數學寫作活動的類型與實例

數學寫作活動的類型與實例

劉祥通1 黃國勳2 1 國立嘉義大學數學教育所 2 嘉義縣南新國小 數學寫作是什麼，如何使數學寫作成為有意義？有那些類型？在實踐數學寫 作，各類型的功能為何？為了幫助讀者了解上述問題，以下分成數學寫作的意 義、數學寫作的類型與實例，以及結語等三項說明之。

壹、 什麼是數學寫作？

近年來，美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics， 簡稱 NCTM)出版的「數學課程與評鑑標準」(Curriculum and Evaluation Standards for Schools Mathematics, NCTM 1989)一書主張，數學教學應強調有意義的溝通， 將數學寫作活動融入數學教學中可幫助學生釐清他們的想法，與加深他們既有的 觀念。多位數學教育的學者（Powell & Lopez,1989; Miller, 1992；Morgan, 1998; Whitin & Whitin, 1998）即倡導以寫作帶動學習(writing to learn)的數學學習法， 將學習與寫作都看成建造意義的過程，在這個過程中使學習者把已知的知識與正 在學習的知識連結起來 (Fulwiler, 1982)。 關於寫作，一般教育工作者直覺的反應是語文科的活動，何以能行之於數學 科的教學活動呢？Azzolino (1990)強調：人類一直用寫作的活動來學習數學，數 學家以寫作讓世人了解其想法，經由論文與期刊的發表呈現與其同道共享；而為 了學生的學習與教師自己的教學，數學教師當然也必須透過課堂的筆記、教案的 編寫與教科書的編撰來達成。由此可知，寫作的確在數學知識的溝通與傳播上佔

Bell 和 Bell(1985)提倡以寫作鼓勵學生藉著重新閱讀與重新檢驗已有的數學 概念以重整(reprocess)已有的想法。他們又強調閱讀只是解讀語言的線索，口述 只是隨興而不能回顧(reviewing)的，而寫作卻是編碼(encoding)的活動，它提供情 境(contexts)使學習與思考得以發生，與閱讀和口述相較，因此，寫作是比較有回 顧與反思的活動。另外，寫作也是主動的學習過程，它能促進學生程序性與觀念 性的了解；學生也往往在寫作的時候才發現自己在想什麼？學到了什麼？什麼是 重要的？另外寫作也有助於學生組織與整理數學概念，並且在一些觀念中尋找關 連（Miller, 1991）。 總而言之，教學者可用寫作的方式作為輔助數學教學的溝通工具，使學習者 在數學記錄簿（單）上解釋、省思、回顧、組織或聯結有關數學知識與經驗，以 幫助學習者創塑數學意義的活動，此種活動稱之為「數學寫作活動」。數學寫作 對於數學概念的學習，可以提供學生回顧、省思和整合所學的機會，促進數學概 念的理解。同時也可作為教師與學生溝通數學知識的平台，有助於教師的教學。

貳、 數學寫作的類型與實例

數學寫作有很多種類型，作者舉出四種在課室或家庭課業中較為實際的與 可行的類型：解釋性寫作、偵錯式寫作、編擬文字題寫作與總結式寫作等，以下 將分別說明各寫作類型的性質與功能，並舉例說明之： (一)解釋性寫作（explanatory writing） 解釋性的寫作是為了讓學生回顧數學概念，組織已學過的數學知識，發現學 到什麼？什麼是重要的？請學生解釋或說明的活動(Miller, 1992)。例如為什麼除 法運算的除數不能是 0?為什麼分數的分母不能為 0? A 不等於 0 時，為什麼規定 A0（A 的 0 次方）等於 1?或者也可以請學生用文字或者圖形來說明解題策略、 想法和作法。以下呈現解釋性的佈題與學生的做法。 例 1：請小朋友估測學校操場的面積是多少公畝？

學生寫作內容分析：他先將操場分為長方形和圓形二部分，長方形長度的計 算是借用學校排隊時使用的綠色點記號，每個間隔是 1 公尺，共有 52 公尺。寬 是以一個腳步的長度（24 公分）來測量，共計 150 步，大約是 36 公尺。再以長 乘以寬得到長方形面積。接著，再以寬的一半作為圓形的半徑（18 公尺），算出 圓形的面積。將二個部分的面積相加，並將單位換算就得到答案了。 例 2. 有一個蛋糕它有多大？怎樣描述才合理？（引自鄔瑞香1_{的教學案例－汪} 生，83.5.24）。 汪生的作法是：先量一量基本資料長、寬、高的長度，例如長（4 公分）寬

後發現：體積是由長、寬與高組成的。 基本上，體積不應只是長×寬×高的刻版印象，體積是物體佔有空間的量， 體積的測量是堆疊活動數值化的結果。體積概念的啟蒙可用多種表徵方式加以描 述，以獲得物體佔有空間大小的經驗，最後，才是用數值化的方式表示。鄔老師 佈這一個題目的用意是：「探討學生對一個物體大小的初始想法？也想看看有多 少學童會利用課堂已學過的體積來描述。」由這位學生的寫作內容來看，確實可 以幫助老師了解學生如何描述一個物體的大小，以及是否會利用已學過的數值化 的「體積」來描述。 這樣的活動不同於紙筆評量活動，具有開放式評量的特質，它是沒有標準答 案的，不同程度的學生會有不同層次的回答，教師可以根據評量的結果了解學童 的認知層次，也可以判斷學生對課堂的了解與應用能力。另一方面，藉由數學寫 作單的習作，學生也可以將心中解題的想法和作法，透過文字和圖形描述出來， 如此不僅讓老師瞭解學生的算式過程，也能更進一步掌握學生解題的邏輯和所應 用的數學知識是否正確。 (二)偵錯式寫作（probing writing） 這一類寫作活動的目的在增進學生判斷答案合理性的能力，並從解題結果檢 視解題正確或錯誤的過程。學生由錯誤的解題結果，討論寫出正誤的理由，並校 正錯誤或提出另外的解法。偵錯式寫作的形式通常是給一個有錯誤解答的題目， 請學生察覺題目的錯誤，加以偵錯並將理由寫出。 例 1： 這個題目學生可能常犯的錯誤是往往按照題目中數字出現的順序，500、2

與 20 加以運算：500÷2＝250，250－20＝230。要能成功解題，學生必須從題目 中察覺出問題的關鍵，從中找出各數字的關聯性，之後才可以正確的將算式列 出。從此學生的寫作內容可以看出他先從 500 中扣掉剩餘的錢，以求出花掉的 錢，再除以 2 來求出「單價」。也就是說，他已能注意到題目中錯誤的癥結，因 此他能夠重新省視題目，先算出剩下的錢再求出單價而成功解題。 例 2：請見下述的麻辣問題 提供這個題目的用意是：部分學生在做小數加減計算時，出現了「小數整數 化」的問題。整數的位值是由個位開始逐漸向左進位，所以整數加減法的計算必 須從最右邊的數字對齊，如此個位才會對個位，十位對十位。但是小數的加減法 計算必須是將小數點對齊，它的位值才正確。為了要讓學生釐清這個概念，避免

應該是 0.226 才是。最後，他再以定位板與來證明原來題目錯誤的地方（0.23 比 0.1 還小了），認為小數點是應該點在個位後面的。

由以上的實例可以看出，偵錯式寫作能提供學生判斷答案是否合理的機會， 學生從檢視解題正確或錯誤的過程中，能釐清他的數學概念，也由寫出正誤的理 由和校正錯誤或提出另外的解法中，進一步擴展了他的數學知識與能力。

(三) 編擬文字題寫作（generating story problems）

當老師認為課本中的數學式子抽象而不具體，教學目標卻要求學生精熟，唯 恐學生只知其然卻不知所以然，這時老師可以要求學生編擬文字題，然後根據學 生自行擬定的數學題目，進行解題討論、練習與校正。此種活動可以增進學生主 動構思數學問題的能力，和理解數學符號所代表的意義。 編擬文字題寫作的應用： 例 1： 這一個寫作活動是希望學生能瞭解「□」代表的是未知數，及其在與其他數 學符號結合時，也能合理與正確的求出未知數。在此透過擬文字題的方式來檢驗 學生是否理解「□－6＝6」和「□×5＋10＝50」這二個算式中□所代表的意義。由 上述學生的解題，吾人可以知道，學生能理解□就是代表未知數（弟弟的錢），且 能合理的賦予這二個算式意義。 例 2：請學生以 2 3 4 ÷（ 1 6 ×1 1 2 ）這個計算式子寫出一個文字題。

期待學生正確的將 2 3 4 ÷（ 1 6 ×1 1 2 ）這個分數算式編擬文字題，是相當具 有挑戰性的。除了因為分數所代表的意思較為抽象難以理解之外，還必須能將這 個算式分成二個部分： 1 6 ×1 1 2 ，和 2 3 4 除以（ 1 6 ×1 1 2 ），而且能將這二個部 分合理的連結。由學生的寫作內容來看，他確實掌握到這個算式的意義：先看算 式的整體－2 3 4 是（ 1 6 ×1 1 2 ）的幾倍？（即甲是乙的幾倍？）再解決（ 1 6 ×1 1 2 ） 的問題（即乙是丙的 1 1 2 倍）。他認為整個式子就是甲是乙的幾倍問題，甲有 2 3 4 元，丙有 1 6 元，而乙就是 1 6 元×1 1 2 。雖然 1 6 元在現實世界中不存在，但此生 已將計算式子對應到數學問題上了，對於算式所代表的意義已能完全掌握，相信 他編擬的文字題，是其他學生認識 2 3 4 ÷（ 1 6 ×1 1 2 ）這個算式很好的素材。 一般教學的型態通常都是老師先命題，再要求學生理解題意，然後算出答 案，而編擬文字題的寫作形式恰與此型態相反。教師可以在教學告一段落後，讓 學生進行編擬文字題的寫作活動，此種活動可以檢驗學生對於數學符號意義理解

織，進而反思並抽象出數學概念。教學者在完成單元教學或數學活動，例如調查 （investigations）、實測（measurements）、或造形（make shapes）等活動後，請 學生寫下他們的發現、省思、或結語，將有助於數學概念的產生或後設認知能力 的發展（劉祥通和周立勳，1997）。 例 1：老師在「角柱與角椎」單元結束後，請學生寫下此單元的學習心得。 學生在寫作簿上寫下關於此單元的學習心得，藉由寫下角柱與角錐的相同與 不同點，呈現出他在此單元所學的成果，從他的心得上可以看出，他已經能夠將 此單元角柱與角錐的特性加以統整，因此，才能以「角柱與角椎的異同」作為學 習心得的題目。 例2：根據指定的圓，如何複製同樣大小的圓？（引自鄔瑞香的教學案例－牟生， 81.11.25） 解題：我把圓摺成 然後打開找出圓心，再找出半徑，量看看幾公分。再拿出 圓規，如果是 4 公分的話，一樣就在圓規上量出 4 公分，在紙上畫出來就 好了(牟生，81.11.25)。 牟生的作法是依照銅板外圍所畫出來圖形的圓心，再將圓紙對摺兩次，兩 個線條的交點就是圓心，從牟生上述寫作活動他先找出圓心，再找出半徑，然後

拿出圓規以此長度（4 公分）畫出相同大小的圓，顯示他已發現了「圓心」與「半 徑」的關係，也知道如何複製相同的圓。 如果教師教「圓的單元」時只是藉著黑板上所畫的圖形來介紹圓心、圓周、 直徑與半徑，這樣的教學當然是不夠具體的。鄔老師佈這一個題目的是在「圓」 單元的教學告一段落後，希望學生懂得應用圓的概念，使教學活動更具體一些。 也藉此提供學生統整圓的基本概念和總結學習成果的機會，進而作為診斷與評量 之用。

參、結語

由前述所提供的實例來看，四種寫作活動類型各有不同的功能：「解釋性寫 作」活動可以提供老師掌握學生數學概念的理解與否，甚至會發現意想不到的迷 思概念。其次，這些迷思概念又可以作為設計「偵錯式寫作」的素材，老師將學 生常見的錯誤解法列出，要求學生找「哪兒錯？」，並回答「為什麼？」，以避免 學生又犯相同的錯誤，也給學生「除錯」的機會。再者，對學生來說，有些計算 式子太繁雜可能不易聯想到用在什麼「問題情境」，此時「編擬文字題寫作」可 以幫助學生將「計算式子」與「問題情境」做連結。此外，在教學活動或單元活 動結束後，為了促進學生作反省性的思考以獲得數學概念，老師可以要求學生作 「總結式寫作」活動，以驗收活動後的成果。 以數學寫作作為學習數學的機制，在「數學當作溝通（NCTM, 1989; 2000）」 的呼籲聲中益顯重要。數學寫作活動的目的是要讓學生學得更紮實與獲得更豐富 的知識，也是要讓老師更能掌握學生的數學學習。因此教師在數學的教學實踐也 應隨之調整－強調「數學的寫作」，以超越過去僅限於靜態單板的數學解題方式。 過去數學教育界一向強調「多做」數學題目，若數學寫作活動獲得重視與推 廣，學生的數學學習會轉而「多省思」數學題目，如此更能透過數學的教學來提 升學生的思考層次，與溝通表達的能力。

老師的數學佈題。教育研究資訊，8(4),頁 141-166。

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