物體在夾角θ的兩平面鏡之間會成幾個像？

物體在任意夾角 e 的兩平面鏡之間

會成幾個像?

邱博文

壹、前言 高中物理幾何光學的一個典型考題: I (大學人 學考試中心 92 年預試試題卷一)圖 l 中甲乙兩面巨型 鏡子，以夾角 60 。方式擺置，一觀察者站立於 A 點， 而 OA 直線與乙鏡的夾角為 45° 。試問觀察者可自鏡 中看到幾個自己的像?

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

J 在高中階段，計算成像數是考試的基本題。但 是此題的角度 60° ，算是個特別角，因為 60 可以整 除 360 。如果遇到不能整除 360 的角度呢?我們要 逐步來解決這個問題。 申a 圖 l

z

.

貳、計算成像數的基本公式(兩平面鏡夾角 e 可整除 360 。時)

如何計算成像數呢?可以利用畫圖或討論的方式，土法煉鋼窮舉出所有的成像。但 是遇到 30 。、 150 、 ...等成像數很多的小角度就會很辛苦。所以一般高中物理老師會介紹 下列的計算公式:

360

0

1

:先算 n=-r 2: 再修正 @若 n 為奇數且物體不在分角線上，則成像數 N=n @若 n 為奇數且物體在分角線上，則成像數 N=n 一 l @若 n 為偶數，則成像數 N=n-l

360

以上面大考中心的試題來說，兩平面鏡夾角為60° ，成像數為一一一1 =5 。

6。

這個公式的)意義」其實不難解釋，以 90 。為例: 360°/90°=4 代表一個圓周 360°

,

一'是減去第一棚中的原物體(自己是「物 J' 不是「像 J )。但是如果于是奇數且

物體不在角平分線上，會額外多一個像，各位可以實際做圖驗證。在高中物理的教學過 程，我會讓學生實際作圖， ，-體驗」這個公式。

一次反射

食.""

*

二次反射

會 一次反射 國 2.1 國 2.2 成像數的另一個意義是光線在兩平面鏡之間會產生幾次反射?如圖 2.1 '成 3 個像， 兩個一次反射的像，一個二次反射的像，表示光線最多只能有 2 次反射。因此計算出成 像數，也就可以回答光線在兩平面鏡之間最多會有幾次反射。

參、兩平面鏡夾角 e 不能整除 360 。時，目前無公式可循

1 我們可以實際檢驗， 360 的因數代人上述公式都 正確。但是，如果改成兩平面夾角 70 。、 80 。、 13°

.

等等不能整除 360 的角度，到底會成幾個像呢?有 360。 的老師會告訴學生，對一一取高斯函數，即改成 n= θ 360。 [一百一]。但是如果讀者細心檢查過這個計算結果後， 就會發現結果並不全然正確。 如圖 3 '。是兩平面鏡 M

₁

、 M

₂

的夾角， _{α 是物} 體與 _{x 軸平面鏡的夾角。下表} 1 '摘錄 7 一部份電腦 模擬(實際成像數)與取高斯函數算法不合之數據。細 心的讀者會發現，兩者會相差 l 或 2 呢?而不會其 他可能性，其原因與圖 11 有關。請讀者先耐心等待。 3

-•

國 3 ~

M

,

科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 表 1 :摘錄部份不合的數據

。

α 實際成像數 取高斯函數

_。

實際成像數 取高斯函數 的算法 α 的算法

7.0

3.5

52

50

1

‘1.

0

0.5

33

31

16.0

3.5

23

21

16.0

4.0

22

21

48.0

23.5

8

7

48.0

24.0

8

6

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Walker 的「物理(飛行)馬戲團(The

Fl

ying Circus of Physics)

j 中也有這個經典 問題: I 若在服飾店的穿衣間前有兩面鏡子..，'你會看到鏡子裡有多少個自己?...如果你 在腳旁放件行李，行李的影像數和你一樣嗎?j ，此問題的「答案 j ， 1975 年的第一版書

上說: I 目前並無公式可循，成像數眼平面鏡夾角有關，也跟物體的位置有關 j (原文:

5.15 There is no one equation giving the number of images possible of the angle between the

mirrors and the angular location of the object with respect to the mirrors.)

0 2007 年的第二

版中，亦無提及找到成像數的公式。 我在 2008 年 2 月參觀香港科學博物館，剛好也有平面鏡特展，展場上寫成像數為

于一 l 無任何限制 也無奇偶數與物體位置的討論。顯見大多數人對於這個看似簡單

的光學問題，並沒有深入而正確的了解。 我花了幾年的時間，想到一個新的方法可以快速而簡單的計算出任意夾角的成像數。 討論的過程雖然有點繁瑣，但是最後結果算是相當簡單。

肆、平面鏡的成像原理與計算規則

但是我們怎麼知道最後的結果與公式是對的呢?首先，我們定義好成像數的計算規 則，再由電腦「窮舉」出所有的成像。 在我們正式討論前，要先把成像的「遊戲規則」講清楚，避免因為「像」的定義不 同，而對成像數有不同的看法。按照一般高中物理課本對於平面鏡成像的敘述: 。只要『物』或『像』在平面鏡『之前J)'就會成像，所謂『之前』是包括鏡面的延 長線(面) If'之前J) ，但『之前』並不包括該延長線。 @上述規則是遞迴定義，一直畫到所成的像落於在鏡後，則停止作圖。

但是此規則要變成實際的演算法，還需要先清楚地定義一些細節。各位等一下可以 參考兩個實例(圖 4 及圖 5) 的討論。電腦程式的演算法如下: 假設兩平面鏡夾角。，物體放在 α 度處(參考圖 4)

,

，-禁區」【禁區是指同時位於兩 鏡的後面】在 180~180+8(等於 180 或等於 180+ 8 都算在禁區)

直回先對 M](OO)成像，再對 M

₂

(8)成像，直到落入禁區，即成像在兩鏡之後時，

停止作圖。 其順序為 :α... 一 α"'28+α... 一 (28+α) "'48+α... 一 (48+α).... 先令 angle=α

第 1 步: angle 乘以(一 I)→檢查範圍→若落於兩鏡之後，則跳到 Step

2

第 2 步: angle 乘以(一 I)再加 28→檢查範圍→若落於兩鏡之後，貝Ij跳到 Step 2 遞迴定義回第 Step

I

直至巨3 記錄最後成像的角度。

L重豆豆訂先對 M

₂

(8)成像，再對 M)(OO)成像戶 28 一們一 (28 一 α) 叫。一戶一 (48 一

α)... 先令 angle=α 第 1 步: angle 乘以(- I) 再加 28 →檢查範圍→若落於兩鏡之後，則跳到 Step

4

第 2 步 angle 乘以(一 I)→檢查範圍→若落於兩鏡之後，則跳到 Step

4

遞迴定義回第 Step

3

I

Step 4

I 記錄最後成像的角度。

口豆豆豆3 如果 Step 2 與 Step 4 的角度相同，則表示兩像重疊，即我們重複計算，故最

後的成像數減一。 我用 Mathematica 4.0 版撰寫程式(當然讀者也可以利用不同的程式語吉撰寫程式)

,

利用上述演算法計算成像數，詳細程式列在附錄一。下文中，即以此程式模擬的結果， 做為實際的成像數。 回頭以 360 的因數代人原公式檢驗，模擬結果也與公式一致。等於用窮舉證法間接證 明了原來的公式用於 360 的因數無誤 O 為了先讓大家更了解上述的流程，這當然也間接影響到任意角度的討論，所以我先 舉一個實際例子讓大家了解: 由 5

-科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 範例(一) :夾角 180~180+60=240 。 =600 _{，物體在 α=20。處(以下。度的符號多半省略) ，禁區在}

直至四第 1 個像叫le=- 20 [- 20+360=340， 340 末在 180~240 之間]

第 2 個像 ang1e=20+卸的=140 [未在 180~240 之間] 第 3 個像 ang1e=-140 [-140+360=220，在 180~240 之間，故成像停止]

直至囝記錄最後一個角度三220

直囝第 1 個像 ang1e=-

20+2x60=100

[末在 180~240 之間] 第 2 個像 angle=一 100

[

-100+360=260 末在 180~240 之間] 第 3 個像 angle=

I

00+2x60二220 [在 180~240 之間，故成像停止

直至四記錄最後一個角度二 220 。

直ill Step2 與 St俐的角度相同，表示成像重複，則最後成像數 =6- 1=5

100 :

Stepp 的 1st 像

會:戶。。

140 : Step

I 的 2nd 像食，

100

~ Step3 的 2nd 像 。。 圖 4: 平面鏡失角 60 度成像圖，箭號代表成像順序

但是如果夾角。不整除 360 呢?我再舉一個不整除的例子，來看一般性的結果。 範例(二) :夾角。 =70 度，物體在 α=20 度處，禁區在 180~180+70=250

直至四第 1 個像 angle=- 20 [- 20+360=340， 340 末在 180~240 之間]

第 2 個像 angle=20+2x_{60=140 [末在 180~240 之間]} 第 3 個像 angle=

-140 [-

140+360=220，在 180~240 之間，故成像停止]

墮囝記錄最後一個角度三 220

直tep

3

I 第 1 個像 angle=- 20叫 0=120

[末在 180-250 之間]

第 2 個像 angle=~

120 [-120+360 =240

[在 180~250 之間，故成像停止]

區回記錄最後一個角度 =240

直ill Step2 與 St俐的角度不同，表示成像未重複，則最後成像數=5-0 三 5

70°

140 。

。。

280 。 圖 5 :平面鏡夾角 70 度成像圖 從上述討論我們就會發現，為何目前還沒有人可以利用公式計算出任意夾角的成像 數呢?關鍵在於成像位置類似一個振盪數列，在正負之間擺盪，而且還要檢驗正負角度 是不是同一個角度，避免多算一個，不是取高斯函數的方式就能簡單解決。

伍、觀念頓悟一轉換成兩平行平面鏡之間的成像

因為筆者擔任高中物理的教學工作，每年都會重新「複習」這個問題 O 有一次，突

7

-科學教育月刊 第 335 期 中攀民國九十九年十二月 然「頓悟」出這個問題與兩平行平面鏡之間成無窮多個像(如下圖 6.1 及 6.2) 的相似性。 國 6.1 :物種放於兩平行平面銳問 國 6.2 :物健在兩平行平面鏡之間成無窮多像 也類似高中物理課本中提到德布羅依 (Louis

de

Broglie)利用物質波解釋波耳氫原子 模型穩定態。如下圖，把直線駐波，頭尾對接繞成圓形。

【分解動作】:

一 -‘、、~

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國 7 :直線駐波變形成圓形駐波 我嘗試的解題方式是等於把德布羅依的步驟顛倒過來，把夾角。的兩平面鏡的成像 展開， ，-轉換」成兩平行平面鏡的成像，如圖8 。

•

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扎1₂ 國 8 :原圖轉換成兩平行平面鏡的成像 但是物體在兩平行平面鏡成無窮多個像，但是夾角 θ 的平面鏡只成有限個數。兩個 問題也許相似，但是並不相同。如何求得真正的成像數呢?中間還有一些問題要克服。

陵、解決任意夾角成像數的計算方式與原理

把圖 5 '夾角 70 度兩平面鏡的成像圖，展開成兩平行平面鏡之成像(以下簡稱為直 線展開圖) ，如下圖。禁區以粗框加網底表示。 一 180

210

140

70

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一 70 一 140

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250

圖 9.1 :平面鏡夾角 70 度成像直線展開圖

直線展開圖中第一列表示原物體，第二列代表一次反射的像，第三列代表二次反

9

-射的像，以此類推。箭號指出成像順序。

科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 但是物體在兩平行平面鏡成無窮多個像，但是夾角 70 的平面鏡只成有限個數。如何 求得真正的成像數呢? 我的想法的第二步是從 0~70 度中間的 35 度線，像折紙一樣對折翻到右邊，讓左右 兩禁區重疊，即讓 250 度線與 180 度線重合。如下之示意圖: 35 度對折線 250 度線 180 度線 圖 9.2 :對折示意圖 星形上方以對折後其所在的負向位置的角度來標示，下方則標示對折前的角度 o 對 折到右邊的圖形並以圓框圈出，表示來自於左方，原位置以虛線標出，以便對照。如下 圖:

250

35 度對折線

180

210

140

70

O

70

一 140 一-210

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。 對折

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題 O 重 原 26 對折後 140 與 70 重合 對折後 210 與 140 重合 對折後 250 與 180 重台 圖 9.3 :平面鏡夾角 70 度成像直線展開國 2

我們把一次反射、二次反射、...排成同一列，如圖 9 .4 '就會發現一個規律性，就是 每個 'e 空間」【其意義如下圖 9 .4 '類似兩平行平面鏡的成像，但現有是以角度當作兩 平面鏡的距離，平面鏡或其{象與平面鏡或其像所切割成的空間稱為 'e 空間 I] ，都有兩 個像，且每個 0 空間內的像，左右對稱。

250

180

210

140

70

O

2。一口。品?l60

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啥 i 為 I 為 I按:玲:當 l街

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入

。空間 圖 9 .4 :平面鏡夾角 70 度成像直線展開圖 3 所以原來求成像數的問題，已經被轉換成上圖:從 O~- 180 度的空間中有幾個像?

首先，我們先算 l 何可以分割成幾個完整的呵空間呢?有峙刊。每一個

。空間有兩個像，故完整。空間的部份，共有 4 個像。 關鍵在於最後一個被禁區切割成不完整的。空間，有幾個像落在一 180 度的線的左邊? 一 180

140

I

-210

圖 10: 平面鏡夾角 70 度的最末 θ 空間圖 如上圖，恰有一個位於 180 度線的左側，故總共成4+1=5 個像。 11

-中華民國九十九年十二月 第 335 期 科學教育月刊 更廣義來看，這兩個像與 -180 度線之間的關條「乍看之下 J (如果沒有考慮重疊或 恰落於線上)有下列 3 種可能性，如下圖 11 :即一 l 制度線在兩個像的左邊、中間、右邊，

180

等於成{象數是完整的。空間算完後，再依這三種情況分別 +0 、 +1 、 +2 (圖中戶 :[-z]θ) 。 這就是原先公式，直接取高斯函數的計算與實際成像數有時相同，但有時會相差 l 或 2 的原因。所以，要正確求得成像數，不能只取高斯函數，最後必須討論是三種情況的哪 一種。

180

~-8 op 一一 180

一戶 。

一戶 。

一一 180

戶

圖 11 :最末空間可能展開圖 但是如果再細究，如果成像剛好在一l 制度線上，要算嗎?如下圖當我們把沿著0-70 度中間的 35 度線像折紙一樣對折翻到右邊時，左右兩邊的禁區會重疊(180 度與 250 度 重疊) ，如下圖。所以 180 度線正好是兩鏡的延長線。按照成像規則@如果是成像正好 在平面鏡的延長線上，視為在鏡後(成像在鏡後，停止作圖)。故恰好在 180 度線上，等

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70 。 -I-於落在鏡面的延長線上，不算。 180 。

我們可以檢驗夾角。=70 度，物體在 α=30 度處的例子。 250 度的像，恰好於落在鏡 面的延長線上，不算，如下圖 13.1

:

210

140

70

O

一 70 一 140 一 210 圖 13 .1 :平面鏡夾角 70 度成像直線展開圖 35 度對折線

210

140

70

O

一 70 一 140 一 210 圖 13.2 :平面鏡夾角 70 度成像直線展開圖 2 那有沒可能，兩個像重疊呢?有的，如圖 14.1 '但因為每個 0 空間內是對稱的，如 果兩個像重疊，就是物體放在角平分線上。但即使是重疊，成像數還是要分開算，因為 原先是來自不同的空間 O 我們沿中間對折是計算出成像數的手段，其實改變了實際成像 的位置，部份禁區成像的問題留待第仁節來解決。 那有沒有可能，兩個像重疊，又剛好位在一 180 度線上呢?要產生這種結果，必須 θ180 同時滿足兩個條件，一是物體放在角平分線上，二是 180=戶十一→ 180=r:-]θ+ 一→ 360=2 2θ

180_ _

~

_ __

.__180

[一一]θ+8 → 360= (2[一一]

+

1)θ ，即 360-:-8=奇數。 θ 13

-科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 我們可以檢驗夾角。 =72 度，物體在 α=36 度處的例子， 252 及 1 制度的像，恰好 於落在鏡面的延長線上，不算，如下圖 14.1

:

216

144

72

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一 72 于 144 ~216

252

180

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180

108

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可 圖 14.1 :平面鏡夾角 72 度成像直線展開圖 36 度對折線

252

216

144

72

對折;是 72

O

-72

一 144 一 216 圖 14.2 :平面鏡夾角 72 度成像直線展開圖 2 所以結論是，位於 180 度線上的像，等於落在鏡面的延長線上，不算，即使兩個 都位於 180 度線上亦同。

梁、鏡面夾角未能整除360 度之計算方式

所以，目前我們可以有一個簡單的討論方法，來判斷。不轄除360 的情況:

(1)先算 N=[于]x2

叫再算刊04]θ

(3) 判斷 α 及。一 α 是否< d(等於 d 時，等於落在鏡面的延長線上，不算):只有一數 <d ，成像數 N 加 1 ;若兩數皆 <d ，則 N 加 2; 若兩數皆孟d ，則成像數即為 N( 即

範例(三) :夾角。 =70 '物體在 α=20 盧

180

(1)

N=[一一]x2

= 4

70

180

(2) d=180 -

[一一]70

= 180-140 = 40

70

(3)α=20 及。 -a=呵，只有一數 <40 '故最後成像數 =4+1=5 講的更簡單一點， 範例(三)

:

8=70

'物體在 α=20 或 8-a=呵，其實是對稱的 O 180770=2( 商)...40( 餘數) ，只有 α=20<40(餘數) ，故成像數 =2x2( 商 )+1=5 再舉一例， 範例(四)

:

8=70

'物體在 α=33 或 0 一 α=37 '其實是對稿的。 180770=2( 商).. .40(餘數)

,

33 及 37<40(餘數) ，故成像數 =2x2( 商 )+2=6 。 正如 Walker 所說「成像數跟平面鏡夾角有關，也跟物體的位置有關」。如上述之實 例，如果只問夾角 70 度的平面鏡會成幾個像?答案應該回答「跟物體的位置有關， 5 或 6 個像」。

捌‘鏡面夾角整除 360 度之處理方式

但是如果以整除 360 度的角度代人驗算，例如: 30 。 、 60 。 、 90° 、，發現上面的 計算方式會比實際多一個。為何產生此結果呢?我們先回頭看看第一個例子: 範例(一) :夾角。 =600 _{，物體在 α=20。處(以下。度的符號多半省略) ，禁區在} 180~180+60=240

直E

E亟囝記錄最後一個角度三 220

墮回

3豆巨3 記錄最後一個角度三 220 。

區區p

SJ

Step2 與 St俐的角度相同，表示成像重複，則最後成像數

=6-1=5

問題就出在最後 StepS 的『重複』。

15

-科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 30 度對折線

240

180

120

60

O

一 60

--120

--180

irT'lH'l~{! ilTrj~rllrldTI

i

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I 告詞:::;::i:;ji

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60

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;;;;1臨社輯(舉緝誰輯斜i封扯叫叫叫叫

j￡吐址司址:111Lt||1Lt‘

圖 1501 :平面鏡夾角 60 度成像直線展開圖 l 30 度對折線

180

120

60

O

- 60

--120

--180

圖 15 .2 :平面鏡夾角 60 度成像直線展開圖 2 我們從中間對折，是為了方便計算成像數，但其實改變了成像的位置。其實圖中左 邊的禁區跟右邊的禁區，是同一個，而不是不同的兩個。 左邊禁區的左邊界 240=右邊禁區的左邊界一120(

-120+360=240)

，左邊禁區的右邊 界 180=右邊禁區的右邊界一180( ← 180+360=180) 。

240

一 120

:我Hi::::::::::::::):]

_..按...法

我們原來的作法是從中間對折，將禁區合併，禁區內看似左右對稱，其實實際上卻 是左右顛倒了，位置重疊，導致公式會多算一個。

一卅一心

…婆一髒

j禱:按

t 對:背後; 圖 15 .4 :平面鏡夾角 60 度成像對折圖 其他的。空間則沒有這個問題，以圖 15.2 為例，對折後 60~120 與 0~-60 雖然畫在 一起，但本質上是兩個不同的空間。只有禁區 180~240 與一 120~ 一 180 (加 360 後變為 240~ 180) 畫在一起，也是同一空間。因此只須要考慮禁區即可。 因此，成像如果在禁區內對稱，就代表成像重複，成像數必須減一。又因為每一個 。的空間的圖像是對稱的 O 因此，要出現成像在禁區內對稱，只有在禁區與 0 空間「同

180

時」重合才會發生(戶口[一一 ]θ=180) ，即 0 一定要整除 180 '才會發生這種狀況，不整除 θ 不會發生這種狀況。如下圖 16 。至於此空間內的兩個像，位置重不重疊並不重要(重疊 其實表示物體原來放在角平分線上) ，只要成像在禁區內對稱，即 0 整除 180 時，成像數 就必須減- 0 日 υ ﹒

..

溜:;三東;;

慨::::::1:::)三訝: -p+θ 國 16 :θ 整除 180 度示意圖

玖、最後的通式

所以，我們可以做一個結論，判斷成像數的通則，必須分成兩類: 17

-科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月 兩平面鏡夾角為 e '物體距其中一平面鏡角度為 α 時，成像數為:

36。

一

1.如果。整除 180 '成像數 N= 一一

1

(不官物體位於何處，不用討論奇偶數) θ

2

如果。不整除 180

(1) 先算 N=[于]x

2

180

(2) 計算 d=180- ['~一]θ

(3)

判斷 α 及。 α 是否 <de等於 d 時，不算在內) :只有一數<d' 成像數 N 加 1 ;若兩數 皆 <d' 則 N 加 2; 若兩數皆這d' 則成像數即為N 。若 α 與 0 α 相等，仍應視為兩個 數。

上述的演算法，任意角度都可以簡易的計算出成像數。其實現在回頭想想道理也很

1

簡單:半圓周 180 度中每切割出一個完整的。空間，就有一個像，兩個平面鏡兩邊都要 算，故乘以 2 。但是最後不完整的部份，即。不整除180 時，就是要判斷成像是否超過 禁區，在邊界內就算，超過禁區的邊界或在邊界上就不算。 但是我想挑戰另一個的任務，達成Walker 的心願，就是把上述結果寫成單一計算公 式(不過此公式很複雜)，而不是用討論的方式。要把上述的想法，變成數學式，需要2 個高斯函數運算技巧的幫助。

a - b

,2 ..-Ie•

a-b

(1)若 a<b ' 則[一一f 斗，右 G 泊，則[一一f=O

a+b'

- - La+b

I I X I I

(2)

I 宇|若 x 目的倍妒，若非2 的倍數=0

I 2

I

所以成像總數的公式 初步形式為 N=寸斗2泣[哼乎

再搭配高斯函數的計算，考慮上述的兩個修正項

180

(1)若 α<

180 -

[五一]θ ，公式加 l

180

(2) 若 θ 一 α< 180 一 [7一阱，公式再加 l

所以成像總數的公式，修正為

180

, ~， ,~ __~ ~

.180

180α 一(1 80 一['~~ ]θ) 勻

(θα) 一(1 80 一[三「]θ) 勻

N=2r~-]+[ 1~A

t+[

1~A

t

fJ ~L._. .180.~， ~L.~._.

.180

V α+ (1 80 一[云 ]θ) (θ 一的+(1 80 一[云 ]θ) 再修正 0 整除 180 的情況，即 0 整除 180 時，成像數減一(轉換成 :360+8 是偶數時， 成像數減一)

:

所以成像總數的公式，再修正形式為

I I

360/θI

I

lQf\

a-(附[些lθ)

(θ一α)-(即[些]的 II jb~/ l1

II

H 2 I I "- I I N=2[弋二]

+ [

1 平

t

+[

1 二 ]一 I"=-勻云jAJ| V α+ (1 80 一 [7]θ) 昕一 α) +(1 80 一 [7l的

|

二三二

|

如果以上述演算法的符號，公式簡寫為

(θ 一 α)

-

d

,

2

I

[180

/θ]

I

N=2[7]+[曰t +[在前t

-I

\80/

(}J

I

附錄二列出此公式在 Mathematica 中的寫法。我以近乎「窮舉證法」的方式，每隔 0.1 度，從 0~360 度，驗證附錄一與附錄二的公式，兩者解題的概念不同，但結果吻合。 解決了從高中時代到現在當物理老師多年來的疑惑，任意角度都可以計算 O 也訐 Walker 的新書，關於此問題可以改成「目前已有公式可循」。或許如愛因思坦所說的，-並不是

我很聰明，而只是我和問題相處得比較久一點。(

It

's not that

I'

m so smart

,

it's just that I

staly with problems longe

r.)

J

參考資料

;天克 (2000) ，物理馬戲團(葉偉文譯)。台北市:天下文忱。(原著出版於 1977)

Jea

r!

Walker

(1

975)

,

The

Fl

ying Circus of Physics With Answers John Wiley and Sons.

Jea

r!

Walker(2007)

,

The

F妙的g

Circus of Physics 2

nd

ed. John Wiley and Sons.

附錄一

(theta = 72;

alpha = 36;

check = 0; tes

t!

= 0; test2 = 0;

n

=

0;

angle = alpha;

Label[step 1];

angle = (-l)*angle;

If[angle

<

0

,

check = angle + 360

,

check = angle];

-科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九年十二月

Print[angle

, " ",

check];

If

[(check >= 180)

&&

(check <= 180

+

theta)

,

testl = check; n = n

+

I;

Goto[step2]

,

n

=

n

+

I];

angle

=

(-1)* angle

+

2 *theta;

If

[angle

<

0

,

check

=

angle

+

360

,

check

=

angle];

Print[angle

, " ",

check];

If

[(check >= 180)

&&

(check <= 180

+

theta)

,

testl = check; n = n

+

I;

Goto[step2

],

n

=

n

+

I];

Goto[stepl];

Label[step2];

angle

=

alpha;

Label[step3];

angle

=

(-l)

*angle

+

2*theta;

If[angle

<

0

,

check

=

angle

+

360

,

check

=

angle];

Print[angle

, " ",

check];

If

[(check >= 180)

&&

(check <= 180

+

theta)

,

test2 = check; n = n

+

I;

Goto[step4

],

n

=

n

+

I]; angle

=

(-I)*angle;

If

[angle

<

0

,

check = angle

+

360

,

check = angle];

Print[angle

, " ",

check];

If[(

check >= 180)

&&

(check <= 180

+

theta)

,

test2 = check; n = n

+

I;

Goto[step4

],

n

=

n

+

I];

Goto[step3];

Label[step4];

If

[testl == test2

,

n = n - I];

Print[n];)

附錄二

Mathematica 中，高斯函數為 Floor[n]

flangle_

,

alpha_I.

180

Floor[ 三局IEl*2+

(al削- (1的 aFlmlzEEl 叫祉e) 可

F l o o r l - . . . - - 1 " 2 +

l

(alpha) + (180

-Fl叫起計，叫﹒)

J

(叫le-al向)ω1180 -Flo位[ a~.

J•

anglej

Floorl

- ~ 宙 ， 1"2

-且(叫1壘，已向+

(180

-Fl叫起;J ﹒叫什』

Floor[

-;革:J

F l o o r l - -

..,.

- l

且 一旦旦 J 2aJl4Jl"