編輯曲線 混沌、複雜、隨機中的秩序

數　理　人　文 1 將動力系統運用到低維拓樸而獲獎。巴西純粹與應用數 學研究院（IMPA）更因為動力系統研究獨步全球，成 為第三世界國家數學研究成就的典範。 ＊ 　 ＊ 　 ＊ 國立臺灣大學科學教育發展中心（_{CASE）自臺大化} 學系陳竹亭教授擘建以來，推動科學教育不遺餘力。尤 其每年兩期的探索系列講座，範圍跨越數學、物理科 學、生命科學、地球科學、應用科學，是_{CASE 的重} 要推廣活動。本期感謝現任中心主任臺大物理系高涌泉 教授協助，將_{2016 年第 15 期探索講座《秩序與複雜的} 華爾滋》書面化，邀請當初的演講人將演講內容擴充改 寫，成為本次的專題。由於文章篇幅較長，分成上下期 刊出。本期偏重這個主題的數學面，下期將再刊出應用 面的文章。 專題第一篇陳國璋的〈從天體力學到混沌理論的形 成〉帶我們回到混沌理論的起點，也就是龐卡赫在瑞 典國王徵獎天體力學論文中出現的美麗錯誤。班榮超的 〈簡單通往複雜之路〉，談的是混沌理論的現代起源， 探討簡單機制如何產生複雜模式，並以_{R. May 的成長} 模型與分歧圖，探討各種混沌的定義。莊重的〈螢火蟲 的數學習題〉探討在龐大的紊亂系統中，為何會出現同 步的秩序，引介了同步現象的歷史和數學理論。楊穎任 為陳志強執筆的〈心臟與大腦中的秩序與混沌〉，則從 另一角度探討混沌中的秩序，介紹龐大非線性神經元系 統中，出現的冪次律與自相似性。 本刊特譯史梅爾知名的〈在里約海灘發現馬蹄鐵〉， 補足混沌再生故事中的另一拼圖。這篇文章完成於混沌 熱正喧囂的_{1988 年，不但回顧了混沌理論的曲折歷史，} 也兼及_{1960 年代美國政治社會的衝突。} 另外，本期的 Quanta 選文〈統一隨機性的定理〉， 介紹了最近隨機理論的重大發展，正好配合本期複雜與 秩序的母題，讓讀者一窺隨機幾何學發展的進度。（編輯室） 1980 年代以來，有一個新科學面向逐漸成熟，不但贏 得媒體熱切關注，也逐漸在理論與應用取得重要成就。 這個面向不妨統稱為複雜科學，涉及到概念可謂五花八 門：「碎形」、「耗散結構」、「混沌」、「奇異吸引子」、 「非線性」、「複雜」、「演化」、「突現」、「相變」、 「資訊」、「隨機」、「演算法」、「網絡」、「冪次率」、 「自組織」、「自相似性」、「普適性」等等。說這個 潮流與物理學尖端概念、達爾文演化論，打造上一輪的 科普盛世，一點也不為過。 簡而言之，複雜科學處理數量龐大、看似混亂的互動 系統中，如何與為何出現驚人的結構（秩序）與彈性（演 化）。科學家感興趣的複雜系統至少有生態系、人類社 會、生物體、大腦四種，每個方向都有快速的發展。 這個從邊緣逐漸邁向主流的新典範（_{Brockman 所謂} 的「第三種文化」），充滿許多曲折的成長史。以混沌 為例，就歷經幾次「再生」。_{1980 年代，混沌橫掃科} 學文化界。_{Gleick 的《混沌》讓人注意到源自天體力學} 的動力系統理論，但只有很少人知道龐卡赫早在百年 之前，即已掌握混沌的關鍵特徵：同宿與遍歷。這個 研究傳統曾在美國茁壯，卻在史梅爾（S. Smale）所處 的_{1950 年代完全沉寂。即使史梅爾「重新」發現混沌} 樞紐的馬蹄鐵詮釋，動力系統仍然是數學的小學門。數 學系的微分方程課忽略這方面的材料，許多人完全不知 初始條件的敏感依賴性，以為是計算發生錯誤。以致於 李天岩和_{J. Yorke 在 1973 年，因緣際會從氣象學家 E.} Lorenz 的疑問，發現「週期三蘊含混沌」，並被生物數 學家_{R. May 宣揚到全世界，才真的讓混沌火紅起來，} 帶起動力系統的能見度。當時動力系統工具已逐漸成 熟，開始影響其他數學領域。此後不但重要數學期刊開 始刊登動力系統的重要成果，而且陸續獲得費爾茲獎的 認可：1994 年的 J.-C. Yoccoz（2016 年 9 月剛過世）、 2010 年 的 E. Lindenstrauss、2014 年 的 A. Avila。 另 外 1998 年的 C. McMullen 和 2014 年 M. Mirzakhani，則是 數　理　人　文 1 編輯曲線

混沌、複雜、隨機中的秩序

「淨從穢生」的科學演繹