高斯五邊形定理與三弦定理的等價性證明

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 高斯五邊形定理與三弦定理的等價性證明. 研究生：鄒永灝. 中華民國. 一百零二. 年. 六. 月.

(2) 致謝謝謝大家，我畢業了。什麼完成論文的過程中有汗水有淚水、什麼歷經多少心力交瘁的苦讀日子、什麼感謝許多同學互相砥礪打氣，這種大家都知道的話留到少年漫畫中再說就好。我要努力讓自己成為一名獨當一面的數學教師，不枉各位教授們的栽培。我還有好多有趣的題目想做（但不想因為這樣延畢）；還有好多未知的數學領域想摸索；我還想看看那些更高更美好的數學，並且分享數學帶給人的喜悅。能在師大數學系唸書，我真的很開心。. 此外，我要特別謝謝張立老師，您是我中學數學的啟蒙者，是因為老師我才喜歡上數學，才有志成為數學教師，您的教育熱忱也是我畢生的典範。回想起至今我們相處超過十年的感情，眼眶不禁一陣溫熱。雖然因為某些緣故，我不確定老師會不會看見我的畢業論文，但我仍必須說老師您絕對是我數學生涯中最重要的人，謝謝老師。. I.

(3) 摘要本文的論述重點在高斯五邊形定理以及三弦定理。高斯五邊形定理由德國數學家高斯(Carl. F. Gauss)於 1823 年提出，三弦定理由中國數學教師侯明輝於 1985 年提出。這兩個定理在我國中學數學教育界中尚默默無聞，知曉的人非常稀少，但事實上這兩個定理經過兩位數學家及後人的研究後，已經漸漸開始展現各自發展性高、應用豐富的一面。. 在本文的第一章中，我們將敘述定理並且介紹歷史背景。這兩個表面迥異的定理面世的時間前後相距 160 餘年，但令人興奮地，我們在第二章中提出了這兩個定理的等價性證明。而為了證明其等價性，我們一共使用了六個定理，搭建出互相證明的橋樑。在證明之後，我們並舉例說明了兩者各自的發展與應用方向，其中「內高斯五邊形定理」便是由我國數學教師呂正基老師所提出，為高斯五邊形定理的延伸。. 關鍵字：高斯五邊形定理、三弦定理. II.

(4) 目錄口試委員通過簽名表授權書致謝 ·······························································································································Ⅰ 摘要 ·······························································································································Ⅱ 目錄 ·······························································································································Ⅲ 第一章緒論. ·················································································································1. 第一節研究背景與動機第二節研究目的第二章定理背景介紹 ······························································································3 第三章證明等價關係 ···························································································17 參考文獻 ······················································································································37. III.

(5) 第一章緒論第一節研究背景與動機最初討論「高斯五邊形定理」－本文的研究主題之一，起因是一份科展報告。報告人呂老師輩份上除了是我的學長外，也是我的師兄 (我們先後在研究所受到許志農老師的指導)。呂老師的報告著重於定理的推廣，我的工作則專注於探查高斯五邊形定理與其他定理的關係。但在研究高斯五邊形定理的過程中，卻發現有關高斯五邊形定裡的資料出乎意料地稀少，儘管仍有少數幾篇文章提及此定理，但並沒有特別針對這部分做比較多的描寫，通常僅止於敘述此定理，證明的過程也稍簡略。而這些為數不多的文章當中，也有的提及了高斯五邊形定理與「蒙日定理」等價，卻沒有提供證明。有鑑於此，我們希望能夠彌足缺乏完整證明的遺憾，同時也希望能證明高斯五邊形定理與其它定理的等價性。. 除此之外，我們還介紹了另一個同樣鮮為人知，但對中學數學起很大作用的定理－「三弦定理」。這個定理在 20 世紀時首先由中國數學家侯明輝先生所提出，並將成果發表於《上海中學數學》雜誌上。在數學競賽與研究蓬勃發展的中國國內，這個定理受到了各地的迴響，並且提出了豐富的應用與推廣。我們將在此介紹此定理，期望與我國的數學教師們一同欣賞。. 1.

(6) 第二節研究目的本文的寫作目的在於介紹幾個較為少見的定理，當中又以「三弦定理」與「高斯五邊形定理」最富特色。我們將在第一章敘述這些定理，並介紹它們的背景。而在第二章裡，我們將嘗試證明這些背景看似迥然不同的定理事實上存在著等價關係。本文的假設閱讀對象除了中學數學教師外，還包含具備初等數學知識 (至少具備三角函數的基本概念) 的中學生，因此證明的過程並不需要使用非常高深的數學知識。我們期望這篇文章的內容與敘述能讓所有對數學有興趣的人瞭解，讓大家對數學有更進一步的認識，進而達到拋磚引玉的效果，啟發對本文內容的更深入研究。. 2.

(7) 第二章、定理敘述與背景介紹定理 2.1：托勒密定理. A 圓內接四邊形的兩雙對邊乘積之和等於其對角. D. 線乘積，即. AB  CD  AD  BC  AC  BD 。. B. C. 托勒密（Claudius Ptolemy）是古希臘的天文學家、數學家、地理學家，精確的生卒年不詳，一般認為是西元 90 年至西元 168 年。他是歷史上第一位應用數學家，在天文、地理方面都多有鑽研。在他的經典著作《Almogest》(天文學大成) 中收錄了這個被後人稱做「托勒密定理」的命題。不過這個定理的發現並不能完全歸功於托勒密本人，因為托勒密許多的成就繼承自希臘更早期的數學家、三角學的奠基人－希巴爾卡斯（Hipparchus of Nicaea；約西元前 190 年至西元前 120 年）。. ▲ 圖 2.1.1 托勒密 (Claudius Ptolemy , A.D.90－A.D.168) 3.

(8) 雖然《天文學大成》是一本主要論述天文的著作，但對後世的數學家仍產生極大的價值。因為托勒密在書中收錄整理了古希臘人們對於三角學的研究成果，至今我們對希臘數學大部分的認知都是自托勒密的著作中瞭解的。歐洲要直到約 15 世紀才發展出印刷術，而第一本印刷的數學書籍就是托勒密的大成。. ▲ 圖 2.1.2 收錄在著作《Almogest》中的托勒密定理. 4.

(9) A. 定理 2.2：三弦定理.   圓上任一點及另外三點所產生的弦及夾角有如下的關係：. AC sin      AB sin   AD sin  。. D. B. C 三弦定理由中國數學教師侯明輝先生於 1985 年 9 月提出，1991 年 2 月，這個定理得到了數學家的認可。1995 年，侯明輝先生將論文《一個值得重視的三弦定理》發表於《上海中學數學》雜誌上，並陸續發表《三弦定理的重要應用》、《用三弦定理解競賽題》等論文數篇。這個定理的形式並不會太複雜，但產生的影響相當遠大，中國有眾多數學家對此推崇有加，認為有關圓的定理中往往缺乏弦長與角度關係的論述，而三弦定理彌補了這個遺憾。. ▲ 照片 2.2.1 侯明輝，現為遼寧省岫岩龍潭中學數學一級教師取自 http://www.nen.com.cn/73507888529670144/20071128/2357528.shtml 5.

(10) 侯明輝於 1962 年 10 月在遼寧省岫岩縣出生，滿族人，1996 年畢業於遼寧教育學院數學系。三弦定理可謂是他對數學的熱情與無止盡的求知慾的最佳寫照，某天夜裡，他被一個幾何難題困擾著，久久找不到令人滿意的解法。即便躺在床上，腦中仍無法停止思考，輾轉反側難以入眠。突然間這個幾何難題的部分圖形化成三弦定理的圖像浮現在他眼前，他想：圓上過一公共點的三條弦彼此的長度和夾角之間存不存在固定的關係呢？對自己的這個想法感到興奮與喜悅，他迫不及待地起身提筆研究，即使當時時間已經是凌晨。歷經兩個小時後，他終於得到了三弦定理的結論，並利用三弦定理簡潔有效率地證明了最初的幾何難題‧至此他再也按耐不住心中的喜悅，極度開心地拍著桌子大喊「真好！太美妙了！太美妙了！」. 無奈上天愛捉弄人，在完成三弦定理論文的前幾個月，他罹患了急性肝炎，重病住院。因為生病的關係，他營養不良，全身無力，連握筆都有困難。醫生再三囑咐他必須讓身體安靜修養，他卻執意抱病寫作。醫生警告他注意身體，他則對醫生表示：對於三弦定理的研究與應用費盡了多年的心血，眼看就要大功告成，我怎麼可能在這個時候停下筆呢？醫生被他的精神所感動，於是對他的行為睜一隻眼閉一隻眼，讓侯明輝得以在住院的時間完成論文的草稿。1999 年 7 月，《一個值得重視的三弦定理》獲得「世界學術貢獻獎論文金獎」。之後鑑於此定理的卓越貢獻，侯明輝榮獲特級教師、鞍山市勞動模範、鞍山十大傑出青年、鞍山市科學技術傑出人才等等諸多殊榮。他的成就和業績被收錄於《中國當代數學家與數學英才大辭典》中。. 6.

(11) 定理 2.3：和角公式. sin      sin  cos   cos  sin . 這個堪稱三角學中最重要的公式，古希臘時托勒密為了觀測星體的運行方向和角度，就已經被他善加運用於製作「弦表」（以現代的說法，就是正弦函數值表），並且收錄於托勒密的重要著作《Almogest》中，英國數學家笛摩根 (De Morgan) 更讚賞弦表為希臘最美麗的作品之一。在托勒密之前還有另一位集大成者，就是我們先前也提過的古代公認的偉大天文學家希巴爾卡斯 (Hipparchus of Nicaea；約西元前 190 年至西元前 120 年)。他使用自製的天文儀器觀測星體，同樣地，他必須使用三角函數表才能進行測量，但三角函數表在當時並不存在，所以他只好自行製作，和角公式就是他在製作過程當中使用到的三角公式之一。. ▲ 圖 2.3.1 希巴爾卡斯觀星的插圖取自 http://www.hps.cam.ac.uk/starry/hipparchus.html. 7.

(12) 至於餘弦形式的和角公式可以經由正弦形式的和角公式推得，銳角以外的角度也能經由廣義角推論。這些屬於高中數學的基本內容，我們便不再多言。. 托勒密瞭解的三角函數公式不只和角公式，他製作的弦表量測的是半徑為 60 的圓的弦。不同於我們現在習慣使用的十進制，希臘時代使用的是六十進制。. 60  /2  /2. chord = 2× 60sin /2. 60. ▲ 圖 2.3.2 托勒密量測的是半徑 60 公分的圓的弦長. 用現代的角度來看，弦表就是正弦函數值表。如上圖，我們如果想知道量  角對應的弦的長度時，則必須先將  角度除以 2，弦長此時等於 2r sin 等同於 sin. . . .  2. 。於是弦表. 的值，之後可以利用兩倍角公式 sin   2sin cos 求出 sin  的值。 2 2 2. 8.

(13) ▲ 圖 2.3.3 托勒密的弦表. 弦表中第一欄是 arcs 代表的是弧所對應的度數，第二欄 chords 指的則是弦的長度，每個長度都用三組數子表示，最後一欄效用等同於高中數學對數表上的「表尾差」。舉例來說，若圓心角為 6 度，則根據托勒密的弦表可試算出 6 度角所對的弦長度為 6  16 . 1 1  49  2  6.28028 60 60. 而用現代的電子計算器可算得 2 度角所對的弦長度為 120sin 3  6.28031. 古代希臘一切皆必須仰賴人工計算，而托勒密的數字竟然能精準到小數點後第三位，這是非常了不起的事。. 9.

(14) 定理 2.4：蒙日定理任意實數 p, q, r 滿足. pr  q  p  q  r    p  q  q  r . 蒙日定理也被稱為蒙日等式，是一個構造非常簡潔的代數恆等式，為法國數學家蒙日（Gaspard Monge, 1746～1818）提出。蒙日是微分幾何方面的巨擘，他喜歡用分析和幾何兩種角度審視同一個問題。他的成果包括和學生 Hachette 合寫的論文「代數在幾何中的應用」中，證明了每個二次曲面的平面截痕都是一條二次曲線，也就是高中數學教材裡圓錐截痕的前身。本文的蒙日定理與是在他為數眾多的偉大成就中容易被人忽略的一個，但是從這個純代數的定理出發卻能證明出許多重要的幾何定理，相當充分地展現了蒙日的思想。. ▲ 圖 2.4.1 蒙日 (Gaspard Mong , 1746－1818). 10.

(15) 看似簡單的蒙日定理，事實上就漂亮地反映出蒙日將代數與幾何融合在一起的思想。我們當然可以簡單地將蒙日定理的兩邊乘開證明，下圖則是採用幾何方法證明，將蒙日定理看成面積的等式。. ▲ 圖 2.4.2 蒙日定理的幾何證明. 蒙日對教育也有極大的貢獻，他擔任法國綜合工科學校首任校長的期間致力於使科學理論與技術相結合，培養出許多著名人物，例如布里昂雄 (Charles Julien Brianchon, 1783 –. 1864。法國數學家、化學家，即布理昂雄定理的提出人)，龐賽. 列 (Jean-Victor Poncelet , 1788 –1867。法國數學家、工程師，射影幾何的創立者之一) ，成為日後世界各理工科大學的典範。他也是催生巴黎高等師範學校的人之一，他所講授的「畫法幾何學」－如何在一張紙上畫出立體圖形的學問，被高斯譽為「體現了真正的幾何精神」。. 11.

(16) 定理 2.5：高斯五邊形定理. A1 將凸五邊形中相鄰三頂點的面積以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5. a1. 表示，並令. A2. A5. c1  a1  a2  a3  a4  a5  c2  a1a2  a2 a3  a3a4  a4 a5  a5 a1 則此五邊形的面積 A 與 c1 , c2 滿足 A2  c1 A  c2  0 。. A3. A4. 高斯五邊形定理最早由高斯於 1823 年發表於德國的刊物《Astronomische Nachrichten》(天文學通報)上，之後被收錄於高斯的作品集第四冊中。這個定理的重要性在於揭示如何只藉由計算五邊形中的頂點三角形(以連續三頂點所構成的三角形)，以獲得完整凸五邊形的面積，甚至衍伸出兩者間的多項式關係。雖然這個定理往往被認為是高斯被人遺忘的珍寶，但已經對日後如何利用多項式關係計算多邊形面積起了很大的作用。近代的數學家和化學家們更開始把這種想法應用在求阿基米德立體 (由兩種以上的正多邊形組成的擁有高度對稱性的凸多面體) 的體積上，直接計算體積是相當不容易的，如果能夠藉由已知的表面積計算體積，那麼將會方便許多。. 底下我們也看看 19 世紀時高斯如何處理這個問題：. 12.

(17) ▲ 圖 2.5.1 高斯五邊形定理的原文，收錄於高斯的文集《Gesammelte Werke》Vol.4 P.406. 13.

(18) 高斯的文稿由德文寫作，原文的問題是在平面上給任意五個點 A, B, C, D, E ，將這五個點兩兩連線後會形成 EABC, ABC, BCD, CDE, DEA ，請用這五個三角形決定五邊形 ABCDE 的面積。幾個重要的單詞 Punkte, Winkel, Seiten, Dreiecke, Funfecke 分別是點、角、邊、三角形、五邊形的意思。. ▲ 圖 2.5.2 高斯五邊形定理的原文，收錄於高斯的文集《Gesammelte Werke》Vol.4 P.407 14.

(19) 高斯的證明中，首先將五邊形中對角線形成的小三角形面積用邊長和正弦函數表示，接下來他使用了下述的引理：. 引理 2.5.3：. sin  sin       sin  sin      sin  sin      0. 這個引理的證明並不難，只要利用和角公式展開，將會發現能夠兩兩對消，相當容易得證：. sin  sin       sin  sin      sin  sin      sin   sin  cos   cos  sin    sin   sin  cos   cos  sin    sin   sin  cos   cos  sin   0. □. 利用和角公式進行證明，這一點提供了我們一些想法，也就是和角公式在證明這些面積關係時所扮演的角色的重要性。這也是鼓勵我們將和角公式列入本文中用來證明等價性的定理的原因之一。. 15.

(20) 定理 2.6：內高斯五邊形定理. A1 將凸五邊形中一頂點與其對角線兩頂點所圍成的三. A2. 角形面積以 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 表示，並令. A5 b1. d1  b1  b2  b3  b4  b5  d 2  b1b3  b2b4  b3b5  b4b1  b5b2. A3 則此五邊形的面積 A 與 d1 , d 2 滿足 A  d  4d 2 。 2 1. 我們不難看出這是一個和高斯五邊形定理相仿的定理，差別在於兩者所使用的小三角形面積不同。而最令人驚訝的是兩者都同樣地表明面積會滿足某種多項式關係。. 內高斯五邊形定理由花蓮縣私立海星高級中學的呂正基老師提出，模仿外高斯五邊形定理以部分頂點三角形面積計算整體五邊形面積的想法，提出如何利用部分的「內三角形」(一頂點與對角線兩頂點所圍成的三角形) 計算整體五邊形面積的作法，並同樣證明了當中存在某種多項式關係。呂老師更將他的研究與學生一同製作成科展報告「三角梅花五面開」，榮獲第 52 屆中小學科學展覽會佳作，實屬佳話。. 16. A4.

(21) 第三章、證明等價關係接下來我們證明以下六個定理彼此等價： (1) 托勒密定理 (2) 三弦定理 (3) 和角公式 (4) 蒙日定理 (5) 高斯五邊形定理 (6) 內高斯五邊形定理. 證明等價關係的第一步其實是要先找出哪些定理有機會成為我們證明過程中的一環，包括固有的三弦定理和高斯五邊形定理在內，我們另外找了四個定理：托勒密定理、和角公式、蒙日定理、內高斯五邊形定理。選擇這四個定理都是有原因的。托勒密定理是證明三弦定理時第一個會想到要使用的方法；內高斯五邊形定理是我們自行從高斯五邊形定理提出的延伸。和角公式和蒙日定理看似突兀，實則不然。上一章時我們就曾提過高斯如何利用和角公式看出面積間的關係，蒙日定理雖然是代數上的恆等式，但我們也能巧妙地將他轉變成面積關係。. 決定選用這幾個定理進行等價性論證後，下一個問題是要用什麼順序將這六個定理串連，這是最需要時間和功夫的。我們的證明將由托勒密定理做為起點，巧合的是托勒密定理也是這六個定理中歷史最久遠的定理。. 17.

(22) 證明 3.1：托勒密定理證明三弦定理. 因為四邊形 ABCD 是圓內接四邊形，所以由托勒密定. A. 理，.  . AC  BD  AB  CD  AD  BC 。將上式同除以 2R ，得. AC . BD CD BC 。  AB   AD  2R 2R 2R. 再利用正弦定理. D. B. BD CD BC    2 R 取代 sin     sin  sin . C. 上式，得. AC sin      AB sin   AD sin  。. □ 第一步選擇用托勒密定理證明三弦定理，原因是托勒密定理和三弦定理的「形狀」非常類似。兩者都是圓內接四邊形，托勒密定理敘述的是邊長間的關係，而三弦定理中雖然有關角度，但正弦函數也可視為弦長，同樣能由此衍伸成邊長之間的關係，因此我們有足夠的理由相信這兩個定理是等價的。此外，三弦定理也有辦法獨立地被證明，所以稱他為一個定理絲毫不為過。. 三弦定理的應用性非常廣，我們用幾個經典的題目為例。這些題目常見於各種考試或數學競賽中，也有很標準的常見解法。現在我們則要用用三弦定理創新解法，賦予這些就題目新的創意。. 18.

(23) 例題 3.1.2：(1940 莫斯科數學奧林匹亞) 圓內接正三角形 ABC，邊 AB 所對的劣弧上有一點 D，證明： DC  DA  DB. [證明]. A. 因為 ABCD 是圓內接四邊形，所以. D. ADB  180  ACD  120. 由三弦定理，. DC sin120  DA sin 60  DB sin 60 。又 sin120  sin 60 ，故得證 DC  DA  DB. B. C. □. 例題 3.1.3：(1990 第 16 屆全俄數學奧林匹亞) 一圓上有兩條弦 AB, AC ， BAC 的角平分線交圓於 D 點，過 D 點對 AB 做垂線，令垂足為 E，證明： AE . AB  AC 2. [證明]. A. 由三弦定理，. . . AD sin 2  AB sin   AC sin   AB  AC sin .  . C. 此即. E. 2 AD cos   AB  AC. B 19. D.

(24) 故得證. AE  AD cos  . AB  AC 2. □. 例題 3.1.4：(1989 全國高中數學聯賽). E. 如右圖，圓內接三角形 ABC 中， AB  AC 。. A . F. 令 E 為角 A 之外角平分線與圓周之交點；. -2. 令 F 為 E 點對邊 AB 所作垂線之垂足。求證： AB  AC 2 AF. B. C. [證明] 令 EAB   ，則 BAC  180  2 。由三弦定理，. AB sin      AC sin   AE sin   2  即. AB sin   AC sin   AE sin 2 移項並利用 sin 2  2sin  cos 化簡上式，可得. AB  AC . AE sin 2  2 AE cos   2 AF sin . □ 20.

(25) 不難看出使用三弦定理解題得到了相當好的效果，尤其是當題目所賦予的條件與角度有密切關係時，托勒密定理只有闡述邊長的關係，當托勒密定理不容易直接使用時，三弦定理就能彌補這個遺憾。. 繼三弦定理之後，我們將緊接著證明和角公式。原因很明顯，因為三弦定理中出現了 sin     ，這正是和角公式需要的。而且和角公式的形狀與三弦定理也有幾分類似。. 21.

(26) A. 證明 3.2：三弦定理證明和角公式.  . 在以 AC 為直徑的圓上取相異兩點 B, D ，由三弦定理，. AC sin      AB sin   AD sin  即. O D. B. sin      sin . AB AD  sin   sin  cos   cos  sin  AC AC. C. □. 想到利用將 AC 弦視為直徑是非常自然的，我們原本就期待著要讓. AB AD 與 AC AC. 被改寫成三角函數的形式，要做到這一點最有力的依靠自然是將其視為直角三角形的邊長。. 此外，雖然餘弦形式的和角公式不在本文主要論述的範圍內，而且我們都知道餘弦函數可以利用其與正弦函數的互餘關係推得。但是由於我們也可以利用三弦定理給予幾何方式的證明，所以我們也一併把它寫在這裡。幾何的證明都是優雅且美麗的，希望大家都能瞭解這一點。. 22.

(27) 定理 3.2.2：. cos      cos  cos   sin  sin . 在以 AC 為直徑的圓上取相異兩點 B, D ，因為. E. BEC     ，所以 sin BCD  cos     。. A. 由三弦定理，. B. D. . . O. CD sin ACB  CA sin BCD  CB sin . 故. CA cos      CD cos   CB sin  即 cos      cos . CD CB  sin   cos  cos   sin  sin  CA CA. □. 23. C.

(28) 證明 3.3：和角公式證明蒙日定理首先，不失一般性，可假設 1  p, q, r  1。若不然，則總可找到一個足夠大的正整數 N 使得 1  p ', q ', r '  1 ，其中 p ' . p q r ,q'  ,r '  。 N N N. 因為 1  p, q, r  1 ，可令 p  sin  , q  sin  , r  sin  。. pr  q  p  q  r   sin  sin   sin  sin        sin  sin   sin  sin     cos   cos     sin    sin  sin   sin   sin  cos   cos  sin   cos    cos  cos   sin  sin   sin  .  sin  sin    sin  cos   cos  sin   cos  sin    cos  cos   sin  sin   sin 2   sin  sin   sin  cos  sin  cos   cos  sin  cos  sin   cos sin 2  cos   sin  sin 2  sin   sin  sin   sin  cos  sin  cos   cos  sin 2  cos   cos  sin  cos  cos   sin  sin 2  sin .  sin  sin   sin  cos  sin  cos   cos a sin 2  cos   cos a sin  cos  sin   sin  sin   cos2   1  sin  sin   sin  cos  sin  cos   cos a sin  cos  sin .  cos a sin 2  cos   sin  cos2  sin   sin  sin .  sin  sin    sin  cos   cos a sin   sin  cos   cos  sin    sin  sin    sin  cos   cos a sin   sin  cos   cos  sin    sin     sin        p  q  q  r  得證 pr  q  p  q  r    p  q  q  r  。. □ 24.

(29) 儘管捨棄了直接將蒙日定理兩邊乘開比較係數的想法，使得我們的證明跟前面相比之下，似乎顯得有些複雜了，但我們仍然成功地找到了別的方法證明這個看似簡單的等式。這麼做的好處是能讓這個定理完整地嵌在我們的等價性證明中，使我們知道蒙形式簡潔的蒙日定理和形式複雜的高斯五邊形定理竟然是等價的，如此饒富趣味的結論。. 此外，本文中蒙日定理所扮演的角色，或許正如蒙日本人的理念一樣，扮演了代數與幾何的橋樑。我們證明蒙日定理是用純代數的方法，不斷地用和角公式代換。接下來我們要用蒙日定理證明高斯五邊形定理，高斯五邊形定理討論的是面積的關係，所以我們會把蒙日定理運用到面積的代換上，換句話說，利用蒙日定理揭示原本不容易被發現的面積的恆等關係。也唯有如此才有機會用蒙日定理證明以下的高斯五邊形定理。. 25.

(30) 證明 3.4：蒙日定理證明高斯五邊形定理在凸五邊形 A1 A2 A3 A4 A5 中，令三角形 A1 A2 B 的面積為. A1. p ，三角形 A1BC 的面積為 q ，三角形 A1CA5 的面積為 r ；令. A1 A3 AA  m ， 1 4  n 。我們有以下的面積關係 A1 B A1C. p. A2. q B. r A5 C. 式：. a2   p  m ,  pqr  a , 1 . b1 , mn b pq  4 , n q. r. a5 ; n. b qr  3. m. A3. A4. 將上述六式代入蒙日定理，得到 a2 a5 b1a1 b4b3   mn mn mn. 將上式左右同乘以 mn ，. a2 a5  a1b1  b3b4 用 b1  A  a2  a5 , b3  A  a2  a4 , b4  a  a3  a5 取代上式，得到. a2 a5  a1  A  a2  a5    A  a2  a4  A  a3  a5  再整理移項成. A2   a1  a2  a3  a4  a5  A   a1a2  a2 a3  a3a4  a4a5  a5a1   0 也就是說，五邊形面積 A 滿足 A2  c1 A  c2  0 。. □. 26.

(31) 我們已經證明了五邊形的面積滿足一個二次方程式 x2  c1 x  c2  0 ，換句話說，這個方程式的其中一個根就是五邊形面積 A 。既然如此，我們當然有興趣觀根與係數的關係，甚至猜想 c1 , c2 與 A 是否也存在某種關係。這是高斯五邊形定理的直接推論，我們把證明寫在下邊。. 推論 3.4.2：. c1  2 A  M  2 c2  A  AM. 其中 M 為五角星 A1 A2 A3 A4 A5 的面積與對角線所圍成的小五邊形面積之和。. 由高斯五邊形定理可知 A 必為方程式 x2  c1 x  c2  0 的一根，很容易知道. c1  2 A  M ，由根與係數的關係可知兩根之和  c1  2 A  M ，故另一根為 A  M 。同樣再由根與係數的關係可知兩根之積  c2  A2  AM 。. □ 假若我們並不知道高斯五邊形定理，那麼儘管 c1  2 A  M 很容易看出，但 c2 與. A, M 的關係就難以被發現。高斯五邊形定理由根與係數的關係逆推出 c2 ，這正一如高斯其它許多令人驚豔的證明般巧妙。更進一步地，這個根與係數的關係對於我們的下一個證明－高斯五邊形定理證明內高斯五邊形定理，會起很大的作用。內高斯五邊形定理是模仿高斯五邊形定理提出的面積上的恆等式，但內高斯五邊形定理所考慮的小三角形面積較難以計算或是進行代換，所以我們希望能有盡量多的面積恆等式可以幫助我們進行證明。. 27.

(32) 值得一提的是，雖然經由求得相鄰三頂點所形成的小三角形面積可以幫助我們計算完整五邊形的面積，但若僅有這些小三角形的面積，並不能決定唯一的五邊形，我們用一個經典的數學競賽題做結。. 例題 3.4.3：對凸五邊形 ABCDE 而言，若這個凸五邊形中由邊和對角線連成的五個三角形 ABC, BCD, CDE, DEF , EFA 的面積皆為 1，求證：. (1) 所有滿足此條件的凸五邊形都具有相同的面積。 (2) 有無限多個滿足此條件的凸五邊形。. 這個題目取自 1972 年第一屆美國數學奧林匹亞，我們先用高斯五邊形定理計算五邊形面積。令五邊形 ABCDE 的面積為 A，由高斯五邊形定理可知 A2  c1 A  c2  0 ，. a1  a2  a3  a4  a5  1  1  1  1  1  5 其中  a1a2  a2 a3  a3a4  a4 a5  a5a1  11  11  11  11  11  5 故五邊形面積是方程式 x2  5x  5  0 的根，由一元二次方程式的公式解可解得 A. 5 5 2. □ 接下來我們證明有無限多個此種五邊形。. A E. B. 因為 CDB, CDE 是等底同高的三角形，因此 BE // CD ，. y. P. y. x 28. C. D.

(33) 同理 AB // CE, AE // BD 。令對角線 BD, CE 的交點為 P ，則 PABE 為平行四邊形。由此可知 PBE  PAB  1. 令 PBC, PDC 的面積為 x, y ，則 x  y  1且. y PBC PDC x    1 PBE PDE y. 將 x  1  y 代入上式可得 y 2  y  1  0 ，故 y . 1  5 3 5 。 , x  1 y  2 2. 欲造出無限多個此種正五邊形，我們先構造一個任意的三角形 PDC 使得 PDC 的面積為. 3 5 。再分別延長 CP, DP 至 E , B 兩點使得 BCD  ECD  1 ， 2. 同樣地因為因為 CDB, CDE 是等底同高的三角形，所以 BE // CD 。再作線段 AB, AE 使得 AB // EC, AE // BC ，如此構造出的正五邊形即滿足所求。. □. 29.

(34) 證明 3.5：高斯五邊形定理證明內高斯五邊形定理為方便說明，我們同樣用 M 代表五角星 A1 A2 A3 A4 A5 的面積與對角線所圍成的小五邊形面積之和。首先，由高斯五邊形定理，我們知道  c1  a1  a2  a3  a4  a5  2 A  M  2  c2  a1a2  a2 a3  a3a4  a4 a5  a5a1  A  AM. 因為 bi  A  ai 1  ai 1  ai  ai 5  ，所以. d1  b1  b2  b3  b4  b5  5 A  2  a1  a2  a3  a4  a5   5 A  2  2 A  M   A  2M 5. 5. i 1. i 1. d 2   bi bi  2    A  ai 1  ai 1  A  ai 1  ai 3  5.    A2  A  ai 1  2ai 1  ai 3   ai 1ai 3  ai 1ai 1  ai 1ai 3  ai21  i 1. 5. 5. 5.  5 A2  4 Ac1   ai ai 1  2 ai ai  2   ai2 i 1. i 1. i 1. 5. 5.  5 A2  4 Ac1  c2  2 ai ai  2   ai2 i 1. i 1. 5. 5. i 1. i 1.  5 A2  4 Ac1  c2   ai2  2 ai ai  2 2. 5  5   5 A  4 Ac1  c2    ai   2 ai ai 1 i 1  i 1  2.  5 A2  4 Ac1  c12  c2.  5 A2  4 A  2 A  M    2 A  M    A2  AM  2.  AM  M 2. d1  A  2M 因為  ，可知 A  d12  4d 2 。 2 d 2  AM  M. □ 30.

(35) 至此我們成功地用高斯五邊形定理推導出內高斯五邊形定理。並且發現諸多他跟高斯五邊形定理相似的地方，最重要的一項是內高斯五邊形定理同樣也揭露出一個面積與多項式之間的代數關係，我們將他寫在這裡. 推論 3.5.2：. d1  A  2M  2 d 2  AM  M. 這個推論的證明我們已經在內高斯五邊形定理的證明中一併完成了，此處便不再贅述。綜合兩者，我們可以將結論表示為 x2  d1 x  d2  0 的兩根是 M 和. A M 。. 內高斯五邊形定理只是一個起點，除了內高斯五邊形定理所使用的三角形外，能否利用凸五邊形的對角線所形成的其它小三角形面積探求原始五邊形的面積，將是我們日後有興趣研究的方向。. 例題 3.5.3：如右圖，若凸五邊形 ABCDE 中，五個三角形 ASR, BTS , CPT , DQP, ERQ 的面積皆為 1，試求：. A. (1) 五邊形 PQRST 的面積。 (2) 五邊形 ABCDE 的面積。. R. S. B. E Q. T P C 31. D.

(36) 這個題目取自 1995 年的日本數學奧林匹亞競賽，他被起了個很可愛的暱稱叫「楊桃問題」(猜測應該是因為題目所給的條件令人聯想到楊桃的形狀)。有人譽此題的難度是當年日本最高，現在我們將嘗試用內高斯五邊形定理解題。. A 我們令五邊形 PQRST 的面積為 m；三角形 ASR 的面積為 k。連輔助線 AP ，如圖所示，令 AP 與對角. b 1-b R. S. B 線 BE 的交點為 M ，四邊形 PTSM 和四邊形 PQPM. 1. 的面積分別為 a 和 m  a ；三角形 ASM 和 ARM 的. T. a. m-a. Q 1. P. 面積分別為 b 和 1  b 。. E 1. 1. k. C 因為. PDC PD PDA ，所以   PTC PT PTA k 2 ma b ………(1)  1 ab. 又因為. PCD PC PCA ，所以   PQD PQ PQA k 1 a  b  1 m 1 a  b. ………(2). 綜合(1)、(2)兩式，可得 2 ma b 1 a  b  ………(3) ab m 1 a  b. 令 t  a  b ，上式即  2  m  t  m  1  t   t  t  1 移項可得 t. 將t . m 1 2. m 1 代回(1)式可求得 2. 32. D.

(37) k. m3 m 1. 類似地，我們可以知道 ASB  BTC  CPD  DQE  ERF . m3 。 m 1. 這是一個很棒的結論，我們發現這個五邊形事實上是完全對稱的正五邊形。. 接下來我們使用內高斯五邊形定理求五邊形 PQRST 和邊形 ABCDE 的面積，令為. A 。直接計算每塊區域的面積易知 A  5  m  5k  5  m . m3 ………(4) m 1. 在五邊形 ABCDE 中，. d1  5  3  m  k   2 d 2  5  3  m  k  由內高斯五邊形定理，五邊形面積 m3  A  d12  4d 2  5  3  m   ………(5) m 1  . 綜合(4)、(5)兩式，可得 5 m. m3 m3   5 3 m   m 1 m 1  . 解開上式可求得 m  5 ，也就是小五邊形 PQRST 的面積。再將 m  5 代入(4)式，可知大五邊形 ABCDE 的面積  5  3  15  7 5 A  5  5  5    2 5  1  . □ 33.

(38) 我們非常順利地算出了完整的五邊形面積，但是客觀地講，我們必須將此題視為一種特殊情況，因為題目給的五邊形事實上擁有完美的對稱性。我們必須猜想：. (1) 如果題目的面積條件數字不全為 1，是否也能求解？ (2) 如果可以求解，是否一如高斯五邊形定理及內高斯五邊形定理，面積也會滿足一個二次方程式的關係呢？ (3) 如果給予的條件不是五角星中 ASR, BTS , CPT , DQP, ERQ 的面積，也能解出來嗎？一般地說，要知道哪些部分的面積才能充分地求出完整五邊形的面積呢？. 對於問題(1)，答案是可以求解的。事實上我們對本題的解法仍可以應用於各部分面積不是 1 的情況，但是在計算問題(2)時會略顯冗長。至於問題(3)，則尚屬開放性的問題。如何由計算充分的部分面積以計算整體面積的問題一直都是令人感興趣的，我們之後也將會繼續研究並推廣這個問題。. 34.

(39) 證明 3.6：內高斯五邊形定理定理證明托勒密定理. A1 在圓內接四邊形 A1 A2 A3 A4 的外接圓上取一點 A5 ，. A2. A5. 因為 A1 A2 A3 A4 A5 是凸五邊形，所以由內高斯五邊形定理，. M 2  M  b1  b2  b3  b4  b5   b1b3  b2b4  b3b5  b4b1  b5b2  0 將上式移項改寫成. A3. A4.  M  b4  b5  M  b2  b3   b3  b4  M  b1  b3b4 用 ai  M  bi 2  bi 3 取代上式成 a1a4  a5b5  b2b3 ，即 A2 A1 A5  A3 A4 A5  A1 A5 A4  A2 A5 A3  A1 A3 A5  A2 A4 A5. 將此三角形面積的等式用邊長和正弦函數表示，. A1 A5  A1 A2 sin A2 A1 A5  A3 A4  A3 A5 sin A4 A3 A5  A1 A5  A1 A4 sin A4 A1 A5  A3 A2  A3 A5 sin A2 A3 A5  A1 A3  A 1 A5 sin A3 A1 A5  A2 A5  A2 A4 sin A4 A2 A5 將上式左右同除 A1 A5 ，可得. A1 A2 sin A2 A1 A5  A3 A4  A3 A5 sin A4 A3 A5  A1 A4 sin A5 A1 A4  A3 A2  A3 A5 sin A2 A3 A5  A1 A3 sin A3 A1 A5  A2 A5  A2 A4 sin A4 A2 A5 因為 sin A4 A1 A5  sin A4 A2 A5  sin A4 A3 A5 ，所以. A1 A2 sin A2 A1 A5  A3 A4  A3 A5  A1 A4  A3 A2  A3 A5 sin A2 A3 A5  A1 A3 sin A3 A1 A5  A2 A5  A2 A4 再用正弦定理 A3 A5 sin A2 A1 A5  A3 A5 sin A2 A3 A5  A2 A5 sin A3 A1 A5 化簡上式成. A1 A2  A3 A4  A1 A4  A2 A3  A1 A3  A2 A4 此即托勒密定理。. □ 35.

(40) 除了高斯五邊形定理之外，要找到和內高斯五邊形定理等價的定理是比較不容易的。我們這裡選擇托勒密定理作為證明的終點，因為內高斯五邊形定理敘述的是面積關係，我們可以將面積關係用邊長和正弦函數表示，而托勒密定理適用於圓內接四邊形的邊長關係，如果我們能善加利用圓內接四邊形對角互補以及圓周角相等的性質，就有機會將等式兩端的正弦函數消去，留下邊長關係。. 最後的這一個證明在本文中最為複雜，尤其該將各三角形的面積用三邊中的哪兩邊與夾角表示，經過了多次嘗試才得到正確結論。雖然這是個辛苦的過程，但一旦我們成功地證明了高斯五邊形定理與其他眾多定理等價後，便是相當有用的結論。日後如果想要將高斯五邊形定理推廣至其他形式，或尋找與其他定理的等價關係，我們可以用形式較簡單但同樣與高斯五邊形定理等價的定理進行思考或論證。. 36.

(41) 參考文獻 1. 許志農。戲說數學。未出版，國立台灣師範大學數學系，2012。 2. 呂正基。從高斯五邊形出發。國立台灣師範大學數學系，2004。 3. 呂正基，曾怡嘉，彭筱妤，楊穎蓁。三角梅花五面開。第 52 屆全國中小學科展作品。2012。 4. 侯明輝。一個值得重視的三弦定理。上海中學數學，1995(5)。 5. 侯明輝。三弦定理的重要應用。鞍山師範學院學報，2000，2(3)。 6. 吳振奎、王連笑、劉玉翹編。歷屆數學奧林匹克解題大辭典，幾何卷。河北少年兒童出版社，2003。 7. 單墫，熊斌。多功能題典，高中數學競賽。華東師範大學出版社，2009。 8. 楊學枝。2011 中國初等數學研究(第 3 輯) 。哈爾濱工業大學，2011。 9. A.V. Astrelin and I.Kh. Sabitov, A Canonical Polynomial for the Volume of a Polyhedron, Commune of the Moscow Math. So. 54.2, 430-431. 1999. 10. R Connely, Comments on Generalized Heron Polynomials and Robbins' Conjectures. 11. Carl. F. Gauss. Das vollständige Fünfeck und seine Dreiecke. Astronomische Nachrichten, 42, 1823. 12. Carl. F. Gauss. Gesammelte Werke. Göttingen, 1880, Vol 4, 406-407. 13. I. Pak, The Area of Cyclic Polygons Recent Progress on Robbins’ Conjectures, Adv. Appl. Math(34), 2005. 14. D. P. Robbins, Areas of Polygons Inscribed in a Circle. Amer. Math. Monthly, 102. 523-530. 1995. 15. Darko Veljan, Geometry of Pentagons and Volumes of Fullerenes. 2008 16. D.Svrtan, D.Veljan and V.Volence, Geometry of Pentagons: from Gauss to Robbins. 37.

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