負債導向資產配置與固定收益組合 - 政大學術集成

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(1) . 國立政治大學風險管理與保險學研究所碩士學位論文指導教授：張士傑博士鄭宗記博士立. 政治大 . ‧. ‧ 國. 學. 負債導向資產配置與固定收益組合 . n. Ch. and . er. io. al. sit. y. Nat. Liability Driven Asset Allocation n engchi U. iv. Fixed Income Management 研究生：廖珂平撰 2014 年 6 月 .

(2) . 摘要本研究探討固定收益債券為主的多期資產配置，假設不同風險偏好程度的投資人，於設定之投資期限內，達到最適投資策略。本研究之模型主要參考 Cox & Huang(1989, 1991)所提出之平賭概念與 Sorensen(1999)利用 Vasicek 模型模擬市場利率，在完備市場假設下，建構間接效用函數，利用擬似動態規劃方法，求得最適配置結果。且考量債券定價誤差下，討論投資組合之變化，以及給定負債組合及預估現金流量下之最適配置結果。本研究結果顯示，債券訂價誤差之假設對於投資組合有明顯影響，在誤差愈. 政治大. 大時，因債券所含之隱藏獲利愈高立，影響配置結果，透過假設不同債券定價誤差，. ‧ 國. 學. 分析影響整體投資組合之結果以及對於股票和現金部位之影響，而在考量負債面. ‧. 下，對於投資組合最適化之方法與前述相同，因考量負債現金流量，使原始投資. n. al. er. io. . sit. y. Nat. 組合再加入所能符合負債現金流之債券項目即可。 . Ch. n engchi U. iv. 關鍵字：間接效用函數; 負債複製投資組合; 擬似動態過程; 債券定價誤差 . 1 .

(3) . 謝詞我想，首要感謝的人，就是指導教授張士傑老師及鄭宗記老師了，老師就像是領路人，在茫茫的沙漠中帶領著我們，在撰寫論文的時間裡，我們很放心的跟著老師的腳步，謝謝老師經驗的指導，不管老師再怎麼忙碌、時間再怎麼急迫，總是固定每週與我們討論進度、確認我們論文內容與方向。真的很幸運也很榮幸能夠成為老師的學生。論文期間，常讓我提問的益俗學長，還記得第一次問你問題，你擔心用文字表達不清楚，立即打了電話跟我釐清概念，還做了一份教學文件，跟你討論程式. 治. 政碼時，你總能超效率的回復我，讓我能夠很快的接續作業，也提供我很多寫程式大. 立. ‧ 國. 學. 碼的想法，真的感謝。 . ‧. 謝謝我的口試委員，黃雅文老師，謝謝學姊特地從台中上來，也感謝學姊在. y. Nat. er. io. sit. 口試時提出的建議與指導，讓我的論文能夠修改的更完整。 . n. al 柔妍、侑萱、瑞秋，謝謝一路上的陪伴，很開心可以跟你們一起同甘共苦、 iv Ch. n engchi U. 一起努力寫論文、一起口試、一起報告。也謝謝風管所的老師、同學和助教，真的三生有幸才能夠進入風管的大家庭。最後，謝謝愛我的家人、愛我的朋友，有你們的支持和幫助才有現在的我和未來的我。學生廖珂平謹誌於政大風管所精算組 . 2 .

(4) . 目錄第一章緒論 ........................................................................................................................................ 6 第一節研究動機 ...................................................................................................................... 6 第二節研究目的 .................................................................................................................... 12 第二章文獻回顧 ............................................................................................................................ 13 第一節投資組合最適化研究 ............................................................................................ 13 第二節連續時間最適化研究 ............................................................................................ 14 第三章研究方法 ............................................................................................................................ 16 第一節投資人效用 ............................................................................................................... 16 第二節利率模型與投資標的 ............................................................................................ 17 第三節動態完備市場假設 ................................................................................................ 19 . 治. 政第四節間接效用函數 .......................................................................................................... 20 大. 立. 第五節擬似動態規劃 .......................................................................................................... 23 . ‧ 國. 學. 第六節債券價格定價誤差 ................................................................................................ 25 . ‧. 第四章數值模擬結果 ................................................................................................................... 27 . Nat. sit. y. 第一節市場概述 .................................................................................................................... 27 . er. io. 第二節模型參數選取 .......................................................................................................... 28 . al. n. iv. n Ch 第三節數值結果 .................................................................................................................... 29 en hi U gc. 第四節債券價格定價誤差模擬結果與分析 .............................................................. 31 第五節負債複製投資組合 ................................................................................................ 34 第五章結論與建議 ........................................................................................................................ 37 第一節結論 .............................................................................................................................. 37 第二節建議 .............................................................................................................................. 38 參考文獻……………………………………………………………………………………………….………39 . . 3 .

(5) . 表目錄表1. 台灣五大銀行平均存款利率（單位：年息百分比率）.................................7 表2. 台灣各年期公債殖利率（2014 年 1 月 8 日）.....................................................8 表3. 台灣各年期公司債殖利率（2014 年 1 月 8 日）.................................................8 表4. 台灣 2013 年 12 月國內各項債券營業處所月交易量統計..............................9 表5. 表 5. 美國公債、公司債統計資料(單位：十億美元) ...........................................9 表6. 台灣公債發行額與未償還餘額統計(單位：新台幣億元) ..............................10 表7. 台灣公司債與金融債券發行額與未償還餘額統計(單位：新台幣億元) .10 表8. 台灣公債持有對象分析百分比統計 ....................................................................11 . 政治大. 表9. 符號設定說明表............................................................................................................18 立. ‧ 國. 學. 前十大債券市場規模（單位：十億美元）..............................................................27 . 表11.. 參數設定表......................................................................................................................29 . 表12.. 模擬資產負債.................................................................................................................35 . 表13.. l C 現金流量預估值............................................................................................................35 Un h. 表14.. 商品組合明細表............................................................................................................36 . 表15.. 商品繳別佔率.................................................................................................................36 . ‧. 表10.. er. io. sit. y. Nat. n. a. engchi. . . 4 . iv.

(6) . 圖目錄圖1. 2013 年壽險業資金運用百分比例............................................................................7 圖2. 前 10 大債券市場與其他國家規模比例圖..........................................................28 圖3. 利率模擬 10 年結果.......................................................................................................29 圖4. 參數設定 θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , γ = 7 ，無定價誤差下之十年最適配置..................................................................30 圖5. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=1, γ = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置..............31 圖6. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=5, 治. 政. 大. γ = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置..............32 立. ‧ 國. 學. 圖7. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=10 . ‧. γ = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置..............32 . sit. y. Nat. er. io. 圖8. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , γ = 7 時無 . n. a. iv. l C 誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 U n時投資於債券與股票之投資比 h engchi. 率總和................................................................................................................................33 圖9. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , γ = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 時投資於股票之投資比率..........34 . . 5 .

(7) . 第一章緒論第一節研究動機目前台灣的保險業可分為人壽保險與產物保險兩大類，依據保險事業發展中心資料顯示，自 2013 年 12 月底止，本國人壽保險公司共計有 28 家總行及 7 家外國人壽保險業分公司。根據瑞士再保險 2012 年全球保險報告，已將台灣保險市場與北美、西歐及日本等市場，並列為「先進保險市場」；台灣保險市場排全球第 11 大、壽險市場排全球第 9 大，每人每年平均保費支出（保險密度）達 3760 美元、新台幣 11.28 萬，台灣保險滲透度（保費收入對 GDP 比率）達 18.9%，是全球第一。 . 立. 政治大. 至 2013 年止台灣產、壽險管理資產加總，達 16.5 兆台幣，而從表 1.台灣五. ‧ 國. 學. 大銀行平均存款利率一年期 1.36%1，金融環境長期處於低利率狀態，因此台灣保. ‧. sit. y. Nat. 險業資金該如何運用成為一重要課題。而在可投資項目中，以報酬率為考量之下. al. er. io. 股票雖可有較好報酬，但其相對應之風險也較高，為符合金融管理委員會對於壽. n. v ni U engchi 險業 RBC 之要求，必須分散投資標的;另一方面，從壽險業負債之性質，對於長 Ch. 期負債而言，握有長期穩定收益的債券，能達到資產與負債之存續期間配對。進而分析壽險業所有可投資項目，從 2010~2013 年壽險業資金運用表2中，有價證券及國外投資兩項佔最大比重，有價證券中政府債券項目及國庫券所佔比率約為 20%，而國外投資項目3約為 40%，而其中國外投資大部分為美國公債及公司債，年 6 月 5 日，五大銀行為台灣銀行、合作金庫銀行、第一銀行、華南銀行及台灣土地銀行。存款利率為一般定期存款固定利率。 2 來源：財團法人保險事業發展中心 3 依據保險業辦理國外投資管理辦法第三條，包含項目有外匯存款、國外有價證券、經中央銀行許可辦理以各該保險業所簽發外幣收付之人身保險單為質之外幣放款、衍生性金融商品、國外不動產、設立或投資國外保險公司、保險代理人公司、保險經紀人公司或其他經主管機關核准之保險相關事業、經行政院核定為配合政府經濟發展政策之經建計畫重大投資案、其他經主管機關核准之資金運用項目。 1日期：103 . . 6 .

(8) . 因此國內外債券之投資為壽險業重要標的。 4. 表1. 台灣五大銀行平均存款利率（單位：年息百分比率）. 一個月期三個月期六個月期九個月期 0.88 . 0.94 . 1.12 . 1.23 . 一年期 . 二年期 . 三年期 . 1.36 . 1.39 . 1.41 . . 2013年壽險業資金運用百分比例 50.00 43.45 45.00 40.00 35.00 30.00 25.00 20.00 15.00 5.57 10.00 16.78 5.00 4.82 7.41 5.27 4.39 1.70 0.64 4.78 0.79 4.07 0.12 0.05 0.06 0.11 0.00 . 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat al. Ch. n engchi U. iv. 銀行存款 4.82，公債及國庫券 16.78，金融債券、存單、匯票與本票 5.27，股票 7.41，公司債 4.39，基金及受益憑證 1.70，證劵化商品及其他 0.64，投資用不動產 4.78，自用不動產 0.79，壽險貸款 4.07，放款 5.57，國外投資 43.45，專案運用及公共投資 0.12，投資保險相關事業 0.05，從事衍生性商品交易 0.06，其他經核准之資金運用 0.11 圖1. 2013 年壽險業資金運用百分比例. 前段所述台灣低利率的環境，打壓保險業者的生存空間，又因壽險公司是以保費收入與投資的利差為收益，低利率的環境使得壽險業者面臨嚴重的「利差損」，加上 2008 年金融風暴的衝擊，壽險業投資收益惡化，投資報酬率低於長期保單 4 . . 同註 1 . 7 . .

(9) . 平均利率所產生的「利差損」使壽險業的經營更加艱困。綜觀保險業所面臨之問題，如何帶給壽險業固定收益之金融商品的投資，將成為目前最迫切需解決的問題，冀望能提供穩定的台灣債券市場，卻有以下三個困境：一、殖利率偏低如表 2.具指標性的十年其公債殖利率 1.66%，表 3.十年期公司債 2%，不論是公債或是公司債，殖利率皆達不到保單預定報酬率 4~5%。 . 政治大. 2 年期 . 殖利率 . 0.641 . 10 年期 . 1.0718 . 1.6632 . 20 年期 2.054 . 30 年期 2.3045 . ‧ sit. y. Nat. . 5立年期 . 學. 指標公債 . ‧ 國. 表2. 台灣各年期公債殖利率（2014 年 1 月 8 日）. n. al. er. io. 表3. 台灣各年期公司債殖利率（2014 年 1 月 8 日）. 到期 . 1 . 2 . 3 . 年限 . 年 . 年 . 年 . 4 C. 年 . 5 6 hengchi Un 年 . 年 . i v 7 . 8 . 9 . 年 . 年 . 年 . 10 年 . twAAA . 0.83% 1.00% 1.21% 1.31% 1.41% 1.50% 1.59% 1.66% 1.73% 1.80% . twAA . 0.94% 1.16% 1.29% 1.39% 1.48% 1.58% 1.67% 1.74% 1.81% 1.88% . twA . 1.13% 1.27% 1.40% 1.51% 1.62% 1.71% 1.81% 1.88% 1.94% 2.01% . twBBB . 1.48% 1.62% 1.79% 1.90% 2.00% 2.13% 2.26% 2.37% 2.48% 2.59% . 二、交易量偏小因為公司債與公債之殖利率偏低，因此希望轉由市場交易方式獲利，債券之流動性對於交易有直接影響，進而研究台灣債券市場交易量如表 4.，台灣債券市場公債月交易量為新台幣 1.5 兆，與表 5.美國公債平均日交易量約為新台幣 780 . 8 .

(10) . 兆比較，台灣公債市場平均月交易量為美國公債平均日交易量 0.19%，公司債平表4. 台灣 2013 年 12 月國內各項債券營業處所月交易量統計. 幣別 . 國內政府債券(元) . 5. 國內金融債券(元) . 國內公司債券(元) . 人民幣 0 . 0 . 0 . 日元 0 . 0 . 0 . 新台幣 1,603,228,704,025 . 250,045,794,770 . 1,439,668,013,411 . 美金 . 0 . 0 . 0 . 均月交易量為新台幣 2 千億及金融債新台幣 1.3 兆，合計為新台幣 3 兆，與表 6. 美國公開發行公司債平均日交易量新台幣 139 兆比較，台灣公司債平均月交易量為美國公司債平均日交易量 2.16%，可以發現台灣市場交易相較於美國債券市場治. 政. 大立並不活絡，而考量台灣債券之流動性，無法利用交易方式達到預定之報酬率。 . 6. ‧. ‧ 國. 學. . 表5. 美國公債、公司債統計資料 (單位：十億美元). 1,036.10 . 2009 . y. 最高殖利率 a l 投資等級 v ni Ch U engchi. n. 2008 . sit. io. 平均日交易量 . 美國公司債 . er. 美國公債 . Nat. 年度 . 平均日交易量 . 8.4 . 4.2 . 12.6 . 817.8 . 12.1 . 5.3 . 17.4 . 2010 . 893.7 . 11.3 . 5.3 . 16.7 . 2011 . 853.5 . 11.5 . 5.9 . 17.4 . 2012 . 843.1 . 11.9 . 6.3 . 18.2 . 2013 . 821.1 . 12.7 . 5.7 . 18.4 . 三、發行量不足表 7.統計台灣每年發行量政府公債為六千億元，而公司債、金融債合計每年 5 6 . . 來源：證券櫃檯買賣中心同註 5 9 .

(11) . 發行量如表 8.所統計在五千～六千億元間，發行量明顯不足以支撐壽險業龐大資金，根據保險法規定壽險業持有有價證券量不得超過保險業可運用資金 35%，而目前保險業資金約為 14.7 兆。若以此計算，台灣債券市場應有 5.145 兆的容量。 7. 表6. 台灣公債發行額與未償還餘額統計 (單位：新台幣億元). 年度 . 當期發行額 . 累計發行額 . 未償還餘額8 . 2008 . 4,100.00 . 57,866.21 . 36,097.31 . 2009 . 4,700.00 . 62,566.21 . 38,295.80 . 2010 . 6,100.00 . 68,666.21 . 41,875.91 . 2011 . 6,200.00 . 74,866.21 . 45,095.78 . 2012 . 6,650.00 . 81,516.21 . 47,763.40 . 6,418.57 . 治政87,934.78 大. 50,681.88 . 2013 . 立. ‧ 國. 學. . 9. 合計 . 公司債 . 年度 . 發行額 . 餘額 . 2008 . 448,444 . l C 287,275 2,032,945 . 2009 . 302,547 . 2010 . 金融債券餘額 . iv 1,139,014 . 161,169 . 896,031 . 1,949,389 . hengchi Un 203,880 . 1,136,939 . 98,667 . 812,450 . 488,195 . 2,017,981 . 329,721 . 1,202,204 . 158,474 . 815,777 . 2011 . 591,201 . 2,251,458 . 396,617 . 1,351,033 . 194,584 . 900,425 . 2012 . 662,852 . 2,641,638 . 482,478 . 1,619,523 . 180,374 . 1,022,115 . 2013 . 576,265 . 2,895,120 . 466,001 . 1,865,333 . 110,264 . 1,029,787 . n. a. 餘額 . er. 發行額 . io. 發行額 . sit. y. Nat. . ‧. 表7. 台灣公司債與金融債券發行額與未償還餘額統計(單位：新台幣億元). 而更嚴重的是，在所有公債中保險業也如表 9.統計，持有總發行量的 26%，使得 7 . 中央銀行全球資訊網統計資料年底之金額 9 中華民國統計資訊網 http://ebas1.ebas.gov.tw/pxweb/Dialog/..%5CDialog%5Cvarval.asp?ma=FM2803A1M&ti=%B6 %C5%A8%E9%A5%AB%B3%F5%B2%CE%ADp-‐%B0%EA%A4%BA%A4%BD%A5q%B6%C5 %A4%CE%AA%F7%BF%C4%B6%C5%A8%E9%A4%A7%B5o%A6%E6%A1B%C0v%C1%D9% A4%CE%BEl%C3B-‐%A4%EB&path=../PXfile/FinancialStatistics/&lang=9&strList=L 8 . . 10 .

(12) . 握有大量資金之壽險業，在台灣之投資環境，無法利用債券項目達到預定利率所要求之報酬率，而台灣房地產市場以及股票市場，除了風險較高外，對於投資法規之限制也較嚴格，且較難達到固定收益之目標，因而找尋其他可能之投資標的或市場。 . 表8. 台灣公債持有對象分析百分比統計. 年月底 . 銀行業 . 證券業 . 信託業及. 10. 保險業 . 票券業 . 非中央公債交易商 . 42.56 . 2.61 . 5.55 . 19.59 . 29.69 . 2009 . 42.87 . 0.8 . 4.58 . 18.69 . 33.06 . 2010 . 43.86 . 0.96 . 3.63 . 26.28 . 25.27 . 2011 . 43.88 . 1.35 政. 27.22 . 24.15 . 2012 . 46.31 . 治 3.4 大 2.7 . 26.16 . 23.57 . 2013 . 47.41 . 2.29 . 25.81 . 23.79 . ‧ 國. 0.70 . ‧. . 立 1.26 . 學. 2008 . er. io. sit. y. Nat. 上述主要三項問題導致台灣債券市場無法提供足夠固定收益，因此保險業 n. 向外尋求解套方法，而全球最活絡的債券市場—美國，公開發行公司債平均殖利 a v. i l C hengchi Un. 率 5%、平均日交易量約為 170 億美元，每年平均發行量約有 1 兆美元，公債平均日交易量約有 8 千億美元，每年平均發行量也約有 6~7 兆美元，因此研究透過美國債券市場交易，而獲得穩定的固定收益。由於國華人壽事件，引起保險人及被保險人更重視公司是否能夠長期穩健經營，而國內會計制度與國際接軌也引發保險業資產負債管理相關的問題，在市價評價上，IFRS 是以市場價格為基礎，利率波動會造成損益與淨值波動; 在資產配置上，保險業面對許多法規的限制; 資產與負債的存續期間不能對稱，國人的保 10 . . 中央銀行全球資訊網-‐中央公債持有對象分析表 11 .

(13) . 單期間長，所以保險公司負債存續期長，會使保險公司無法落實資產配置策略; 利差問題，過去發行保單預定利率高造成損失的壓力，另外 IFRS 實施後，增提責任準備金的壓力增加。因此除了投資獲利外也必須注意負債面之管理，而負債也影響到可運用之資金，面對不同的資產風險與滿足監理機關之要求，如何做好資產負債管理儼然成為壽險業者最為重視的議題，因此本研究除了討論多期最適投資組合，也考慮負債項目下之多期策略性資產配置。 . 第二節研究目的 . 治. 政自 2013 年開始依國際會計準則（IFRS）編製財務報告，IFRS 以公平價值衡大. 立. ‧ 國. 學. 量資產與負債，影響到壽險業資產評價，而負債面的評價對於壽險業更為重要，. ‧. 因為壽險商品屬於長年期的商品，市場利率波動明顯影響負債評價，準備金之提. y. Nat. er. io. sit. 存，也因為公司預定投資報酬率不同而改變，進而影響公司盈餘。 . n. al 本研究主要考慮美國債券投資時最適之資產的配置比例，使用擬似動態規劃 iv Ch. n engchi U. 方法求得多期之最適投資配置，並做壽險公司之現金流量假設，討論資產與負債複製，進而討論在考慮負債組合下之多期最適投資，以期在考量評估負債下，達到最適配置結果，給予壽險業一方法，以負債導向做出最佳投資決策，最後針對債券定價誤差分析，觀察當定價誤差改變時，最適資產配置的比例有何影響，提供考量定價誤差下最適配置結果。 . . 12 .

(14) . 第二章文獻回顧第一節投資組合最適化研究 Markowitz(1952)首先考量單期投資組合最適化，因為市場中報酬隱藏風險，愈高風險性資產所含之風險溢酬愈高，因此考量一投資組合平均報酬與風險時，在相同平均報酬下選擇風險變異最小之投資組合，在相同風險變異下選取平均報酬最高之投資組合，建構出投資組合之效率前緣，提供經理人一種選取投資組合時最於報酬與風險間選取的方式。 Merton(1971, 1990)提出以隨機控制理論探討最適投資及消費問題，研究資產. 政治大配置時多使用最適跨期投資策略立，將各資產比例與消費視為財務規劃的控制因子，. ‧ 國. 學. 個人財富利用連續時間之隨機方程式描述，於特定效用函數下，尋求個人財富效. ‧. 用之最大化，以求得封閉解。Merton(1971)考慮連續時間下的投資組合分析及避. sit. y. Nat. er. io. 險同時考慮不同風險偏好程度下的每期最適投資策略，Merton(1971)所建構的最. a. n. v. i l C ：單期報酬與風險的投資組合和考慮投資適投資組合資產配置可以分為兩個部分 Un h engchi. 人風險偏好的避險策略。Merton(1971)藉由非線性偏微分方程求解期建構之控制式，再利用動態規劃理論求最適解。 Cox＆Huang(1989,1991)在市場為完備的假設下，利用平賭技術，解決了最適投資策略，Duffie&Huang(1985)提出市場完備假設為投資人可以短時間交易任何數量的證券，同樣地，傳統離散時間的問題可以利用完備市場的假設使其近似於最適投資策略，也就是擬似動態規劃方法，當投資策略可以連續調整且市場完備假設下最適解可想成動態過程問題，也就可以利用Markowitz(1952)提出的 mean-variance解決投資策略問題。 . . 13 .

(15) . 第二節連續時間最適化研究 Brennan＆Schwartz(1996)和Brennan, Schwartz, Lagnado(1997)延續Merton最適投資及消費問題，考量股票報酬率由股利收益、短期利率和長期利率三種狀態變化決定，Merton考量多種資產動態配置，但未考量資產持有時間，為解決持有資產到期問題，將投資標的設為永續公債、風險性股票和短期現金收益，應用數值方法解決更複雜動態架構下的投資組合問題，Brennan＆Schwartz(1998)延續其模型，考慮加入債券期貨避險之效果。 Sorenson(1999)提出市場利率由Vasicek 模型模擬，而債券價格受到利率影響，. 政治大. 立由Kim＆Omberg(1996)所設定利率為常數及sharp ratio為Ornstein-Uhlenbeck過程 . ‧ 國. 學. 下，且在Canestrelli＆Pontini(1996)假設利率為Ornstein-Uhlenbeck過程和投資股票. ‧. 預期報酬為常數，分析投資組合最適化問題，每期投資限制及市場系統風險，衡. sit. y. Nat. er. io. 量以上之變因對於基金最適投資組合之影響，同時考慮不同投資人之風險偏好，. al. n. iv. n Ch 建構間接效用函數，將全段投資期限最適化問題，轉成最適化每個時點之間接效 i U e ngch. 用函數，而將連續時間之配置套用於Markowitz(1952)單期最適化。 Jensen&Sorensen(2001)以擬似動態規劃方法(Quasi-dynamic programming approach)解決消費和投資之問題，在任何調整資產投資組合時，利用最適成長率的方法，將原本函數轉為間接效用函數，因此投資人只需要使下一期財富之效用函數最大化，即像是隨機控制理論中求得基金規劃期間效用之最大化，並說明此最適化之解即為最適解。 Hofschire& Fischer(2013)提出目前環境對於固定收益投資人而言極具挑戰，由貨幣寬鬆政策消弭通貨緊縮的趨勢、促進消費投資和薪資成長都使得債券價格 . 14 .

(16) . 提升和殖利率下降，由於債券部位的獲利、風險轉移及避險功效，投資人擔心在低殖利率下的債券獲利前景。最後提出債券投資應尋求穩定和多元化的方式，在整體資產配置中積極組成多種類型固定收益基金以協助投資人滿足投資目標。 . ‧ 國. ‧ sit. n. al. er. io. . y. Nat. . 學. . 立. 政治大. Ch. n engchi U. . . 15 . iv.

(17) . 第三章研究方法因為金融市場波動特性，假設即期利率之期間結構為隨機變動，本研究利用動態模型計算以美國債券市場投資為主的基金多期之最適投資策略，主要依 Merton(1971)建構連續時間下多期的投資模型，再透過基金管理人效用函數，給定不同風險偏好程度下之每期最適投資策略，Sorensen(1999)利用單因子 Vasicek 模型模擬市場利率的動態變化，為簡化計算風險溢酬利用常數表示。本研究考慮 Merton(1971)不同基金管理人之風險偏好，同時考慮不同到期日的債券，選用 Vasicek 模型建構市場利率模型計算金融商品之價格，再利用 Sorensen(1999)所定義之間接效用函數、擬似動態規劃方法得到每期最適投資策略，同時考量在定價政治. 大立誤差下對於投資組合的影響，以及考慮負債情況之多期最適投資組合。 . ‧. ‧ 國. 學. . Nat. er. io. sit. y. 第一節投資人效用 n. al 為表達理性投資人投資行為，利用投資人效用函數描述在風險條件下，投資 iv Ch. n engchi U. 人之決策行為，依據 Sorensen(1999)考慮預期效用的投資問題時，必須考慮投資者於特定期間內對財富的偏好程度，最大化財富的效用函數，則投資組合的規則為： . max E[U(WT )] 並假設投資人效用函數為 U(W ) =. Wγ ，且 γ > 0 ， 1− γ. 其中 γ 為風險規避(Constant Relative Risk Aversion, 以下簡稱為 CRRA)之參數，當 CRRA 係數 γ = 1 時，效用函數為 U(W ) = logW ，CRRA 之係數表示個人之財務風險態度與所有財富多寡無關，即投資於風險性與非風險性資產比例不因財富多 . 16 .

(18) . 少而有差異，並且假設效用函數符合下列條件，效用函數為嚴格遞增函數、具有凹性、兩次可微，也就是說效用函數隨著財富增加而增加，且滿足邊際效用遞減法則。 . 第二節利率模型與投資標的考慮投資標的為有價證券，將現在財富於投資中可以選擇之資產包括股票、股票衍生性金融商品、固定收益的債券以及利率衍生性金融商品。為簡化模型，及依據 Duffie&Huang(1985)之研究，如果投資人可以連續交易三種或三種以上金融資產，則完備市場假設便可成立。本研究假設可以選擇資產包括固定收益的債券、股票及現金。 . 立. 政治大. ‧ 國. 學. 金融市場中利率影響投資標的的評價，首先利用隨機利率模型預測利率是. ‧. Merton(1937)，其後 Vasicek(1977)延伸其模型，還有其他利率模型也先後被學者. y. Nat. er. io. sit. 提出：Donthan(1978), Cox-Ingersoll and Ross(1985), Ho-Lee(1986), Hull-White(1990), . n. al Black-Derman-Toy(1990), CIR++(2001)。 Ch. n engchi U. iv. Rogers&Stummer(2000)針對 Vasicek 和 CIR 兩個模型對於美國利率實證分析一致都得到：在短時間內的利率估計水準幾乎一致，但對於長期而言 CIR 模型較穩定。Song et al. (2012)研究指出對於時間的敏感度 CIR 模型較 Vasicek 模型高，但是對於利率波動的敏感度 Vasicek 模型較 CIR 模型高。本研究著重於利用美國債券交易為主的最適投資組合，因為債券評價直接受利率影響，因此利率波動對於債券價格及交易有最直接影響，也為簡化數值運算，因此選擇 Vasicek 模型預測利率。 . 17 .

(19) 表9. 符號說明表. St . t 時間股票價格 . rt . 短期利率 . λS. . 股票之風險溢酬 . λr . 利率的風險溢酬 . σS. . 股票波動 . WSt. . 股票波動之 Wiener 過程 . θ . 利率長期水準 . κ . 長期利率復歸程度 . σ r . 政治利率波動 . C(t) . y sit er. 債券到期日 . a l 債券 t 時間價格 i v n Ch engchi U. n. D . io. Pt . Wst 和 Wrt 瞬間相關係數 . Nat. τ . ‧ 國. . 利率波動之 Wiener 過程 . ‧. ρ. 大. 學. Wrt . 立. 債券存續期間現金價值 . 而股票價格以隨機微分方程表示： . dSt = (rt + λS )dt + σ S dWSt St 其中 rt 為短期利率， λS 為股票之風險溢酬， σ S 為股票的波動性， WSt 為股票波動之 Wiener 過程。根據 Vasicek(1977)假設利率模型為 Vasicek 模型表示單因子利率的變動過程 drt = κ (θ − rt )dt + σ r dWrt . 18 .

(20) . 其中 rt 為短期利率， θ 表示利率長期水準， κ 描述長期利率復歸程度， σ r 為利率之波動性， Wrt 為描述利率波動之 Wiener 過程， Wst 和 Wrt 瞬間相關係數為 ρ 。定義到期日為 τ 之無息債券之價值為 . P(r, t; τ ) = e− A(t,τ )−B(t,τ )r . σ r2 其中 A(t, τ ) = Θ((τ − t) − B(t, τ )) + (B(t, τ ))2 4κ 而Θ =θ +. B(t, τ ) =. 1 (1− e−κ (τ −t ) ) κ. λr 1 σ r2 − ( ) 描述長期 (τ → ∞) 債券到期的收益，其中 λr 為利率的風險溢 κ 2 κ2. 酬。無息債券價格參考 Vasicek 假設單因子利率變動而得一隨機微分方程式：. 政治大 dPt = (rt + λr D(r, t))dt − σ r D(r, t)dWrt 立 Pt. ‧ 國. ∂r 為存續期間，代表債券價格對利率變動的敏感程度。 p. ‧. D=−. 學. ∂p. sit. y. Nat. er. io. 現金收益受利率波動可假設為： . a. n. v l C dC(t) n1i C(0) = U h= er(t)dt, ngchi C(t) . . 第三節動態完備市場假設假使一個金融市場能夠提供越多種類的證券，投資者便能利用金融市場，將其財富就投資與消費之間作最有效率的配置。而若一個金融市場已經提供我們許多證券，足以代表到期時各種可能的報酬型態，如果我們繼續引進新種證券，而新證券的報酬均可以用原有的證券之資產組合予以複製，這樣的金融市場稱為完備市場。 . . 依據 Duffie&Huang(1985)如果投資人被允許連續利用三種或三種以上金融資. . 19 .

(21) . 產交易，本研究三種金融資產為債券、股票、銀行定存，如此完備市場假設可成立。依據 Jensen&Sorensen(2001)當市場為動態完備時可以唯一決定”狀態價值密度過程”(state price density,或稱為 state-price deflator) M t ， M t 具有以下性質： (1) M 0 = 1 (2) 對於任何財富過程 Wt ， M tWt 之過程滿足平賭假設 Et [M T WT ] = M tWt (3) M t 為投資者為對數效用函數之逆最適成長投資組合在完備市場中投資人可以使用各種可交易證券，複製未來可能發生的現金流量，而所有資產也可以透過各種證券之投資組合予以複製，因此可以透過此假設求出未來之資產價值。 . 政治大. 立. ‧ 國. 學. 第四節間接效用函數 . ‧. 假設市場符合完備市場假設依據 Girsanov 定理(Karatzas & Shreve, 1988, . Nat. er. io. sit. y. pp191, Theorem 5.1)與市場投資標的過程，我們可以透過狀態價值密度過程 M t . n. # t & 1 ˆ2 ˆ2 ˆ λˆ )t −i vλˆ W + λˆ W ( M t = %− ∫ ru du − a l(λC + λ − 2 ρ λ S r S r S St r rt 2 hengchi Un $ 0 '. λˆ σ + ρ Sr λrσ S ˆ λˆr σ S + ρ Sr λSσ r 其中 λˆS = S S , λr = σ rσ S (1− ρ Sr2 ) σ rσ S (1− ρ Sr2 ) 將市場原本之機率測度轉為風險中立之機率測度，也就是任意時點之資產價值皆可透過測度轉換之方式求出。依據 Cox&Huang(1989,1991)之平賭過程理論，最適問題等價於最大化 E[U(WT )] ,WT 為 T 時間之財富限制式為最適成長條件 . E[. . MT WT ] ≤ Wt Mt 20 .

(22) . 由求解限制條件極值之 Lagrange 方法(Duffie, 1996, pp205-208)，可以得到一階條件式，其中 ψ 為特定 Lagrange Multiplier。 . WT−γ = ψ Wt = Et {. MT Mt. MT WT } Mt. 將 WT−γ = ψ. MT M 代入 Wt = Et { T WT } 可以得到 Mt Mt 1 " M γ −1 % M T −γ WT = Wt (Q(r t , t;T )) ( ) ，其中 Q(r t , t;T ) = E $( T ) γ ' 。 Mt $# M t '& −1. 政依據 Sorenson(1999)定義之間接效用函數 . 治. 大. 立. Wt1−γ Q(r, t,T )γ −1 1− γ. sit. y. ‧ 國. =. ‧. Nat. er. io. 因此，間接效用函數可改寫成 . al. −1. 學. 1−γ. −1 ( " M γ −1 % M − 1 ,* * T γ ) ' ( T) γ)Wt Et $( $# M t '& M t *. *+ J(W, r, t) = 1− γ. n. v ni U 1− γ e n g c h i A(t,T )+B(t,T )r 1−γ exp( α (t,T ))(We ) −1. J(W, r, t) =. α (t,T ) = (. Ch γ. 1− γ. . σ r2 λS2 + σ S2 λr2 + 2 ρσ r λSσ S λr λr σ r2 λr σ r2 λr2 − + )(T − t) + ( − )B(t,T ) − (B(t,T ))2 2 2 2 2 2 2σ S λr (1− ρ ) κ 2κ κ 2κ 4κ. 間接效用函數主要利用 Cox&Huang(1989,1991)平賭過程理論與最適投資組合概念，使用 Lagrange 方法，將原來極大化投資組合之效用函數，轉換成最大化間接效用函數，也因此將原本投資目的在於最大化整個投資期間之效用函數，轉成最大化下一調整投資組合期間之間接效用函數，即可使得整個投資組合期間效用最大化。 . 21 .

(23) . 依據 Duffie&Huang(1985) 考慮三種金融資產分別為股票指數、定存以及到期日為 T 之無息債券，此時投資策略可視為最適化效用函數 J(W, r, t) 之動態規劃求解。根據 Merton(1973)最適投資組合可以表示為： ! ! W $ σ S2 −ρσ Sσ r B(t,T ) # S & = 1# # Wp & γ # −ρσ Sσ r B(t,T ) σ r2 (B(t,T ))2 " % ". −1. $ & & %. ! λS # # λ p B(t,T ) ". $ ! $ & + γ −1 # 0 & & γ " 1 % %. 令 WS 為投資於股票之權重， Wp 為投資於債券之權重，則 Wr = 1− WS − Wp 表示現金部位之權重，因此投資組合可以分為兩個部分，投資組合資本利得部分 . 治. 政 " 2 大% σ − 1$ S 立 ρσ Sσ r B(t,T ) ' γ $ −ρσ Sσ r B(t,T ) σ r2 (B(t,T ))2 ' # &. ‧ 國. y sit. n. al. er. io. . % ' ' & . ‧. γ −1 " 0 % $ ' γ # 1 &. Nat. 與投資組合避險部分. " λS $ $ λ p B(t,T ) #. 學. . −1. Ch. n engchi U. iv. 也就是投資組合之選取取決於股票及債券之超額報酬，而投資組合避險部分解釋投資人之風險趨避程度如何影響投資標的選取，因此透過利率變動反應投資組合變動。當投資人對於風險忍受度非常小時，也就是 γ = 1 時，投資組合避險部分為 0 矩陣，投資人將會完全避免因利率改變所帶來之風險，因此其完全投資於無息債券上，由 Brennan et al.(1997)之研究說明風險趨避之投資人，將不會全部投資 2 年期的債券，因為投資標的的預期報酬與無風險報酬相同時，投資人不會投資於風險較高之標的，以此說明為何設定為期滿時評估經理人表現，因為債券價格受利率影響波動，若設定為一年評估一次，為保障第一年之表現，則投資人將不會投資過 . 22 .

(24) . 高的風險性資產，而可能影響全段時間投資表現。 . 第五節擬似動態規劃 Markowitz(1952)首先提出單期最適化，也就是 mean-variance 效率前緣之概念，在相同風險變化的投資組合中選取平均報酬最高的組合，在相同平均報酬下的投資組合選取風險變化最小的組合，但 Markowitz(1952)之 mean-variance 效率前緣僅能使用於單期投資組合，對於本研究所討論長期投資組合之隨時間變化之過程卻無法完全表達，Merton(1971)首先以動態規劃方法解決跨期投資策略，而擬似動態規劃方法是將焦點放在單期間接效用函數之最適化過程，主要依據在完. 治. 政備市場中財富的間接效用函數，也就是投資人選擇投資組合時，主要依據此投資大. 立. ‧ 國. 學. 組合能夠最大化下一個時點時的間接效用函數，即達到最適之投資組合。故給定. ‧. 下一期之間接效用函數，投資策略便可以達到最適解。 . Nat. er. io. sit. y. 假設下期調整投資組合時間為 t + Δt ，令 Vt 0 ,Vt1,Vt 2 ,...,Vt n 代表 n +1 個在時間 t. n. al 的資產價格， X 0 , X1, X 2 ,..., X n 分別表示投資在各資產的比例。因此投資最適化問 iv Ch. 題可以改寫成 . n engchi U. max E[J(Wt+Δt , rt+Δt , t + Δt)] 限制式為 Wt+Δt. x0 ,x1,x2 ,...,xn. n k % n % (V 0 ( Vt+Δt * ≤ Wt '' ∑ X k k + '1− ∑ X k * t+Δt 0 * Vt & k=1 ) Vt ) & k=1. 當投資人連續調整投資組合即 Δt → 0 ，將 t + Δt 點時之間接效用函數對時點 t 作泰勒展開，最大化問題即變成 max. X0 ,X1,X2 ,...,Xn. ≈. J(Wt+Δt , rt+Δt , t + Δt). 1 1 J(Wt , rt , t)a + JW E(ΔW ) + J r E(Δr) + JWW E(ΔW )2 + JWr E(ΔW )(Δr) + J rr E(Δr)2 X0 ,X1,X2 ,...,Xn 2 2 max. 1−γ. ∂J 其中 JW = =e γ ∂W. . α (t,T ). W −γ (e A(t,T )+B(t,T )r )1−γ . 23 .

(25) . 1−γ. JWW = −γ e γ. α (t,T ). JWr = (1− γ )e. W −γ −1 (e A(t,T )+B(t,T )r )1−γ . 1−γ α (t,T ) γ. −γ. W (e. ) B(t,T ) . A(t,T )+B(t,T )r 1−γ. 因此可以得到 JWW W = − 1 γ 及 JWr = (1− γ )B(t,T ) 2JW. 2. JW. 代入. . max. J(Wt+Δt , rt+Δt , t + Δt) 化簡可以得到 . max. 1 µW − γσ W2 + (1− γ )B(t,T )σ Wr 2 . X0 ,X1,X2 ,...,Xn. X0 ,X1,X2 ,...,Xn. 政治大. '' rt + λs x1 $ ! &# x2 & # rt + λr B(t, τ 1 ) &#  &#  xn &% #" rt + λr B(t, τ m ). ! # # 2 σW = # # #". '' x1 $ ! &# x2 & # &#  &# xn &% #". $ &! ρσ sσi vr 0 −B(t, τ 1 )P(r, t; τa1 ) &# σ s2 l C& U n2 h#e ρσ   &" n gsσc rh i σ r 0 −B(t, τ m )P(r, t; τ m ) &%. ! # # =# # #". '' x1 $ ! &# x2 & # &#  &# xn &% #". $ 1 0 &! 0 −B(t, τ 1 )P(r, t; τ 1 ) &# σ s2 &#   &" ρσ sσ r 0 −B(t, τ m )P(r, t; τ m ) &%. ‧ 國. ‧ y sit. ! $# &# &# %# #". n. er. 0. io. 1. Nat. σ Wr. $ & 立 & & & &%. 學. ! # # µW = # # #". $' ! &# 0 −B(t, τ 1 )P(r, t; τ 1 ) & # &#   &# 0 −B(t, τ m )P(r, t; τ m ) &% #" 1. 0. $ ρσ sσ r &! 0 $ # & σ r2 &%" 1 %. 因此問題即簡化為 Markowitz(1952)之單期最適投資組合求解，可得最適資產配置。其中 µW , σ W , σ Wr 分別為投資財富之固定增值項，波動項和財富、瞬間利率. # 0 & 之共變數，表示式為 µW = X ' µ ，σ W2 = X 'ΓΣΓ' X ，σ Wr = X 'ΓΣ% (，其中 X 是 n +1 $ 1 ' 維之向量，表示投資組合的比例; µ 是 n +1 維之向量，表示投資組合固定增值率; . 24 . x1 $ & x2 & &  & xn &%.

(26) . Σ 是 2 × 2 之矩陣，. dSt 與 rt 之瞬間共變異數矩陣; Γ 是 (n +1) × 2 維之矩陣，為標的 St. 證券價值對 S 和 r 之一階微分矩陣。因此考慮 n 種證券之投資組合之最適解可求得以下矩陣解。欲極大化之投資組合可以改寫成 1 max x µ F − γσ F2 ， 2. 其中 µ F = µW + B(t,T )σ Wr − rt − λr + (σ r B(t,T ))2 , 2 2 2 r + (σ r B(t,T )) 。 σ F = σ W + 2B(t,T )σ Wr. 治. 政因此利用擬似動態規劃方法，透過完備市場以及間接效用函數假設，極大化間接大. 立. ‧ 國. ‧. 得最適解。 . 學. 效用函數，將多期投資組合問題，轉成可用 Markowitz 所提出單期最適化方法求. er. io. sit. y. Nat. . n. al v 第六節債券價格定價誤差 ni Ch U engchi. 本節將討論債券理論價格與觀察實際價格間的價差對於投資組合收益的影響，實際上理論價格與實際價格的殘差是因理論價格由模擬利率推導出理論價格，隨著時間當到期日時，理論價格與實際價格間的價差將會消失。理論價格與實際價格間的關係依Sorenson(1999)可假設成以下的模型： n log Pobs,t = log Pt n + εtn . 誤差假設為 n εtn = a n (t)εt−Δt + b n (t)utn ，其中 utn ;t = 0, Δt,...,T, n = 1,..., N 為白色干擾項 . . 25 .

(27) . n. n. 債券實現的獲利有一部分而言來自於理論上的獲利，另一部分則由誤差 εt+Δt − εt. 而來，如果債券價格被低估也就是說理論價格會高於實際價格，因此就有動機去買更多的債券，反之亦然。將前述欲極大化之式依以上假設可以將限制式改寫成 N. Wt+Δt ≤ Wt (∑ xn n=1. N n n Pt+Δt S εt+Δt −εtn e + (1− xn ) t+Δt ) ∑ n Pt St n=1. 而推導出新的間接效用函數，利用前述擬似動態過程所推導方法，可以得到 . µW = x '(µ + ξ ) . σ W2 = x '(ΓΣΓ'+ Ω)x . 立σ W. = x 'ΓΣ% ( $ 1 '. 學. ‧ 國. r. 政治 # 0 &大. 其中 X 是 n +1 維之向量，表示投資組合的比例; µ 是 n +1 維之向量，表示投資組. ‧. dSt 與 rt St. er. io. sit. y. Nat. 合固定增值率; ξ 為干擾項連續時間下的固定增值率; Σ 是 2 × 2 之矩陣，. n. S 和 r 之一階微之瞬間共變異數矩陣; Γ 是 (n +1)a × iv l 2 維之矩陣，為標的證券價值對. Ch. n engchi U. 分矩陣; Ω 為一 ((N +1) × (N +1)) 維之矩陣表示干擾項之瞬間共變異數矩陣。本研究假設 ξ 為一以固定常數（誤差係數）為元素之矩陣， Ω 為一單位矩陣。 . 26 .

(28) . 第四章數值模擬結果第一節市場概述從表 10.依據前十大債券市場規模 Size and Structure of the world Bond Market:1998, Merrill Lynch, September (1998)及中華民國證券櫃檯買賣中心（2007）統計指出，由圖 2.所示全球債券市場接近 95%總額集中在規模排名前十大之國家，其中以美國債券市場規模最大。對於目前全球債券市場而言，債券發行量集中在前十大規模國家，因此如果以債券交易方式獲利為目標，必須要透過前十大規模國家之債券，提供足夠的市場規模而有足夠流動性，才可能使得交易方式能夠獲利。 . 立. . 政治大. ‧ 國. 學. 表10. 前十大債券市場規模（單位：十億美元）. 11,217.8 . n. er. io. al. Japan C Germany . . sit. United States . y. ‧ 總發行量 . Nat. 國家 . hengchi Un 4,173.1 . iv. ％ 46.48 17.29 . 2,943.3 . 12.2 . Italy . 1,271.2 . 5.27 . France . 961.1 . 3.98 . Unit. Kingdom . 855.8 . 3.55 . Canada . 524.4 . 2.17 . Netherlands . 342.3 . 1.42 . Belgium . 338.9 . 1.4 . Denmark . 266.3 . 1.1 . 合計 . 24,134.5 . 94.86 . 27 .

(29) . Netherlands, Belgium, 1.42 1.4 Unit. Canada, 2.17 Kingdom, 3.55 France, 3.98 . Denmark, 1.1 . Italy, 5.27 . other, 5.14 . United States, 46.48 . Germany, 12.2 Japan, 17.29 . 圖2. 前十大債券市場與其他國家規模比例圖. 如以獲利為考量，較高殖利率且較大的市場規模，可使投資組合除了持有到政治. 大. 立. 到期之債券獲利外，亦可利用交易方式達到獲利目標，由 Mary &Thomas (2004). ‧ 國. 學. 研究持有美國、日本、英國、法國、德國和其他國家11之股票、債券及現金三個. ‧. sit. y. Nat. 部位之投資組合，且分析不同比率之債券和股票下之收益，分析顯示美國市場不. al. er. io. 論在哪一種比率的投資組合下皆有高於平均的表現，因此本文將針對美國債券市. n. v ni U engchi 場之投資為主，討論在美國債券行基金之多期最適投資組合。 Ch. . 第二節模型參數選取模擬分析中假設可投資的債券有十種不同的到期日 (N=10) ，由 Dagıstan(2010)對於Vasicek模型之利率參數研究，以1952年到2004年間存續期為三個月之美國國庫券月利率之資料，資料來源為美國聯邦儲備委員會(The Board of Governors of The Federal Reserve System) ，得到利率模型之參數假設. θ = 0.052, κ = 0.181, σ r = 0.02 。 11 . The Financial Report christened these recommended portfolio weights, ‘‘The Perfect Portfolio.’’ . 28 .

(30) . 依據Fama,French(1989), Shiller, Beltratti(1992), Campell(1987)之研究，得到股價和利率之相關係數為 ρ = −0.25 ，利率及股票之風險溢酬分別為0.00075和 0.03。表11. 參數設定表. θ . 參數 . 參數值 0.052 . κ . λr . σ r . 0.181 . 0.00075 0.02 . λs . σ s . ρ . 0.03 . 0.2 . -0.25 . . 第三節數值結果 Vasicek模型模擬之10年利率可以發現如圖3.所示利率在10年內主要落在0.01. 政治. 大到0.07之間。但以目前美國市場而言，因為美國政府對於利率控制，因此波動度. 立. ‧ 國. n. al. er. io. sit. y. Nat. . ‧. 行分析。 . 學. 相較模擬結果小，也使得債券定價產生誤差，而後段文章將接續債券定價誤差進. Ch. n engchi U. iv. 參數設定 θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 圖3. 利率模擬 10 年結果 . 29 .

(31) . 設定風險趨避程度 γ = 7 ，無定價誤差下所得到的十年最適配置如圖4.， 0.3 0.25 0.2 比例 0.15 0.1 . stock 1-‐year bond 2-‐year bond . 0.05 . 3-‐year bond . 0 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 時間. . 0.3 0.25 0.2 比例 0.15 0.1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . ‧. 1 . 5-‐year bond 6-‐year bond . 學. 0 . ‧ 國. 立. 0.05 . 4-‐year bond . 政治大. 時間. sit. n. al. er. io. 0.25 . . y. Nat. 0.3 . 7-‐year bond 10 . Ch. n engchi U. iv. 0.2 比例 0.15 0.1 . 8-‐year bond 9-‐year bond . 0.05 . 10-‐year bond . 0 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 時間. 圖4. 參數設定 θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , r = 7 無定價誤差下之 10 年最適配置. 因設定投資人風險趨避係數為7，在期初時，為獲得較高報酬，可以發現在8、9、 10年期之債券比例明顯較高，直到第七年因風險考量而使得比例下降，而最後三 . 30 .

(32) . 年則是以3、4、5年期債券之投資比例較高，因評估期間末期，經理人雖追求高績效表現但因風險之考量才使得8、9、10年期之債券比例下降而3、4、5年期債券比例提高。 . 第四節債券價格定價誤差模擬結果與分析由圖 5.觀測投資初期，在無誤差時，投資於 8、9、10 年期之債券之比例相較於考量誤差增值率係數（簡稱誤差係數）時比重較高，且誤差係數為 0.2 之投資比率皆高於誤差係數為 0.02 時之投資比率，圖 6.投資中期，無誤差時之投資組合集中於短年期及長年期債券，誤差係數 0.2 之投資比率皆高於誤差係數為 0.02. 政治大. 時之投資比率，圖 7.投資期限結束，無誤差之投資組合集中於 5、6、7 年期債券，立. ‧ 國. 學. 而誤差係數 0.2 之投資比率與前兩狀態相同皆高於誤差係數為 0.02 時之投資比. ‧. 率。 . n. al. er. io. sit. y. Nat. . Ch. n engchi U T=1. iv. 0.3 0.25 0.2 比 0.15 例 0.1 0.05 0 . 無誤差. 誤差係數0.02 . 誤差係數0.2 . 圖5. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=1, γ. = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置. . 31 .

(33) . T=5 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 . 無誤差. 誤差係數0.2 . 誤差係數0.02 . . 圖6. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=5, γ. = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置. sit. n. al. er. io. 0.2 比例 0.15 0.1 . y. Nat. 0.25 . T=10. ‧. 0.3 . 學. ‧ 國. 立. 政治大. 0.05 . Ch. n engchi U. iv. 0 1 . 2 . 3 無誤差. 4 . 5 . 誤差係數0.02 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 誤差係數0.2 . 圖7. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 時間 T=10, γ. = 7 時無誤差、誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 之最適配置. 考慮債券定價誤差對於投資組合整體影響，由圖 8.觀察得到在無誤差狀態下投資組合對於債券與股票之比例加總接近 1，而在考慮定價誤差下，誤差係數為 0.2 時與無誤差狀態接近對於債券與股票之投資比例總和接近 1，但誤差係數 0.02 時投資比率小於其他兩個狀態，初期債券與股票投資比率加總接近 1，而在中期 . 32 .

(34) . 時投資比率加總才超過 0.6，期末時才逐漸接近 0.7，但未超過 0.7，因考量定價誤差下，定價誤差愈大，所含之隱含獲利愈多，因此能利用交易獲利之機會較高，因此經理人為達到較好的投資績效表現，會利用此誤差產生較高之可能獲利，當時間愈接近到期日時，兩誤差狀態之差距將逐漸縮小，說明到期末時，誤差係數較小之投資組合為達到較好績效也必須提高投資於風險性資產之比率。 1.2 . 政治大. 立. ‧ 國. 3 . 4 . 5 . 7 . io. 誤差係數0.02 . n. al. Ch. 8 . 9 . 10 . y. Nat 無誤差. 6 時間. sit. 2 . ‧. 1 . 學. 0 . er. 1 投資 0.8 組合比 0.6 例總 0.4 和 0.2 . n engchi U. iv. 誤差係數0.2 . 圖8. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , γ. = 7 時無誤差、. 誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 時投資於債券與股票之投資比率總和 . 考慮債券定價誤差下，對於股票投資比例影響，從圖 9.發現不論是哪一種狀態下，股票比例之變動與整體投資比率之變動趨勢相同，當定價誤差確定後，其股票部位及債券部位之比例即確定，也就是說定價誤差對於投資組合有直接的影響，除此之外，從圖 9.還可以看到定價誤差較小的情況下，投資於股票部位的比例較低，因為定價誤差較小，債券較準確，因此在債券部位之獲利率相較於誤差大的高，也使得投資於股票比例縮小，而對於無定價誤差的狀態下，因無定價誤 . 33 .

(35) . 差，因此在債券部位無利用交易獲利的套利空間，因此會有較高的股票投資比率，為達到較高之績效表現，但在評估到期日前有明顯下降趨勢，因股票屬於高風險性資產，在評估期限前所設定風險係數下，會使經理人選擇風險性較小之資產。 0.12 0.1 0.08 比例 0.06 0.04 0.02 0 1 . 2 . 3 . 4 . 無誤差. 7 . 8 . 9 . 學. ‧ 國. 立. 政5 治6 大時間. 誤差係數0.02 . 10 . 誤差係數0.2 . ‧. 圖9. θ = 0.052, κ = 0.181, λr = 0.00075, σ r = 0.02, λS = 0.03, σ S = 0.2, ρ = −0.25 , γ. . Nat. sit. y. = 7 時無誤差、. n. al. er. io. 誤差係數為 0.02、誤差係數為 0.2 時投資於股票之投資比率 . . Ch. n engchi U. iv. 第五節負債複製投資組合由於壽險業之負債皆為長期負債，因此利率波動對於保險公司負債衡量尤其重要，而平均存續期間即為衡量工具之一，Macaulay(1938)所提出平均存續期間的觀念，Hicks(1946)將平均存續期間運用在分析債券利率敏感度，Redington(1952) 以利率對債券價格一階微分，將其稱為平均期間(mean term)，其研究發現當資產平均期間等於負債平均期間時，壽險公司就可以消弭(immunize)利率風險，此為免疫策略(immunization)。Fish＆Weil(1971)利用平均存續期間規避債券組合之利率風險，Hopewell＆Kaufman(1973)結合上述理論，驗證了平均存續期間可以用於 . 34 .

(36) . 衡量債券的利率及債券受利率波動之影響。免疫理論是由 Redington(1952)提出，主要使金融機構投資組合不受利率波動而影響預期總價值，避免負債無法清償，是假設利率期間結構為水平且利率曲線移動為平行移動，當公司資產與負債現值相等，且資產與負債平均存續期間也相等時，可達到不受利率波動之影響即為免疫之狀態，而 Fish＆Weil(1973)所提出較為廣義的解釋，若以債券為投資標的的投資組合，不管利率波動，一段時間後，組合之價值必定會大於或等於固定利率之組合價值。參考張士傑與黃美慧(2004)模擬之人壽保險公司資料，保險人期初模擬之資產負債表以及現金流量預估數值如表 12. . 政治大. 負債 1,520 億 . -17.10 億 . -9.85 億 . 期間 . 7 . 8 . 合計值期間合計值 . sit. a l 2 Ch. 3 . 9 . 10 . 12. er. 合計值 . 表13. 現金流量預估值. n. 1 . io. 0 . y. Nat. 期間 . 業主權益 80 億 . ‧. 資產 1,600 億 . 學. ‧ 國. 立表12. 模擬資產負債. i Un. v. e n g-24.47 -13.78 億 c h i 億 . 4 . 5 . 6 . 88.34 億 . 95.06 億 . 142.38 億 . 11 . 12 . 13 . 101.27 億 121.43 億 118.98 億 149.71 億 129.18 億 153.73 億 139.76 億 14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 162.78 億 152.38 億 172.24 億 163.25 億 177.50 億 169.41 億 186.14 億 . 由表 13.模擬保險公司現金流量，t=4 時須支出 88.34 億元，因此在 t=0 時就必須握有在 t=4 時到期之債券，以規避利率波動之風險，因此若評估期限為 6 年，就必須買入在第四年、第五年、第六年到期之債券分別為 88.34 億、95.06 億、142.38 億，也就是有 1,339.42 億可以作為投資用資金，可利用此金額做前述之資產配置， 12 . . 20 . 表中之現金流量數值部分-‐代表現金流入，+代表現金流出 35 .

(37) . 藉由交易方式獲利，因此儘管在考慮負債之下，所影響最適投資組合之變化僅在於可投資之資金多寡，跨期投資組合之最適解，與前述方法相同。考慮不同繳別的保單如表 14.13，表 15.中非躉繳型之商品因必須考慮新錢，以及支出使得金錢與支出可互相抵消，而使得以買債券規避利率風險之操作失效，因此本文僅先考量躉繳型之商品，假設十年現金流，因此資產配置之起始值為 45.1 億再加上業主權益的 80 億，共 125.1 億，但其中購買 6 年期及 9 年期之債券，在資產項目中維持有到到期，因此與投資組合分開，不加入投資組合最適化模擬，因此在考慮負債情況下之最適資產組合結果，與不考慮負債情況下相同，僅必須多考慮其現金流量之複製。 . 政治大. . 立表14. 商品組合明細表. ‧ 國. 學. 平均保額有效保單數保費收入保費佔率 426,251 張 . 62.9 億 . 定期保險(B) . 150 萬 . 12,501 張 . 0.9 億 . 50 萬 . 合計 . . 0.5％ . 1.1 億 . sit. a l 張 93,774. 45.1 億 i v 26.5％ . 242.9 億 . 648,606 張 . 61.2 億 . 36.0％ . 580.0 億 . . 1519.8 億 . Ch. 終身型養老保險(D) . 695.8 億 . er. 100 萬 . n. 養老保險(C) . io. 定期型 . 37.0％ . ‧. 100 萬 . Nat. 終身保險(A) . 準備金 . y. . engchi. Un. 1,181,131 張 170.0 億表15. 商品繳別佔率. . 躉繳 . 險種分類 . 6 . 終身保險 . 年繳年期 . 10 . 6 . 2.0％ . 15 . 20 . 合計 . 5.0％ 10.0％ 20.0％ 37.0％ . 定期保險 . . 定期型養老保險 . 10.0％ 5.0％ 8.0％ 2.5％ 0.5％ 0.5％ 26.5％ . 終身型養老保險 . . 合計 . . . 0.1％ 0.1％ 0.1％ 0.2％ . 0.5％ . 7.0％ 12.0％ 7.0％ 10.0％ 36.0％ . 13張士傑與黃美慧(2004)模擬之人壽保險公司資料 . . 10 . . 36 . . . 100.0％ .

(38) . 第五章結論與建議第一節結論債券定價誤差對於投資組合之影響依據投資前中後三階段得到以下結果：第一階段，投資初期，在無誤差時，投資於多年期之債券之比例相較於考量誤差係數時比重較高，且誤差係數大之投資比率皆高於誤差係數小之投資比率; 第二階段，投資中期，無誤差時之投資組合集中於短年期及長年期債券，誤差係數大之投資比率皆高於誤差係數小之投資比率; 第三階段，投資期限結束，無誤差之投資組合集中於中年期債券，而誤差係數大之投資比. 政治大率與前兩狀態相同皆高於誤差係數為小時之投資比率。立. ‧. ‧ 國. 學. . 考慮債券定價誤差對於投資組合整體影響: . sit. y. Nat. io. er. 在無誤差狀態下投資組合對於債券與股票之比例加總接近 1，也就是說. n. a. v. l C 整個投資組合皆由債券與股票組合而成，而在考慮定價誤差下，誤差係數較 ni hengchi U. 大時與無誤差狀態接近對於債券與股票之投資比例總和接近 1，但誤差係數較小時投資比率小於其他兩個狀態，呈現隨著時間逐漸增加趨勢，因考量定價誤差下，定價誤差愈大，所含之隱含獲利愈多，因此能利用交易獲利之機會較高，因此經理人為達到較好的投資績效表現，會利用此誤差產生較高之可能獲利，當時間愈接近到期日時，誤差係數較小之投資組合為達到較好績效也必須提高投資於風險性資產之比率。考慮債券定價誤差下，對於股票投資比例影響：不論是哪一種狀態下，股票比例之變動與整體投資比率之變動趨勢相同， . 37 .

(39) . 當定價誤差確定後，其股票部位及債券部位之比例及確定，也就是說定價誤差對於投資組合有直接的影響，除此之外，定價誤差較小的情況下，投資於股票部位的比例較低，因為定價誤差較小，債券較準確，因此在債券部位之獲利率相較於誤差大的高，也使得投資於股票比例縮小，而對於無定價誤差的狀態下，因無定價誤差，因此在債券部位無利用交易獲利的套利空間，因此會有較高的股票投資比率，考慮負債面下的多期最適配置結果：與原方法相同，但因為不同繳別之商品，非躉繳型商品因為有新錢流入，. 治. 政與支出可互相抵消，因此資產配置結果會改變，本研究未考慮有新錢流入之大. 立. ‧ 國. er. io. sit. y. Nat. 第二節建議 . ‧. . 學. 狀況，僅考慮躉繳型商品之負債，因此結果與原方法相符。 . n. al 本研究討論在不同誤差係數下之最適配置，可以發現在考慮定價誤差下對於 iv Ch. n engchi U. 投資組合有明顯的影響，因為模擬利率波動所產生的誤差會直接影響債券價格，而本研究設定全段時間之誤差係數皆相同，因此後續研究可以討論誤差模擬，使得債券價格更準確。效用函數方面，本研究僅以一種效用函數，後續研究可以加入不同的效用函數討論，例如指數型或次方型效用函數等。在考慮負債部分，因為商品繳別不同，本研究為簡化模型計算，不考慮新錢流入，後續可再深入討論，針對不同繳別、不同類型之商品做出不同現金流量模型，以估計最佳配置。 . 38 .

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