國中數學1 2 3分數的加減

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2−3 分數的加減

本節課程學習重點:  ◎能理解:若 a、b 為正整數,則

b a b

a 的值均為- b a ,在數線上代表同一個點。 ◎能理解負分數的約分、擴分和最簡分數的意義。 ◎能利用幾個正分數的大小比較,推論出負分數的大小比較。 ◎能對負分數做加減運算。 ◎能理解分數加法運算的交換律和結合律。 一、最簡分數: ◎負分數:對於 a、b 兩個正整數,

b a b

a =

b a 。例如: -7 4 = 7 -4 =- 7 4 。 ◎等值分數:將一個正分數的分子和分母同時乘以一個正整數或同時除以分子、分母的公因數,所得到 的值和原來分數的值相等。同理,將一個負分數的分子和分母同時乘以一個不為 0 的整數 或同時除以分子、分母的公因數,所得到的值也會和原來分數的值相等。 例如:-68 =(-6)×28×2 =(-6)×(-2)8×(-2) ;-68 =(-6)÷28÷2 =(-6)÷(-2)8÷(-2) 。 【觀念釐清】將一個分數的分子和分母同時除以它們的公因數,這個過程稱為約分,約分後的分數和 原來分數的值相等。 ◎最簡分數:當一個分數的分子和分母互質時,這個分數稱為最簡分數。 例如:(1)-1115 :(11 , 15)=1,所以-15 是最簡分數。 11 (2)-1214 :(12 , 14)≠1,所以-1214 不是最簡分數。 【觀念釐清】將一個分數的分子和分母同時除以它們的最大公因數,所得到的分數就是最簡分數。 練習1:判斷下列各分數是否為最簡分數,如果不是,請化成最簡分數。 (1)4560 (2)-3696 (3)-81 (4)16 -2191 【觀念釐清】(1)將任意一個分數的分子和分母同時乘以一個不為 0 的整數,這個過程稱為擴分,擴分後 的分數和原來分數的值相等。 (2)若兩個分數的分母不同,則可利用約分或擴分,把它們化為同分母的分數,這樣的過程 稱為通分。 ◎分數的比較大小: 在比較幾個正分數的大小時,可以利用擴分,把它們的分母或分子化為相同的正整數再做比較。 【觀念釐清】(1)當分母相同時比較分子,若分子愈大,則該正分數愈大。 (2)當分子相同時比較分母,若分母愈小,則該正分數愈大。 (3)絕對值越大的負分數,其值越小。

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練習2:(1)將23 、 34 、56 三個分數的分母化為相同的正整數,並比較它們的大小。 (2)將27 、13 、3 23 三個分數的分子化為相同的正整數,並比較它們的大小。 5 【觀念釐清】若化為同分母的過程較困難時,就應改成化為同分子,再比較它們的大小。 練習3:比較 35 和 11 的大小。 6 練習4:比較-23 和-35 的大小。 練習5:比較下列各組數的大小。(1)-57 、-13 (2)-9 23 、-34 、-56 練習6:比較下列各組數的大小。(1)-217 、-115 (2)-18 12 、-123 、-134 練習7:比較下列各組數的大小。(1)-315 、-412 (2)-257 、-223 二、分數的加減:任意幾個分數做加減運算時, (1)若分母相同,則分母不變,分子直接相加或相減。 (2)若分母不同,則先通分化成相同分母後,分子再相加或相減。

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練習8:計算下列各式的值。(1)(-75 )+(-95 ) (2)(-78 )-(-38 ) 練習9:計算下列各式的值。(1)(-73 )+23 (2)(-94 )-(-34 ) 練習10:計算下列各式的值。(1)(-34 )+13 (2)(-56 )-118 (3)35 -(-34 )+(-16 ) 練習11:計算下列各式的值。(1)(-12 )+7 38 (2)23 - 35 +(-16 ) 練習12:計算下列各式的值。(1)17 +(-17 -29 ) (2)(-14 )-(-23 +12 ) 練習13:計算下列各式的值。(1)1591 +(-91 -8 1213 ) (2)3499 -(99 -7 1722 ) 【觀念釐清】因為723 =7+23 ,又 723 的相反數為-723 ,所以-723 =-(7+23 )=-7-23 。

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練習14:計算(-234 )+127 的值。(Hint:先將帶分數化成假分數再做運算) 練習15:計算下列各式的值。(1)-314 -512 (2)(-216 )+129 -(-113 ) 練習16:計算下列各式的值。(1)1319 +[(-1013 )+19 ] (2)[(-36 12 )+67 ]+(-12 ) 練習17:計算下列各式的值。(1)3710 +[(-1913 )+(-3710 )] (2)(-499 )+234 +229 自我評量 1. 將下列各分數化成最簡分數。(1)-1442 (2)-1449 (3)-618 3 2. 比較下列各組數的大小。 (1)-47 、-45 (2)-53 、-32 (3)-13 、-12 2048 、-219 (4)-5 54 、-43 、-32 3. 如果 56 的分母加上 18,那麼分子要加上多少,其值才不會變?

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4. 計算下列各式的值。 (1)(-76 )+43 (2)(-1120 )-(-12 ) 5 (3)(-358 )+(-112 ) (4) 94 -(35 -34 ) (5) 312 -123 +(-56 ) (6) (513 +312 )-(513 -312 ) 5. 求數線上 A、B 兩點間的距離。 A B -1 0 1 習作 1. 在( )內填入適當的數,使等號成立。 (1)-3042 =- 5 ( )=- ( ) 28 = 45 ( )。 (2)-310 =-5 3 1 ( )= 14 ( ) − =( ) 6 。 2. 比較下列各組數的大小。 (1)-73 、-136 (2)-356 、-323 (3)-6 、-7 75 、-74 (4)-23 、-34 、-45 3. □24 的分子減 5 之後,其值等於 34 ,求□的值為何?

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4. 計算下列各式,並化為最簡分數。 (1) (-56 )+(-43 ) (2) 212 -(-125 ) (3) (-123 )-178 (4) (-315 )-(-27 10 ) 3 (5) (-14 )+43 +(-52 ) (6) 13 -(-15 )-(-17 ) 5. 選出正確的選項,在□中打「√」。 (1)-579 = -(5+79 ) -5+79 -5-79 (2)-825 +34 = -8+(25 +4 ) -8-3 25 +34 -8-(25 -34 ) (3)-(6771 -12 -15 )= -7 6771 +12 +15 7 6771 +12 +15 7 (4) (-6771 )-(12 -15 )= -(7 6771 +12 +15 ) -(7 6771 +12 )+15 7 6. 計算下列各式,並化成最簡分數。 (1) 412 -(313 -114 ) (2) 223 -(125 +223 ) (3) (-311 )-[7 52 +(-311 )] 7 (4) 213 +314 -(234 +323 )

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7. 若甲數為負整數,且 甲30 為最簡分數,已知 -715 >30 >-45 ,則滿足這樣關係的甲數共有幾個? 8. 計算|1110151 -21951 |+|21951 -3115151 |=? (Hint:兩數相減的絕對值=大數-小數) 9. 有一個容量是 325 公升的水壺,裝滿水後,小堂喝掉 213 公升,再倒入 112 公升,最後水壺裡還有多 少公升的水? 類題補充 1. 已知 x+ 37 =y+ 59 =z+ 13 ,則 x、y、z 三數的大小關係為何?

(A) z>y>x (B) x>z>y (C) y>z>x (D) z>x>y。

2. 已知- 1015=甲數12 =- 乙數4 ,則甲+乙= 。

3. 若甲、乙都是整數,且-2013<-4<-5<-2017,則甲+乙=? (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11。

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5. 有一個工程,甲一人獨作要 30 天才能完成,若甲、乙兩人合作則僅需 20 天即可完成,若甲、丙兩 人合作則僅需12 天就能完成。請問乙、丙兩人合作要幾天才能完成? 6. 若 18 a 為最簡分數,且 3 4 < 18 a < 6 7 ,則 a 為多少? 7. 已知 n 是質數,則滿足 1 n+ 2 n+ 3 n+ 4 n 是正整數的 n 共有 個。 8. 如下圖,數線上 A1表示1 到 12 的距離,A2表示 12 到 13 的距離,其餘以此類推, 則 A1+A2+…+A10=?       A4 A3 A2 A1 0 1 1 2 1 5 1 4 1 3 10. 計算 20 56 -(41 14 -55 34 )+[(-18 16 )-16 23 ]= 。 11. 已知 2×3= 1 12 - 13 , 3×4= 1 3 - 1 14 。試求 1×2+ 2 2×3+ 2 3×4+…+ 2 99×100 之值。(Hint:分項對消) 2 12. 計算 (-2)+ 1 (-2)2 2- (-2)4 3+ (-2)8 4- (-2)16 5 之值。

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加強練習 1. 若-18=15 m 6 =40 n =-10 p =- q 36,則下列何者錯誤? (A) m=-5 (B) n=-48 (C) p=-12 (D) q=30。 2. 有關最簡分數的敘述,下列何者錯誤? (A) 最簡分數的分子一定是 1 (B) 最簡分數的分子和分母一定互質 (C) 欲將分數化為最簡分數,可以將分子和分母同時除以它們的最大公因數 (D) 若兩分數化為最簡分數後相等,則兩分數相等 3. 下列各分數中,哪一個是最簡分數? (A) 1001 (B) 33 132 (C) 45 121 (D) 91 4956。 4. 已知甲、乙為正整數(甲≠1),且 e= 、f= 乙-1 、g= 甲-1、h= 乙 乙-1甲-1,則 e、f、g、h 四數之中, 何者最小? (A) e (B) f (C) g (D) h。 5. 阿呆與阿瓜一起去參加 101 大樓登高比賽。起點在一樓,當阿呆爬到第 82 層時,阿瓜只爬到第 46 層。則阿瓜所爬的高度是阿呆所爬高度的幾分之幾?(每一層高度均相同) (A)8246 (B)4682 (C)59 (D)95。 6. 設 W、X、Y、Z 代表由 1、2、3、4、5、6、7、8、9 等九個數中選出的四個不同數字,則 W XZ Y之 最小值為何? (A)2372 (B)2572 (C)2972 (D)1217。 7. 下列哪一個計算式與 37 + 25 的值相同? (A) 3+27+5 (B) 3+27×5 (C)3×7+2×535 (D)3×5+2×735 。 8. 在 12 、 14 、 16 、 12 、 1 18 這五個分數中,應去掉哪一個分數才能讓剩下的四個分數和等於 1? 1 (A) 14 (B) 16 (C) 12 (D) 1 18 。 1 9. 若 a=-4879、b=-48+179+1、c=-48-179-1,則 a、b、c 之大小關係為 。 10. 有一分數的分子為 33,將這個分數改為倒數後又把分子加上 6,使新分數可以約分成- 23 ,則原分 數為何? 11. 已知棒球選手的打擊率=打擊次數安打數 ,若甲、乙、丙、丁四位選手的打擊次數分別是24、19、29、33 次,安打數分別是11、6、16、20 次,則下列何者是甲、乙、丙、丁四位選手打擊率的高低順序? (A) 甲>乙>丙>丁 (B) 乙>甲>丙>丁 (C) 丙>丁>乙>甲 (D) 丁>丙>甲>乙。 12. 試比較下列各組數的大小。(1) a=- 38 、b=- 11、c=- 4 1230;(2) a=- 101、b=- 89 102、c=- 90 103。 91 13. 下圖為由一組七巧板所拼成的大正方形,其中小正方形(鋪色部分)的面積為大正方形面積的幾倍? (A) 17 (B) 18 (C) 10 (D) 1 12 。 1    

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Ans:1.(C);2.(A);3.(C);4.(B);5.(C);6.(B);7.(D);8.(D);9. c>a>b;10. 33 28

− ;11. (D);

12.(1) b>a>c,(2) a>b>c;13.(B)。 心得筆記

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