從變化量與對稱性探索等差數列與等差級數

等差數列與等差級數

陳梅仙

屏東縣立琉球國民中學 壹、前言 以往進行等差數列教學時，總是會特 別找尋具備各種規律的數列，讓學生進行 探索並發現其中規律，再特別將等差數列 抽離出來進行討論，這是以前進行教學的 主要棋式，教師教學的腦海中早已建構著 等差數列公式，教學目的很單純的就只是 希望學生學會操弄等書數列的公式，可以 快速正確的進行解題，這次，大不相同， 教學過程中刻意閃開等書數歹IJ 公式，只帶 領學生看到等差數列項次彼此之間的關條， 讓學生自己利用關條解題，老師不特別將 公式點出，更不會特別使用公式解題，只 是一再的強調數列項次之間的關條，這是 一次嶄新的嘗試，並且是在課堂中所發展 出來的教學方法，茲詳細說明分享如下 O

貳、認識數列

在課堂中，請學生任意選一個數字並 說出來，老師依序將該數字寫於黑板上， 這會出現兩種情形，其中一種情形是，學 生是任意給數字，因此不會有特別的規律 性，另外一種情形，在後面提出數字的學 生會很自然想參考前面已給定的數字，以

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-等差數列或是其它數列規律的方式將數字 給出，不論是哪一種情形，均可以很清楚 的讓學生知道，所謂的數列，很簡單的就 是將一群數字按照順序排成一列，而數列 本身若有規律性，我們將可以利用其規律 性寫出該數列後面的數字 o

參、從變化量來看等差數列

一、寫出具有規律性的數列

講學生各自寫出一個具有規律性(可 以依照規律寫出下一個數字)的數列，慢慢 的和學生討論不同規律性的數列，最後抽 離具有等差數列規律的數列進行討論。 二、等差數列的命名 (一)觀察等差數列的規律 等差數列名稱的介紹是讓學生透過觀 察數列特性，老師與學生討論之後命 名出來，老師不直接進行數列名稱的 命名，也就是說，老師先利用學生前 述恰為等差數列的舉例進行討論，讓 學生知道清楚知道數列規則，弄清楚 數列中數字與數字之間的關條之後， 再從其中關條進行數列名稱的命名。

科學教育月刊 第 358 期 中華民國 102 年 5 月 (二)等差數數列的命名教學 在研究數學的過程中，我們喜歡討論 從不變中看變化，詢問學生如何透過 數學表達出數列的變化，而看變他時 我們習慣拿後面的結果與前面的結 果做比較，例如:做生意的盈虧、今 日與昨日的溫差、身高體重的變化.，. 等等，因此，要寫出已知數列的變他， 我們喜歡將後面的數字減去前面的 數字來觀察其變化量，而我們所觀察 的數列恰為變化量均相同的數列，這 個變化量是經過相減獲得，而兩數相 減在數學上我們稱之為差，因此，我 們將該數列命名為等差數列，而數列 中相鄰數字之問相等的變化量，我們 則稱之為公差。 (三)等差數列的頂灰的命名 教學中發現學生對於透過 3

_n

來表示數 列中不同的數字產生困惑，在進行計 算時會將₃

n

的下標數字直接進行運 算，對於 3

_n

符號的接受度很勉強，因 此，這個部分的教學，老師可以利用 班級名稱的不同當作符號，班級名稱 的下標則採用學生座號來與學生討 論，班級名稱的不同是代表不同的班 級，而透過班級名稱加上下標數字則 可以很簡便的表示班級中不同的學 生，用這樣的舉例，並多舉實例來說 明

3

_n

符號的使用在於區分不同的數列 與數列中不同位置的數字，在這裡必 須多花些時間讓學生對於3

_n

符號的使 用產生廠覺，因為，這對於學生日後 在數列上的學習相當重要。 (四)從變化量來看等差數列 在黑板上寫出下列數列，直接講學生 依照數列的規律計算出

37 ， 3S' 肉， 3鉤， 32013 '學生先進行運算

後，老師再根據學生的寫法與學生進 行討論，並討論出計算的想法。

5

3 1

8

32

11

33

14

34

17

35

20

36 37 a 自 3 9 320 32013 老師提問: 1.我們若說從數列的第 1 個數字 5 到第 2 個數字 8 稱為 l 次的變{七， 請計算出其中的變化量。 2. 我們若說從數列的第 l 個數字 5 到第 2 個數字 8 稱為 l 次的變化， 請計算出第 2 個數字 5 到第 6 個數 字 20 會經過幾次的變化? 3. 我們若說從數列的第 l 個數字 5

到第 2 個數字 8 稱為 l 次的變忙，

請計算出第 6 個數字 5 到第 20 個 數字會經過幾次的變忙?請利用數

列的變 t 量與變{七次數計算出數

列的第 20 個數字。 4. 我們若說從數列的第 1 個數字 5

到第 2 個數字 8 稱為 l 次的變忙，

請計算出第 3 個數字 5 到第 2013 個數字會經過幾次的變化?請利用

數列的變 t 量與變化次數計算出

數列的第 2013 個數字。 5. 當等差數列的變{七量是正數時，會 讓數列上的數字進行什麼樣的變

{七?

6. 當等差數列的變{七量是負數時，會 讓數列上的數字進行什麼樣的變

{七?

7. 當等差數列的變化量是零時，會讓 數列上的數字進行什麼樣的變忙? 8. 當我們掌握等差數列的什麼訊息 時，我們就可以計算出該等差數列 中的每一個數字? 9. 已知等差數列中的第 5 個數字 27 和第 12 個數字 97 .講計算出等差 數列中的第 103 個數字 10. 已知等差數列中的第 5 個數字 27 和公差 4· 請計算出等差數列中的 第 2013 個數字。 透過以上的從等差數列變化的角度 與學生進行討論與探索，學生將會因 為從等差數列中的變化量與變{七次 數來計算出數列的變化量(公差)而對

57

-於等差數列擁有屬於自己的戚覺，甚 至也可以自己撰寫出屬於自己可以 有國覺的數學關條式，也將能更彈性 的看出等差數列如何因為公差是正 數、負數或零可以看出該數列是遞增 數列、遞減數列或是沒有任何變忙， 更能從公差或任何兩個數字之間的 關條確實的掌握住等差數列的規律 性與內涵，以上的討論與探索，沒有 一定的方式或內容，老師進行教學時 的節奏只要能配合著學生學習的節 奏，學生應該都會很有機會自己找出 等差數列的數學內涵，進而能體會到 數學學習本身應具有的成就戚與趣 味性。

肆、從對稱性來看等差級數

一、認識等差中項 在等差數列中任取連續的三個數字， 其中正中間的工頁，我們就稱之為其它兩項 的等差中工頁。

二、利用等差中項的概念將等差數

列中的每一項幻化為等差中項

利用下列表項中等差中項與其他兩 項之間的變忙，探索出任意兩項等差中項 的兩倍恰為旁邊對稱的兩項的和，再利用 下表說明如何利用等差數列的對稱性求出 等差級數的和，也就是說，只要我們能找 出等差數列的對稱中心的數字，我們就可 以利用(對稱中心的數字 )x(數列項數)求出 等差級數的和。

科學教育月刊 第 358 期 中華民國 102 年 5 月

a 1

5

17-3

-3

-3

-3

a 2

8

17-3

-3

-3

a3

11

17-3

-3

a 4

14

17-3

as

17

17

a6

20

17+3

a 7

23

17+3

+3

as

26

17+3

+3

+3

a 9

29

1

7+

3

+3

+3

+3

這 9 項

_{5+8+ 11 + 14}

_{7+17+17+17+17}

的和

+1

7+

20+23

+17+17+17+17

+26+29

=17*9

17 是真實的 等差中項

a

1

8

29-3

-6

-6

-6

a 2

14

29-3

-6

-6

a 3

20

29-3

-6

a4

26

29-3

a 4.s

29

29

as

32

29+3

a6

38

29+3

+6

a 7

44

29+3

+6

+6

as

50

29+3

+6

+6

+6

這 8 項

_8+14+20+2

_{29+29+29+29+29}

的和

6+3

2+

38+4

+29+29+29

4+50

=29*8

29 是虛擬的 等差中項 不屬於等差數列

三、從對稱性看等差級數的解題功

力舉例

這次八年級段考命題命了一道常見 的難題如下，老師希望可以看看學生將會 以什麼樣的方式解題，也希望可以透過這 次題目的命題讓學生看到數學想法的重要 性，希望可以讓學生察覺到數學並不僅是

公式的解題運算，只要有想法，就可以讓 看似複雜的題目找到直接運用數學內涵本 身就可以解題的想法，而這樣的解法更能 戚受到數學學習的樂趣。 題目: 一等差級數前 30 項的和為 600 '第 21 項至第 50 項的和為 2400 ;則該級 數第 21 項至第 30 項的和為何?

1.

傳統一般解法:代公式列出二元一次

方程式

假設等差數列首項為 a 、公差為 d { ". .

;…+刊如叫叫……(仙仙叫…+吋叫叫

捌

29

9吋d

m = 600

z

A O

解出 a 和 d'

((a+20d)+(a

+4

9d))x

" = 2400

再帶人等差級數求和公式

((a+20d)+(a+29d)) x10

2

'求出第 21 項至

第 30 項的和

2.

掌握等差數列變他量:先掌握公差的

解法 利用等差級數前 30 項的和，以及第

20

21 項至第 50 項的和之間均是計算連 續 30 項的和，求出公差 」 UAU Aυnυ qLqL 一一一一 4AqL gunu

--4AqL qLqL

aa

aSO - a30 = 20d

因此，

(a2l

+

a22

+ ... +

aS

_O

) 一 (al

+

_a2

+

...+俏。)

= 20d

x

30

'解出 d

3.

利用等差數列對稱性:掌握等差中項 解法 透過等差級數的對稱性，求出前 30 項的對稱中心(虛位等差中項)

a 15.5=600/30=20

透過等差級數的對稱性，求出第 21 項至第 50 項的對稱中心(虛位等差中 工頁)

a_35.5=2400/30=80

透過等差級數的對稱性，求出第 21 項至第 30 項的對稱中心(虛位等差中 工頁)

a_25.5=(20+80)/2=50

再利用虛位等差中項 50 '求出第 21 項至第 30 項的和 =50xl0=500

-8 1

815.5

•

821

825.5

830

50

-

835.5

-

850

80

-

59-科學教育月刊 第 358 期 中華民國 102 年 5 月 伍、結語 從老師預設立場預計教導學生操作 並熟練等差數列和等差級數的公式運算方 法，到轉變為在課堂中製造機會讓學生進 行探索討論，希望能讓學生對於等差數列 有所戚覺，整個教學過程中，公式的引導 變成是次要的甚至是幾乎不會提及，因為 學生當對於等差數列有所聞覺時，自然會

在等差數列中數字與數字之間的變他量與

對稱性中找到其規律性，當學生對於所學 習的數學知識有足夠的時間進行體驗時， 在學習的過程中，學生不只可以體會數學 學習的樂趣所在，學生將不容易遺忘曾經 學會的數學概念，更可以發展出屬於自己 理解的解法，數學知識只有學生有所廠覺， 並能使用自己的話語寫下來了，這樣的數 學知識才能內他為學生真正獲得的知識， 前述難題的最後一個解法是來自一位數學 成績在班級相當落後的學生，其解法之巧 妙令人讀嘆，而且該班班上僅有這位同學 解出來，這帶給這位同學相當大的成就風， 也證實了數學的學習不在乎如何熟練的操 作數學公式，而在乎如何讓學生對於所學 的數學知識能有所戚覺，這是一次蠻有趣 的教學嚐試，老師只要能繼續掌握學生學 習的節奏講學生體驗數學知識，將可以繼 續發展出不一樣的教學方法，就像這次的 嘗試一樣。