對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討

(1)

的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討

方文邦 1 劉曼麗 2*

l 屏東縣立僑穗國民小學

2 國立屏東教育大學數理教育研究所

壹、前言美國於 2002 年推動「沒有一個落後的孩子」法案 (No

Child Left Behind Act

,

NCLB)

(李孟峰、連廷嘉，2010 ;陳明印，

2002 ; Hess

&

Petrilli

,

2006 ; McDermott

&

Jensen

,

2005)

，而我國教育部為配合十二年國敦的推動，亦將「教育優先區計畫學習輔導」與「攜手計畫﹒課後扶助」整合為國中小補救教學計畫，於 2013 年起實施，並將所有學習成就低落學童納為必需接受補救教學的對象(教育部，

2012)

0 由此可見，對於學習低成就的學童，我們站在教育前線，更應協助他們建立正確概念，重拾學習自信，進而縮短學習上的落差 o ，-分數」在國小數學課程當中十分重要，藉由「分數」的學習，學童數學概念發展從「整數」擴展到「有理數J' 更是影響日後學童在小數、約分、擴分、比例等概念的學習。但國內外都有學者發現，學童在分數的學習是困難且成效不彰的(林褔來、黃敏晃、呂玉琴'1996; 洪素敏， 2004; 林右珊，

2007 ;

Annet胞， 2004; Ma此， 1998) 0 *為本文通訊作者

筆者任教於四年級，也參與學校攜手計畫

課後補救教學課程，在教學經驗中發現學童在分數學習時常因無法理解而受挫，令學童學習分數時十分困擾。「分數」對於國小學童而盲，是意義多樣化(林碧珍，

1990)

且難以和生活經驗連結，導致學童無法理解 o 四年級分數課程是學童學習五年級分數計算的基礎，此時學童的迷思概念與錯誤類型對於學童學習分數計算影響甚大。因此，我們藉由一份筆試試題施測於四年級數學低成就學童並分析其答題表現以及迷思概念/錯誤類型與其成因，期能了解四年級低成就學童學習困難的原因，以做為日後教師進行分數補救教學課程的參考。

貳、試題與受測樣本

四年級學童分數概念，從「簡單分數」

延伸為「真分數」、「假分數」、「帶分數」和「等值分數J' 並要學會同分母分數間的加減計算。教育部 2008 年的九年一貫課程綱要數學學習領域中指出，第二學習階段的學童必須學會有關分數的能力指標有 N-2-09 、 N-2-10 、 N-2-11 、 N-2-12 和 N-2-16 等五項(教育部，

2008)

，其內容如下表 I 0

(2)

對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討表 l 數學學習領威第二階段能力指標

N-2-10

N-2-11

N-2-12

N-2-16

分段能力指標能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。能理解分數之「整數相除」的意涵。能認識等值分數，並做簡單的應用。能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。教科書編排

三年級、

四年級

因為施測對象為數學學習低成就學童，所以我們先依據N-2-10 、 N-2-12 二項與分數相關且較基礎的能力指標，選定「分數的意義 J (包含真分數、假分數、帶分數與等值分數)與「同分母分數的加減計算」 (包含同分母假分數、帶分數與整數的加法與減法計算)二項主題。再依據這二項主題，從《國小分數與小數的教學、學習與評量〉的評量試題中(呂玉琴、李源III頁、劉曼麗、吳毓瑩，

2009)

，選題組卷 o 此外， Post(1988)認為學童能否在不同的表徵方式中自由轉換，表示其對概念意義的掌握程度，因此在試題中再加入「圖形與分數符號間的轉換」的題目。整份試題分為「分數的意義 J 14 題與「同分母分數的加減計算 J 12 題，而「分數的意義」試題中又包含圖形與分數符號間的轉換4 題 o 受測學童為高屏地區 6 所國民小學，每校各取 5 名四年級數學低成就學童，總、計划人。

參、四年級低成就學童在分數試題

的答題表現

我們在學童筆試施測結果中所發現

的主要迷思概念/錯誤類型與其成因整理如表 2 。我們從表 2 中發現，四年級數學低成就學童在「分數的意義」與「同分母分數的加減計算」的平均答錯率將近九成，表示學童在這兩個部分的學習皆有困難。「同分母分數的加減計算」須以「分數的意義」做為基礎，而「分數的意義」又以「分數部分/整體關條」做為概念的起源。如果學童無法掌握「分數部分/整體關條 J '便無法了解「分數的意義」。這樣不僅會使學童在學習其他有關分數主題的過程中產生似是而非的迷思概念或錯誤類型，也會讓學童純使用算則計算分數加滅時易生錯誤。歸納四年級數學低成就學童在本測驗的答題表現，我們發現學童主要是無法掌握分數部分/整體的關條與可能不了解

算則「主土主=主主主」的原理以致無法在

a

計算中變通。在「分數的意義」中，學童出現「錯認單位量」、「將圓形分割數視為分母」及「受分子或分母影響作答」等情形，可能是學童無法掌握「分數部分/整體關條」所造成 O 在「同分母分數的加減計算」中，學童出現「忽略整數部分」、「將

(3)

表 2 兩種不同主題的施測結果題型分數的意義類型真分數、假分數與帶分數的意義等值分數的意義平均答錯率

310/360(86.1%)

163 /1

80(90.5%)

迷思概念/錯誤類型

與其成因

l 受分子或分母影響作答 2. 錯認單位量 3 將圓形分割數視為分母

648/720(90% )

數與整數的混合計算同分母假分數與帶分 l 忽略整數部分 2 整數與分子相加(減)

3 以減數分子大的數減去被

減數分子小的數

註:平均答錯率為 30 份試卷中，同類型試題「總答錯數」除以「總答案數」同分母分數的加減計算整數與分子相加或相減」及「減法計算時，

以減數分子大的數減去被減數分子小的

數」等情形，可能是學童不了解算則「主

a

且 b旬，即為真分數的定義，如三塊攘薩

10

表示 l 塊被薩先平分成 10 份 (10 片) ，再取其中的 7 份 (7 片)。假分數則是真分數的延

土主=主主主」的原理而背誦口訣「分母不

伸，符號三是記錄了 C 個土，且 c 孟 a 。帶

變，將分子相加或相減」導致錯誤。以下就「分數的意義」以及「同分母分數的加減計算」二個主題的學童答題表現，來探討我們施測學童易犯的途思概念/錯誤類

型與其成因。

一、學童在分數意義部分的答題表

現「分數」概念源自於「分割物體」。將 l 個整體(單位量)先平分成 a 份，再取其中的 b 份，這「部分 (b 份 )J 與「整體 (a

份) J 間的關條，用數學符號表示成「主」

分數符號 d 主則是記錄了 d 個整體 l 和 e

個土。我們先從例題 l 討論學童在有關真

分數試題的表現: 例題 l )爸告買了一些冰棒，吃掉全部冰棒的

i

，請問下面哪一個圈法是對的?

CD

@Jp

pppp

®

@ p p p p

pppp

(4)

對國小四年絞盡史學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討

@

互互訪M

pppp

@

¢ppp~ρ

pppp

答題結果還

@

*@

4頁答

12/30

14/30

2/30

題

率

(40%)

(46%)

(7%)

言主﹒*為正確答案例題 l 是離散量內容物非單一的題目，僅有 2 位學童答對。其他28 位答錯的學童中，有 12 位學童(40%)選擇選項@。這個試題可以使用「分數部分/整體關條」、「整

數除法」、或是利用「分數的乘法J (四年

級學童尚未學習此方法)來解題。不論學童使用哪種方法，都須先了解題目中「全部

冰棒的卜的意義。「全部冰棒的j 」是

指將所有的冰棒當成單位量，平分成2 堆中的 l 堆。從答題結果來看， 46%的學童

選擇了

r2

_枝

_J'

_{的%的學童選擇了}r

_{I 枝」。}

究其因，前者可能是學童純受到分數符號

「

_j

」的分母數值影響

而後者可能是學

童純受到分數符號「土」的分子數值影響。

2

答錯的這 _{26 位學童 (86%) 不能將題目要求} 的分數符號轉換成正確圓形，主因可能是這些學童無法掌握分數部分/整體的關像，

將分子與分母視為「兩個獨立並置的整數」。

其中有的可能是直接依據分母數值作答，也有的可能是直接依據分子數值作答。訪談案例舉隅如下: T: 這個題目你還了哪個答案?

S :

CD 。

T: 為什麼選@呢?

S

:因為這裡說「吃了全部的工 J

'

2

就是 l 枝冰棒呀(手指著一

2

的分子)。接著，我們從例題 2 來看學童在假分數、帶分數上的表現. 例是!

2 一盒巧克力有 4 條，如右圈， [DODD] 。

請問下圖灰色部分是( )盒巧克力。

[DODD] (DODD] [DODD] [DODD]

答超結果

川一

4 或

2-4

吋4

答案

其他 (空白或亂寫)

10

16 答題率

10/30

(33%)

4/30

(13%)

2/30

(7%)

14/30

(47%)

在這個圓形表徵轉換為符號表徵的例題中，僅有 10 位學童答對。其他20 位答錯的學童當中，有 14(47%)位學童空白

(5)

或高L 寫，有 4 位學童 (13%)填了 r 2三 J'

20

r

10

有 2 位學童 (7%) 則是填「一」。例題 2 從

16

圓形上來看，塗色部分包含 2 個 r I 盒 (4

條巧克力) J 和 2 個「 j 盒( I 條巧克力)

J '

10

也就是 2 一盒。填了「一」的 2 位學童可

₁₆

~ 能是無法分辦題目中的「單位量 J' 不知道是「一盒巧克力當單位量」還是「全部巧克力當單位量 J '加上其分數部份/整體的關像仍停留在「圓形等分割數即為分母 J ' 於是將題目四盒巧克力中的 16 條巧克力數量視為分母，把塗色的 10 條巧克力數量 r

10

視為分子，得到「一」的答案。另外填了

16 -「這」的 4 位學童，也可能是無法分辦

題目中「單位量」到底為何。透過訪談得知，學童把塗色的 2 盒巧克力

[DODD]

[DODD] 的盒數 r2

J

視為帶分

數中的整數部分，把題目全部出現的巧克力條數 r

20

J 視為帶分數中的分壇，最後

將塗色的 2 條巧克力[DODD] 條數 r2

_J

視為帶分數中的分子得到「兮的答

案。訪談案例舉隅如下: T: 為什麼分母會是 20 呀?

s:

這裡 [DODD] 是 4' 這裡

[DODD] [DODD] [DODD] [DODD]

是 16 '所以全都是 20 。 T: 那整數的 2 呢?

s:

[DO DO] [DO DO

]k

2 盒呀

T: 那分子的 2 呢?

s:

這裡 [00001:tf 2 條巧克力，

20 條裡的 2 條就是去。

在上述兩例題中，我們發現有些學童在處理真分數的問題時，容易單受分子或分母影響作答。在處理假分數或帶分數的問題時，學童空白作答和亂寫的人數明顯增加。而其他答錯的學童，有部分學童是錯認了單位量，有部分學童的分數概念是仍停留在「圓形等分割數即為分母」的模式中，也有部分學童是單受分子或分母影響作答。由於四年級分數課程在離散量問題中加人許多內容物非單一的情境，而帶分數與假分數也在此時上場，使得這些學童在分數概念上更是雪上加霜。另外，在等值分數部分，學童除了要了解分數本身的多重意義，還要能理解「一個分數可以有不同的名字，同一個分數的不同名稱不會改變它的量J

(Behr

,

Wachsmuth

,

Post & Lesh

,

1984)

，更要能將離散量或連續量中的每一份進行「再分割」或每幾份進行「再合併」。以例題3 為例﹒ 例題 3

(

)右邊圓形中，[...口口口口口口)

塗色的部分佔了全部的多少?

@3@6@j@j 。

(6)

對國小四年絞盡史學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討例題 4 是將圖形表徵轉換為符號表徵的題目，僅有 6 位學童答對。其他答錯的

( 6 )

24 位學童中，有 16 位學童 (53%) 寫了一τ'

這類型的述思概念，我們也在其他形式的例題中發現，如例題 4: 例題 4 請寫出灰色圓形佔全部的幾分之幾。

其 4也

(空白或高L 寫)

( 6 )

4 16/30(53%)

8/30(27%)

好依據原來所認為的分數: 從選項中選

出與其分子 3 相同的做為答案。訪談案例舉隅如下: T: 這個題目中，塗色的部分是?

s

主。

9

T: 為什麼? s: 分成 9 個拿 3 個。

T: 但還項沒有 3 ，怎麼辨?

s: 對耶，那...選分子是 3 的答案吧 T: 為什麼? s 不知道。

4

答題結果

答*

(

2 )

案 4 答題 6/30(20%)

率

答題結果還

@三

CD

3 ®6

*@一

項

6

3

答題

18/30

_O

8/30

4/30

(60%)

(27%)

(1

3%)

率

且學童又不會將j 轉成其等值分數i' 只

例題 3 是將圓形衰徵轉換為分數符號的題目，僅有 4 位學童答對。答錯的 26 位學童中，有 18 位學童(60%)選擇選項CD; 有 8 位學童(27%)選擇選項@。從圓形來看，全部分成 9 塊，塗色的部分有3 塊，是全

部的 7 。若將 3 塊當成 l 份，則原圓形可

用 [---I口口口拉口口)表示，全部變成3

份，塗色部分變成 l 份，所以塗色部分是

全部的 1 。選擇選項@的 18 位學童(60%)

,

有些可能是依照圓形中塗色部分的個數來做答。而選擇選項@的 8 位學童 (27%) 中，可能是將塗色部分的個數當成分子，未塗

色部分的個數當成分母還 7 「 7 」的答

案。由此顯示這些學童是無法掌握分數部分/整體關像。另外，還有些學童的分數概念可能是仍停留在「圓形等分割數即為分母」的思考模式，無法對離散量情境中的數份內容物進行「再合併」。透過訪談我們

發現這些學童原是想選擇:，但無此選項

(7)

有 8 位學童 (27%) 亂寫或是空白。從圓形來看，全部有 12 格，塗色部分有 6 格，所以

6

塗色部分是全部的一。如果將 3 格當成 l

12 份，則圓形可看成 1II1II1111111 ，全部變

成 4 份，塗色部分變成 2 份，所以塗色部

( 6 )

分是全部的互。填 -r 的 16 位學童

(53%)

，可能是將塗色部分的數量直接當成

分子，也有可能是從圓形中知道是丘，卻

12 無法利用「再合併」的方式將三轉換成其

等值分數:。透過訪談我們發現有些學

( 6 )

童原是想填 17 ，但題目中的分母指定為

( 6 )

，這些學童不會將 17 轉換成其等值分

( 2 )

數 -7 ，只好仍將分子填為 6 ，訪談案例舉隅如下: T: 這個圖形，塗色的部份有幾格?

S

:6 格 T: 全部;有幾格?

S : 12

才各 T: 所以塗色部分是全部的幾分之幾?

( 6 )

s 分成 12 份拿 6 份，嗯...一一

12

T: 但是題目的分母是 4 ，不是 12

'

怎麼辦?

S

:不知道，庭、核就是 6 吧 T ﹒為什麼?

S

:因為分成 12 份拿 6 份，所以分子就是 6 。類似的情況，學童在例題 5 的答題中也出現了一些徵兆: 例題 5 請在下面畫出指定的圓形:爸爸買了一個披挂如右圈，媽媽把它平分成 5 份，再吃掉 2 份，請把媽媽吃掉的部分塗黑。

@

答題結果

答案

*運最

(空白或其他亂寫)

答題率

4/30(13%)

20/30(67%)

6/30(20%)

例題 5 是將隱藏分數意義的文字敘述轉換為圓形，且每份內容物是非單一的題目，僅有 4 位學童答對。答錯的 26 位學童 (87%) 中，除 7 空白或亂寫的6 人外，其他 20 位學童 (67%) 都是塗 72 塊披薩。例題 5 是可以使用「整數除法」、或是「等值分數」來解題。不論學童使用哪種方法，都須先

了解題目中「平分成5 份，吃掉2 份」的意

義。如果學童使用整數除法，則要先將10 塊被薩平分成 5 份，算出每份拉薩是2 塊，吃掉 2 份就是吃了 4塊披薩。如果學童使用

(8)

對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討等值分數解題，則要知道「平分成 5 份，吃 ~

2

掉 2 份」就是分數「一」的意義，然後利

5 用對每一份進行「再平分」的想法得到其

等值分數「主 J '也就是 10塊披薩中的 4

₁₀

~ 塊披薩被吃掉。大部分答錯的學童可能是看到題目「吃掉 2 份 J' 就將圖形中的 2塊塗上顏色，卻沒有發現題意中的 2份和圖形中的 2塊是指不同的意思，忽略題目要求先平分成 5 份的步驟。從上述三個例題中，我們發現學童遇上圓形分割數和分母不等的情境時，有些學童可能會將直接將塗色部分當成分子，有些學童可能無法將單位量中的每份內容物進行「再分割」或每幾份內容物進行「再合併」以轉換成其他等值分數形式，只好遷就原來所認為的分子，仍將其當作答案，而這也顯示了這些學童面臨內容物非單一的情境時，無法掌握分數部分/整體關條。我們發現學童在有關分數意義的試題中，不管是真分數(例題 1) 、假分數與帶分數(例題 2) ，或是等值分數(例題 3 、例題 4 、例題 5) ，皆有學童單受到分子影響作答，有些甚至高達 7 成。這些學童可能是因為不懂分數意義，也可能是因為無法完全掌握分數部分/整體關條，僅以「圖形等分割數即為分母」的思考模式進行解題。學童之所以使用「圖形等分割數即為分母」的思考模式解題，主要是三年級的分數教材皆為「圖形等分割數即為分自」情境。學童雖然不理解分數部分/整體關條，還是能順利解題。但到了四年級，當學童遇上圖形分割數和分母數值不等的情境時，也就是單位分數表示的內容物不再是單一，在無法完全掌握分數部分/整體的關條下，作答時就極易受到分子數值或分母數值的影響。

二、學童在同分母分數的加減計算

部分的答題表現學童最早學習分數的加減是在三年級「真分數」的課程，大部分老師在授課

~

b . c

b±c

時，總是會教導學童算則「一士一=一一一」。

a

因為分母不變，所以有些老師常會以口訣「分母不變，將分子相加或相減」來教學。低成就學童常因無法理解算則的原理，就轉而背誦口訣解題。但是在四年級的分數課程中，同分母分數的加減計算除了真分數外，還多了帶分數與假分數，有時甚至整數也來湊一角。此時學童如果仍靠背誦口訣來解題，遇有題型變他時，就會不知如何變通而錯誤百出了。這份試題的計算部分，分成同分母分數的加法與減法兩種計算，而每一種計算的一組對象可為整數、假分數與帶分數三類中的兩兩組合計有六種情形，因此共有 12 題。經筆者歸納，學童藉由背誦口訣來解題，容易出現的錯誤類型有三種，茲列項說明如下: (一)計算時，忽略整數部分第一類型的錯誤為「計算時，忽略整數部分」。當同分母分數加法或減法計算問題其中一項為帶分數時，本測驗中的學童

(9)

特別容易出現此錯誤類型。學童如果只是背誦口訣「分母不變，將分子相加或相減」來解題而不明究理，當遇到口訣以外的數 (如帶分數的整數部分)時，就容易出現此類型錯誤，忽略整數將分子相加或相減。以圓 l 與圖 2 為例:

13 . _1

U}

't

D

一 +6一=手呵呵于

9

9 (\

~/

)

國 l 學童計算帶分數與假分數的加法時犯第一類型錯誤的答題結采

57 ~

17 ((代5))

.一-10

-1 。可~6

)

云空一主=斤八

₇

_('11)

圖 2 學童計算帶分數與假分數的減法時犯第一類型錯誤的答題給呆圓 l 與圖 2 是學童進行假分數與帶分數的加法和減法計算的答題結果。我們從圖 l 與圓 2 中發現，學童可能利用背誦口訣來解題，但口訣中並未提及「帶分數的整數部分」該如何處理。學童只好忽略整數部分，直接將分子相加或相減。特別是圖 2 中的下方試題，學童忽略整數的部分

後，又發現被減數的分子小於減數的分子，

於是反過來將減數的分子減去被減數的分子，此處將於第三類型的錯誤中說明。 (二)計算時，整數與分子相加(滿) 第二類的錯誤為「計算時，整數與分子相加(減)J 。當同分母分數加法或減法計算問題其中一項為整數時，本測驗中的學童特別容易出現此錯誤類型。學童如果只是背誦口訣「分母不變，分子相加或相減」來解題而不知變通，當其中一項未出現分子時，便容易抓整數遞補而與另一分數的分子相加或相滅。以固 3 與圓 4 為例: 國 3 學童計算整數與假分數中目加時犯第二類型錯誤的答題結采

ιL2

侈4!穹摩

_考亨求

L呼

_?

圖 4 學童計算整數與假分數相滅時犯第二類型錯誤的答題給呆圖 3 與圓 4 是學章進行假分數與整數的加法和減法時的答題結果。我們從固 3 與圖 4 中推測學童可能同是依賴口訣來解題，但口訣並未提到其中一項沒有分子該

(10)

對國小四年絞盡文學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討如何處理。學童為能順利套用口訣，只好

將沒有分子的「整數」視為「分子 J' 拿來

與另一分數的分子相加或相滅。另外特別注意的是圖 4 中的下方試題，由於被減數缺少分子部分，學童為了套用口訣，只好拿被減數的整數r6

_J

減去減數的分子

r

14

J。又遇到不夠減，只好反過來將減數的分子

r 14

J 減去被減數的整數 r6

_J

，此處將於第三類型的錯誤中說明。 (三)滅法計算時，以滿數分子大的數滿去

被滅數分子小的數

第三類的錯誤為「減法計算時，以大的數字減去小的數字」。當同分母分數減法計算問題中被減數的分子小於減數的分子時，本測驗中的學童特別容易出現此錯誤類型。當學童遇到被減數為整數且其數字比減數的分子小，或是被減數的分子數值比減數的分子數值小的情形時，學童可能因為不會借位或無法將整數轉換成分數，就用減數減去被減數。以圖 5 為例:

平手將主乎每每

圖 5 學童計算時犯第三類型錯誤的答題結果圖 5 左邊是同分母帶分數與假分數的減法計算，圖 5 右邊是整數與假分數的減法計算。在圓 5 左邊試題中，學童先犯了上述第一種類型的錯誤(忽略整數部分)

,

又由於分子部分 r

5-1 1

J 不夠減，學童只

好改以 r

11-5

J 而得到「?」的答案。另

外，在圓 5 右邊試題中，學童先犯 7 上述第二類型的錯誤(整數與分子相加減

)

，又

因為分子部分

r

_6-14

_J

_{不夠滅，學童只好}

改以

r

₁

_{叫」而得到「;」的答案。}

同分母分數的加減計算是最簡單的分數計算，在三年級的分數計算中，就算學童沒有分數概念、不明白分數部分/整體的關條、不懂計算原理，往往只要背誦口缺「分母不變，將分子相加或相減」就能得到答案。但到了四年級，如果學童缺乏概念做為算則背後的支撐，一旦遇到題型

中多

7

整數或少

₇

_{分子，計算就不再只是}

單純的「分子相加減」而已。學童為了將

題目套用到口訣中，就容易忽略整數部分、將整數與分子直接加滅，有的甚至不會借

位只好改以「減數分子大的數」減去「被

減數分子小的數」。這一連串的錯誤，就是因為學童缺乏用概念去支撐算則的使用所造成。或許當下解題沒有問題，當學童進行更高階的分數學習或計算時，這樣的一知半解所造成的錯誤將會完全顯露無疑。

肆、個案舉隅

這次施測結果，我們發現學童在概念題型常因「無法掌握分數部分/整體關係」而出現許多迷思;在計算題型常因背誦缺乏理解的口訣「分母不變，將分子相加或相減

J'

遇有題型變化，就不知變通而產生許多錯誤。不論是概念試題或計算試題，都顯現出我們的施測學童對於分數概念薄弱，特別是這些學童無法掌握分數部分/

(11)

fc

I

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連輸翰的全齣妙? 圖 6

4 .~巧的有 4 峙

，師自.

國國國區

整體關條，以致於學習其他分數概念或算則時，就不易理解而偏向記憶。在此分別

以學童 SI 與 S2 為例，學童 SI 是「受分

子影響作答 J '而學童 S2 是「背誦口訣缺乏理解導致錯誤」。這兩位學童答題結果見

下表 3 。

由於學童無法理解分數符號中兩數並置所擁有的含意，以致作答時就容易受到題目中的分子或分母所影響。本測驗中的學童 S 1 就是屬於受到分子影響而作答的例子， Sl 的部份答題表現如圖 6 。表 3 學童 Sl 與 S2 在各題型中的答題表現

平之心±主

S I

(受分子影響作答) S2( 背誦口訣缺乏理解導致錯誤) 例題 l

×

O

例題 2

_O

×

概念性試題例題 3

×

例題 4

_O

×

例題 5 X

×

例題 1

×

例題 2

×

例題 3

×

例題 4

×

O

例題 5

×

計算性試例題 6

×

題 _{例題 7}

_×

。4 題 8

×

例題 9

×

例題 10

O

×

例題 I

1 ×

×

例題 12

×

(12)

對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討圖 6 是概念性的試題，包含了真分數、假帶分數與等值分數三種情境。在真分數情境中(圖 6 上方試題)

,

81 可能將題目的

分數符號「 i 」的

r

I

J

與

r2

J

視為兩個

獨立並置的整數，並在答題時受到分子r

_I

J 的影響。在假分數與帶分數情境中(圖 6 中間試題)

,

8 I

可能錯認了單位量，也有可能是其分數部份/整體的關條仍停留在「圓形等分割數即為分母

_J

'將題目中 16 條巧克力的條數當作分母，把 10條塗色的巧克力條數當成分子。在等值分數情境中(圖 6

下方試題)

，塗色部分是全部的「

_jr

sl

可能同樣將分子與分母視為獨立並置的整

數，受到分子

r3

_J

的影響而選擇了選工頁。。以上種種，都顯現趴在分數意義上產生了許多迷思概念，不論是錯認單位量、將分數視為兩獨立並置的數、或是概念停留「圖形等分割數即為分母」的模式，都可能是因為 81 無法掌握分數部分/整體的關條所導致。由於學童背誦口訣而缺乏理解時，將會為了套用口訣而產生許多錯誤。本測驗中的學童 82 就是屬於此種情形。 82 的部分答題表現如圖 ₇ 、圖 _{8 與圓 9} _。圖 _{7 中，顯示 82} _{不知該如何處理口} 訣中並未提及的整數，只好忽略整數，直接進行「分子相加或相減」以得出答案。在圖

₈

中，

82

又遇到

₇

另一種狀況「其

中一項缺乏分子」。為了要能套人算則， 82 只好將整數視為分子以便進行相加或相滅。特別是在圖 8 中的第二題中，我們可以從泣的解題痕跡中發現。 82 確實將

減數的

r2

_J

_{視為「吉」來進行計算。}

手

+6;

待台束對手

告

_IE=

_有

₄

_特點

3 _刊三宇:

8+

_三等伯笠

;三學

位互轉令

圖 _{8 82} 在計算主題中所犯的第二類型錯誤

oq;

圖 _{9 82} 在計算主題中所犯的第三類型錯誤在圖 ₉ 中， 82 亦是如此。只是r

_6-14

J 不通，只好反過來，以減數分子大的數減去被減數分子小的數。綜觀上述例子，更加印證

₇

82 因為沒有理解算則，在遭遇計算問題與所背誦的口訣有所出人時，就容易衍生出「學童法」而錯誤百出。

(13)

學童學習分數時很容易產生述思概念或錯誤類型。如果我們從學童的答題中去交互比對，就可發現造成學童述思的原因。如上述學童 Sl 易受分子的影響作答，其因可能是 SI 無法掌握分數部分/整體的關像。如果不及時破除這些逃思，導正概念，那麼這些迷思將會深植於學童的心中，嚴重地影響學童往後的分數學習。同樣地，我們也從學童的答題中去交互比對以 7 解學童是否真的學會分數計算。像上述學童 S2 僅依賴口訣計算同分由分數加減，遇有題型變他時，就不知變通而產生許多錯誤。究其原因，可能就是 S2 背誦口訣而沒有正確的概念作為基礎所導致，如果不協助學童建立正確的分數意義與理解算則原理，待日後進人約分、擴分、異分理分數的加減以及分數的乘除法時，必然會混淆口訣而錯誤百出。伍、結語本文透過一份試題和 30 位四年級數學學習低成就學童的答題結果來探討學童的迷思概念/錯誤類型與其成因，茲將探討結果歸納如下: 一、概念部分在概念試題部分，學童容易出現的迷思概念與其成因主要有三. I. 受分子或分母影響作答 2. 錯認單位量 3. 在內多情境下，將圖形分割數視為

分母

二、計算部分在計算試題部分，學童容易出現的錯誤類型與其成因主要有三: I.忽略整數部分 2. 整數與分子相加(減)

3. 以減數分子大的數減去被減數分

子小的數在施測學童的答題表現中，我們發現造成學童產生上述現象的背後主因，極有可能是學童無法完全掌握分數部份/整體的關像。學童無法從試題的圓形、符號或

題意(文字敘述)中找出並釐清分子與分母

的關條，學童便不能理解分數符號的意義。學童沒有分數的概念作為基礎時，更加不懂分數計算的原理，只能藉由背誦口訣來解題，也因此產生許多錯誤。換言之，我們要讓學童學會分數的計算，必須要先幫學童建立正確分數概念。有學者認為，學童能以不同表徵表現出同一概念，或在表徵間自由轉換，才算是真正掌握了數學概

念( Le 帥，

Post

&

Bel汀， 1987) 。針對上述發

現，應先讓低成就學童學會在不同表徵間進行轉換以期能真正掌握概念，有了正確的概念後，再進行同分母分數的加減計算教學。我們對於四年級老師進行分數補救教學的建議如圖 10 。一、補救教學前確認學童迷思概念或錯誤類型。

二、補救教學中

需要建立並穩固學童對分數的基礎

概念。四年級的分數課程中不止導人了假

(14)

對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討建立正 Z在概念玄萃苛J 分數計算教學分數意殺的提升

c叫 I單位分紋的肘。I>∞區至1

分或示及求法

形加

國的算單，問計

惘他﹒法

、、在本"if 表本夜圖 10 分數補救教學建議國分數與帶分數的概念，在計算方面也增加了假帶分數的轉換、整數與分數的轉換以及進位與借位。此時，學童對於分數的認

知「主就是將 l 個整體先平分成 a 份，再

a

取其中的 b 份」也應提升到「主就是 b 個

a

工」的模式，並能逆向思考 'b 個土就是

a

主」。在此基礎下，同分母分數的加減與

a

學童的整數加減經驗完全相同。另外，許多學者認為學童要能在不同表徵間進行轉換，才能掌握概念，因此教學時建議多利用下列方法: (一)建立正確觀念部分: 1.畫畫看(將符號和敘述與圖形建立連

結)

例如一方面將「?塊披薩」或「把一

塊披薩平分成 4 份，取 3 份的結果」

造成圓形，，. J 另一方面將 '3 個 j

塊披薩」畫成'.

•

.J 。同時讓學童

了解，，. J 和'.

• .J 是一樣多，

所以「 7 」與， 3 個 j 」可視為相同。

2. 寫寫看(將國形和敘述與符號建立連結)

,

例如將'.

• .J 寫成 '3 個 j 」塊披

薩，用分數表示是「 7 」塊披薩。

3. 說說看(將圖形和符號與敘述建立連結)

,

例如將'.

•

.J 以口述或文字寫成

(15)

r

3 個 j 塊披薩 J '也就是「?塊披

...J' 即 11 個 r.

J

，

也就是 11 個 1 ，從 r b 個工就是主」

4

a

學

皆因

刊一

4

一 674 斗，

5-4

1 人 I 』戶行川￠←'

叫一

4 為

知

得

薩」。 (二)分數計算的教學部份童擁有上述經驗與基礎後，再利用簡單圓形，配合正確的概念，便能區別不可求快，須待學童從上述方法中建

1

~.， ~

b

立「一就是 b 個一」與r b 個一就是一」

a

分數符號中分子部分與整數的不同，也就不容易發生文中所提及的錯誤 7 。以同分母為前提，講學童明白單的概念後才能進行。進行分數的加法或減法教學時，應先強調「同分母的意義 J '讓學童 7 解當分母相同時，表示等分割的份數相同，也就是有相位分數相同的重要。從單位分數的累加開始，讓學童了解假帶分數與其互同的單位分數。單位相同，分數才能換以及假帶分數與整數三者之間的加減法是如何計算。這樣的學習，才是有意義的學習，才能避免純口訣背

進行加法與減法計算。如塗色部分 a

表示 j 塊披薩

r. •••

.J 是 5

誦。

個 r .J 也就是 5 個 j 塊披種。再加

三、補救教學後

測驗內容設計，，在概念題型方面，應將「畫畫看」、「寫寫看」、「說說看」三類題型並重，如果三類題型間能互相呼應，則更能了解學童的概念建立是否穩固。在計算題型方面，除了要有分數加滅的計算

上先前建立的概念 rb 個工就是主」

a

中，於是學童就能說出這裡有「?塊

披薩 J '這也就是單位分數的累加概念。當學童有這樣的基礎時，就可以題外，更可利用圓形題和口語描述以了解利用上述概念與圓形，讓學童進行假學童是否純以背誦口訣來解題。如果教學者能充分運用圓形、符號與分數或帶分數的加法與減法計算。以 r

5

6 戶

假分數相加「互 +Z 」為例，先以 r.

教症L 來進行分數教學，並讓學童能使用不義，幫助學童建立正確分數概念，那麼學童在遭遇不同情境的分數加減問題時，就同表徵進行轉換，能畫、會寫、說得出意

•••

.J 表示 5 個 j

i

a a a a

有能力思考解決問題的方法，而不是只能使用背誦口缺的方式來嘗試解題。國小數

甘示 6 個 j; 當 r.

•••

.J 與

r...

.J 合起來就是 r.

..

(16)

對國小四年級數學低成就學童在分數學習的迷思概念/錯誤類型與其成因之探討學教育中，我們應優先重視概念的理解，引導學童能將圓形、符號與敘述三者產生有意義的連結，融合三者為一體。因此，對於學童分數的學習，我們應不斷的提供學童機會，將「分數的符號」、「圓形」、「敘述」三者視為一體，幫助學童建立正確概念，再加上熟練為輔，才能真正幫助學童學習分數。

參考文獻

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