1−3 多項式的乘除運算
一、多項式的乘法運算：多項式的乘法可用橫式、直式計算。 【說明】因為文字符號也代表數，所以數的乘法運算規則也同樣適用於文字符號： (1)連續幾個 x 相乘時，可用指數形式來簡記。 例如：x．x＝x2，x．x2＝x1+2＝x3，x2．x3＝x2+3＝x5。 (2)乘法有交換律和結合律，所以文字符號和數字相乘時，可任意調換順序相乘。 例如：4x．x＝4．x2＝4x2，2x．3x2＝2．3．x．x2＝6．x3＝6x3。 ◎單項式 × 單項式：將係數與文字符號分開相乘，然後把係數寫在文字符號前面。 練習1：計算下列各式。(1) 6x．12 x (2) (－5x)．(2x2) (3) (12 x2)2 練習2：計算下列各式。(1) (－7x)．5x (2) (－5x)2 (3) 12 x．(－45 x2) ◎單項式 × 多項式：如果要計算一個單項式與多項式的乘積，可以利用分配律的規則來計算。 練習3：計算下列各式。(1) 3x(x＋2) (2) (4x－3)(－2x) 練習4：計算下列各式。(1)－2x(5x＋2) (2) (－2x＋3)(－3x) ◎多項式 × 多項式：先利用分配律展開，再合併同類項。 練習5：計算下列各式。(1) (3x＋1)(x＋4) (2) (x＋1)(x2－x＋1)練習6：計算下列各式。(1) (x＋3)(x＋5) (2) (x＋2)(－3x＋4) (3) (x－1)( x2＋x＋1) 【觀念釐清】一次式與一次式的乘積為二次式；一次式與二次式的乘積為三次式。 練習7：計算下列各式。(1) (2x－1)(－3x＋4) (2) (5x2－4)(－2x＋3) 練習8：計算下列各式。(1) (－2x－3)(x－6) (2) (3x2＋2)(－4x－1) 練習9：計算下列各式。(1) (－3x＋4)2 (2) (2x－5)2 (3) (4x＋7)(4x－7) (Hint：利用乘法公式) 練習10：計算下列各式。(1) (4x＋3)2 (2) (5－2x)2 (3) (2y＋9)(2y－9)
【觀念釐清】對任意兩個多項式 A、B，(B－A)2＝[－(A－B)]2＝(A－B)2。例如：(2x－5)2＝(5－2x)2。 二、多項式的除法運算：
◎單項式 ÷ 單項式：將係數與文字符號分開相除，然後把係數寫在文字符號前面。 練習11：計算下列各式。(1) (9x2)÷(3x) (2) (－4x3)÷(2x) (3) (14x4)÷(－4x2)
【觀念釐清】如果單項式的係數是正的，可將括號省略。例如：(6x2)÷(3x)也可以寫成 6x2÷3x。 ◎多項式 ÷ 單項式： 【說明】考慮(x2＋2x)÷x，算法如下： (1) x 要乘上多少才會等於 x2？ x． ＝x2， ＝x2÷x＝x。 (2) x 要乘上多少才會等於 2x？ x． ＝2x， ＝2x÷x＝2。 所以 (x2＋2x)÷x＝x＋2， 也可寫成 (x2＋2x)÷x＝x＋2…餘 0。 其中 x2＋2x 為被除式，x 為除式，x＋2 為商式，0 為餘式。 ◎整除：多項式的除法運算時，當餘式為 0，則稱除式可以整除被除式，此時商式也可以整除被除式。 例如：(x2＋2x)÷x 的商式為 x＋2，餘式為 0，所以 x 整除 x2＋2x，且 x＋2 也整除 x2＋2x。 【觀念釐清】在多項式除法中，除法要做到餘式的次數比除式的次數小，或餘式為 0 才算完成。 練習12：求 4x2＋8x－2 除以 4x 的商式與餘式。 練習13：求下列各多項式除法的商式與餘式。(1) (5x2＋10x)÷5x (2) (－6x2＋4x－5)÷2x 【觀念釐清】在做多項式的除法時，通常會將多項式按降冪排列，如果遇到缺項，該項係數要補0。 ◎多項式 ÷ 多項式：(除式為一次式) 練習14：求下列各多項式除法的商式與餘式。(1) (2x2－x－6)÷(x－2) (2)4x3÷(2x－1) 練習15：求下列各多項式除法的商式與餘式。(1) (2x2－x－6)÷(2x＋3) (2) (x3＋3x2－1)÷(x－1) x＋2 ←商式 除式→ x x2＋2x ←被除式 x2 2x 2x 0 ←餘式
【觀念釐清】對任意三個非零多項式 A、B、C，若 B 整除 A，商式為 C；則 C 也整除 A，商式為 B， 此時 A＝B×C。例如：x－2 整除 2x2－x－6，商式為 2x＋3；則 2x＋3 也整除 2x2－x－6， 商式為 x－2，此時 2x2－x－6＝(x－2)(2x＋3)。 ◎多項式 ÷ 多項式：(除式為二次式) 練習16：求下列各多項式除法的商式與餘式。 (1) (4x＋2x2＋5)÷(x2＋x＋1) (2) 3x3＋3x－8)÷(1＋3x2－x) 練習17：求下列各多項式除法的商式與餘式。 (1)(4x2－2x＋1)÷(3x2＋2x＋1) (2) (9x2＋14x＋2x3)÷(5＋x2－4x) 【觀念釐清】在整數除法中，38÷5 的商為 7，餘數為 3，也可以寫成 38 ＝ 7 × 5 ＋ 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 被除數 ＝ 商數 × 除數 ＋ 餘數 同樣的，在多項式除法中，(x2＋2x＋6)÷(x－2)的商式為 x＋4，餘式為 14， 也可以寫成 x2＋2x＋6＝(x－2)(x＋4)＋14 ↑ ↑ ↑ ↑ 被除式 ＝ 除式×商式＋餘式 ◎被除式＝除式×商式＋餘式： 練習18：如果一個多項式除以 x＋2 的商式為 3x2＋1，餘式為 4，試求此多項式。 練習19：如果一個多項式除以 3x2－1 的商式為 2x＋5，餘式為 x＋2，試求此多項式。
【觀念釐清】由被除式＝除式×商式＋餘式，可知除式＝(被除式－餘式)÷商式。 練習20：已知多項式 2x2＋7x＋1 除以另一個多項式後，得到商式 2x＋1，餘式－2，試求此多項式。 練習21：已知多項式 8x2＋2x－15 除以另一個多項式後，得到商式 4x＋7，餘式 6，試求此多項式。 三、綜合應用：多項式的四則運算規則與數的四則運算規則相同，都是按照由左到右、先乘除後加減、 括號內先算的規則。 練習22：計算下列各式。(1) (x＋2)2＋(2x＋1) (2) 5(2x＋1) 2－3(x＋1)(x＋3) 練習23：計算下列各式。(1) 1－5(x－2)2＋2(x－1) (2) (x＋1)(x＋2)－(x＋3)(x＋4) 練習24：已知(2x＋3)(ax＋b)乘開化簡後是 2x2＋5x＋3，求 a、b 之值。 練習25：已知(4x2－1)(ax＋b)乘開化簡後是 8x3＋12x2－2x－3，求 a、b 之值。
練習26：右圖中，大長方形的長為 2x＋5、寬為 x＋4，小長方形的 長為 2x＋1、寬為 x－1。試以 x 的多項式表示黃色部分的 周長與面積。 【觀念釐清】梯形面積＝(上底＋下底)×高÷2，可知梯形的高＝梯形面積×2÷(上底＋下底)。 練習27：右圖中，梯形的上底為 x－3、下底為 3x＋5、面積為 2x2＋5x＋2， 試以 x 的多項式表示此梯形的高。 ◎補充：在多項式的除法中，設被除式為 A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R，B≠0，則 (1)由被除式＝除式×商式＋餘式，可知 A＝BQ＋R。 (2)由被除式除式 ＝商式＋餘式除式，可知 A B＝Q＋ R B。 自我評量 1. 計算下列各多項式運算的結果。(1) (－2x＋5)2 (2) (3x－1)2－(2x＋1)(2x－1) 2. 求下列各多項式除法的商式與餘式。(1) (x＋1)(2x－3)÷(x＋4) (2) (8x2＋4x3＋4)÷(x2＋1) 3. 計算下列各多項式運算的結果。 (1) (x－1)(x＋2)＋(x－2)(x＋3) (2) (8x2＋10x－3)÷(4x－1)－(2x－3)(x＋1) x＋4 x－12x＋1 2x＋5 3x＋5 x－3
x 3x－2 4. 已知 10x2＋39x＋m 能被 5x＋2 整除，則 m 為多少？ 5. 若一個多項式除以 x2＋x 的商式為 2x＋1，餘式為－x，試求此多項式。 6. (1)如下圖，長方體的寬為 x、高為 3x－2，其中 x＞23 。已知其體積為 3x3＋7x2－6x，試求此長方體 的長。(以 x 的多項式表示) (2)承(1)，若以長方體的長為邊長做一正方體，求此正方體的體積。(以 x 的多項式表示) 習作 1. 計算下列各式，並按降冪排列。 (1) 4x2．(－15x) (2) (－2x＋1)(3x2－5x＋1) (3) (2x－1)(－x2＋5) (4) (x－4)2 (5) (5x＋2)(5x－2) (6) (14－13x)(13x＋14) 2. 計算下列各式。(1) (－14x2)÷35x (2) (4x2＋6x)÷2x
x+5 x+5 x+5 x+5 2 2 3. 求下列各多項式除法的商式與餘式。 (1) (－x＋6x3)÷(3x－2) (2) (10x3＋3x2＋7x－1)÷(2x2＋x＋1) 4. 有一多項式與 2x＋3 的乘積是 6x2－11x－30，則此多項式為何？ 5. 如果有一多項式除以 2x2－x＋3，得商式為 x＋1，餘式為 6，則此多項式為何？ 6. 計算下列各式。 (1) (2x－1)2＋x(x＋6)＋3 (2)－(x2－6)－(3x＋2)2 (3) (x－1)(2x－1)＋(3x－1)(4x－1)(5x－1) 7. 已知(2x2－x＋1)(ax＋b)－5 化簡後是 6x3－7x2＋5x－7，求 a、b 的值。 8. 如右圖，兩個邊長皆為 x＋5 的大正方形重疊在一起。 如果重疊處(咖啡色部分)是邊長為 2 的正方形，那麼 疊合後的總面積為多少？(以 x 的多項式表示)
類題補充 1. 如圖，有一正方形木板，其邊長為 x＋5，在內部挖去一矩形， 則木板的面積該如何表示？ 2. 某多項式除 x3＋x2－7x＋3，得商式為 x2＋3x－1，餘式為 1，則此多項式為何？ 3. 若 a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝2x2－x＋5，則 a＋b＋c＝？ 4. 某道數學題：●x2＋19x－13 除以－3x＋▲，得商式為 2x－3，餘式為 2，其中●、▲為數字卻被 塗黑，試求●＋▲之值？ 5. 若一多項式除以(2x－3)得商式(2x＋3)、餘式為 3，則此多項式改除以(2x＋1)得商式為何？ 6. 若多項式 5x2－11x＋a 與 x2＋bx－2 均可被 x－2 整除，則 a＋b＝ 。 7. 若(4－2x＋x2)＋(ax＋b)(6x＋1)＝－5x2－15x＋2，試問 ab＝ 。 x＋5 x＋2 x
8. 已知 A 是多項式，且4x 2＋4x－3 A ＝2x＋1－ 4 A ，則 A＝ 。 9. 已知(3x2－ax＋7)(5x2＋9x－3)的乘積中，x3項的係數為2，則 a＝ 。 10. 若多項式 A 除以(3x－2)，得商式 25x2＋18x－7，餘式 11，則多項式 A 除以(33x－22)的餘式為？ 11. 已知多項式(x＋7)除以 x＋2 的餘式為 5，多項式 2(x＋7)除以 x＋2 的餘式為 10，多項式(x＋7)＋3 除以 x＋2 的餘式為 8；若多項式 A 除以 x＋2 的餘式為－3，試根據上列規則，求出多項式 4A＋5 除以 x＋2 的餘式是下列哪一個數？ (A)－12 (B)－7 (C)－3 (D) 5 12. 若 2x2＋3x＋7＝a(x＋1)(x－1)＋b(x＋2)(x－2)＋(x＋2)(x＋1)，則 a＋b＝ 。 13. 試求 100x+100 除多項式 x2＋2x＋3 所得的餘式＝ 。 14. 若 2x3＋3x2－7x＋5＝(ax＋b)(x2＋x＋1)＋cx＋d，則 a＋b＋c＋d＝ 。
A
B
D
C
x＋1 3 x＋1 x＋1 x＋1 x＋1 3 x＋1 15. 多項式 A＝(x－1)100＋(x－1)5＋x＋1，則 A÷(x－1)的餘式＝ 。 16. 設 A 是多項式，若 x＋3 ＝x－1＋A x＋3 ，則 A＝ 。 7 17. 已知 A、B、C、D 為大長方形邊長上的四個點，各邊長標示如右圖， 則四邊形 ABCD 面積為多少？(以 x 表示) 18. 已知 4x3＋mx2＋n 除以 2x2－x－3 得餘式為 2x－1，則 m＋n＝ 。 19. 化簡(3x－2)2－(x＋1)(－x2＋2x＋1)的結果為多項式 A，則多項式 A 的各項係數總和為 。 (Hint：x＝1 代入多項式，所得的值就是各項係數總和。) 20. 將多項式 A 除以 4x－2，得商式 x＋4，餘式 m；將多項式 A 除以 2x＋5，得商式 2x＋2，餘式 n， 則 m－n＝？2x
3 3 x
加強練習
1. 若(－8x2＋6x－5)除以(2x＋1)，得商式為 ax＋b，餘式為 c，則下列何者錯誤？ (A) a＝－4 (B) b＝－5 (C) c＝－10 (D) a＋b＋c＝－9
2. 已知 3x＝－ 65 x2÷□，則□應填入多少？ (A)－ 185 (B)－ 185 x (C)－ 25 (D)－ 25 x 3. 試求(3x2－5x＋1)÷2x 的餘式為何？ (A) 0 (B) 12 (C)－ 12 (D) 1
4. P 為 x 的四次多項式，Q 為 x 的一次多項式，P＋Q 為 x 的 a 次多項式，P－Q 為 x 的 b 次多項式， P‧Q 為 x 的 c 次多項式，則下列何者正確？
(A) a＞c＞b (B) c＞a＞b (C) a＝b＝c (D) c＞a＝b
5. 老師作一個多項式除法的示範後，擦掉計算過程中的七個係數， 則下列何者錯誤？ (A) a＝1 (B) b＝10 (C) c＝4 (D) d＝－3 6. 如果(x2－4)？(x＋2)＋(2x＋1)2＝4x2＋5x－1 這個式子要成立， 那麼？號是何種運算符號？ (A)＋ (B)－ (C) × (D) ÷ 7. 設 A 為一多項式，若(2x3＋x2－3x＋1)÷A 的商式為 x－3，餘式為 55， 則 A＝ 。 8. 若多項式 4x2＋ax－11 除以多項式 2x＋b，得商式為 2x－2，餘式為－1，則 a＋b＝ 。 9. 若多項式 A 是 x 的 4 次多項式，而 B 是 x 的 3 次多項式，若 A＋B 為 a 次多項式，A－B 為 b 次
多項式，A×B 為 c 次多項式，A÷B 之商式為 d 次多項式，而其餘式之最高可能次數為 e， 則 a＋b＋c＋d＋e＝？ (A) 20 (B) 18 (C) 19 (D) 17 10. 下列何者不可能是多項式除以－2x＋4 的餘式？ (A) x＋2 (B) 0 (C)－3 (D) 100 11. 若 A 為多項式，且 3x．A－3(x2＋1)＝3x3＋6x－3，則 A＝ 。 12. 計算(x3－1)÷(x－1)得商式＝ 。 13. 計算(－3x2＋5x－2)(7x3＋x2－5)的結果中，x4項的係數為 。 14. 已知 x＋2 可以整除 x2－x＋c，則 c＝ 。 15. 若△ABC 的面積為 2x2－3x－5，底為 x＋1，則△ABC 的高為下列何者？ (A) 2x－5 (B) 2x＋5 (C) 4x－10 (D) 4x＋10 16. 已知 A 和 B 均為多項式，且 a 為異於零之常數，若 A÷B 的商式為 Q，餘式為 R，則 A÷(aB)的商式、 餘式各為何？ (A)商式為 Q，餘式為 R (B)商式為 Qa.，餘式為 R (C)商式為 Qa.，餘式為 Ra (D)商式為 Q，餘式為 Ra 17. 已知 A 為六次多項式，B 為三次多項式，則下列哪一個選項不可能是 A÷B 的餘式？ (A) 2x3 (B) 3x2－1 (C)－5x (D) 6 18. 如右圖，在長方形紙板的下方剪去一個小正方形，則剩餘紙板的面積為何？ (A) 2x2－9 (B) 2x2－6x (C) 2x2－24x＋36 (D) －2x2＋24x－36 19. 已知一正方形的周長為 8x＋12，則此正方形的面積為 。 20. 若多項式 5x3－16x2＋6x＋a 除以 x－3 所得到的餘式為－4，則 a＝ 。 cx＋d
)
3x－2 cx＋d)
12x2＋ax＋b cx＋d)
e x2＋fx cx＋d) e x
2－8x＋b cx＋d) e x
2－gx＋6 cx＋d) e x
2－gx＋4Ans：1.(B)；2.(D)；3.(D)；4.(D)；5.(A)；6.(D)；7. 2x2＋7x＋18；8. 11；9.(B)；10.(A)；11. x2＋x＋2； 12. x2＋x＋1；13. 32；14.－6；15.(C)；16.(B)；17.(A)；18.(D)；19. 4x2＋12x＋9；20.－13。 心得筆記
