第十章 多變數微分理論

多變數微分理論

這一章將介紹多變數微分理論中兩個重要的定理: 隱函數定理(Implicit Function Theorem)與反函

數定理 (Inverse Function Theorem),此外還想討論函數獨立與函數相關的問題。 這些定理是微積分

理論中的基本定理, 透過簡單易懂的條件明確指出各變數之間的依存關係。 隱函數定理在近代數學中是經常被拿來應用的定理, 例如欲證明某些非線性微分方程式解的存在 性, 其精髓就是源於隱函數定理。 而反函數定理除了在回答一個函數定義域中的變數與值域中的變數 什麼時候可以角色互換, 變成定義域中的變數表示成以值域中的變數之函數, 另一個重要的應用則是 在回答什麼樣的變數變換是一個好的坐標轉換, 各位可以從常見的坐標變換 (例如: 極坐標、球坐標、 柱坐標等) 當作實例以感受反函數定理的厲害之處, 然後再對一般的情況做推廣與延伸。 至於函數獨立與函數相關的問題, 一個很好的出發點是線性代數理論, 給了一組向量, 這些向量彼 此是線性獨立或是線性相依, 線性代數理論提供了一個很好的觀點回答這個問題。 然而很多個函數之 相關或獨立(不見得是線性的關係) 又該如何定義呢? 然後是否有一個很好的判別法確定函數獨立或 是函數相關, 這將是最後一節要回答的問題。

10.1

隱函數定理

考慮一個想要研究的系統, 在這個系統中我們會進行觀察然後引進一些變數以記錄這個系統當中的各 種資訊,然而這些變數中每一個都是完全獨立的變數,還是說彼此之間有一些關係存在,這是在研究該

系統的過程中需要澄清的一個問題。 比方說物理上很經典的理想氣體狀態方程式(ideal gas equation

of state) P V = nRT ,它說明了壓力、體積、莫耳數與溫度之間並非獨立的變量, 而是這些變量之間有 一個牽制, 而所受的牽制就是透過方程式描述這些變量之間的約束。 另一方面, 在學習數學的過程中, 我們花了很多的時間在探討函數 (function) 的各種性質。 以單 變數函數y = f (x) 為例, 定義域 D是一個獨立變數所成的集合, 而值域 E 中的元素則是根據定義 域中的獨立變數 x 透過函數關係得到的數值; 也就是說, 值域中的元素y 是一個被決定的量。 至於多 變數函數 y = f (x1, x2, . . . , xn) 也是如此, 只是定義域中的獨立變數有 n 個, 有時候我們會把獨立 變數的個數稱為 自由度(degree of freedom), 此時值域中的y 也是被決定的量。 如何在一個系統中定義適合的變數, 這是數學建模(mathematical modeling) 的問題。 而這一節 主要想問的是: 當我們給出一些有關各種變數的方程式或是方程組之下, 哪些變數可以當成獨立的變 1

數,哪些變數會是被決定的量? 前面的介紹或許顯得過於抽象, 這裡我們用數學上再熟知不過的例子說明這個問題。 大家都知道: 在平面_R2 _{= {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R}當中滿足方程式F(x, y) = x}2_{+ y}2_{− 1 = 0的點所成的集合是} 半徑為 1 的圓, 其中 (0, 0) 是圓心之位置。 x y P1 P2 P

圖

10.1:

從方程式

F(x, y) = x2_{+ y}2_{− 1 = 0}

_{觀察哪些點的附近可以表示成函數的圖形。}

現將這個集合記成 C, 若用幾何的術語, 我們會說集合 C 是一條曲線 (curve), 由鉛直線判別法

(Vertical Line Test) 知道: 曲線C 整體來說無法用一個函數的圖形 (graph of function) 完全表示。

然而, 我們可以透過解方程式的過程 x2+ y2_{− 1 = 0 ⇒ y}2_{= 1 − x}2 _{⇒ y = ±}p_{1 − x}2 得知: 曲線C 可以用兩個函數f+(x) =√1 − x2 與f−(x) = − √ 1 − x2_{的圖形取聯集表示。 也就是} 說,曲線C在上半平面的部分可以表示成函數f+(x)的圖形,即C+ = {(x, f+(x))|−1 ≤ x ≤ 1};而 曲線C 在下半平面的部份可用另一個函數 f−(x)的圖形表達,即C−= {(x, f−(x))| − 1 ≤ x ≤ 1}。 然而, 曲線 C 在 _{(x, y) = (−1, 0)} 與 (x, y) = (1, 0) 的附近就顯得十分尷尬。 在繼續討論前, 這 裡要先解釋清楚 「附近」 的意思。 數學上描述一個點的 「附近」 會用鄰域的概念描述。 所謂在平面中一 點 P(x0, y0) ∈ R2 的鄰域 (neighborhood of P ),記為 U(P, δ), 指的是集合 U(P, δ) = (x0− δ, x0+ δ) × (y0− δ, y0+ δ) = {(x, y)|x ∈ (x0− δ, x0+ δ), y ∈ (y0− δ, y0+ δ)}, 其中 δ > 0;也就是說, U (P, δ) 是一個以 P(x0, y0) 為中心, 邊長為 2δ 的一個方形區域。 現標記 P_{1 = (−1, 0),}然後觀察C_{∩ U(P1}, δ) 的部份,此時會發現到,不論δ 取得有多小, 曲線C_{∩ U(P1}, δ) 無法表示成一個函數的圖形。 同理, 記P₂= (1, 0), 不論δ 取得有多小, 曲線C_{∩ U(P2}, δ) 也無法表 示成一個函數的圖形。 現在我們順著剛才的邏輯, 重新觀察曲線 C 上的其它點, 可得以下結論: 若 P_{(x, y) ∈ C,} 且 P _{6= P1 = (−1, 0), P 6= P2} = (1, 0), 則存在 δ > 0 使得 C_{∩ U(P, δ)}可以用一個函數的圖形 (x, y = f (x))表示。

現在我們將給出隱函數的定義。 定義 1. 假設F(x, y)是一個定義在 D_{⊂ R}2 上的函數, 如果存在一個區域R= I1× I2⊂ D,其中 I₁ 與I₂ 都是 _R上的開區間, 使得對所有x_{∈ I1}, 存在唯一 y_{∈ I2} 滿足F(x, y) = 0, 此時稱方程式 F(x, y) = 0唯一確定了一個 隱函數(implicit function) y = f (x),其中f : I1 → I2。 此時,對所有 x_{∈ I}1 都有 F(x, f (x)) = 0。 在介紹隱函數定理之前, 我們用以下幾點解釋與這個理論相關的事情: (A) 平常在寫方程式的時候,書寫的方式很隨興, 只要一些變量之間的運算式最後用等號串起, 就會 形成方程式。 所以我們會在多數情況看到圓的方程式是寫成 x2+ y2= 1的樣子。 在隱函數定 理的討論, 我們會將方程式適當地整理, 透過移項的過程讓等式的右邊為零;以圓為例, 先將方 程式改寫成 x2+ y2_{− 1 = 0,}然後記 F(x, y) = x2+ y2_{− 1,}所以討論隱函數存在問題時, 方 程式形式上就記成 F(x, y) = 0。 (B) 一個二變數的函數 F(x, y) 意味著 x 和 y 都是獨立的變數, 自由度是 2, 當我們考慮方程式 F(x, y) = 0的時候, 它會導致x和y之間受到牽制,於是設定方程式將會減少自由度。 在 「理 想」 的情況下, 每給一個方程式將會減少一個自由度。 從圓的例子來看,原本 F(x, y)的自由度 是 2, 設立了一條方程式之後, 自由度少1, 所以集合 C 的自由度變成_{2 − 1 = 1,} 幾何上顯示 它是一維曲線。 然而一些特殊的情況, 自由度會降得更多。 比方說 F(x, y) = x2_{+ y}2_{, 然後看} 方程式 F(x, y) = 0, 則滿足方程式的點只有 (x, y) = (0, 0), 自由度是 0, 幾何上來說, 它變 成零維的幾何物件。 若是考慮 F(x, y) = x2 + y2 + 1, 然後要求 F(x, y) = 0 的話, 那麼不 會有 (x, y) 滿足方程式。 所以若我們要問方程式 F(x, y) = 0 的某個變數是否一個可以表示 成另一個變數的函數之問題時, 勢必要先假定滿足方程式的集合非空, 也就是假設存在某個點 (x0, y0)滿足 F(x0, y0) = 0 這個情況下繼續討論。 (C) 在討論 F(x, y) = x2+ y2_{− 1 = 0}是否可以表示成函數圖形的問題中, 我們利用解方程式的 過程得知y 能不能寫成x的函數, 那時我們描述了更多的現象, 除了將上半平面的曲線用一個 函數的圖形表示, 下半平面的曲線用另一個函數的圖形表示之外, 函數的表達也一清二楚。 但 是解方程式這件事情並不是一個長久的解決問題之道, 這是因為我們解方程式的能力其實是非 常有限的, 雖然二次方程式的公式解普遍來說都可以朗朗上口, 但三次方程式或四次方程式的 公式解就不是耳熟能詳的了; 甚至在數學上可以證明: 五次方程式以上並沒有公式解。 所以只 要隨便寫了一個一元高次方程式, 想要直接解出y 和x的關係困難度極高。 更何況兩個變數的 方程式可以更複雜, 這也說明我們不可能研發出一套有效解出一般方程式的能力。 然而, 對於一個方程式 F(x, y) = 0, 在隱函數的定義中, 我們感興趣的其實只是局部 (local) 的現象; 也就是說, 對於某個滿足 F(x0, y0) = 0 的點 (x0, y0), 是否存在 δ >0, 使得對所有 x_{∈ (x0− δ, x0}+ δ), y可以表示成y = f (x)且滿足F(x, f (x)) = 0? 又或者我們會問: 是否 存在δ >0, 使得對所有y_{∈ (y0− δ, y0}+ δ), x可以表示成 x= g(y)且滿足F(g(y), y) = 0? 若是回答局部來說一個變數是否可以表示成另一個變數的函數, 隱函數定理的特色是: 在一些 情況下, 我們不需要用解方程式的方法而得知隱函數的存在性。

(D) 在F(x, y) = x2+ y2_{− 1 = 0}的例子中, 我們清楚地看到: P1 = (−1, 0)和P2 = (1, 0)和曲

線 C 上的其它點最大差異在於曲線 C 在 P₁ 與P₂ 具有鉛直的切線 (vertical tangent line)。

這件事情的發生在我們要研究的問題來說是合理的現象。 這是因為: 既然想要將 F(x, y) = 0 中的 x和y 表示成 y= f (x), 在單變數理論中對於_|f′ (x)| = ∞這件事本來就會令人非常介 意。 將曲線想成質點運動的軌跡時, 一條曲線若在某一點的切線與x軸垂直,從x的部分來看, 表示這一個質點在該時刻之後對於 x 部份有可能會反方向行走, 這樣就會破壞了函數的定義。 至於導函數f′ (x)與二變數函數F(x, y)之間的關聯是什麼呢? 我們先做以下觀察: 假如隱函 數y= f (x)存在,則有F_{(x, f (x)) ≡ 0,}而且如果F(x, y)對於各變數的偏導函數皆連續,由 鏈鎖律 (Chain Rule)得知: 將方程式兩邊對於變數 x微分, 則 Fx+ Fy · y′= Fx+ Fy · f′= 0, 換言之, 會讓 _|f′ (x)| = ∞ 發生的點勢必滿足 Fy = 0。 所以各位可以看到隱函數定理的其中 一個條件是Fy(x0, y0) 6= 0,然後在這樣的假設下, 希望證明局部上 y 可以寫成x 的函數。 以下就開始介紹並證明隱函數定理。

定理 2 (隱函數定理, Implicit Function Theorem). 考慮方程式 F(x, y) = 0, 假設

(A) 在矩形區域 R= (x0− a, x0+ a) × (y0− b, y0+ b) 上Fx(x, y) 與Fy(x, y) 都是連續函數。 (B) F (x0, y0) = 0。 (C) Fy(x0, y0) 6= 0。 則有以下結論: (1) 在 (x0, y0) 的附近, 方程式 F(x, y) = 0 可以唯一確定一個函數 y= f (x), 而且y₀ = f (x₀)。 更明確地說, 存在 δ, δ′ > 0 使得 (x₀ − δ, x₀ + δ) × (y₀− δ′, y₀+ δ′) ⊂ R, 而且對於每個 x _{∈ (x0− δ, x0}+ δ), 方程式 F(x, y) = 0 在 (y0− δ′, y0+ δ′) 中存在唯一的解 y。 由這樣 建立的函數關係記成 y = f (x), 其中 y₀ = f (x0)。 此時, 對所有 x ∈ (x₀− δ, x₀+ δ), 都有 F(x, f (x)) = 0。 (2) 函數 y= f (x) 在 (x0− δ, x0+ δ) 上是連續函數。 (3) 函數 y= f (x) 在 (x0− δ, x0+ δ) 上導函數y′ = f′(x) 連續, 並且 f′(x) = −F_Fx(x,y) y(x,y) 。 證明: (1) 由於Fy(x0, y0) 6= 0,不妨假設Fy(x0, y0) > 0。 因為Fy(x, y)連續,所以Fy(x, y)在(x0, y0) 的一個鄰域內滿足 Fy(x, y) > 0。 為了討論方便起見, 我們不妨假定函數 Fy(x, y) 就在區域 R= (x0− a, x0+ a) × (y0− b, y0+ b)上的所有點都滿足Fy(x, y) > 0。 此時, 選取δ′ = b。

( ) ( ) x y (x0, y0) y= f (x) (x0, y0− b) (x0, y0+ b) x0− a x x¯ 0 x0+ a y_{0− b} y₀ y₀+ b

圖

10.2:

方程式

F(x, y)

關於隱函數

y= f (x)

的存在性。

接著,考慮單變數函數Fy(x0, y),其中y∈ (y0− b, y0+ b),因為對所有y∈ (y0− b, y0+ b)都 有Fy(x0, y) > 0,所以F(x0, y)在(y0−b, y0+b)上是一個嚴格遞增函數(strictly increasing function)。 因為F(x0, y0) = 0, 由函數的連續性得知 F(x0, y0+ b) > 0, F (x0, y0− b) < 0。 再從 (x0, y0+ b)這一點觀察, 考慮單變數函數F(x, y0+ b), 因為F(x0, y0+ b) > 0,由函數 F(x, y) 的連續性告知: 所以存在δ₁ >0 使得在 (x0− δ1, x0+ δ1) 上 F(x, y0+ b) > 0。 同 理, 存在 δ2 >0 使得對所有x∈ (x0− δ2, x0+ δ2) 都有F(x, y0− b) < 0。 取δ = min(δ1, δ2) > 0,則對所有x¯∈ (x0−δ, x0+δ)都有F(¯x, y0−b) < 0與F(¯x, y0+b) >

0。 由中間值定理 (Intermediate Value Theorem) 得知_: 存在 y¯ _{∈ (y}0 − b, y0 + b) 使得

F(¯x,y) = 0¯ 。 又因為Fy(x, y) > 0,所以Fy(¯x, y) > 0, 換言之, F (¯x, y)對y 而言是嚴格遞增 的, 所以在區域 R 中讓方程式 F(¯x,y) = 0¯ 的 y¯是唯一的。 如此就建立了 y¯與 x¯ 的關係;也 就是說, 給定 x¯_{∈ (x}0− δ, x0+ δ), 存在唯一 y¯∈ (y0− b, y0+ b)使得 F(¯x,y) = 0,¯ 現將這 個函數關係記成y= f (x), 其中 x_{∈ (x}0− δ, x0+ δ), 而且此時自然會有 y0 = f (x0)。 (2) 任給 x¯_{∈ (x}0− δ, x0+ δ), 記 y¯= f (¯x)。 對任意正數 ε >¯ 0, 現作一組平行線 y = ¯y+ ¯ε 與 y = ¯y_{− ¯ε,}由 (1)的證明知道: F (¯x,y¯+ ¯ε) > 0且 F(¯x,y¯_{− ¯ε) < 0}。 由函數 F(x, y)的連續 性知道: 存在 δ1 >0 使得對所有 x ∈ (¯x − δ1,x¯+ δ1) 都有 F(x, ¯y+ ¯ε) > 0, 存在 δ2 > 0 使得對所有 x _{∈ (¯x − δ2},x¯+ δ2) 都有 F(x, ¯y− ¯ε) < 0。 取 δ¯= min(δ1, δ2) > 0, 則對所有 x _{∈ (¯x − ¯δ, ¯x + ¯δ)} 都有 F(x, ¯y+ ¯ε) > 0且 F(x, ¯y_{− ¯ε) < 0}。 由中間值定理 (Intermediate Value Theorem)得知: 在(¯y_{− ¯ε, ¯y + ¯ε)}內存在唯一的一個點y使得F(x, y) = 0, 這就表示:

對所有 x 滿足_{|x − ¯x| < ¯δ,} 它所對應的函數值y= f (x) 都滿足 _{|y − ¯}y_{| < ¯ε}。 因此 y= f (x)

在區間(x0− δ, x0+ δ) 上連續。

(3) 給定 x,¯ x¯_{+ ∆x ∈ (x0− δ, x0}+ δ), 記 y¯= f (¯x) 與 y¯+ ∆y = f (¯x+ ∆x), 由函數 y= f (x)

的定義知道:

由均值定理(Mean Value Theorem) 得知: 存在 θ_{1 ∈ (0, 1)}與 θ_{2 ∈ (0, 1)}使得

0 = F (¯x+ ∆x, ¯y_{+ ∆y) − F (¯x, ¯y)}

= F (¯x+ ∆x, ¯y_{+ ∆y) − F (¯x + ∆x, ¯y) + F (¯x + ∆x, ¯y) − F (¯x, ¯y)} = Fy(¯x+ ∆x, ¯y+ θ1∆y)∆y + Fx(¯x+ θ2∆x, ¯y)∆x, 於是 ∆y ∆x = − Fx(¯x+ θ2∆x, ¯y) Fy(¯x+ ∆x, ¯y+ θ1∆y) , 由 y = f (x) 和 Fx(x, y) 還有 Fy(x, y) 的連續性以及 Fy(x, y) 6= 0, 將上式兩邊取極限 ∆x → 0得到 f′ (¯x) = lim ∆x→0 f(¯x_{+ ∆x) − f (¯x)} ∆x = lim∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0− Fx(¯x+ θ2∆x, ¯y) Fy(¯x+ ∆x, ¯y+ θ1∆y) = − Fx(¯x,y)¯ Fy(¯x,y)¯ , 因此 f(x)在區間(x0− δ, x0+ δ)上是可微分的。 最後, 因為Fx(x, y)與Fy(x, y)在區域 R 上是連續函數, 而且 Fy(x, y) 6= 0, 所以f′(x) 在區間 (x0− δ, x0+ δ) 上是連續函數。 這裡註記幾件事情: (A) 隱函數定理中, 如果F(x, y)在區域R 上具有k-次偏導函數皆連續,則隱函數y= f (x)在區 間 (x0− δ, x0+ δ) 上也會滿足 k-次導函數連續。 (B) 上述隱函數定理是在說明對於方程式 F(x, y) = 0 什麼時候 y 可以表示成 x 的函數。 我們也 可以改問: 方程式 F(x, y) = 0什麼時候 x 可以表示成 y 的函數。 這時, 在變數的角色對調之 下, 只要將定理的條件 (3)改成 Fx(x0, y0) 6= 0而其它條件依舊成立的情況下, 則局部來說就

會有 x= g(y)滿足 x0 = g(y0) 以及F(g(y), y) = 0。

(C) 定理的條件只是說 Fy(x0, y0) 6= 0的話會存在隱函數 y = f (x), 並沒有說明 Fy(x0, y0) = 0 的時候會發生什麼事。 實際上, 若 Fy(x0, y0) = 0, 則可能會有隱函數, 也可能不存在隱函數。 例如: F (x, y) = x3_{− y}3 = 0 在 (0, 0) 處 Fy(0, 0) = 0, 而且在 (0, 0) 的附近可以確定隱函 數 y= f (x) = x。 這是因為將方程式 F(x, y) = x3_{− y}3 = 0 整理成 x3_{− y}3 _{= (x − y)(x}2+ xy + y2_{) = (x − y)} (x + y) 2 2 + x2 2 + y2 2  = 0, 只要_{(x, y) 6= (0, 0),}則 (x+y)2 2 + x2 2 + y2 2 >0,所以方程式F(x, y) = 0將解出y= x 記 = f (x)。 (D) 隱函數定理是說: 對於一個方程式 F(x, y) = 0, 若你想要問哪個變數是被決定的, 那麼就去計 算函數 F(x, y)對於你覺得它會是被決定的變數進行偏導數, 然後代入要研究的點看看是否偏 導數為零, 如果偏導數不是零的話, 那麼這個變數在局部上就可以被其它變數決定。

現將上面的隱函數定理推廣到更多變數的情形。

定理 3 (隱函數定理, Implicit Function Theorem). 考慮方程式F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0, 假設

(A) 在區域 R = n Q i=1 (xi − x0i) × (y − y0) 上函數 F(x1, x2, . . . , xn, y) 具有對所有變數的偏導函 數皆連續。 (B) F (x0 1, x02, . . . , x0n, y0) = 0。 (C) Fy(x01, x02, . . . , x0n, y0) 6= 0。 則有以下結論: (1) 在點 (x0₁, x0₂, . . . , x0_n, y0) 的附近, 方程式 F(x₁, x₂, . . . , xn, y) = 0 可以唯一確定一個函數 y = f (x1, x2, . . . , xn) 而且 y0 = f (x10, x02, . . . , x0n)。 更明確地說, 存在一個鄰域 U × I = n Q i=1 (x0 i − δi, x0i + δi) × (y0 − δ ′ , y0 + δ′ ) ⊂ R 使得對於每個 (x1, x2, . . . , xn) ∈ U, 方 程式 F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0 在 I 中存在唯一的解 y, 由此建立的函數關係記成 y = f(x1, x2, . . . , xn), 其中 y0 = f (x0₁, x₂0, . . . , x0n)。 此時, 對所有 (x1, x2, . . . , xn) ∈ U, 都 有 F(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)) = 0。 (2) 函數 y = f (x1, x2, . . . , xn) 在區域 U 上是連續函數。 (3) 函數 y = f (x1, x2, . . . , xn) 在區域 U 上的偏導函數yxi = fxi(x1, x2, . . . , xn) 皆連續,而且 fxi(x1, x2, . . . , xn) = − Fxi(x1, x2, . . . , xn, y) Fy(x1, x2, . . . , xn, y) , 其中 i= 1, 2, . . . , n。 這個定理的證明仿照前面的方法便可逐一實現, 只要將原先的區間 (x0 − δ, x0 + δ) 改用鄰域 U((x1, x2, . . . , xn), δ)的方式改寫即可。 以下我們要討論方程組的隱函數存在定理。 這裡, 我們先討論四個變數對於兩個方程式的隱函數 定理, 然後再將結果推廣至更多變數的方程組問題。 考慮方程組 ( F(x, y, u, v) = 0 G(x, y, u, v) = 0, 我們要問的是: 對於這個方程組, 我們是否可以將其中兩個變量 (比方說 u 和 v) 寫成另外兩個變量

(比方說 x和 y)的函數呢? 如果可以的話, 這個向量值函數(u(x, y), v(x, y)) 又有什麼性質呢?

為回答此問題, 這裡先引進雅可比行列式的概念。 現有兩個四變數函數 F 與 G,在變數x, y, u, v 當中挑出兩個變數, 比方說 u, v, 定義 F, G對於 u, v 的 雅可比行列式(Jacobi determinant) ∂(F, G) ∂(u, v) =      Fu Fv Gu Gv      。 在實際應用層面, 這兩個變數的選取,是基於你想要研究它們是不是可以成為被決定的變數,於是去計 算四變數函數對於被決定的變數之偏導函數。 而以下定理是建立在雅可比行列式不為零的前提下得到 隱函數的存在性。

定理 4. 考慮方程組 F(x, y, u, v) = 0 與 G(x, y, u, v) = 0, 假設 (A) 在 P(x0, y0, u0, v0) 的一個鄰域 R= (x0− a, x0+ a) × (y0− b, y0+ b) × (u0− c, u0+ c) × (v0− d, v0+ d) 當中, 函數 F(x, y, u, v) 與 G(x, y, u, v) 對於各種變數之偏導函數皆連續。 (B) 在 P(x0, y0, u0, v0) 滿足方程組 F(x0, y0, u0, v0) = 0 與 G(x0, y0, u0, v0) = 0。 (C) 在 P(x0, y0, u0, v0) 關於 F, G 對於 u, v 的雅可比行列式 ∂(F, G) ∂(u, v)    _P (x0,y0,u0,v0) =      Fu Fv Gu Gv      P(x0,y0,u0,v0) 6= 0。 則有以下結論: (1) 在 P(x0, y0, u0, v0) 的附近, 方程組 F(x, y, u, v) = 0 與 G(x, y, u, v) = 0 可以唯一確定一

個向量值函數 (u, v) = (f (x, y), g(x, y)) 且滿足 (u0, v0) = (f (x0, y0), g(x0, y0))。 更明確地

說, 存在一個鄰域 U × V = (x0− δ1, x0+ δ1) × (y0− δ2, y0+ δ2) × (u0− δ′1, u0 + δ1′) ×

(v0− δ2′, v0+ δ′2) ⊂ R 使得對每個(x, y) ∈ U,方程組 F(x, y, u, v) = 0與G(x, y, u, v) = 0

在 W 中存在唯一解 (u, v)。 由此建立的向量值函數記為 (u, v) = (f (x, y), g(x, y)), 其中

(u0, v0) = (f (x0, y0), g(x0, y0))。 此時, 對所有 (x, y) ∈ U, 都有

(

F(x, y, f (x, y), g(x, y)) = 0 G(x, y, f (x, y), g(x, y)) = 0。

(2) 向量值函數 (u, v) = (f (x, y), g(x, y)) 在區域 U 上是連續函數。

(3) 向量值函數 (u, v) = (f (x, y), g(x, y)) 在區域 U 上的各種偏導函數皆連續, 而且

" _∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y # = − " Fu Fv Gu Gv #−1" Fx Fy Gx Gy # 。 證明: (1) 因為在P(x0, y0, u0, v0)處 ∂(F,G)_∂(u,v)    P(x0,y0,u0,v0) 6= 0,所以Fu與Fv至少有一個在P點的值非 零。 不妨假設 Fu(x0, y0, u0, v0) 6= 0,另一個情況同理可證。 此時, 對於方程式 F(x, y, u, v) =

0,由隱函數定理(Implicit Function Theorem)得知: 在P(x0, y0, u0, v0)的一個鄰域W× I

中會有 u= ϕ(x, y, v), 其中ϕ_{: W → I} 使得

F(x, y, ϕ(x, y, v), v) = 0, u0= ϕ(x0, y0, v0), ϕv = −

Fv

Fu

現將 u= ϕ(x, y, v) 代入 G(x, y, u, v) = 0 之後得到 H(x, y, v)= G(x, y, ϕ(x, y, v), v) = 0,記 觀察函數 H(x, y, v), 在 (x0, y0, v0) 的地方, 有 Hv = Gu· ϕv+ Gv = Gu·  −_FFv u  + Gv = FuGv− FvGu Fu = 1 Fu ∂(F, G) ∂(u, v) 6= 0,

而且H(x0, y0, v0) = 0所以由隱函數定理(Implicit Function Theorem)得知: 存在(x0, y0, v0)

的一個鄰域 U_{× I}′ _使得 v= g(x, y), 其中 g_{: U → I}′ _使得 H(x, y, g(x, y)) = 0。 記 f(x, y) = ϕ(x, y, g(x, y)), 其中f _{: U → I,} 則在(x0, y0) 的鄰域 U, 有 ( F(x, y, f (x, y), g(x, y)) = 0 G(x, y, f (x, y), g(x, y)) = 0。 (2) 因為 u = ϕ(x, y, v) 在 (x0, y0, v0) 的鄰域 W, v = g(x, y) 在 (x0, y0) 的鄰域 U 都連 續, 所以合成函數 f(x, y) = ϕ(x, y, g(x, y)) 在 (x0, y0) 的鄰域 U 也連續。 於是 (u, v) = (f (x, y), g(x, y) 在(x0, y0) 的一個鄰域U 上連續。 (3) 最後, 欲得到隱函數的各種偏導函數, 利用鏈鎖律(Chain Rule),將 ( F(x, y, u, v) = 0 G(x, y, u, v) = 0 兩邊對 x 求偏導數, 得到 ( _∂F ∂x + ∂F ∂u ∂u ∂x+ ∂F ∂v ∂v ∂x = 0 ∂G ∂x + ∂G ∂u ∂u ∂x + ∂G ∂v ∂v ∂x= 0 ⇒ " Fu Fv Gu Gv # " ux vx # = − " Fx Gx # 兩邊對 y 求偏導數, 得到 ( _∂F ∂y + ∂F ∂u ∂u ∂y + ∂F ∂v ∂v ∂y = 0 ∂G ∂y + ∂G ∂u ∂u ∂y + ∂G ∂v ∂v ∂y = 0 ⇒ " Fu Fv Gu Gv # " uy vy # = − " Fy Gy # 將兩個矩陣式子再做合併, 則得 " Fu Fv Gu Gv # " ux uy vx vy # = − " Fx Fy Gx Gy # , 因此 " ux uy vx vy # = − " Fu Fv Gu Gv #−1" Fx Fy Gx Gy # 。

例 5. 考慮方程組

(

F(x, y, u, v) = x2_{+ y − u}2_{− v}2_{= 0}

G_{(x, y, u, v) = xy − 1 + u − v = 0}。

(A) 在 P(2, 1, 1, 2)的一個鄰域內是否存在隱函數 u= u(x, y) 與v= v(x, y)?

(B) 在 P(2, 1, 1, 2)的一個鄰域內是否存在隱函數 x= x(u, y) 與v= v(u, y)?

解. (A) 計算      Fu Fv Gu Gv      P(2,1,1,2) =      −2u −2v 1 ₋₁      P(2,1,1,2) =      −2 −4 1 ₋₁      = 6 6= 0,

所以由隱函數定理 (Implicit Function Theorem)得知: 在 P(2, 1, 1, 2)的一個鄰域內存在隱 函數 u= u(x, y) 與v= v(x, y)。 (B) 計算      Fx Fv Gx Gv      P(2,1,1,2) =      2x −2v y ₋₁      P(2,1,1,2) =      4 −4 1 −1      = 0, 所以無法利用隱函數定理得到結果。 現將方程組改寫成 ( x2_{− v}2 = u2_{− y} xy_{− v = 1 − u,} 考慮 (y, u) = (y, 1), 其中 y_{∈ (1 − δ, 1 + δ), 0 < δ < 1,} 代入方程式後得到 ( x2_{− v}2_{= 1 − y} xy_{− v = 0,} 將第二式 v= xy 代入第一式之後得到

x2_{− (xy)}2_{= (1 − y}2)x2_{= (1 + y)(1 − y)x}2 _{= 1 − y,}

若 y_{6= 1,}則 (1 + y)x2_{= 1 ⇒ x}2= 1 1 + y ⇒ x = ± 1 √ 1 + y

所以方程組在 P(2, 1, 1, 2) 的任何一個鄰域內都無法表示成向量值函數 (x(u, y), v(u, y)) 的 樣子。

這一節最後, 我們給出更多變數的方程組隱函數存在定理。 定理 6. 假設有一個以x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym 為變數的方程組              F1(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0 F2(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0 . . . Fm(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0, 其中函數 Fk(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym), k = 1, 2, . . . , m 滿足 (A) 在 P(x0₁, x0₂, . . . , x_n0, y₁0, y₂0, . . . , y_m0) 點的一個鄰域 R = n Y i=1 (x0i − ai, x0i + ai) × m Y j=1 (y0j − bj, yj0+ bj) 當中對於每個變數的偏導函數皆連續。 (B) Fk(x01, x02, . . . , x0n, y01, y02, . . . , y0m) = 0, k = 1, 2, . . . , m。 (C) 在 P(x0 1, x02, . . . , x0n, y10, y20, . . . , ym0) 點的雅可比行列式 ∂(F1, F2, . . . , Fm) ∂(y1, y2, . . . , ym)     P 6= 0, 則有以下結論: (1) 存在一個 P 的鄰域 U_{× V =} n Q i=1 (x0 i − δi, x0i + δi) × m Q j=1 (y0 j − δ ′ j, yj0+ δ ′ j) ⊂ R 使得對任何 (x1, x2, . . . , xn) ∈ U, 方程組 Fk(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0, k= 1, 2, . . . , m 存在唯一解 (y1, y2, . . . , ym)。 由此方程組建立的向量值函數記為 yj = fj(x1, x2, . . . , xn), 其 中 y0_j = fj(x0₁, x0₂, . . . , xn0), j = 1, 2, . . . , m。 此時, 對所有 (x1, x2, . . . , xn) ∈ U 與 k = 1, 2, . . . , m, 都有 Fk(x1, x2, . . . , xn, f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)) = 0。 (2) 每個 fj(x1, x2, . . . , xn), j = 1, 2, . . . , m 在區域 U 上都是連續函數。 (3) 每個 fj(x1, x2, . . . , xn), j = 1, 2, . . . , m 在區域 U 上都有連續的偏導函數, 並且這些偏導函 數可以從方程組 ∂Fk ∂xi +∂Fk ∂y₁ ∂f1 ∂xi +∂Fk ∂y₂ ∂f2 ∂xi + · · · + ∂Fk ∂ym ∂fm ∂xi = 0, i= 1, 2, . . . , n 解出;即 h ∂fj ∂xi i m×n= − h ∂Fk ∂yj i−₁ m×m h ∂Fk ∂xi i m×n 。

10.2

反函數定理

首先我們回顧單變數函數的反函數理論。 在單元 5.2, 我們曾經證明了以下定理: 定理 1 (反函數的求導法則). 若 f(x)在 x= x0 處導數存在, 且f′(x0) 6= 0, 並且f(x)在 x= x0 的一個鄰域內連續且嚴格單調(嚴格遞增或嚴格遞減), 則反函數 x = ϕ(y) 在 y = y0 = f (x0) 是可 微分的, 並且 ϕ′(y0) = _f′_(x10)。 此定理當初的證明方式是先建立單調函數的反函數存在, 然後證明反函數連續, 最後再透過導數 的定義直接計算反函數的導數之結果。 以下我們利用隱函數定理重新證明一次, 只是這時我們需要假 設函數在開區間 I 上的導函數連續, 即f_{(x) ∈ C}1(I)。 證明: 考慮二變數函數 F_{(x, y) = y − f (x),} 對於 F(x, y) 而言, 定義域是 R _{= I × R ⊂ R}2。 因為 f_{(x) ∈ C}1(I), 所以 F_{(x, y) ∈ C}1(R)。 給定 x0 ∈ I, 記 y0 = f (x0), 因為 f′(x0) 6= 0, 所以函數 F(x, y)在 (x0, y0) ∈ R 處滿足 F(x0, y0) = y0− f (x0) = y0− y0 = 0 以及 Fx(x0, y0) = −f′(x0) 6= 0,

由隱函數定理 (Implicit Function Theorem) 得知: 存在 δ > 0 使得在 y _{∈ (y0− δ, y0} + δ) 上有 函數 x = ϕ(y) 並且滿足 F(ϕ(y), y) = 0。 此時_{, F (ϕ(y), y) = y − f (ϕ(y)) = 0;}也就是說, 對所有

y _{∈ (y0− δ, y0}+ δ) 都有 f(ϕ(y)) = y,所以 x= ϕ(y)是 y= f (x)的反函數。 此外, 隱函數定理也 告知 ϕ′ (y) = −F_Fy(x, y) x(x, y) = 1 f′_(x), 特別地_{, ϕ}′ (y0) = −F_Fy_x(x_(x00,y,y00)) = 1 f′_(x0)。 現在我們要研究多變數的情況。 給定一個 映射 _{(map) T : R ⊂ R}2 _{→ R}2_{, 其中 (x, y) ∈ R 與} (u, v) ∈ R2 滿足 T : ( x= x(u, v) y= y(u, v), 現在要問的是: 關於映射T 是否存在 逆映射(inverse map)呢? 也就是說, 是否存在一個以 x, y為 自變數而u, v 為應變數的映射 S : ( u= u(x, y) v= v(x, y) 使得 S_{◦ T = Id,}即

S_{◦ T (u, v) = S(x(u, v), y(u, v)) = (u(x(u, v), y(u, v)), v(x(u, v), y(u, v))) = (u, v)?}

若 S 是 T 的逆映射, 我們會用符號 T−_{1 重新表示}

定理 2 (反函數定理 Inverse Function Theorem). 考慮映射 T _{: R ⊂ R}2 _{→ R}2, 其中 (u, v) ∈ R 與 _{(x, y) ∈ R}2 _滿足 T : ( x= x(u, v) y= y(u, v), 假設映射 T 在區域 R 上具有連續的偏導函數, 即 x(u, v), y(u, v) ∈ C1(R)。 而 P = (u0, v0) ∈ R 與 P′ = (x0, y0) = (x(u0, v0), y(u0, v0))。 如果在 P 點的雅可比行列式 ∂(x, y) ∂(u, v)     P 6= 0, 則存在 P 的一個鄰域 U(P, δ) 與 P′ _{的一個鄰域} U′ (P′ , δ′ ) 使得映射 T _{: U → U}′ _{可逆。若記} T 的逆映射為S : U′ → U, 其中 S : ( u= u(x, y) v= v(x, y), 則逆映射S 對於變數 x 與 y 具有連續的偏導函數, 並且 T 的微分映射(differential map)與 S 的 微分映射若寫成矩陣的形式時彼此互為反矩陣, 即 " xu xv yu yv # " ux uy vx vy # = " 1 0 0 1 # 。 證明: 考慮方程組 ( F_{(x, y, u, v) = x − x(u, v) = 0} G_{(x, y, u, v) = y − y(u, v) = 0,} (1) 因為在(x0, y0, u0, v0)滿足 ∂(F, G) ∂(u, v)     (x0,y0,u0,v0) = ∂(x, y) ∂(u, v)     (u0,v0) 6= 0,

由隱函數定理 (Implicit Function Theorem)得知: 在(x0, y0, u0, v0)的一個鄰域U′× U 中存在映

射 S : U′ → U 滿足 S : ( u= u(x, y) v= v(x, y), 以及 u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0)。 現在要驗證: S 是 T 的逆映射: 因為映射S 必須滿足原方程 組(1),由此得到對所有 _{(x, y) ∈ U}′ (

x_{− x(u(x, y), v(x, y)) = 0} y_{− y(u(x, y), v(x, y)) = 0} ⇒

(

x(u(x, y), v(x, y)) = x

y(u(x, y), v(x, y)) = y, (2)

此外, 隱函數定理也告知u(x, y)與 v(x, y)在 U′ 上具有連續的偏導函數。 現將(2)式對於變數 x 與 y 計算偏導函數, 得到 ( _∂x ∂u ∂u ∂x+ ∂x ∂v ∂v ∂x = 1 ∂x ∂u ∂u ∂y + ∂x ∂v ∂v ∂y = 0 與 ( _∂y ∂u ∂u ∂x+ ∂y ∂v ∂v ∂x = 0 ∂y ∂u ∂u ∂y + ∂y ∂v ∂v ∂y = 1。 將這些式子寫成矩陣的形式, 則得 " _∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v # " _∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y # = " 1 0 0 1 # 。 反函數定理經常被拿來應用的情況是回答一個變數變換是否會是一種坐標變換。 這裡以平面中的 直角坐標與極坐標的關係來討論之。

例 3. 在平面 _R2 _{上有直角坐標系(Cartesian coordinates system) (x, y) 與極坐標系(polar}

coor-dinates system) (r, θ), 其中 r 表示從坐標原點 O(0, 0) 指向 P(x, y) 點的徑向, θ 表示極軸(x-軸)

和 OP 之間的廣義角。 兩系統的關係為 x= r cos θ 與 y= r sin θ, 因為 ∂(x, y) ∂(r, θ) =      cos θ −r sin θ sin θ rcos θ      = r cos2θ+ r sin2θ= r,

由反函數定理 (Inverse Function Theorem)得知: 若 P 不是坐標原點, 則存在 P 的一個鄰域使得

r = r(x, y), θ = θ(x, y)。 雖然兩坐標系統在坐標原點的地方無法使用反函數定理, 但在實際應用的時候問題不大, 比方說在 進行重積分時坐標變換有一個點的屬性被破壞掉並不影響最後的積分值。 又或者說, 如果問題真的牽 涉到要處理坐標原點附近的性質時, 那麼就重新選取新的極坐標系統讓所要討論的點不是極點即可。 例 4. 驗證映射T : ( u= xy v= y_x 在第一象限的部分是一種坐標變換。 解. 因為 ∂(u, v) ∂(x, y) =      ux uy vx vy      =      y x −xy2 1 x      = 2y x >0,

由反函數定理 (Inverse Function Theorem)得知: 在第一象限中可以將 x, y寫成 u, v 的函數, 即存 在 T 的逆映射T−₁ : ( x= x(u, v) y = y(u, v) 。 雖然這份講義尚未提及重積分的理論, 但是各位應該回顧在微積分課程當中所學重積分的變數變 換,特別是面元 dx dy =     ∂(x, y) ∂(u, v)     du dv =  1   ∂(u,v) ∂(x,y)    du dv =     x 2y     du dv = 1 2v du dv 的處理, 就是基於映射T 可逆, 所以 (u, v)可以當作是新的獨立變數, 然後又用到映射與逆映射的微

10.3

函數獨立與函數相關

在線性代數理論中, 我們會探討一組向量 _{vi}m

i=1 是否線性相依或者是線性獨立的問題: 如果這組向

量中有某個v_k 以及 c1, c2, . . . , ck−1, ck+1, . . . , cm ∈ R 使得

v_{k= c1}v_{1+ c2}v_{2+ ck−1}v_{k−1+ ck+1}v_{k+1+ · · · + cm}v_m,

我們說 _{vi}m_i=1 是線性相依的 (linearly dependent); 若這組向量中的任何一個向量 vi 都無法用其

餘向量的線性組合表示時, 則稱_{vi}m_i=1 是線性獨立的 (linearly independent)。

現在我們想要試著問一組函數 yi = fi(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , m 的獨立或相關的問題, 其 中每一個 fi : D ⊂ Rn → R 都是從定義域 D 對應到實數 R的 n 變數函數。 這時, 因為 fi 並非單 純的向量而是很複雜的多變數函數, 所以我們不太能要求這些函數彼此能夠寫成 「線性」 組合的關係; 也就是說, 若要說明一組函數是否相關, 基本上要求 「線性」 這個條件是不太合理的, 於是我們用以下 的方式定義函數相關: 定義 1. 考慮一組函數y1, y2, . . . , ym,其中yi= fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 若有一個函數yk可以被其它函數y1, y2, . . . , yk−1, yk+1, . . . , ym 決定,我們稱函數組y1, y2, . . . , ym 在區域D 上是 函數相關的。 例 2. 考慮函數組 yi= fi(x1, x2, x3, x4) : R4 → R, i = 1, 2, 3, 其中        y₁ = x1+ x2+ x3+ x4 y₂ = x2₁+ x2₂+ x2₃+ x2₄ y₃ = x1x2+ x1x3+ x1x4+ x2x3+ x2x4+ x3x4, 則y1, y2, y3在R4上是函數相關的,這是因為對所有(x1, x2, x3, x4) ∈ R4都滿足y2 = (y1)2−2y3。 各位可以看到在 例 2 中, 函數組 y1, y2, y3 滿足的 y2 = (y1)2 − 2y3 是一個非線性關係 (non-linear relation)。 而原先函數相關的定義其實寫得有點含糊, 現在想要將函數相關這個概念用更明確 的數學語言描述。 給定 (x1, x2, . . . , xn) ∈ D, 現將 yi = fi(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , m 寫成 (y1, y2, . . . , ym) ⊂ Rm, 這麼一來可以將函數組視為在 Rm 當中的點所成的集合。 現在將某個yk 抽 出, 而剩下的寫成 (y1, y2, . . . , yk−1, yk+1, . . . , ym), 則區域 D 中的點透過函數關係會對應到 Rm−1 當中的一個點集R, 所以函數組y1, y2, . . . , ym 在D上是函數相關表示存在一個函數ϕ: R → R使 得 yk= ϕ(y1, y2, . . . , yk−1, yk+1, . . . , ym) = ϕ(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fk−1(x1, x2, . . . , xn), f_k+1(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)), 也就是說, 函數相關可想成是集合 (y1, y2, . . . , ym) 能不能看成是某個函數 ϕ: R → R 的圖形, 只是 這個函數ϕ 的定義域 R 並非平坦的歐氏空間。 在幾何上, 若每個函數 fi, i= 1, 2, . . . , m 具有一些 不錯的光滑性時, 我們會用流形(manifold)的方法描述這個集合 R。

另一方面, 以下也將給出函數組 y₁, y₂, . . . , ym 是函數獨立的定義。 定義 3. 考慮一組函數y₁, y₂, . . . , ym,其中yi = fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 如果在區域 D上以及在D 中的任何一個子集合 D′ _{都不存在函數} ϕ使得 yk= ϕ(y1, y2, . . . , yk−1, yk+1, . . . , ym), k= 1, 2, . . . , m, 則稱函數組y1, y2, . . . , ym 在區域 D上是 函數獨立的。 現在要問的是: 在什麼情況下我們可以確定一組函數y1, y2, . . . , ym 是函數相關或者是函數獨立? 為回答這個問題, 首先引進雅可比矩陣的概念。 定義 4. 給定一組函數y₁, y₂, . . . , ym,其中yi = fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 假設這組函數在區域D 中具有對一切變數的連續偏導函數, 我們稱矩陣 h ∂yi ∂xj i m×n =        ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 · · · ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 · · · ∂y2 ∂xn .. . ... . .. ... ∂ym ∂x1 ∂ym ∂x2 · · · ∂ym ∂xn        m×n 為函數組y1, y2, . . . , ym 在區域 D上的 雅可比矩陣 (Jacobi matrix)。 給了一組函數 y1, y2, . . . , ym, 定義了雅可比矩陣, 給定一點 P(x01, x02, . . . , x0n) ∈ D, 則雅可比 矩陣在 P 點就是一個 m_{× n} 的矩陣, 而且每一個元素都是實數, 這時我們就可以計算這個矩陣的秩 (rank)。 關於一個矩陣秩的計算在線性代數理論中提供了很多種方法求得, 這裡我們採用子矩陣的行 列式定義函數組y1, y2, . . . , ym 的雅可比矩陣在區域 D 上的秩。 定義 5. 給定一組函數y₁, y₂, . . . , ym,其中yi = fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 假設這組函數在區域 D 中具有對一切變數的連續偏導函數。 若 _{1 ≤ r ≤ min(m, n),} 從函數組 y₁, y₂, . . . , ym 任意挑出 r 個函數 yi1, yi2, . . . , yir, 再從變數 x1, x2, . . . , xn 中任意挑出 r 個變數 xj1, xj1, . . . , xjr, 然後計算這 r 個函數對於這 r 個變數的偏導函數所形成的雅可比子矩陣 h _∂y ik ∂x_jl i r×r =        ∂yi1 ∂xj1 ∂yi1 ∂xj2 · · · ∂yi1 ∂xjr ∂yi2 ∂xj1 ∂yi2 ∂xj2 · · · ∂yir ∂xjr .. . ... . .. ... ∂yi1 ∂xj1 ∂yi2 ∂xj2 · · · ∂yir ∂xjr        r×r 。 這些子矩陣當中, 若在區域 D 中的行列式不恆為零之最高階數稱為這個函數組 y1, y2, . . . , ym 在區 域 D上的 秩 (rank)。 現在將給出判斷函數組 yi= fi(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , m 是函數獨立或是相關的定理。

定理 6. 考慮一組函數y₁, y₂, . . . , ym,其中yi= fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 假設這組函數在區域 D 中具有對一切變數的連續偏導函數。 若 m _{≤ n,} 而且函數組 y1, y2, . . . , ym 的雅可比矩陣當中存在一個 m-階子矩陣的行列式在區域 D 中不為零, 則函數組 y₁, y₂, . . . , ym 在 D 上是函數獨立的。 證明: 假設函數組y1, y2, . . . , ym 在D 上某個部份區域內 D′ 是函數相關的; 也就是說, 存在函數ϕ 使得 ym= ϕ(y1, y2, . . . , ym−1) 在 D′ _{中成立。 注意到這裡是為了方便起見} , 設定最後一個函數 ym 可用 y1, y2, . . . , ym−1 之函數表 示, 在其它的情況就重新編號即可。 現將ym= ϕ(y1, y2, . . . , ym−1)兩邊對於xi 求偏導函數, 其中要進行偏微的m個變數之選取方 式是根據定理條件對應到的m-階子矩陣行列式非零之變數而定, 由此得到 ∂ym ∂xi = ∂ϕ ∂y₁ ∂y1 ∂xi + ∂ϕ ∂y₂ ∂y2 ∂xi + · · · + ∂ϕ ∂y_m−1 ∂ym−1 ∂xi , 同樣的, 這是是為了方便起見, 省去過多的下標註記而寫, 在其它的情況就重新編號即可。 於是               ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 · · · ∂y1 ∂xm ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 · · · ∂y2 ∂xm .. . ... . .. ... ∂ym−1 ∂x1 ∂ym−1 ∂x2 · · · ∂ym−1 ∂xm ∂ym ∂x1 ∂ym ∂x2 · · · ∂ym ∂xm               m×m =                ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 · · · ∂y1 ∂xm ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 · · · ∂y2 ∂xm .. . ... . .. ... ∂ym−1 ∂x1 ∂ym−1 ∂x2 · · · ∂ym−1 ∂xm m−1 P k=1 ∂ϕ ∂yk ∂yk ∂x1 m−1 P k=1 ∂ϕ ∂yk ∂yk ∂x2 · · · m−1 P k=1 ∂ϕ ∂yk ∂yk ∂xm                m×m , 因為該雅可比行列式的最後一列可以用前面 m_{− 1}列的倍數組合而成, 所以雅可比行列式為零, 這與 條件矛盾。 故函數組y1, y2, . . . , ym 在區域 D 上是函數獨立的。 例 7. 考慮區域D_{= {(x}1, x2, x3) ∈ R3|x1 >0, x2 >0, x3 >0} 上的兩個函數 ( y₁= x3₁x2₂x₃ y₂= x1− x2, 則 " _∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y1 ∂x3 ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2 ∂x3 # = " 3x2₁x2₂x3 2x13x2x3 x31x22 1 ₋₁ 0 # , 因為 det " _∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 #! =      3x2 1x22x3 2x31x2x3 1 ₋₁      = −x21x2x3(3x2+ 2x1) 6= 0, 所以函數組 y₁, y₂ 的雅可比矩陣在區域 D上的秩為2, 所以 y₁ 與y₂ 在區域 D上是函數獨立的。 最後我們再給出更一般的定理。

定理 8. 考慮一組函數y₁, y₂, . . . , ym,其中yi= fi(x1, x2, . . . , xn) : D ⊂ Rn→ R, i = 1, 2, . . . , m, 若函數組的雅可比矩陣在點 P(x0₁, x0₂, . . . , x0_{n) ∈ D} 的秩為 r _{≥ 1,} 此時不妨假設            ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 · · · ∂y1 ∂xr ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 · · · ∂y2 ∂xr . . . . . . . .. . . . ∂yr ∂x1 ∂yr ∂x2 · · · ∂yr ∂xr            P 6= 0, 則存在 P 點的一個鄰域 U _{⊂ D} 使得: (A) y1, y2, . . . , yr 是函數獨立的。 (B) 若 m > r, 則函數組 y1, y2, . . . , ym 是函數相關的。 證明: (A) 同 定理6 的討論即可完成。 (B) 這裡以 (n, m, r) = (3, 2, 1) 為例證明之, 至於一般的情形同理。 假設有兩個函數 y1= f1(x1, x2, x3) 與y2= f2(x1, x2, x3), 其雅可比矩陣 " _∂f 1 ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f1 ∂x3 ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2 ∂f2 ∂x3 # 2×3 在區域 D上的秩是1, 不妨假設 ∂f1 ∂x1 在 P(x0 1, x02, x03) ∈ D非零。

考慮 F(x1, x2, x3, y1) = y1−f1(x1, x2, x3) = 0由隱函數定理(Implicit Function Theorem)

得知: 在 (x0₁, x0₂, x0₃, y₁0) 的一個鄰域當中, x1 可以表示成以(x2, x3, y1) 為變數的函數, 即存 在ϕ使得 x1 = ϕ(x2, x3, y1)。 如此, 則有y1 ≡ f1(ϕ(x2, x3, y1), x2, x3)。 在這個關係式之下, 得到 f1 只與 y1 有關, 與x2, x3 無關, 故對此式兩邊對於變數 x2, x3 求導, 得到 ( _∂f 1 ∂x1 · ∂ϕ ∂x2 + ∂f1 ∂x2 = 0 ∂f1 ∂x1 · ∂ϕ ∂x3 + ∂f1 ∂x3 = 0 ⇒ _∂x∂ϕ 2 = − ∂f1 ∂x2 ∂f1 ∂x1 , ∂ϕ ∂x₃ = − ∂f1 ∂x3 ∂f1 ∂x1 。 另一方面, 將x1= ϕ(x2, x3, y1) 代入函數f2, 則有 y2 = f2(x1, x2, x3) = f2(ϕ(x2, x3, y1), x2, x3) 記 = F2(x2, x3, y1)。 考慮 F2(x2, x3, y1) 對於 x2, x3 的偏導數: ∂F2 ∂x2 = ∂f2 ∂x1 · ∂ϕ ∂x2 + ∂f2 ∂x2 = ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x2− ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x1 ∂f1 ∂x1 = ∂f11 ∂x1      ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2      ∂F2 ∂x3 = ∂f2 ∂x1 · ∂ϕ ∂x3 + ∂f2 ∂x3 = ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x3− ∂f1 ∂x3 ∂f2 ∂x1 ∂f1 ∂x1 = ∂f11 ∂x1      ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x3 ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x3      , 由於 y₁, y₂ 的雅可比矩陣的秩是 1, 以及 ∂f1 ∂x1 在P 點附近非零, 所以 ∂F2 ∂x2 = 0 以及 ∂F2 ∂x3 = 0, 這說明函數 F2 與x2, x3 都無關, 只與y1 有關, 也就是說, y2 = F (y1), 這樣就證明了函數組 y1, y2 在 P 的一個鄰域上是函數相關。

這一節的最後想要和各位說明的是: 函數獨立與函數相關的問題, 若要和線性代數的理論做一個 更確實的類比, 那麼應該是要把這個概念與向量空間的對偶空間 (dual space)對應。 在單元 5.7我們 介紹過向量空間與對偶空間之間的關係, 這裡做一個簡要的複習。 考慮向量空間 (vector space) Vn, 取_{ei}n i=1 是一組基底 (basis), 現考慮集合(Vn) ∗ , 它是將所有從向量空間 Vn映至向量空間_R 之 間的線性泛函 (linear functional)形成的集合; 也就是說, 元素 F _{∈ (V}n)∗ _滿足 F_{(v) ∈ R,} 其中 v_{∈ V}n_, 並且 ( F(v1+ v2) = F (v1) + F (v2) 對所有 v1, v2 ∈ Vn F(c v) = c F (v) 對所有 v_{∈ V}n 以及c_{∈ R}。 數學上可以驗證: (Vn₎∗ 滿足向量空間的所有條件。 這個空間稱為Vn _{的 對偶空間(dual space)。 既} 然_(Vn₎∗_{是向量空間} ,我們想要找到(Vn)∗_{的一組基底。 其中一種找法如下} : 定義_{fi : Vn_{→ R}}n_i=1, 其中 f_{i(ej) = δij =} ( 1 如果 i= j 0 如果 i_{6= j,}

以下將驗證_{: {f}i}n_i=1 是對偶空間 (Vn)∗ 的一組基底。 因為它是透過 {ei}n_i=1 而來, 所以 {fi}n_i=1 稱

為 對偶基底 (dual basis)。 有了向量空間與其對偶空間的概念, 現將它應用在多變數函數 y = f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R 的微分(differential),函數在一點的微分是想要把函數在一點的線性增長量這個線性結構搭配線性代 數的語言表示出來, 則得如下定義: 定義 9. 給定可微分函數 y= f (x1, x2, . . . , yn), 函數 f(x1, x2, . . . , xn) 在 P(x01, x02, . . . , x0n)處的 微分(differential) dy|P 記 = ∂f ∂x1 dx1+ ∂f ∂x2 dx2+ · · · + ∂f ∂xn dxn    _P 指的是從向量空間 TPRn= Rn 映至向量空間 R 的一個 線性泛函(linear functional),其中 TPRn 上的基底為_{ ∂ ∂xi   _P} n i=1, 而 {dxi|_P}n_i=1 是 {_∂x∂_{i   P}} n i=1 的對偶基底。 所以 ∂f ∂xi 指的是線性泛函 dy 在P 點對於基底 _{dxi|_P}n_i=1 線性組合表示時的係數。 所以當我們討論在函數組y1, y2, . . . , ym 在P 點是函數相關或是函數獨立的問題時, 該理論是在 說明: 觀察每一個函數yi 在P 點的微分映射dyi,它在切空間的對偶空間中就形成了一組向量, 研究 這m 個向量是線性獨立或是線性相依, 由此可以推得函數組在一點附近的函數相關性。 特別地, 在高中或是線性代數課當中曾經討論線性函數的相關問題, 像是        y1= 2x1+ x2+ 3x3 y2= 3x1− x2+ x3 y3= x1− x2+ 2x3 ⇒     y1 y2 y3     =     2 1 3 3 −1 1 1 −1 2         x1 x2 x3     所形成的係數矩陣, 都應該要從對偶空間的角度看待它才是正確的對應關係。