52×11 , 32×5×112)= 。 【觀念釐清】如果把幾個數做質因數分解,發現這幾個數沒有共同的質因數,則這幾個數的最大公因數 就是 1。 二、公倍數與最小公倍數: ◎公倍數與最小公倍數: 若某一個整數同時是幾個整數的倍數時,稱這個數為這幾個整數的公倍數,在所有公倍數中最小的 數,稱為這幾個數的最小公倍數。 【說明】以 4 和 6 為例,4 的倍數有 4、8、12、16、20、24、28、32、36、…; 6 的倍數有 6、12、18、24、30、36、42、48、54、…。       則 4 和 6 的公倍數有 12、24、36、…,且 4 和 6 的最小公倍數為 12,以符號[4 , 6]=12 表示。  練習 10:(1)分別列出 10 個 6、9、12 的倍數。 (2)以[6 , 9 , 12]表示 6、9、12 的最小公倍數,則[6 , 9 , 12]=? ◎短除法與最小公倍數: 例如:(1)求 36 和 84 的最小公倍數: (2)求 54、72、84 的最小公倍數: 所以[36 , 84]=22×32×7(或 252)。 所以[54 , 72 , 84]=23×33×7(或 1512)。 也可以[54 , 72 , 84]=[[54 , 72] , 84]=[216 , 84]=1512。 【觀念釐清】(1)利用短除法求兩個數的最小公倍數時,其過程就是不斷在每一層除以兩數的共同質因 數,直到沒有共同質因數為止,而這些除過的質因數和最下面一層兩個數的連乘積就 是所要求的最小公倍數。 (2)利用短除法求三個數的最小公倍數時,其過程就是先不斷在每一層除以三數的共同質 因數,接著除以三數中任兩數的共同質因數,直到三數中任兩數都沒有共同質因數為 止,而這些除過的質因數和最下面一層三個數的連乘積就是所要求的最小公倍數。 練習 11:利用短除法求下列各組數的最小公倍數。(1) 120、108 (2) 21、130 (3) 45、105

2 36 84

2 18 42

3 9

21

3 7

2 54 72 84 3 27 36 42 2 9 12 14 3 9 6 7 3 2 7

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練習 12:利用短除法求下列各組數的最小公倍數。(1) 36、42、54 (2) 22、38、95 ◎標準分解式與最小公倍數: 練習 13:下列四個數中,哪些是 23 ×5 的倍數? (1) 24 (2) 23×52 (3) 22×52×7 (4) 23×5×7 練習 14:3×52、32 ×52、33、33 ×5 四個數中,哪些是 32×5 的倍數? 【觀念釐清】當 A、B 兩個整數寫成標準分解式時,若 B 的質因數包含了 A 中所有的質因數,且 B 的 質因數次數大於或等於 A 中相同質因數的次數,則 B 是 A 的倍數。 ◎利用標準分解式求最小公倍數: 已知幾個整數的標準分解式時,先列出所有質因數,再取次數最高者相乘,即為它們的最小公倍數。 【說明】例如:(1) 120=23×3×5,108=22×33,可知最小公倍數為 23×33×51。 (2) 3×52×7、22×7、22×3×5,可知最小公倍數為 22×31×52×71。 練習 15:利用標準分解式求下列各組數的最小公倍數。 (1) a=23×32×5、b=3×52×7 (2) a=23×32×5、b=3×52×7、c=32×5×7 練習 16:求下列各組數的最小公倍數。(1)[24 , 32]= 。 (2)[3×5 , 32×53 , 22×3×5]= 。 ◎結論: 利用短除法求最大公因數、最小公倍數: (1)求最大公因數:做到所有數沒有共同質因數,即可停止。 (2)求最小公倍數:做到任兩數都沒有共同質因數,才可停止。 利用標準分解式求最大公因數、最小公倍數: (1)求最大公因數:從幾個數的標準分解式,找每個共同質因數中次數最小者相乘。 (2)求最小公倍數:從幾個數的標準分解式,找所有質因數中次數最高者相乘。

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三、應用問題: 練習 17:水果店老闆想將 36 個梨子和 48 個蘋果分裝成梨子禮盒和蘋果禮盒出售,梨子禮盒和蘋果禮 盒內的水果個數要一樣多,且全部分裝完,如果要選用最大的禮盒來裝,則一盒可以放幾個 水果? 練習 18:某班有男生 20 人、女生 12 人,現將其分成若干組進行烹飪比賽,每組包含男生及女生,且 每組男生人數一樣多、女生人數也一樣多,請問: (1)最多可分成幾組? (2)此時每組男、女生各多少人? 練習 19:有一塊長 315 公尺、寬 135 公尺的長方形土地,想在其周圍種樹,相鄰兩棵樹之間的距離要 相等,且四個頂點都種,則相鄰兩棵樹之間的距離最大是幾公尺?此時總共要種幾棵樹? 練習 20:有一個三角形花圃,其三邊長分別為 72 公尺、60 公尺、48 公尺,想在花圃周圍設立路燈, 相鄰兩路燈之間的距離要相等,且三個頂點都要設立,則相鄰兩路燈之間的距離最大是幾公 尺?此時路燈最少要幾支? 練習 21:小融每 10 天到公園跑步一次,玉嵐每 14 天到公園跑步一次。某天兩人都到公園跑步,那麼 最少要再幾天,兩人才會再度在同一天到公園跑步? 練習 22:王太太有三個女兒,大女兒每 45 天回娘家一次,二女兒每 30 天回娘家一次,小女兒每 18 天 回娘家一次,某天三個女兒都回娘家,則最少要再幾天,三個女兒才會再同一天回娘家? 練習 23:到國際機場的車有 A、B 兩種車型,A 車每 45 分鐘發車一次,B 車每 1 小時發車一次,兩車 同時由上午 6 點發車,下一次同時發車是什麼時候?

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練習 24:天天便利商店頂樓裝有紅、藍、綠三色霓虹燈,其中紅燈每 35 秒閃一次、藍燈每 40 秒閃一 次、綠燈每 25 秒閃一次。若這三色霓虹燈於晚上 7 點同時閃一次,下一次同時閃一次的時間 是幾點幾分幾秒? 練習 25:承上題,請問當晚 8 點過後(不含 8 點),哪一盞顏色的燈會先閃? 自我評量 1. 寫出介於 10 到 30 之間且與 30 互質的整數。 2. 已知 a=23×5×72,則 (1)下列哪些數是 a 的因數?答: 。 (2)下列哪些數是 a 的倍數?答: 。 (A) 1 (B) 3 (C) 22 (D) 52 (E) 2×52 (F) 23×7 (G) 2×5×7 (H)24×52×73 (I) 32×52×7 (J) 23×52×72×11 3. 從 1 到 100 的整數中,能同時被 6 和 15 整除的數有哪些? 4. 若 a=55×25、b=1155,則(a , b)及[a , b]分別為多少? 5. 有一塊長方形的布,長 126 公分、寬 90 公分,媽媽想把它剪成數個大小相同的正方形做成桌墊,則 每一個桌墊的面積最大是幾平方公分? 6. 車站每 10 分鐘發一班 A 線公車,每 12 分鐘發一班 B 線公車,若 A、B 兩線公車的第一班車都是在 早上 7:00 同時出發,末班車都是在晚上 9:00 出發,則每天從第一班車到末班車,同時發車的次 數有多少次?

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習作 1. 下列哪些數與 2×32×5 互質? 30、88、119、22×7×11、7×9、7×11×13 2. a 為正整數,已知 a 所有的因數是 1、2、3、4、6、8、12、24,則 a 和 90 的最大公因數為多少? 3. 求下列各組數的最大公因數。 (1) 156、252 (2) 140、210、385 (3) 23×3×11、22×53×112 (4) 48×12、16×15 (5) 2×32×52、22 ×32×5、22×33×7 4. 在 1 到 1000 以內的數中,同時是 30 的倍數,也是 42 的倍數有哪幾個? 5. 求下列各組數的最小公倍數。 (1) 210、350 (2) 105、420、168 (3) 72×11、54×7 (4) 22×3×72、2×52 ×73 (5) 22×3×72、33 ×5×7、2×32×11 6. 設 a=22×3×5,b=350,則 (1) a、b 兩數的最小公倍數是多少? (2) a、b 兩數的公倍數中,最接近 10000 的數是多少?

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7. 大姐每 4 天回家一趟,二姐每 9 天回家一趟,妹妹每 6 天回家一趟,則 (1)已知 1 月 1 日三人同時回家,下一次三人同時回家是幾月幾日? (2)如果三人某次同時回家時正好是星期六,那下次同時星期六回家是幾天之後? 8. 佳儒為了布置教室,買了三條緞帶分別是 147 公分、189 公分、126 公分,要將緞帶分成每條等長 (長度為整數),最少可分成幾條?每條長度為多少? 9. a=2×3×7,如果 a 是 28 的倍數,但不是 24 的倍數,那麼□=? 10. 計算下列各式的值。(1)[(36 , 24) , 40] (2)([18 , 12] , 96) 11. 老師將鉛筆 128 枝、橡皮擦 89 個,分給全班同學,每人得到的鉛筆和橡皮擦的數量都相同,最後剩 下 2 枝鉛筆、5 個橡皮擦。請問全班最多有幾位同學? 類題補充 1. 下列敘述何者錯誤? (A) 相異兩質數一定互質 (B) 連續兩個正整數一定互質 (C) 互質的兩數必為質數 (D) 兩個整數的最大公因數為 1,稱這兩個整數互質 2. 兩數 270 和 351 的公因數共有多少個? 3. 下列哪幾組數互質? (A) 22×33×7、52×11×13 (B) 3×72×13、52×7×11 (C) 24×5×72、22 ×3×72 (D) 3×112×17、5×7×132

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4. 設 a=2×32×7,b=525,則 a、b 兩數的公倍數中,最接近 10000 的數是多少? 5. 在 500~900 之間的數中,同時是 45 的倍數,也是 54 的倍數的有 。 6. 長方體積木的長、寬、高分別是 6 公分、4 公分、8 公分,那麼至少需要幾個這種積木,才能堆成一 個最小的正方體?所堆成的正方體體積是多少立方公分? 7. 用 a 除 109 餘 1,除 183 餘 3,若 a 為一正整數,則滿足此條件的 a 共有幾個? 8. 設二整數之公因數中有一為 12,公倍數中有一為 360,已知其中一數為 60,則另一數不可能為何? (A) 24 (B) 36 (C) 84 (D) 72。 9. 量販店買入日本青蘋果一批,數量在 200 到 250 個之間,若以 10 個裝一盒剩 7 個,12 個裝一盒則 剩 9 個,那麼若該批青蘋果以 8 個裝一盒時,會剩下幾個?

10. 若(a , b , c)=6,且[a , b , c]=180,a=18,b=36,則 c= 。

11. 一長方體為 156cm×96cm×60cm,在其所有表面都塗上紅色,欲把它切成最少塊大小相同的正方體, 則完全沒有紅色的小正方體有幾塊?

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12. 我國農曆以天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)、地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、 午、未、申、酉、戌、亥)記年,依序為甲子、乙丑、丙寅、…、癸亥等,已知民國 69 年為庚申年, 則(1) 要相隔 年相同的記年才會重複(由甲子年到下一個甲子年的時間)。 (2) 民國 100 年之干支記年為 。 13. 公車總站上 11 號公車發每一班車的時間固定,甲生在一週中,發現 10:00、10:36、11:00 均可等 到公車發車,若今天甲生在 11:20 到總站等車,則需再等幾分鐘,公車便會發車?

14. 已知 a、b 的最大公因數為 11,最小公倍數為 231,0<a-b<100,則 a+b=?

15. 將橘子 97 個、蘋果 56 個平均分給若干人,結果橘子多出 7 個,蘋果不足 4 個,則人數最少幾人? 16. 一大包軟糖分給 15 位小朋友,每個小朋友分到的軟糖一樣多,會剩下 3 顆;同樣的,一小包軟糖分 給 15 個小朋友,每個小朋友分到的軟糖一樣多,會剩下 5 顆。那麼 3 大包軟糖與 2 小包軟糖平分給 15 個小朋友,使每個小朋友分到軟糖一樣多,會剩下 顆軟糖。 17. 已知 a=2940,(a , b)=30,[a , b]=22×3×52×72,則 b= 。 18. 市公所在長 900 公尺的道路中央安全島上裝設路燈,道路頭尾都裝設,原本每隔 45 公尺裝有一盞 路燈,後來為了加強照明,改為每隔 30 公尺裝有一盞路燈,則在變更的過程中,有 盞路 燈不用移動位置。

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加強練習 1. 已知 180 和 126 之最小公倍數為 2a×3b×5c×7d,則 a+b+c+d=? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。 2. 下列哪組數的最小公倍數等於這兩數的乘積? (A) 24、42 (B) 75、57 (C) 87、78 (D) 25、52。 3. 公車每隔一定間隔開車,已知 6:30、8:00、9:00 各開出一班,判別下列何者不可能是兩班車的 間隔? (A) 30 分 (B) 20 分 (C) 15 分 (D) 10 分。 4. 右表是 11 月分的日曆,從 11 月 1 日起,老師規定: 日數是 3 的倍數考英語,日數是 4 的倍數考數學, 但星期六、日不考,則下列敘述何者正確? (A) 11 月分英語共考 5 次 (B) 11 月分數學共考 7 次 (C) 11 月分同時考英語和數學的只有 1 天 (D) 11 月分總共考了 12 天

5. 若 a 與 b 互質,則[(a , b) , [a , b]]=? (A) 1 (B) a (C) b (D) a×b。 6. 針對數學老師在黑板上三個數的算式,大雄、胖虎、小夫、靜香 四人做了以下敘述,則下列何者正確? 大雄:22 ×7 是三個數的公因數 胖虎:22 ×32×7 是三個數的最大公因數 小夫:22 ×3×7 是三個數的公倍數 靜香:23 ×32×5×7×11 是三個數的最小公倍數 (A) 大雄 (B) 胖虎 (C) 小夫 (D) 靜香。 7. 兩個大於 200 的自然數,其最大公因數為 22×33,最小公倍數為 23 ×33×72,則此兩自然數 為 。(以標準分解式表示) 8. 某國中每天上課七節,校長每隔兩節必巡堂一次,教務主任每隔一節必巡堂一次,若今天第一節時 校長與教務主任一同去巡堂,則今天的第 節校長及教務主任都沒有巡堂。 9. 設 a=28×15×12,b=23×32×5×72,c=2160,則 ) , , ( ] , , [ c b a c b a =?(以標準分解式表示) 10. 有 147 個男生和 189 個女生參加童軍露營,想要平均分成若干小隊,試問: (1) 若每小隊都要有男生和女生,且男、女生人數一樣多,則最多可分成幾隊? (2) 若男生和女生要分開編隊,且每隊人數一樣多,則最少可分成幾隊? 11. 有兩個分數 1 89、 1 71,分別乘以正整數 A 後,都會成為一個整數,則下列何者正確? (A) A 為 89、71 的公倍數 (B) A 為 89、71 的公因數 (C) A 為 89 的因數、71 的倍數 (D) A 為 89 的倍數、71 的因數。 12. 某數用 3、4、5、6 去除都餘 2,且某數為 7 的倍數,則某數最小為 。 13. 將 280 除以甲數餘 16,880 除以甲數餘 22,若甲數不超過 40,則甲數最大可為多少? 14. 如下圖,甲車依逆時針方向繞著圓周行駛,每 30 分鐘繞一周;乙車依順時針方向繞著圓周行駛, 每 50 分鐘繞一周;丙車沿著直徑¯ AB 來回行駛,每 10 分鐘來回一趟。若甲、乙、丙三車同時由 A 點出發,則甲、乙、丙三車在幾分鐘以後,會在 B 點第一次同時相遇?       A B 15. 在 70 到 750 之間的整數,乘以 1 16和 1 20之後的結果也是整數的共有幾個? 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 280 2 396 2 52 140 2 198 1 26 70 7 99 63 10 3 99 9 10 3 33 3 10 11 1

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Ans:1.(B);2.(D);3.(B);4.(C);5.(D);6.(D);7. 23×33、22×33×72;8.二、六;9. 2×3×72; 10.(1) 21 隊,(2) 16 隊;11.(A);12. 182;13. 33;14. 75 分;15. 9 個。

數據

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參考文獻

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