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3-指數與對數

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Academic year: 2021

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(1)

3- 指數與對數

【83-1】下列哪些方程式的部分圖形「不可能」出現在下圖中?(A) y ( 2 1 )x (B) y log 2 x (C) y cot x (D)5x2 4x 6y 3 0 (E) x2 y2 4x 6y 10 0 【解答】(C)(D)(E) 【詳解】 (A) y  ( 2 1 )x (B) y  log 2 x (C) y cot x (D)5x2 4x 6y  3  0 ∴ (x  5 2 )2 5 6 (y  30 19 ), 頂點( 5 2 , 30 19 ) (E) x2 y2 4x 6y  10  0 ∴ (x  2)2 (y  3)2 5, 中心( 2, 3) ∴ 應選(C)(D)(E)

(2)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 【83-2】若 x  56 . 2 3 . 88 3 ,則下列哪一個敘述是正確的?(可用查表法)(A) 2.8 < x < 2.9 (B) 2.7 < x < 2.8 (C) 2.6 < x < 2.7 (D) 2.5 < x < 2.6 (E) 2.4 < x < 2.5 【解答】(B) 【詳解】 x  56 . 2 3 . 88 3 ,取對數 log x  log 56 . 2 3 . 88 3  3 1 log 88.3  2 1 log 2.56 3 1 (1.9460)  2 1 (0.4082)  0.6487  0.2041  0.4446 由查表知 ∵ log 2.78  0.4440,log 2.79  0.4456 而 log x 0.4446,2.78 < x < 2.79 ∴ 2.7 < x < 2.8,應選(B) 【83-3】函數 y 4x與 y 23x2的圖形之交點坐標為 。 【解答】( 2, 16 1 ) 【詳解】       2 3 2 4 x x y y ∴ 4x 23x2 ∴ 2x 3 x 2 ∴ x  2 ∴ y  42  16 1 ∴ 交點( 2, 16 1 ) 【84-1】設 n 為自然數,則滿足 的 n 值中最小的為 。 【解答】22 【詳解】 10n1> 9 n  10n > 10  9 n  ( 9 10 )n > 10 兩邊取對數,得 n log 9 10 log10  n (1 2 log 3) > 1 ∵ log 3  0.4771  n (1 0.9542) > 1  n > 0458 . 0 1 21 458 382 ∵ n 為自然數 ∴ n 的最小值  22 【84-2】下面有五組函數,哪些組的兩個函數,其圖形互相對稱於 y 軸? (A) y ( 2 1 ) 3 x和 y 2 3 x (B) y 2 3 x和 y 3 2 x (C) y x 2和 y  x2 (D) y log x 和 y log ( x) (E)y cos x 和 y sin ( x

2

π

)

(3)

【詳解】 若(x,y)為某函數圖形上一點  (  x,y)在另一函數圖形上則此兩函數對稱於 y 軸 利用此性質將 x 換成 x 代入原函數,判斷是否變成另一函數 (A) y  ( 2 1 ) 3 x y  ( 2 1 )3x 2 3 x ∴ (A)是正確的 (B) y  2 3 x y  23x  32 x ∴ (B)是錯誤的 (C) y x 2  y  ( x)2 x2 x2 ∴ (C)是錯誤的 (D) y log x y  log ( x) ∴ (D)是正確的 (E) y cos x y  cos ( x) cos x,而 y sin ( x

2 π )  cos x∴ (E)是錯誤的 【85】設 a b 100。令 p  log7a.log7b,q  2 1

( log 7 a log 7 b ),r log7 ( 2

b a

),則下列

敘述何者正確?(A) q log7 ab (B) q r (C) r p q (D) p q r (E) q p r 【解答】(A)(D) 【詳解】 q  2 1 ( log 7 a  log 7 b )  2 1 log 7 ab log7 ab 又 a b  100  2 b a ab log7 ( 2 b a )  log7 ab ,即 r q 而 q  2 1

( log 7 a  log 7 b )  log7 a.log7b p ∴ p q r 【86】將 3100以科學記號表示:3100 a 10m,其中 1 a 10,m 為整數,則 a 的整數部分 為 。 【解答】5 【詳解】 log a  10m 100 log 3  100  0.4771  47.71  47  0.71 ∴ m 47,log a  0.71,log 5  log a  log 6

∴ a 的整數部分為 5 【87】下圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係 為指數函數,試問下列敘述何者為真? (A)此指數函數的底數為 2 (B)在第 5 個月時,布袋蓮的面積就會超過 30 m2 (C)布袋蓮從 4 m2蔓延到 12 m2,只需 1.5 個月 (D)設布袋蓮蔓延到 2 m2、3 m2、6 m2所需的時間分別為 t 1、t2t3,則 t1 t2 t3

(4)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 (E)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度等於在第 2 到 第 4 個月之間的蔓延平均速度。 【解答】(A)(B)(D) 【詳解】 令 y f (x) a z,f (1) a  2 ∴ 底數為 2 ∴ (A)真 f (5)  25 32 > 30 ∴ (B)真 2 個月時面積 4 m2,設 12 m2時需 x 個月        4 2 12 2 2 x …… …… ,   2x2 3 > 2 2 22 3 ∴ 由 4 m2至 12 m2所需時間超過 1.5 個月 ∴ (C)不真  2t1  2  2t2  3 2 1 2tt  6  2t3  t 1 t2 t3 ∴ (D)真 1 到 3 的平均速度  1 3 2 8   3,2 到 4 的平均速度  2 4 4 16   6 ∴ (E)不真 【註】本題中橫軸與縱軸單位長不等長,目的在於好作圖及容易看圖 【88】下列五個數中,何者為最小?(A) 23 1 (B) ( 8 1 )2 (C) 2 4 1  (D) ( 2 1 )2 1 (E) 8 3 1  【解答】(E) 【詳解】 ( 8 1 )2 (23)2 26,( 2 1 )2 1  2 2 1  ,8 3 1   21 而 f (x)  2x為增函數,又 6 > 3 1 >  4 1 >  2 1 > 1 ∴ 26 > 23 1 > 2 4 1  > 2 2 1  > 21,即 ( 8 1 )2> 23 1 > 2 4 1  > ( 2 1 )2 1 > 8 3 1  【89-1】假設世界人口自 1980 年起,50 年內每年增長率均固定。已知 1987 年世界人口達 50 億,1999 年第 60 億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測 2023 年世界人口數最接近 下列哪一個數?(A) 75 億 (B) 80 億 (C) 86 億 (D) 92 億 (E) 100 億 【解答】(C) 【詳解】 設每年人口增長率為 r 則 1999 年的人口數 60 億  50 億 (1  r)19991987 60  50 (1  r)12  (1  r)12 5 6  而 2023 年的人口數  50 (1  r)20231987 50 (1  r)36 50 ( 5 6 )3 86.4 億 86 億

(5)

【89-2】1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出 26972593

1 是一個質數。若想要列印出此 質數至少需要多少張 A4 紙?假定每張 A4 紙,可列印出 3000 個數字。在下列選項中, 選出最接近的張數。[log 10 2 0.3010](A) 50 (B) 100 (C) 200 (D) 500 (E)700

【解答】(E) 【詳解】 本題只要算出 26972593 是幾位數就可以了 ∵ log 26972593 6972593  0.3010  2098750.493 ∴ 26972593 是 2098751 位數 2098751  3000  699.58 ∴ 需要 700 張的 A4 紙張 【90】設 a ( 2 1 )2 1 ,b ( 3 1 )3 1 ,c ( 4 1 )4 1 。下列選項何者為真?(A) a b c (B) a b c (C) a c b (D) a c b (E) a b c 【解答】(C) 【詳解】 ∵ a  ( 2 1 )2 1  (( 2 1 )3)6 1  ( 8 1 )6 1 ,b  ( 3 1 )3 1  (( 3 1 )2)6 1  ( 9 1 )6 1 ,c  ( 4 1 )4 1  ( 2 1 )2 1 ∴ a c b 【91】觀察相關的函數圖形,判斷下列選項何者為真?(1) 10x x 有實數解 (2) 10x x2有實數解 (3) x 為實數時,10x x 恆成立 (4) x 0 時,10x x2恆成立 (5) 10x x 有實數解 【解答】(2)(3)(4)(5) 【詳解】 (1)(3) (2)(4) (5) 【92-1】根據統計資料,在 A 小鎮當某件訊息發布後,t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人 口的 100(1 2 kt)%,其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息,假設在發布後 3 小 時之內已經有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後,有 99%的人口已聽到 該訊息,則 T 最接近下列哪一個選項?(1) 5 小時 (2) 7 2 1 小時 (3) 9 小時 (4) 11 2 1 小時 (5) 13 小時 【解答】(4)

(6)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 【詳解】 設 f (t)  100(1  2 kt)%  f (3)  100(1  2 3k)%  70%  1  2 3k 100 70 2 3k 10 3 所求 f (T)  100(1  2 kT)%  99%  1  2 kT 100 99 2 kT 100 1 (2 3k )3 T  100 1  ( 10 3 )3 T  100 1 取 log  3 T log 10 3 2  3 T (log3  1)  2  3 T 1 4771 . 0 2   T  5229 . 0 6 11.47… 【92-2】以下各數何者為正?(1) 23 2 (2) log 23 1 (3) log32 1 (4) log 2 13 (5) log 3 1 2 1 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 (1) 26 8,3 26 4 23 2

0 (2) log23  log22  1  log23  1  0

(3) log32  log33  1  log32  1  0 (4) log

2 13  log 2 11  0  log 2 1 3  0 (5) log 3 1 2 1 log 3 11  0  log 3 1 2 1 0 【93-1】下列選項中的數,何者最大?(其中 n ! n (n 1) 2 1) (1) 10010 (2) 10100 (3) 5050 (4) 50 ! (5) ! 50 ! 100 【解答】(2) 【詳解】 (1) 10010 (102)10 1020 10100 (2) 10100 (102)50 10050 (3) 5050 10050 10100 (4) 50 !  1  2  3  …  50  50  50  …  50  5050 10050 10100 (5) ! 50 ! 100 51  52  53  …  100  100  100  …  100  10050 10100 ∴ 最大的數為 10100 【93-2】臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成 交價)的漲、跌 7%範圍內變動。例如:某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元,則今天該支股票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間。假設有某支股票的 價格起伏很大,某一天的收盤價是每股 40 元,次日起連續五個交易日以跌停板收盤 (也就是每天跌 7%),緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。 請問經過這十個交易日後,該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格? (1) 39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元 【解答】(1)

(7)

【詳解】

經過 10 個交易日後的股價為 40  (1  0.07)5 (1  0.07)5 40  0.935 1.075 令 x  0.935 1.075

log x  5 log 0.93  5 log 1.07  5  ( 1  0.9685)  5  0.0294  0.0105  1  0.9895 由對數表反查可得 x 0.9762 ∴ 股價 40  0.9762  39.048,最接近 39 元,故選(1) 【93-3】設 a,b,c 為正整數,若 a log520 2 b log520 5 c log52013 3,則 a b c 【解答】15 【詳解】

a log520 2  b log520 5  c log520 13  log520 2a 5b 13c 3

∴ 2a

5b 13c 5203 (23 5  13)3 29 53 133  a 9,b 3,c 3 ∴ a b c  9  3  3  15

【94-1】設 a, b 為正實數,已知log7a11, log7b13,;試問log (7 a b )之值最接近下列哪 個選項? (1) 12 (2) 13 (3) 14 (4) 23 (5) 24 【解答】(2) 【詳解】 11 13 7 7 log a11 a 7 , log b13 b 7 11 13 11 2 7 7 7 7

log (a b ) log (7 7 )log (7 (1 7 )) 11 log 50 13.     因2log 497 log 507 【94-2】設 x 為一正實數且滿足 18 3x 3 x  ;若 x 落在連續正整數 k 與 k+1 之間,則 k =? 【解答】15 【詳解】 18 18 3 3x 3 3 x log 18 15 16 x   x   x  x  x 【95】在養分充足的情況下﹐細菌的數量會以指數函數的方式成長﹐假設細菌 A 的數量每兩 個小時可以成長為兩倍﹐細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍.若養分充足且一開 始兩種細菌的數量相等﹐則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10﹖ (1)24 小時 (2)48 小時 (3)69 小時 (4)96 小時 (5)117 小時. 【解答】(5) 【詳解】設需經過 6n 小時﹐ B 10 A ﹐ 2 3 3 10 2 n n    (323) 10 2 n  ﹐ 取log, log( )9 log10,

8 n  (log 9 log8) 1, n   1 1 0.9542 0.9030 0.0512 n   ≒19.5﹐ 需經過19.5 6 117  (小時)

(8)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 【96-1】設a 為大於 1 的實數,考慮函數 f (x)=a x 與 g (x)=loga x,試問下列哪些選項是正 確?(1) 若f (3)=6,則 g (36)=6 (2) ) 19 ( ) 38 ( ) 219 ( ) 238 ( f f f f (3) g (238)g (219)=g(38)g(19) (4) 若P,Q 為 y=g(x)的圖形上兩相異點,則直線 PQ 之斜率必為正數 (5) 若直線 y=5x 與 y=f (x) 的圖形有兩個交點,則直線 y= 5 1 x 與 y=g(x)的 圖形也有兩個交點 【解答】(1)(2)(4)(5) 【詳解】 (1) 若 f (3)=6,則 a3=6 loga6=3 故 g(36)=loga36= 2loga6=23=6 (2) 238219 19 219 238 ) 219 ( ) 238 ( a a a a f f     3819 19 19 38 ) 19 ( ) 38 ( a a a a f f     故 ) 19 ( ) 38 ( ) 219 ( ) 238 ( f f f f (3) g(238)g(219)= 219 238 log 219 log 238 logaaa g(38)g(19) = log 2 19 38 log 19 log 38 logaaaa 故 g(238)g(219)g(38)g(19) (4) 因 a>1,故 g(x)=loga x是遞增函數, 故直線 PQ 由左向右上升直線 PQ 之斜率為正 (5) y=5x,y=ax 的圖形關於直線 y=x 的對稱圖形為 y= 5 1 x,y=loga x 因 y=5x 與 y=ax 的圖形有兩個交點,故 y= 5 1 x 與 y=logax的圖形有兩個交點 【96-2】設實數 x 滿足 0< x <1,且logx4log2 x1,則x= 。(化成最簡分數) 【解答】 4 1 【詳解】 1 log 4 logx2x,令 t=

log

2

x

t 2 t=1 t2+t2=0,(t+2)(t1)=0  t= 2 或 1 故

log

2

x

= 2 或 1  x= 4 1 或 2,但 0< x <1,故 x= 4 1 【97-1】對任意實數x 而言, 2 2 ( ) 3 27x 的最小值為 (1) 3 (2) 3 3 (3) 9 (4) 27 (5) 81 3 【解答】(3)

(9)

【詳解】 ∵ 2 2 3 x  的最小值為2 3, ∴ 2 2 3 27x  的最小值為 2 2 3 2 3 3 27 (3 ) 3 9,故選(3)。 【97-2】已知在一容器中有A,B 兩種菌,且在任何時刻 A,B 兩種菌的個數乘積為定值 10 10 。 為了簡單起見,科學家用PAlog(nA)來記錄A 菌個數的資料,其中n 為 A 菌的個數。 A 試問下列哪些選項是正確的?(1) 1PA10 (2) 當PA5時,B 菌的個數與 A 菌的個數 相同 (3) 如果上週一測得PA值為 4 而上週五測得PA值為 8,表示上週五A 菌的個數是 上週一A 菌個數的 2 倍 (4) 若今天的PA值比昨天增加 1,則今天的A 菌比昨天多了 10 個 (5) 假設科學家將B 菌的個數控制為 5 萬個,則此時 5PA5.5 【解答】(2)(5) 【詳解】 10 10 A B nn  ,PAlog(nA)。 (1)╳;若nA1,則 0 log1 log10 0 A P    。 (2)○;PA 5 log(nA) 5 10 A n  nB 105,所以nAnB。 (3)╳;PA 4 4 10 A n  ,PA 8 8 10 A n  ,故應為104倍。 (4)╳;PA值增加 1次方數加 1應變為 10 倍。 (5)○;nB 50000  4 log(5 10 ) 4 log5 B P     ≒4.699 PA≒10 4.699 5.301, ∴5PA5.5。 【98】某公司為了響應節能減碳政策,決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排 放量的 75% 。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少 二氧化碳的排放量。若要達到這項目標,則該公司每年至少要比前一年減少 ____________%的二氧化碳的排放量。 (log 9.440.9750,計算到小數點後第一位,以下四捨五入。) 【解答】 5.6% 【詳解】 設每年減少r的二氧化碳的排放量,得 5 3 (1 ) 0.75 4 r    , 5 3 log(1 ) log 4 r   , 5log(1  r) 0.1249,log(1  r) 0.02498, 1

log(1 ) 1 0.9750 log log 9.44 log 0.944 10

r

 ≒     1 r 0.944, 知r0.0565.6%。

(10)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 【99-1】下列哪些方程式有實數解?(1) 3

1 0

x   x (2)2x2x 0

(3)log2xlog 2 1x (4) sinxcos 2x3 (5)4sin 3cos 9

2 xx。 【解答】(1)(5) 【詳解】 (1)○;∵一元三次方程式至少有一實根 (2);∵ x R  ,2x 0,2x 0 ∴2x2x0 ∴2x2x 0沒有實根 (3);令log x2a,則原式 1 2 1 3 1 1 0 2 i a a a a R a            ∴原方程式沒有實根 【99-2】在密閉的實驗室中,開始時有某種細菌 1 千隻,並且以每小時增加 8%的速率繁殖。 如果依此速率持續繁殖,則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項? (1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻。 【解答】(3) 【詳解】 100 3 1000(1 8%) 1000 (2. 10 )2000多(千隻) (∵log1.08100 100log1.08 100(log108 log100) 

100(2log 2 3log 3 2)    3.30.33 3 ∴1.08100 2. 103) 【100-1】設 2 2 1 1 ( ) ( ) 10 n n a a ,n 為正整數,且知a 皆為正。令n bn logan,則數列b1, b2, b3, 為(1)公差為正的等差數列 (2)公差為負的等差數列 (3)公比為正的等比數列 (4)公比為負的等比數列 (5)既非等差亦非等比數列。 【解答】(2) 【詳解】 2 2 1 1 ( ) ( ) 10 n n a a ,兩邊取 log 得 2 2 1 1 1 1

log( ) log log( ) 2 log 2 log 2 10 n n n n a   aa    a 1 1 1 1 2 2 2 4 n n n n b b b b         ,

(11)

【100- 2】請問下面哪一個選項是正確的? (1)37 73 (2) 10 5 5 10 (3) 100 30 2 10 (4)log 3 1.52 (5)log 11 3.52 【解答】(5) 【詳解】 (1) ╳,37 2187, 73 34337 73。 (2) ╳,510(5 )2 5 255 105。 (3) ╳, 10 100 3 30 3 30 2 (2 ) ( 1024) ,又3 100 30 1024 102 10 。 (4) ╳, 3 2 2 2 2 3

1.5 log 2 log 8 log 3 2     。 (5) ○, 7 2 2 2 2 7

3.5 log 2 log 128 log 11 2     。 故選(5)。 【101- 1】下表為常用對數表log N10 的一部分: N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 請問 3.032 10 最接近下列哪一個選項? (1)101 (2)201 (3)1007 (4)1076 (5) 2012﹒ 【解答】(4) 【詳解】 令x103.032  3.032 3 0.032 logxlog10  3 0.032log10 log10 經查表可知

0 . 0 2 9 4 0 . 0 3 2 0 . 0 3 3 4  log1.07log100.032log1.08  log103log1.07log103log100.032log103log1.08  log1070log103.032log1080

∴ 1070 x 1080﹐故選(4)﹒ 【101- 2】若正實數xy滿足log10x2.8﹐log10y5.6﹐則

2 10 log xy 最接近下列哪一個選 項的值?(1)2.8 (2)5.6 (3)5.9 (4)8.4 (5)11.2﹒ 【解答】(3)

(12)

歷屆推甄試題分章解讀 數學教學研究會整理 【詳解】 log10x2.8  2.8 10 x ﹐x2

102.8

2 105.6 log10y5.6  y105.6 ∴

2

5.6 5.6

10 10

log xy log 10 10 log10

105.62

5.6 log 2 10 5.6 0.301 5.901 故選(3)﹒ 【102-1】令 10 9 2.6 2.6 a = - ,

b =

2.6

11

-

2.6

10, 11 9 2.6 2.6 2 c= - 。請選出正確的大小關係。 (1) a b c  (2) a c b  (3) b a c (4) b c a (5) c b a 【解答】(4) 【詳解】 ∵ 9 9 2.6 (2.6 1) 1.6 2.6 a    ﹐b2.6 (2.6 1) 1.6 2.610    10(1.6 2.6) 2.6  9 4.6 2.6 9﹐ 9 2 9 2.6 (2.6 1) 2.88 2.6 2 c    ﹐∴ b c a  ﹐故選(4)﹒ 【102-2】設a  1 b 0,關於下列不等式,請選出正確的選項。 (1) 7 9 (a)  ( a) (2)b9b7 (3) 10 10 1 1 log log ab

(4)log 1 log 1ab (5)logablogba

【解答】(1)(2) 【詳解】 (1)○:∵a1﹐∴ 7 9 (a)  ( a) ﹒ (2)○:∵ 0 b 1﹐∴ 9 7 b b ﹒ (3)╳:∵a1﹐ 0 b 1﹐∴1 1 log101 log101 a  b ab﹒ (4)╳:∵log 1 0a  log 1b ﹒ (5)╳:不一定﹐例如a2﹐ 1 4 b ﹐則logab 2﹐ 1 log 2 ba  logablogba﹒ 故選(1)(2)﹒

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