第三章·导数与微分
微积分课程
2020 年 8 月 29 日
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导数的概念
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第一节
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导数的运算
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第二节
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隐函数求导
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第三节
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高阶导数 .
第四节
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微分的概念
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第五节
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导数的概念
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第一节
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导数的物理背景
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A
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导数的几何意义
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B
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可导性与连续性
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C
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导数引例：瞬时速度
例 1 物体作变速直线运动，经过的路程 s 是时刻 t 的函数，s= ƒ (t)．求在 t0 时刻物体的瞬时速度． 从 t0 到 t0+ Δt 的平均速度为 Δs Δt = ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt 在 t0 时刻的瞬时速度为 lim Δt→0 Δs Δt = limΔt→0 ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt.
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导数引例：瞬时速度
例 1 物体作变速直线运动，经过的路程 s 是时刻 t 的函数，s= ƒ (t)．求在 t0 时刻物体的瞬时速度． 从 t0 到 t0+ Δt 的平均速度为 Δs Δt = ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt 在 t0 时刻的瞬时速度为 lim Δt→0 Δs Δt = limΔt→0 ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt.
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导数引例：瞬时速度
例 1 物体作变速直线运动，经过的路程 s 是时刻 t 的函数，s= ƒ (t)．求在 t0 时刻物体的瞬时速度． 从 t0 到 t0+ Δt 的平均速度为 Δs Δt = ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt 在 t0 时刻的瞬时速度为 lim Δt→0 Δs Δt = limΔt→0 ƒ(t0+ Δt) − ƒ (t0) Δt.
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导数的定义
定义 1 设 y = ƒ () 在 0 的某邻域有定义．若极限 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 存在， 则称此极限为 ƒ() 在 0 处的导数（或微商）． 记为 ƒ′(0)，y′|=0， dy d =0，或 d dƒ() =0． 注记 导数 ƒ′(0) 反映了 ƒ () 在点 0 处的变化快 慢，因此 ƒ′(0) 又称为 ƒ () 在 0 点的变化率．.
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导数的定义
定义 1 设 y = ƒ () 在 0 的某邻域有定义．若极限 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 存在，则称此极限为 ƒ() 在 0 处的导数（或微商）． 记为 ƒ′(0)，y′|=0， dy d =0，或 d dƒ() =0． 注记 导数 ƒ′(0) 反映了 ƒ () 在点 0 处的变化快 慢，因此 ƒ′(0) 又称为 ƒ () 在 0 点的变化率．.
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导数的定义
定义 1 设 y = ƒ () 在 0 的某邻域有定义．若极限 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 存在，则称此极限为 ƒ() 在 0 处的导数（或微商）． 记为 ƒ′(0)，y′|=0， dy d =0，或 d dƒ() =0． 注记 导数 ƒ′(0) 反映了 ƒ () 在点 0 处的变化快 慢，因此 ƒ′(0) 又称为 ƒ () 在 0 点的变化率．.
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导数的定义
定义 1 设 y = ƒ () 在 0 的某邻域有定义．若极限 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 存在，则称此极限为 ƒ() 在 0 处的导数（或微商）． 记为 ƒ′(0)，y′|=0， dy d =0，或 d dƒ() =0． 注记 导数 ƒ′(0) 反映了 ƒ () 在点 0 处的变化快 慢， 因此 ƒ′(0) 又称为 ƒ () 在 0 点的变化率．.
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导数的定义
定义 1 设 y = ƒ () 在 0 的某邻域有定义．若极限 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 存在，则称此极限为 ƒ() 在 0 处的导数（或微商）． 记为 ƒ′(0)，y′|=0， dy d =0，或 d dƒ() =0． 注记 导数 ƒ′(0) 反映了 ƒ () 在点 0 处的变化快.
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导数的几种形式
ƒ′(0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ （定义） ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h （令 h = Δ） ƒ′(0) = lim →0 ƒ() − ƒ (0) − 0 （令 = 0+ h）.
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导数的几种形式
ƒ′(0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ （定义） ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h （令 h = Δ） ƒ′(0) = lim →0 ƒ() − ƒ (0) − 0 （令 = 0+ h）.
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导数的几种形式
ƒ′(0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ （定义） ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h （令 h = Δ） ƒ′(0) = lim →0 ƒ() − ƒ (0) − 0 （令 = 0+ h）.
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导数的定义
如果 ƒ() 在 0 处有导数，则称函数 ƒ() 在 0 点可 导． 否则，称 ƒ() 在 0 处不可导． 如果 ƒ() 在区间 (,b) 内每一点都可导，则称 ƒ () 在区间 (,b) 内可导．.
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导数的定义
如果 ƒ() 在 0 处有导数，则称函数 ƒ() 在 0 点可 导．否则，称 ƒ() 在 0 处不可导． 如果 ƒ() 在区间 (,b) 内每一点都可导，则称 ƒ () 在区间 (,b) 内可导．.
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导数的定义
如果 ƒ() 在 0 处有导数，则称函数 ƒ() 在 0 点可 导．否则，称 ƒ() 在 0 处不可导． 如果 ƒ() 在区间 (,b) 内每一点都可导，则称 ƒ () 在区间 (,b) 内可导．.
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导函数的定义
如果 ƒ() 在区间 (,b) 内可导，则每个 0 ∈ (,b) 都有一个导数值 ƒ′(0) 与之对应， 从而得到一个函数 ƒ′()： ƒ′ : 0 7−→ ƒ′(0) ƒ′() 称为 ƒ () 在 (,b) 内的导函数（简称导数），记 为 ƒ′()，或 y′，或 dy d，或 d dƒ()．此时有 ƒ′(0) = ƒ′()|=0..
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导函数的定义
如果 ƒ() 在区间 (,b) 内可导，则每个 0 ∈ (,b) 都有一个导数值 ƒ′(0) 与之对应，从而得到一个函数 ƒ′()： ƒ′ : 0 7−→ ƒ′(0) ƒ′() 称为 ƒ () 在 (,b) 内的导函数（简称导数），记 为 ƒ′()，或 y′，或 dy d，或 d dƒ()．此时有 ƒ′(0) = ƒ′()|=0..
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导函数的定义
如果 ƒ() 在区间 (,b) 内可导，则每个 0 ∈ (,b) 都有一个导数值 ƒ′(0) 与之对应，从而得到一个函数 ƒ′()： ƒ′ : 0 7−→ ƒ′(0) ƒ′() 称为 ƒ () 在 (,b) 内的导函数（简称导数）， 记 为 ƒ′()，或 y′，或 dy d，或 d dƒ()．此时有 ƒ′(0) = ƒ′()|=0..
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导函数的定义
如果 ƒ() 在区间 (,b) 内可导，则每个 0 ∈ (,b) 都有一个导数值 ƒ′(0) 与之对应，从而得到一个函数 ƒ′()： ƒ′ : 0 7−→ ƒ′(0) ƒ′() 称为 ƒ () 在 (,b) 内的导函数（简称导数），记 为 ƒ′()，或 y′，或 dy d，或 d dƒ()． 此时有 ƒ′(0) = ƒ′()|=0..
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导函数的定义
如果 ƒ() 在区间 (,b) 内可导，则每个 0 ∈ (,b) 都有一个导数值 ƒ′(0) 与之对应，从而得到一个函数 ƒ′()： ƒ′ : 0 7−→ ƒ′(0) ƒ′() 称为 ƒ () 在 (,b) 内的导函数（简称导数），记 为 ƒ′()，或 y′，或 dy d，或 d dƒ()．此时有 ƒ′(0) = ƒ′()|=0..
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导函数的几种形式
ƒ′() = lim Δ→0 ƒ( + Δ) − ƒ () Δ （定义） ƒ′() = lim h→0 ƒ( + h) − ƒ () h （令 h = Δ）.
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导函数的几种形式
ƒ′() = lim Δ→0 ƒ( + Δ) − ƒ () Δ （定义） ƒ′() = lim h→0 ƒ( + h) − ƒ () h （令 h = Δ）.
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例 2 求常值函数 ƒ() = C 的导数． 例 3 研究幂函数 ƒ() = n 的导数． n = 1 时，()′ =? n = 2 时，(2)′ =? n = 3 时，(3)′ =? n = −1 时，(1)′ =? n = 1/2 时，(p)′ =? 练习 1 利用导数的定义求 ƒ() = 1 2 的导数．.
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例 2 求常值函数 ƒ() = C 的导数． 例 3 研究幂函数 ƒ() = n 的导数． n = 1 时，()′ =? n = 2 时，(2)′ =? n = 3 时，(3)′ =? n = −1 时，(1)′ =? n = 1/2 时，(p)′ =? 练习 1 利用导数的定义求 ƒ() = 1 2 的导数．.
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例 2 求常值函数 ƒ() = C 的导数． 例 3 研究幂函数 ƒ() = n 的导数． n = 1 时，()′ =? n = 2 时，(2)′ =? n = 3 时，(3)′ =? n = −1 时，(1)′ =? n = 1/2 时，(p)′ =? 练习 1 利用导数的定义求 ƒ() = 1 2 的导数．.
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例 2 求常值函数 ƒ() = C 的导数． 例 3 研究幂函数 ƒ() = n 的导数． n = 1 时，()′ =? n = 2 时，(2)′ =? n = 3 时，(3)′ =? n = −1 时，(1)′ =? n = 1/2 时，(p)′ =? 练习 1 利用导数的定义求 ƒ() = 1 2 的导数．.
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导数的概念
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第一节
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导数的物理背景
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A
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导数的几何意义
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B
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可导性与连续性
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C
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导数引例：切线斜率
例 4 求曲线 y= ƒ () 在点 M(0,y0) 处的切线斜率． 设 N 点在 M 点附近，则割线 MN 的斜率为 Δy Δ = ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 让 N 点往 M 点跑，则切线 MT 的斜率为 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ.
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导数引例：切线斜率
例 4 求曲线 y= ƒ () 在点 M(0,y0) 处的切线斜率． 设 N 点在 M 点附近，则割线 MN 的斜率为 Δy Δ = ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 让 N 点往 M 点跑，则切线 MT 的斜率为 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ.
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导数引例：切线斜率
例 4 求曲线 y= ƒ () 在点 M(0,y0) 处的切线斜率． 设 N 点在 M 点附近，则割线 MN 的斜率为 Δy Δ = ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ 让 N 点往 M 点跑，则切线 MT 的斜率为 lim Δ→0 Δy Δ = limΔ→0 ƒ(0+ Δ) − ƒ (0) Δ.
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导数引例：切线斜率
y T M N Δ Δy.
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导数的几何意义
函数 ƒ() 在 0 处的导数 ƒ′(0)，就是曲线 y = ƒ () 在点 (0,y0) 处的切线斜率． 从而点 (0,y0) 处的切线方程为 y− y0 = ƒ′(0)( − 0) 法线方程为 y− y0 = − 1 ƒ′(0) ( − 0).
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导数的几何意义
函数 ƒ() 在 0 处的导数 ƒ′(0)，就是曲线 y = ƒ () 在点 (0,y0) 处的切线斜率． 从而点 (0,y0) 处的切线方程为 y− y0 = ƒ′(0)( − 0) 法线方程为 y− y0 = − 1 ƒ′( )( − 0).
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导数的几何意义
例 5 求 ƒ() = 2 在点 (1,1) 处的切线方程和法线 方程． 练习 2 求 ƒ() = 1 在点 2, 1 2 处的切线方程和法 线方程．.
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导数的几何意义
例 5 求 ƒ() = 2 在点 (1,1) 处的切线方程和法线 方程． 练习 2 求 ƒ() = 1 在点 2, 1 2 处的切线方程和法 线方程．.
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导数的概念
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第一节
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导数的物理背景
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A
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导数的几何意义
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B
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可导性与连续性
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C
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可导性与连续性
性质 ƒ() 在 0 点可导 =⇒ ƒ () 在 0 点连续． 推论 ƒ() 在 0 点不连续 =⇒ ƒ () 在 0 点不可导． 例 6 判断函数在点 = 0 处的连续性与可导性： (1) ƒ() = ¨ −, < 0; + 1, ¾ 0. (2) g() = || = ¨ −, < 0; , ¾ 0..
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可导性与连续性
性质 ƒ() 在 0 点可导 =⇒ ƒ () 在 0 点连续． 推论 ƒ() 在 0 点不连续 =⇒ ƒ () 在 0 点不可导． 例 6 判断函数在点 = 0 处的连续性与可导性： (1) ƒ() = ¨ −, < 0; + 1, ¾ 0. (2) g() = || = ¨ −, < 0; , ¾ 0..
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可导性与连续性
性质 ƒ() 在 0 点可导 =⇒ ƒ () 在 0 点连续． 推论 ƒ() 在 0 点不连续 =⇒ ƒ () 在 0 点不可导． 例 6 判断函数在点 = 0 处的连续性与可导性： (1) ƒ() = ¨ −, < 0; + 1, ¾0. (2) g() = || = ¨ −, < 0; , ¾ 0..
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可导性与连续性
性质 ƒ() 在 0 点可导 =⇒ ƒ () 在 0 点连续． 推论 ƒ() 在 0 点不连续 =⇒ ƒ () 在 0 点不可导． 例 6 判断函数在点 = 0 处的连续性与可导性： (1) ƒ() = ¨ −, < 0; + 1, ¾0. (2) g() = || = ¨ −, < 0; , ¾ 0..
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函数曲线的形状（在
= 0 处）
.. . y .. . y 极限不存在 极限存在但不连续 .. . y .. . y.
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复习与提高：导数的记号
选择 设 ƒ() 在 = 的某邻域内有定义，则 ƒ () 在 = 点可导的一个充分条件是· · · ·( ) (A) lim h→+∞h ƒ( + 1h) − ƒ () 存在 (B) lim h→0 ƒ( + 2h) − ƒ ( + h) h 存在 (C) lim h→0 ƒ( + h) − ƒ ( − h) 2h 存在 (D) lim h→0 ƒ() − ƒ ( − h) h 存在.
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复习与提高
复习 1 求 y = 1 2 在点 2,1 4 处的切线方程和法线 方程．.
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导数的概念
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第一节
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导数的运算
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第二节
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隐函数求导
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第三节
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高阶导数 .
第四节
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微分的概念
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第五节
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基本导数公式 I
(C)′ = 0 (1) ()′ = −1 (2).
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导数的运算
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第二节
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和与差的导数
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A
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积与商的导数
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B
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反函数的导数
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C
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复合函数的导数
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D
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分段函数的导数
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E
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和与差的导数运算
定理 1
[C()]′ = C′()
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例 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 23− 42+ + 2 (2) ƒ() = 2− + 1 练习 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 5− 44+ 2+ 3 + e (2) ƒ() = ( + 2)(33+ 2) 答案 (1) ƒ′() = 54− 163+ 2 + 3； (2) ƒ′() = 123+ 182+ 4 + 4．.
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例 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 23− 42+ + 2 (2) ƒ() = 2− + 1 练习 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 5− 44+ 2+ 3 + e (2) ƒ() = ( + 2)(33+ 2) 答案 (1) ƒ′() = 54− 163+ 2 + 3； (2) ƒ′() = 123+ 182+ 4 + 4．.
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例 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 23− 42+ + 2 (2) ƒ() = 2− + 1 练习 1 求下列函数的导数． (1) ƒ() = 5− 44+ 2+ 3 + e (2) ƒ() = ( + 2)(33+ 2) 答案 (1) ƒ′() = 54− 163+ 2 + 3； (2) ƒ′() = 123+ 182+ 4 + 4．.
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基本导数公式 II
(e)′ = e (3) ()′ = · ln (4) (ln )′ = 1 (5) (log)′ = 1 · ln (6).
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基本导数公式 II
(e)′ = e (3) ()′ = · ln (4) (ln )′ = 1 (5) (log)′ = 1 · ln (6).
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基本导数公式 II
(e)′ = e (3) ()′ = · ln (4) (ln )′ = 1 (5) (log)′ = 1 · ln (6).
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基本导数公式 II
(e)′ = e (3) ()′ = · ln (4) (ln )′ = 1 (5) (log)′ = 1 · ln (6).
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基本导数公式 II
(e)′ = e (3) ()′ = · ln (4) (ln )′ = 1 (5) (log)′ = 1 · ln (6).
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基本导数公式 III
(sin )′ = cos (7) (cos )′ = − sin (8).
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基本导数公式 III
(sin )′ = cos (7) (cos )′ = − sin (8).
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基本导数公式 III
(sin )′ = cos (7) (cos )′ = − sin (8).
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导数的运算
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第二节
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和与差的导数
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A
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积与商的导数
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B
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反函数的导数
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C
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复合函数的导数
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D
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分段函数的导数
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E
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积与商的导数运算
定理 2 (() · ())′ = ′() · () + () · ′() () () ′ = ′() · () − () · ′() 2().
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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基本导数公式 IV
利用商的导数运算公式，可以得到： (tn )′ = sec2 (9) (cot )′ = − csc2 (10) (sec )′ = sec · tn (11) (csc )′ = − csc · cot (12) 其中，sec = 1 cos ，csc = 1 sin ．.
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例 2 求下列函数的导数． (1) ƒ() = · ln (2) ƒ() = e· sin (3) ƒ() = sin 2 (4) ƒ() = 3+ 2 e.
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例 2 求下列函数的导数． (1) ƒ() = · ln (2) ƒ() = e· sin (3) ƒ() = sin 2 (4) ƒ() = 3+ 2 e.
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例 2 求下列函数的导数． (1) ƒ() = · ln (2) ƒ() = e· sin (3) ƒ() = sin 2 (4) ƒ() = 3+ 2 e.
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例 2 求下列函数的导数． (1) ƒ() = · ln (2) ƒ() = e· sin (3) ƒ() = sin 2 (4) ƒ() = 3+ 2 e.
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练习 2 求下列函数的导数． (1) ƒ() = e· ln (2) ƒ() = sin · (4+ ) (3) ƒ() = e 2.
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函数乘积的导数运算
定理 3 由两个函数乘积的导数公式，可以得到多个 函数乘积的导数公式，例如： () · () · () ′ = ′() · () · () +() · ′() · () +() · () · ′() 例 3 求 ƒ() = e · 2· sin 的导数．.
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函数乘积的导数运算
定理 3 由两个函数乘积的导数公式，可以得到多个 函数乘积的导数公式，例如： () · () · () ′ = ′() · () · () +() · ′() · () +() · () · ′() 例 3 求 ƒ() = e · 2· sin 的导数．.
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导数的运算
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第二节
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和与差的导数
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A
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积与商的导数
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B
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反函数的导数
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C
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复合函数的导数
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D
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分段函数的导数
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E
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反函数的导数
定理 4 设 y = ƒ () 在点 处有不等于 0 的导数 ƒ′()，并且其反函数 = ƒ−1(y) 在相应点处连续， 则 [ƒ−1(y)]′ 存在，并且 [ƒ ()]′ = 1 [ƒ−1(y)]′ y . 注记 上式也可以写成 dy d = 1 d dy ．.
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反函数的导数
定理 4 设 y = ƒ () 在点 处有不等于 0 的导数 ƒ′()，并且其反函数 = ƒ−1(y) 在相应点处连续， 则 [ƒ−1(y)]′ 存在，并且 [ƒ ()]′ = 1 [ƒ−1(y)]′ y . 注记 上式也可以写成 dy d = 1 d dy ．.
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基本导数公式 V
(rcsin )′ = p 1 1− 2 (13) (rccos )′ = −p 1 1− 2 (14) (rctn )′ = 1 1+ 2 (15) (rccot )′ = − 1 1+ 2.
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基本导数公式 V
(rcsin )′ = p 1 1− 2 (13) (rccos )′ = −p 1 1− 2 (14) (rctn )′ = 1 1+ 2 (15) (rccot )′ = − 1 1+ 2 (16).
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基本导数公式 V
(rcsin )′ = p 1 1− 2 (13) (rccos )′ = −p 1 1− 2 (14) (rctn )′ = 1 1+ 2 (15) (rccot )′ = − 1 1+ 2.
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基本导数公式 V
(rcsin )′ = p 1 1− 2 (13) (rccos )′ = −p 1 1− 2 (14) (rctn )′ = 1 1+ 2 (15) (rccot )′ = − 1 1+ 2 (16).
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基本导数公式 V
(rcsin )′ = p 1 1− 2 (13) (rccos )′ = −p 1 1− 2 (14) (rctn )′ = 1 1+ 2 (15) (rccot )′ = − 1.
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导数的运算
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第二节
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和与差的导数
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A
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积与商的导数
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B
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反函数的导数
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C
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复合函数的导数
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D
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分段函数的导数
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立． 比如 (sin 2)′̸=cos 2. 实际上，我们有(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′
= 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′
= 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
= 2 cos 2
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′
= 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′ = 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′
= 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
= 2 cos 2
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′ = 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′ = 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
]
= 2 cos 2
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复合函数的导数
例子 [ƒ (g())]′ = ƒ× ′[g()] 一般不成立．比如
(sin 2)′̸=cos 2.
实际上，我们有
(sin 2)′ = (2 sin cos )′ = 2(sin cos )′ = 2(sin )′ · cos + sin · (cos )′ = 2[cos · cos + sin · (− sin )]
= 2[cos2− sin2
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复合函数的导数
定理 5 设 y = ƒ ()， = g()，则它们的复合函数 y = ƒ [g()] 的导数公式为： y′ = y′ · ′ 或者 dy d = dy d · d d. 或者 [ƒ (g())]′ = ƒ′(g()) · g′().
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复合函数的导数
定理 5 设 y = ƒ ()， = g()，则它们的复合函数 y = ƒ [g()] 的导数公式为： y′ = y′ · ′ 或者 dy d = dy d · d d. 或者 [ƒ (g())]′ = ƒ′(g()) · g′().
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复合函数的导数
定理 5 设 y = ƒ ()， = g()，则它们的复合函数 y = ƒ [g()] 的导数公式为： y′ = y′ · ′ 或者 dy d = dy d · d d. 或者 [ƒ (g())]′ = ƒ′(g()) · g′().
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复合函数的导数
例 4 求复合函数的导数： (1) y = (1 + 2)6 (2) y = e32+1 (3) y = ln(sin ) (4) y =p2+ 1.
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复合函数的导数
例 4 求复合函数的导数： (1) y = (1 + 2)6 (2) y = e32+1 (3) y = ln(sin ) (4) y =p2+ 1.
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复合函数的导数
例 4 求复合函数的导数： (1) y = (1 + 2)6 (2) y = e32+1 (3) y = ln(sin ) (4) y =p2+ 1.
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复合函数的导数
例 4 求复合函数的导数： (1) y = (1 + 2)6 (2) y = e32+1 (3) y = ln(sin ) (4) y =p2+ 1.
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复合函数的导数
练习 3 求复合函数的导数： (1) y = e22−6 (2) y =p22− 4 + 1 (3) y = sin 3 2.
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复合函数的导数
练习 3 求复合函数的导数： (1) y = e22−6 (2) y =p22− 4 + 1 (3) y = sin 3 2.
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三重复合函数的导数
注记 1 设 y = ƒ ()， = g()， = h()．则复合 函数 y = ƒ (g(h())) 的导数公式为： y′ = y′ · ′· ′ 或者 dy d = dy d · d d · d d..
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三重复合函数的导数
注记 1 设 y = ƒ ()， = g()， = h()．则复合 函数 y = ƒ (g(h())) 的导数公式为： y′ = y′ · ′· ′ 或者 dy d = dy d · d d · d d..
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三重复合函数的导数
例 5 求三重复合函数的导数：
(1) y = ep−2+1
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三重复合函数的导数
例 5 求三重复合函数的导数： (1) y = ep−2+1 (2) y = ln(cos(3 + 1)).
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三重复合函数的导数
练习 4 求三重复合函数的导数：
(1) y = ep2−1
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导数的运算
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第二节
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和与差的导数
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A
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积与商的导数
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B
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反函数的导数
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C
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复合函数的导数
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D
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分段函数的导数
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E
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分段函数的导数
对于分段函数，我们有（假定 () 和 () 总可导）： ƒ() = ( (), ¶ (), > =⇒ ƒ ′() = ( ′(), < ′(), > 注记 ƒ′() 需要单独研究：未必有 ƒ′() = ′()．.
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分段函数的导数
对于分段函数，我们有（假定 () 和 () 总可导）： ƒ() = ( (), ¶ (), > =⇒ ƒ ′() = ( ′(), < ′(), > 注记 ƒ′() 需要单独研究：未必有 ƒ′() = ′()．.
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义， 若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义，若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义，若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在， 则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义，若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义，若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义，若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义，若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义， 若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义，若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义，若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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左导数和右导数
定义 设 ƒ() 在 (0− δ,0] 上有定义，若左极限 lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的左导数，记为 ƒ−′(0). 定义 设 ƒ() 在 [0,0+ δ) 上有定义，若右极限 lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 存在，则称它为 ƒ() 在 0 处的右导数，记为 ƒ+′(0)..
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性质 1 导数存在 ⇐⇒ 左导数和右导数都存在且相等． 导数：ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 左导数：ƒ−′(0) = lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 右导数：ƒ+′(0) = lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 性质 2 函数的可导性和连续性有如下关系： 可导 ⇒ 连续，反之未必； 左可导 ⇒ 左连续，反之未必； 右可导 ⇒ 右连续，反之未必．.
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性质 1 导数存在 ⇐⇒ 左导数和右导数都存在且相等． 导数：ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 左导数：ƒ−′(0) = lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 右导数：ƒ+′(0) = lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 性质 2 函数的可导性和连续性有如下关系： 可导 ⇒ 连续，反之未必； 左可导 ⇒ 左连续，反之未必； 右可导 ⇒ 右连续，反之未必．.
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性质 1 导数存在 ⇐⇒ 左导数和右导数都存在且相等． 导数：ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 左导数：ƒ−′(0) = lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 右导数：ƒ+′(0) = lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 性质 2 函数的可导性和连续性有如下关系： 可导 ⇒ 连续，反之未必； 左可导 ⇒ 左连续，反之未必； 右可导 ⇒ 右连续，反之未必．.
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性质 1 导数存在 ⇐⇒ 左导数和右导数都存在且相等． 导数：ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 左导数：ƒ−′(0) = lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 右导数：ƒ+′(0) = lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 性质 2 函数的可导性和连续性有如下关系： 可导 ⇒ 连续，反之未必； 左可导 ⇒ 左连续，反之未必； 右可导 ⇒ 右连续，反之未必．.
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性质 1 导数存在 ⇐⇒ 左导数和右导数都存在且相等． 导数：ƒ′(0) = lim h→0 ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 左导数：ƒ−′(0) = lim h→0− ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 右导数：ƒ+′(0) = lim h→0+ ƒ(0+ h) − ƒ (0) h 性质 2 函数的可导性和连续性有如下关系： 可导 ⇒ 连续，反之未必；.
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分段函数的导数
性质 假定 () 和 () 总可导，分段函数 ƒ() = ( (), ¶ (), > . 如果 ƒ() 在 = 点连 · 续· ，则有 ƒ−′() = ′(), ƒ+′() = ′()..
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分段函数的导数
例 6 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶ −1 2, > −1 在点 = −1 的连续性与可导性． · · · ·不连续且不可导 例 7 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶1 2, > 1 在点 = 1 处 的连续性与可导性．· · · ·连续但不可导 例 8 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶0 2, > 0 在点 = 0 处 的连续性与可导性．· · · ·连续且可导.
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分段函数的导数
例 6 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶ −1 2, > −1 在点 = −1 的连续性与可导性．· · · ·不连续且不可导 例 7 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶1 2, > 1 在点 = 1 处 的连续性与可导性．· · · ·连续但不可导 例 8 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶0 2, > 0 在点 = 0 处 的连续性与可导性．· · · ·连续且可导.
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分段函数的导数
例 6 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶ −1 2, > −1 在点 = −1 的连续性与可导性．· · · ·不连续且不可导 例 7 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶1 2, > 1 在点 = 1 处 的连续性与可导性． · · · ·连续但不可导 例 8 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶0 2, > 0 在点 = 0 处 的连续性与可导性．· · · ·连续且可导.
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分段函数的导数
例 6 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶ −1 2, > −1 在点 = −1 的连续性与可导性．· · · ·不连续且不可导 例 7 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶1 2, > 1 在点 = 1 处 的连续性与可导性．· · · ·连续但不可导 例 8 判断函数 ƒ() = ¨ 3, ¶0 2, > 0 在点 = 0 处 的连续性与可导性．· · · ·连续且可导.
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