主動懸吊控制系統在樓房減震之可行性研究
劉樹崑1、黃立政2 1 國立高雄應用科技大學土木工程與防災科技研究所一年級研究生 2 國立高雄應用科技大學土木工程與防災科技研究所副教授摘 要
結構物在承受地震力時，其結構物相對於地面會產生一上下位移與轉角，過大的位移與 轉角會使得結構物產生破壞，希望經由控制來消減地震力所產生的位移與轉角。本文嘗試使 用主動懸吊控制系統以達到減震之目的。首先建立垂直變位與扭轉變位二自由度系統之運動 方程式，再化為一階聯立之狀態空間描述，以進行開路與閉路系統之動力反應分析。分析時 採用比例增益作為回饋控制之設計，再以Runge-Kutta 方法求解系統位移及轉角之歷時反應。 關鍵詞：高樓結構、主動懸吊控制系統、減震1. 緒 論
由於台灣位於環太平洋地震帶上，位處於歐亞大陸、太平洋、菲律賓三大板塊之交界， 大小地震不斷，隨時受到地震的威脅，所以建築物的抗震能力就尤為重要。地震力會使結構 物產生水平及垂直位移與彎曲，甚至產生扭轉，一般規範會限制水平地震力，其中垂直加速 度對高樓結構影響甚大[1,2]，故本研究則以垂直位移與傾角為主題，經由控制來抑制地震力 所引起的位移與轉角，使得結構物保持水平的穩定狀態，避免結構物產生破壞行為以及降低 由地震所引起的不適感。 汽車為一經常承受路面跳動造成上下位移及前後左右傾斜之動力系統，一般採用懸吊機 構或控制系統予以減震[3-5]，本文嘗試引用汽車懸吊系統類似之設計，對行車運動控制原理 延伸至結構物地震力控制所造成之消減，希望透過汽車懸吊系統的概念來啟發一些新的構 思，有效的對建築物進行控制，進而對抗地震力的影響。 本研究採時間解域進行分析，結構動力的部分，以位移及轉角運動之二維橫桿作為模型。 在系統之無因次二階微分方程式建構完成後，可化為一階狀態方程式代入 Runge-Kutta 方法 求解系統位移及轉角之歷時反應，並以比例增益（proportional Gain）作為回饋控制設計。(1) 系統描述 橫桿質量為 m，橫桿總長為 L，彈力中心為點 B，質量中心為點 G，橫桿右端至彈力中 心之距離為d，橫桿左端至彈力中心之距離為 c，偏心距為 e，質量慣性矩為 JB，彈簧勁度為 K1 與 K2，垂直位移為 XB，轉角為 θ，如圖 1 所示。 圖1 系統之基本數學模式圖 為了簡化整體系統，結構物系統以一橫桿表示之，在橫桿兩端安裝上不同彈性係數之彈 簧，系統中不考慮阻尼係數，並將其橫桿視為剛體，而轉角所產生的側向位移（微小位移） 則予以忽略，在分析時則以縱向立面二自由度來描述之。 (2) 基本假設 本文進行理論推導採用以下假設： a.微小變位 b.材料為線性 c.縱向立面運動以垂直變位與扭轉變位二自由度表示 (3) 公式推導 二自由度系統運動方程式可寫為： ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ C C B B B M F X d K c K K K X J me me m θ θ 2 2 2 1 2 1 0 0 && && (1)
[ ]
M{ }
q&& +[ ]
K{ } { }
q = f (2)其中
{ }
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = θ&& && && XB q ,{ }
⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = θB X q ,[ ]
⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = C C M F f ,[ ]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = B J me me m M ,[ ]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = 2 2 2 1 2 1 0 0 d K c K K K K . 將上式無因次化後可化為狀態方程式：{ }
x[ ]
A{ }
x[ ]
B{ }
u d d = + τ (3) 其中[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − − − − − + + − − = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 me J e e d e c me J e L L me L J eL d c me J e e e A B B B B ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ,{ }
B T B d d d dX X x ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = τ θ τ θ* * * *, , , ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 ω ω ω ω ω ω ω ω ω B B B B J me J me e L J L me e L J L me e mL B ,{ }
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = C C M F u . 此處 L X XB* = B 為無因次位移, 1 ω τ =t 為無因次時間, 2 * 2 2 1 τ ω d X d L X&&B = B 為無因次加速度,2 τ d 將(3)式代入 Runge-Kutta 方法即可求解時間解域之系統位移及轉角歷時反應。
3. 控制模擬之分析
(1)開路系統（未受控制）： Runge-Kutta 方法求解(3)式，可得系統位移及轉角之歷時反應。 (2)閉路系統（主動控制）： 選擇比例增益（Proportional Gain），設{ }
u =−[ ]
G{ }
x (4) 則閉路系統變成{ }
x[ ] [ ][ ]
A B G{ }
x d d ) ( − = τ (5) 利用上述狀態方程式，將系統參數增益[ ]G 加以調整，代入 Runge-Kutta 方法求解，可得 系統之位移與轉角變化。系統示意圖如圖2 與圖 3。 圖2 減震系統控制迴路示意圖 Bu Ax x& = + y d Gx u=−圖3 位移(XB/L)歷時反應圖
4. 結果與討論
爲了解本數學模式之動力系統反應，採用以下數值案例： . 5 . 0 , 3 , 2 , / 20 , / 30 , 500 2 1 m e m d m c m N K m N K kg M = = = = = = 本系統之兩個自然振動頻率為 sec / 2449 . 0 1 = rad ω , sec / 2000 . 0 2 = rad ω .選擇比例增益矩陣（Proportional Gain Matrix）為
[ ]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 G ,[ ]
⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 5 5 5 5 5 5 5 G ,[ ]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 10 10 10 10 10 10 10 G ,[ ]
⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 15 15 15 15 15 15 15 15 G . 由圖3 與圖 4 比較可得，開路系統為無阻尼系統，所以位移為自由振動反應，而使用閉 路系統之位移會隨時間而逐漸縮小，選擇增益5 其位移量降至一半所需歷時時間約為 18、選 擇增益 10 其位移量降至一半所需歷時時間約為 9、選擇增益 15 其位移量降至一半所需歷時隨時間而逐漸縮小，選擇增益 5 其轉角量降至一半所需歷時時間約為 40、選擇增益 10 其轉 角量降至一半所需歷時時間約為20、選擇增益 15 其轉角量降至一半所需歷時時間約為 13。 圖4 轉角(θ)歷時反應圖
5. 結 論
本文嘗試建立高樓結構系統承受垂直地震力作用下採用主動控制進行減震之數學模型， 利用垂直變位與扭轉變位二自由度剛體模型代表結構之變形，無因次化後得到狀態空間表 示。採用比例增益作為回饋控制之設計，並以 Runge-Kutta 方法求出開路與閉路系統之歷時 反應。由本文研究結果可得知，選擇閉路系統的確可以消減橫桿之垂直位移與轉角。將來希 望能透過多連桿的方式呈現，經由全主動及半主動進行控制。參考文獻
[1] Bishop, R. H., “Modern Control Systems Analysis and Design Using Matlab and Simulink,” 1997.
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