國 立 交 通 大 學
電 信 工 程 研 究 所
碩 士 論 文
具有寬截止頻帶與平坦群延遲
之寬頻帶通濾波器
Wideband Bandpass Filters
with Wide Stopband and Flat Group Delay
研究生：劉懿萱
指導教授：張志揚 博士
具有寬截止頻帶與平坦群延遲之寬頻帶通濾波器
Wideband Bandpass Filters with Wide Stopband and Flat
Group Delay
研究生 : 劉懿萱 Student: Yi-Hsuan Liu
指導教授 : 張志揚 博士 Advisor: Chi-Yang Chang
國 立 交 通 大 學
電 信 工 程 研 究 所
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Communication Engineering College of Electrical and Computer Engineering
National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements
For the Degree of Master of Science in
Communication Engineering July 2011
具有寬截止頻帶與平坦群延遲之寬頻帶通濾波器
研究生：劉懿萱 指導教授：張志揚 博士
國立交通大學電信工程研究所
摘 要
本論文主題是利用鼠競環搭配數節短路殘段和數節開路殘段的
架構，設計偶數階和奇數階的柴氏響應寬頻帶通濾波器，並具有平坦
群延遲特性和寬截止頻帶，其中心頻率為 3GHz，比例頻寬可達 100%。
首先，藉由濾波器函數合成和電路分析，設計寬頻帶通濾波器的
各段傳輸線阻抗，並求得此結構的零點位於虛頻率軸上，因此能使群
延遲平坦。再運用等效電路的方法設計此寬頻帶通濾波器各段傳輸線
之步階阻抗架構，以達到寬截止頻帶的效果，更能有效縮小電路面
積。在電路佈局方面，利用共平面波導(CPW)，設計 50Ω 輸入端與輸
出端饋入結構，電路則以共平面帶線(CPS)實踐，板材使用厚度為 15
毫英吋，介電係數為 9.8 之陶瓷基板(Al
2O
3)。
Wideband Bandpass Filters with Wide Stopband and Flat
Group Delay
Student：Yi-Hsuan Liu Advisor：Dr.Chi-Yang Chang
Institute of Communication Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
This thesis uses wideband hybrid ring with short and open stubs to
design even and odd mode Chebyshev wideband filters. The
characteristics of the wideband filters include wide stopband and flat
group delay. The filters in this thesis are operated at central frequency
3GHz with nearly 100% bandwidth.
According to the synthesized filtering functions and by analyzing the
corresponding circuit, the impedance of each transmission line section
can be determined. The circuit shows pairs of pure-imaginary
transmission zeros that can improve the group delay flatness. Using
equivalent circuit designs stepped impedance structure of wideband filters
for wide stopband and miniature size. All of the circuits are fabricated on
Al
O
substrate with dielectric constant 9.8 and 15mil thickness. We
Acknowledgement
誌 謝
還記得剛上研究所時，一切既新鮮又具有挑戰性，不論是課業還是研究都比 大學的時候豐富許多。然而時光飛逝，轉眼間到了要離開交大的時候了，要離開 這個生活六年的校園，揮別學生的身分，心中感到十分的不捨。 本篇論文得以順利完成，首先要感謝我的指導教授張志揚老師。從大三專題 到碩二的研究，都承蒙老師教導和照顧，讓我累積了許多微波方面的知識和實作 經驗，當遭遇困難時，老師總會耐心回答我的疑問，而老師也十分樂於跟我們分 享各種生活經驗，並在作人處事上為我們樹立良好的典範。感謝建育學長，總是 不厭其煩的講解我不懂之處，並提出許多令我豁然開朗的想法。感謝益廷、正憲、 昀緯等博班學長，總是耐心的幫大家解決各種病灶，並且附上細心的講解。感謝 97 的學長姊姵潔、揚達和聖智，讓我碩一的生活多彩多姿。謝謝維欣跟我躲在 小空間裡一起偷看電視一起聊天，幫我思考解決問題的方法，請繼續電爆大家 唷！再來感謝實驗室的學弟妹仕鈺、祥容、義傑和梓淳為大家帶來歡樂，且在口 試前幫了我們許多忙。；最後感謝一起打拼的夥伴們，謝謝宛蓉跟我一起從作專 題努力到現在，在我很忙碌的時候，貼心的幫我處理瑣事；謝謝鵬達雖然愛跳針 讓我們又好氣又好笑，但卻認真負責又細心；謝謝你們兩個陪我走過這一年忙碌 的日子，希望我們之後工作順利。 感謝我的大學同學小花、阿將、小蘋、派派、喔拉一家、胖胖、咪哭、阿澤、 華山等等族繁不及備載，謝謝你們從大學以來一直的陪伴，讓我在交大留下許許 多多璀璨的回憶，一路上有你們真好。感謝小佳，我們一起在風城生活的這麼多 年，因為有妳一切變得更美好。感謝綠豆，謝謝你包容我，陪我走過一切酸甜苦 辣，一起面對各種挑戰。當然，一定要感謝我親愛的爸爸媽媽，謝謝你們給我避 風港，讓我這艘小船能在走累時能安穩的停靠，並鼓勵我勇敢去迎接明天的挑戰。 要感謝的人太多，只好感謝天吧，謝謝您賜給我的一切的幸福與磨練！目 錄
中文摘要... I 英文摘要... II 致謝 ...III 目 錄 ...IV 表 目 錄...V 圖 目 錄...VI 第一章 前言...1 第二章 理論...4 2.1 低通濾波器至帶通濾波器之轉換...4 2.2 廣義柴氏濾波器函數合成...5 2.2.1 二埠網路的穿透參數 S21(s)和反射參數 S11(s)多項式化...6 2.2.2 交替極點方法...9 2.2.3 多項式 P(s)和 F(s) ...9 2.2.4 多項式 E(s) ... 11 2.4 步階阻抗(SIR)...12 第三章 設計與模擬...15 3.1 具有平坦群延遲之寬頻帶通濾波器合成...15 3.1.2 偶數階寬頻帶通濾波器...16 以四階濾波器為例，合成四階濾波器之特性：...16 3.1.3 奇數階寬頻帶通濾波器...22 以五階濾波器為例，合成五階濾波器之特性：...22 3.2 寬截止頻帶之設計方法...26 3.2.1 偶數階寬截止頻帶設計...27 3.2.2 奇數階寬截止頻帶設計...30 第四章 佈局與實作...33 4.1 四階濾波器...33 4.2 五階濾波器...39表 目 錄
表 3.1 當零點固定(k=1)時，改變 LR所對應之各參數值...17 表 3.2 四階寬頻帶通濾波器各個參數結果...21 表 3.3 當頻寬固定時，改變 k 所對應之各參數值...25 表 3.4 五階寬頻帶通濾波器各個參數結果...26 表 3.5 鼠競環 SIR 的阻抗值和電氣長度 ...28 表 3.6 殘段 SIR 的阻抗值和電氣長度 ...28 表 3.7 五階 SIR 的阻抗值和電氣長度 ...30 表 4.1 四階 ABCDE 各區塊所對應之阻抗、線寬與線距 ...34 表 4.2 四階之各段線長...34 表 4.3 四階 EM 模擬與實際量測之各參數比較...37 表 4.4 四階改良架構之各段線長...38 表 4.5 四階改良架構之 EM 模擬之各參數...39 表 4.6 五階 ABCDEF 各區塊所對應之阻抗、線寬與線距...40 表 4.7 五階之各段線長...40 表 4.8 EM 模擬與實際量測之各參數比較...43圖 目 錄
圖 2.1 頻率響應 (a)低通頻域 (b)帶通頻域 ...4 圖 2.2 二埠網路...6 圖 2.3 在複數平面上當 s 為任意頻率時，S21(s)、S11(s)和 S22(s)多項式分子的角 度：(a) 傳輸零點對 (b) S11(s)和 S22(s)的零點...8 圖 2.4 步階阻抗架構...13 圖 2.5 共振條件圖...13 圖 3.1 傳輸零點位於實頻率軸上...15 圖 3.2 傳輸零點位於無限遠處...15 圖 3.3 傳輸零點位於虛頻率軸上...15 圖 3.4 不同位置零點之群延遲比較...16 圖 3.5 不同反設損耗所對應之群延遲圖...17 圖 3.6 四階寬頻帶通濾波器架構...18 圖 3.7 具有虛頻率軸零點的四階寬頻帶通濾波器之 (a)偶模架構 (b)奇模架構 ...19 圖 3.8 四階寬頻帶通濾波器 S 參數 ...21 圖 3.9 四階寬頻帶通濾波器群延遲...21 圖 3.10 五階寬頻帶通濾波器架構...22 圖 3.11 具有虛頻率軸零點的五階寬頻帶通濾波器之 (a)偶模架構 (b)奇模架構 ...23 圖 3.12 不同 k 對群延遲作圖...25圖 3.16 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的架構...29 圖 3.17 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的 S 參數模擬 ...29 圖 3.18 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的群延遲模擬...30 圖 3.19 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的架構...31 圖 3.20 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的 S 參數模擬 ...32 圖 3.21 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的群延遲模擬...32 圖 4.1 四階架構的佈局圖...33 圖 4.2 四階通帶 S 參數之模擬與量測比較 ...35 圖 4.3 四階之通帶群延遲 EM 模擬與量測比較...35 圖 4.4 四階 S 參數 EM 模擬與實際量測之比較 ...36 圖 4.5 四階實作電路圖...36 圖 4.6 四階改良架構的佈局圖...37 圖 4.7 四階改良架構之 S 參數 EM 模擬 ...38 圖 4.8 四階改良架構之通帶群延遲 EM 模擬...39 圖 4.9 五階架構的佈局圖...39 圖 4.10 五階通帶 S 參數之模擬與量測比較 ...41 圖 4.11 五階之通帶群延遲 EM 模擬與量測比較...41 圖 4.12 五階 S 參數 EM 模擬與實際量測之比較 ...42 圖 4.13 五階實作電路圖...42
第一章
第一章
第一章
第一章
前言
前言
前言
前言
隨著無線通訊系統的快速進步，各種多頻帶與寬頻技術也隨之成長，因此各 種通訊系統的基本元件，如功率放大器、混頻器、天線和濾波器等，有朝著寬頻 設計的趨勢。而寬頻系統的發展，也讓這些元件漸漸傾向具有小面積、平坦群延 遲及截止頻帶之阻隔性等特性，這些規格的要求，使得寬頻帶通濾波器的設計成 為極重要的課題。 寬頻電路的設計隨著科技的進步而蓬勃發展，延伸出各種設計寬頻濾波器的 方法。如[1]將共平面波導之低通和高通週期架構串接，可達到寬頻帶的效果， 而在[2]之中為了節省電路所占的空間，可將低通和高通濾波器組合在一起。[3] 在輸入與輸出埠的部分利用平行耦合線設計串接結構，中間電路串聯一多模共振 腔，配合平行傳輸線能產生傳輸極點的特性，達到寬頻且平整的響應。亦可將平 行耦合線之背面接地金屬部分挖空增加耦合量，並利用串接形式達到寬頻帶 [4]。利用平行三耦合線的耦合區域，增強共振腔的耦合能力，使得帶通濾波器 具有寬頻響應[5]。從[6]中我們可觀察到，若將平行耦合線的地設計成特定圖樣， 可使耦合量增強以設計寬頻濾波器。[7]將其中短路殘段之末端相連，在通帶兩 側產生傳輸零點，並在輸入與輸出埠設計一段平行耦合線，利用其交錯耦合特性 在寬頻帶兩側產生多個零點，達到良好的頻帶選擇性。[8]以微帶線與微帶線間 的一層狹槽達到寬邊耦合，並利用雙層寬邊耦合結構達到寬頻，此外三層之形狀 皆為橢圓形，由橢圓面與面之間的耦合量來控制頻寬和耦合深度。 [9]利用 T 型 共振腔之開路殘段部分與四分之波長短路殘段的寬邊耦合達到寬頻，再利用寬邊 耦合之四分之波長耦合線和一段額外之末端短路的四分之波長平行耦合線，在通 帶兩側產生零點，此電路使用低溫共燒陶瓷(LTCC)技術實作，具有十分寬頻的效濾波器與高通濾波器，利用高通濾波器之特性使得低頻具有截止效應，而低通濾 波器可抑制高頻響應以達到寬截止頻帶[10]。利用平行和非平行兩種新耦合結 構，在偽頻處產生零點以消除二倍頻和三倍頻響應，以達到寬截止頻帶的效果 [11]。[12]利用指叉式的耦合方式對[3]之架構作變更，使其頻寬更寬，並將其多 模共振腔更用三個不同之步階阻抗共振腔串連，以達到寬截止頻帶[13]。[14]提 出兩種 EBG 架構，並將其嵌入開路共振器中，而適當調整共振器的長度，可使 截止頻域落在通帶外，另外輸入和輸出埠的平行耦合架構，可增加中心頻的耦合 量。[15]以四分之波長步階阻抗(SIR)共振腔和帶止嵌入式共振腔架構，也可達到 寬截止頻帶的帶通濾波器之目的，其中四分之波長 SIR 共振腔能將倍頻推至較高 頻域，而帶止結構能抑制較低的偽頻。[16]利用共平面波導四分之波長步階阻抗 加上空橋(air-bridge)結構，縮小面積並抑制較低的倍頻，而在輸入和輸出埠的部 分，採取微帶線轉共平面波導的轉換架構耦合方式，抑制較高的偽頻。[17]分析 電路奇偶模，以微帶線個別設計成寬頻帶通濾波器。 以上利用單層、多層和共燒陶瓷架構實現寬頻通帶和寬截止頻帶之設計，都 有其長處。然而若採取單層板中的平形耦合方式，當阻抗太高或是需要極強耦合 時會造成兩線間的間距過窄導致實作困難，以至於難以達到寬頻。另外，串接寬 頻帶止濾波器的方式會使電路面積增大，而多層和共燒陶瓷架構則在製作過程上 較為繁雜。 為了考量寬頻帶通濾波器的小面積、平坦群延遲和截止頻帶之阻隔性，本論 文作了以下的設計。首先，藉由短路殘段和開路殘段的設計，使得成對的零點出 現在虛頻率軸上，因此能使群延遲平坦，並根據一系列的合成和推導，以設計偶 數階和奇數階的濾波器架構，其中偶數階以四階為例，奇數階以五階為例。而零 點位置、頻寬和漣波位準，可固定其一以自由選擇另外二者。此外，由於傳輸線 具有周期特性，因此我們希望能利用步階阻抗結構消除偽頻訊號，並縮小其電 路，以達到更好的訊號傳輸效果。在板材方面使用厚度為 15 毫英吋(mil)，介電 係數為 9.8 之陶瓷基板(Al O )，輸入與輸出埠以共平面波導設計饋入結構，其餘
電路皆以共平面帶線佈局。 本論文將在第二章闡述設計此濾波器的背景知識與理論，包括頻域轉換和 Cameron 濾波器函數的合成及步階阻抗之應用；第三章利用 Matlab 程式求出理 論的電路參數，進而用 ADS 做理想電路的模擬等設計流程與方法，皆作了詳細 的介紹；第四章加以說明電路的佈局與實作，以及對兩者間的差異作比較；最後， 第五章為本論文的結論。
第二章
第二章
第二章
第二章
理論
理論
理論
理論
2.1 低通濾波器至帶通濾波器之轉換
低通濾波器至帶通濾波器之轉換
低通濾波器至帶通濾波器之轉換
低通濾波器至帶通濾波器之轉換
為了設計濾波器，我們可將頻率轉換以符合要求。由圖 2.1 可觀察到濾波器 在兩種頻域的傳送參數|S21|頻率響應，其中 ω 為帶通濾波器之操作頻率，而 Ω 為 低通濾波器雛型之正規化頻率，頻率映像函數如(2-1)。(
)
1 tan δ θ − Ω = − ⋅ ， 0 2 π ω θ ω = × (2-1) (a) (b) 圖 2.1 頻率響應 (a)低通頻域 (b)帶通頻域 其中 ω0為帶通濾波器的中心頻率，δ 為低通至帶通轉換的比例因數。由圖2.1， 低通頻域的截止頻率-Ωc和 Ωc，須利用(2-2)和(2-3)對應至帶通濾波器的截止頻率 ω1和 ω2，其中 ω0為中心頻如(2-4)。1 0 cot 1 2 c π ω δ ω − ⋅ ⋅ = −Ω = − (2-2) 1 0 cot 1 2 c π ω δ ω − ⋅ ⋅ = Ω = (2-3) 1 2 0 2 ω ω ω = + (2-4) 接著，利用(2-5)和(2-6)我們可得到 δ 的值如(2-7)，而 W = ω2 - ω1為帶通濾波器之 通帶頻寬。再將(2-7)代入(2-1)，我們可得到完整的頻率映像函數如(2-8)，並進而 求得低通頻域之有限個傳輸零點如(2-9)。 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2
cot( ) tan 1 tan( ) 1
2 2 2 π ω π ω π ω ω δ δ δ ω ω ω ω ω ω − ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ = + + + (2-5) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
cot( ) tan 1 tan( ) 1
2 2 2 π ω π ω π ω ω δ δ δ ω ω ω ω ω ω − ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ = − + + + (2-6) 1 2 1 2 0 1 1 tan( ) tan( ) 2 2 2 W δ π ω ω π ω ω ω = − = ⋅ ⋅ + ⋅ (2-7) 1 0 1 (tan ) tan( ) 2 2 W θ π ω − Ω = − ⋅ ⋅ ⋅ (2-8)
{
}
1 1 1 1 1 2 (tan ) , ,..., | Z δ θ δ r δ r δ rn n N − − − − Ω = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ ∈ (2-9)2.2 廣義柴氏濾波器函數合成
廣義柴氏濾波器函數合成
廣義柴氏濾波器函數合成
廣義柴氏濾波器函數合成
低通頻域之廣義柴氏濾波器函數，可藉由R. J. Cameron 所提出的法則求得 [1]。Cameron發展了一套有效的遞迴技巧，使得一旦給定任意零點，則可求出二 埠網路的傳遞和反射多項式，二埠網路架構如圖2.2。11 12 21 22 S S S S 圖 2.2 二埠網路 2.2.1 二埠網路的二埠網路的二埠網路的穿透二埠網路的穿透穿透穿透參數參數參數 S參數 21(s)和反射參數和反射參數和反射參數和反射參數 S11(s)多項式化多項式化多項式化多項式化 在一個被動、無損且互易的二埠網路中，其 2×2 S 參數矩陣必須符合能量守 恆定律，再根據正交和單一條件(orthogonality unitary conditions)和 S12(s)=S21(s)，
我們可得到(2-10a)、(2-10b)和(2-10c)，其中 s = jω。 11( ) 11( ) 21( ) 21( ) 1 S s S s ∗+S s S s ∗ = (2-10a) 22( ) 22( ) 21( ) 21( ) 1 S s S s ∗+S s S s ∗ = (2-10b) 11( ) 21( ) 21( ) 22( ) 0 S s S s ∗+S s S s ∗ = (2-10c) 由(2-10)我們先將 S11(s)化成(2-11a)型式，並利用(2-11a)導出(2-11b)，最後將 S21(s) 表示成(2-11c)。其中 F(s)和 E(s)為複數係數之有限 N 次( N 為有限)項多項式，且 由於此為一被動網路，因此 E(s)的根皆在複數平面的左半面；P(s)為 nfz次多項式， nfz是有限位置零點的個數，且 nfz<N；εR和 ε 為可將 F(s)和 P(s)最高次項正規化至 1 之常數。 11 ( ) / ( ) ( ) R F s S s E s ε = (2-11a) 2 2 21 21 ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) R F s F s P s P s S s S s E s E s E s E s ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − = (2-11b) 21 ( ) / ( ) ( ) P s S s E s ε = (2-11c) 將所有向量型式的 S 參數以極化座標表示，再利用(2-10)和|S11(s) | = |S22(s) | 條件，可得到(2-12)。(2-12b)唯有在 e j(θ11-θ21) = - e j(θ21-θ22) 時成立，因此我們可得到 (2-13)。此外，由於向量 S11(s)、S22(s)和 S21(s)的分母同為 E(s)，因此他們的角度
可表示成分子的角度減去分母的角度，如(2-14)。將(2-14)代入(2-13)，可得到通 式(2-15)，此式說明不論 s =jω 的值如何，S21(s)的角度和 S11(s)與 S22(s)的平均角 度相差九十度的奇數倍。 2 2 21( ) 1 11( ) S s = − S s (2-12a) 11 21 21 22 11( ) 21( ) 21( ) 11( ) 0 j j j j S s eθ ⋅S s e−θ + S s eθ ⋅S s e−θ = 11 21 21 22 ( ) ( ) 11( ) 21( ) ( ) 0 j j S s S s e θ θ− e θ −θ ⇒ + = (2-12b) 11 22 21 ( ) (2 1) 2 2 k θ θ π θ + − + = ± (2-13) 21( )s n21( )s d( )s θ =θ −θ (2-14a) 11( )s n11( )s d( )s θ =θ −θ (2-14b) 22( )s n22( )s d( )s θ =θ −θ (2-14c) 11 22 21 ( ( ) ( )) ( ) (2 1) 2 2 n n n s s s θ θ π k θ + − + = ± (2-15) 由於(2-15)，加上 S21(s)和 S11(s)的零點皆座落在虛軸上或是對稱於虛軸成對出 現，因此可知 S22(s)的零點必與S11(s)之零點對稱於虛軸，如圖 2.3。因此能得到 (2-16)以符合正交條件。藉由(2-16)可推導出F22(s)和F(s)的角度關係式，以及F21(s) 之角度如(2-17)，將(2-17c)代入(2-17b)得到(2-18)，並由此可知，(N-nfz)需為奇數 左右兩式才會相等，換句話說當(N-nfz)為偶數時，左式必須多加上 π/2。根據以 上條件，最後可推導出(2-19)，並利用(2-16)得到此二埠網路的多項式 S 矩陣如 (2-20)。
21i s s21(i+1) (= −s21∗i) σ jω s=jω 21 21( 1) n i n i θ +θ + =π 21( 1) n i θ + 21 n i θ 11i s s22i ( s11i) ∗ = − σ jω s=jω 11 22 n i n i θ +θ =π 22 n i θ 11 n i θ (a) (b) 圖 2.3 在複數平面上當 s 為任意頻率時，S21(s)、S11(s)和 S22(s)多項式分子的角度： (a) 傳輸零點對 (b) S11(s)和 S22(s)的零點 22( ) ( 1) ( ) N F s = − −F s ∗ (2-16) 22( ) 11( ) n s n s N θ = −θ + π (2-17a) 21( ) (2 1) 2 2 n N s π π k θ − + = ± (2-17b) 21( ) 1 2 fz n n s π k θ = + π (2-17c) 1 ( ) (2 1) 2 2 fz N−n π −kπ =π k± (2-18) 當(N-nfz)為奇數： F s P s( ) ( )∗+P s F( ) 22( )s ∗ =0 (2-19a) 當(N-nfz)為偶數： F s( )[jP s( )]∗+[jP s F( )] 22( )s ∗ =0 (2-19b) 當(N-nfz)為奇數或偶數： ( ) 22 ( ) ( ) ( 1)N nfz ( ) ( ) 0 F s P s ∗− − − P s F s ∗ = (2-19c) 11 12 ( 1) 21 22 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1) fz ( ) R n R F s P s S S S S E s P s F s ε ε ε ε + ∗ = − (2-20)
2.2.2 交替極點方法交替極點方法交替極點方法 交替極點方法 將(2-10a)化成(2-21)之型式，則求出左式之零點即可建構出右式，而 E(s)E*(s) 的 2N 個根必對稱於虛軸，此外由於 E(s)符合赫維茨(Hurwitz)定理，左半平面的 零點屬於 E(s)，右半平面的零點屬於 E*(s)。接著將(2-21)化成(2-22)，(2-22a)為 當(N-nfz)為奇數時適用，再配合(2-19a)，可使得(2-23a)成立；同樣的(2-22b)和 (2-19b)為當(N-nfz)為偶數時適用，則(2-23b)成立。 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R F s F s P s P s E s E s ε ε ∗ ∗ ∗ + = (2-21) (N-nfz)為奇數： 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] R R R R E s E s P s F s P s F s P s F s P s F s ε ε ε ε ε ε εε ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = + + − + (2-22a) (N-nfz)為偶數： 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] R R R R E s E s j P s F s j P s F s jP s F s jP s F s ε ε ε ε ε ε εε ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = + + − + (2-22b) ( ) ( ) ( ) ( ) P s F s∗ = −P s F s∗ 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P s F s∗ +P s F ∗ s = (2-23a) ( ) ( ) ( ) ( ) P s F s∗ =P s F s∗ 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P s F s∗ −P s F ∗ s = (2-23b) 顯而易見，若要使(2-23)成立，F(s)=F22(s)，則我們可將(2-22)改寫成(2-24)。右式 求出的左半平面之零點即為E(s)之根，也是S11(s)和S21(s)之極點。 (N-nfz)為奇數： 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( ) ] =[ ( ) ( )][ ( ) ( )] R R R R R E s E s P s F s P s F s P s F s P s F s ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ = + + + + (2-24a) (N-nfz)為偶數： 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( ) ] =[ ( ) ( )][ ( ) ( )] R R R R R E s E s j P s F s j P s F s j P s F s j P s F s ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ = + + + + (2-24b) (N-nfz)為奇或偶數： 2 2 ( ) ( )=[ ( ) ( )][ ( ) ( )] RE s E s RP s j F s RP s j F s ε ε ∗ ε − ε ε − ε ∗ (2-24c)
由前面二埠網路分析，我們知道可將傳送和反射函數表成兩個 N 階多項式 之比，如(2-21)和(2-22)，其中 RL 為在ω =±1 時的反射損耗位準(dB)。 11 ( ) / ( ) ( ) R F S E ω ε ω ω = (2-25a) 21 ( ) / ( ) ( ) P S E ω ε ω ω = (2-25b) /10 1 1 ( ) ( ) / 10RL 1 R P F ω ω ε ω ε =± = − (2-26) 首先，只要知道有限位置的傳輸零點有 nfz個，則即可求得多項式 P(ω)如(2-23)。 1 ( ) nfz ( n) n Pω ω ω = =
∏
− (2-27) 接著為了求出 F(ω)，先利用(2-24c)得到(2-28)，其中 kCN(ω)= F(ω) / P(ω)，k 為常 數，CN(ω)稱作 N 階濾波器函數(filter function of degree N)，如(2-29)，而 xn(ω)為變數ω的函數。 21 21 2 R R ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) [1 ( )][1+ ( )] N N P P S S E E jk C jk C ω ω ω ω ε ε ε ω ω ω ω ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ = − (2-28) 當|ω|≦1： 1 1 ( ) cosh cosh ( ( )) N N n n C ω − x ω = =
∑
(2-29a) 當|ω|≧1： 1 1 ( ) cos cos ( ( )) N N n n C ω − x ω = = ∑
(2-29b) 有了濾波器函數 CN (ω)的幫助，便可開始多項式的合成。先將(2-29a)化成(2-30)， 其中 ω′和 an、bn、cn、dn如(2-31)。 1 n 1 1 n n n n 1 1 1 1 n 1( ) cos cos ( ( )) = cosh ln( + )
1 exp( ln( + )) exp( ln( + )) 2 1 ( + ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 (1 / ) N N N n n n n n n N N n n n n N N n n n n n n N n C x a b a b a b a b a b c d c d ω ω ω ω − = = = = = = = = = + − = + − + + − = −
∑
∑
∑
∑
∏
∏
∏
∏
∏
(2-30)1/ 1 / n n n a ω ω ω ω − = − ， 2 (1 1/ ) 1 / n n n b ω ω ω ω ′ − = − (2-31b) 1 n n c ω ω = − ， n 1 12 n d ω ω ′ = − ，ω′= ω2−1 (2-31c) 再來，將 CN (ω)的分子表成(2-32)，再把(2-32)中的 GN (ω)拆成一組只具有 ω 變數 的多項式 UN (ω)，和一組只具有 ω′變數的多項式 VN (ω)，如(2-33)，同樣將 GN ′(ω) 拆成 UN ′(ω)和 VN ′(ω)。最後，利用初始條件 U1 (ω) = U1′(ω)和 V1 (ω) = V1′(ω) ， 並代入遞迴數列(2-34)，可得到(2-35)，也就是求得 UN (ω)即可得到 F(ω)。 1 [ ( )] ( ) ( ) 2 N N N Num C ω = G ω +G ′ ω (2-32) ( ) ( ) ( ) N N N G ω =U ω +V ω (2-33a) ( ) ( ) ( ) N N N G ′ ω =U ω −V ω (2-33b) 0 1 ( ) ... N N N U ω = +u uω+ +u ω (2-33c) 0 1 ( ) ( ... N) N N V ω ω= ′ v +vω+ +v ω (2-33d) 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) N (1 ) ( ) N N N N N U U ω ω U ω ω ω V ω ω− ω − ′ − = − + − (2-34a) 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) N (1 ) ( ) N N N N N V V ω ωV ω ω ω U ω ω− ω − ′ − = − + − (2-34b) [ N( )] ( ) N( ) Num C ω =F ω =U ω (2-35) 2.2.4 多項式多項式多項式多項式 E(s) 為了要求出E(s)，需運用前面所述的交替極點方法，簡單來說就是將P(s)
1 ( ) ( ) N p p E ω ω ω = =
∏
− (2-37) 當 P(s)、F(s)和 E(s)皆求出後，將其代入(2-38)，即完成濾波器函數的合成。 11 ( ) / ( ) ( ) R F S E ω ε ω ω = (2-38a) 21 ( ) / ( ) ( ) P S E ω ε ω ω = (2-38b) /10 1 1 ( ) ( ) / 10RL 1 R P F ω ω ε ω ε =± = − (2-38c)2.4 步階阻抗
步階阻抗
步階阻抗(SIR)
步階阻抗
我們可將一 180 度的傳輸線殘段化成步階阻抗架構如圖 2.4，首先我們可先 求出此步階阻抗的輸入導納 Yi，如(2-39)，其中 K=Z2/Z1是阻抗比值。在 Yi = 0 時， 即為其共振點，將此條件代入(2-39)，可得到(2-40)，並得到 θT和 θ1之關係式 (2-41)。利用(2-41)繪出 SIR 共振條件圖，如圖 2.5，由此圖可發現當 K <1 時 θT < π，並且可找到 θT的最小值，因此對(2-41)作微分，可找出 θT為最小時 θ1的值， 如(2-42)。 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 22( tan tan ) ( tan tan )
(1 tan ) (1 tan ) 2(1 ) tan
i K K Y jY K K tan θ θ θ θ θ θ θ θ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − − + ⋅ ⋅ (2-39) 1 2 tan tan K = θ ⋅ θ (2-40) 1 1 1 tan ( tan ) , 1 2 1 tan T K K K θ θ θ = ⋅ + ≠ − (2-41) 2 2 1 1 1 (tan ) sin =0 1−K ⋅ θ −K ⋅ θ (2-42a) 使 -1 1 2 =tan (θ K)=θ (2-42b)
1 2 2( ) T θ = θ θ+ 2 θ 2θ1 θ1 圖 2.4 步階阻抗架構 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 T θ 1 θ 圖 2.5 共振條件圖 將(2-42)代入(2-39)，可得到(2-43)，並得到當長度為 θ0時對應的頻率即為基 頻 f 0，如(2-44)。接著令(2-43)為零，則可求得倍頻和阻抗比例 K 之間的關係， 其中 fs1為第一偽頻，fs2為第二偽頻，fs3則是第三偽頻，如(2-45)和(2-46)。由此 可知，一旦我們適當的決定 K 值，就可使倍頻往較高頻移動。 2 2 2 2 4 2 2(1+ ) ( tan ) tan 2(1 ) tan i K K Y jY K K K Ktan θ θ θ θ ⋅ − ⋅ = ⋅ − + + ⋅ + (2-43) 2θ = ⇒θ = −1
1 1 1 0 0 2 tan s s f f K θ π θ − = = (2-46a) 2 2 1 0 0 0 2 1 s s s f f f f θ θ = = − (2-46b) 3 3 1 0 0 0 2 s s s f f f f θ θ = = (2-46c)
第三章
第三章
第三章
第三章
設計
設計與模擬
設計
設計
與模擬
與模擬
與模擬
首先，利用低通至帶通頻域映像函數和濾波器合成函數，設計具有平坦群延 遲之寬頻帶通濾波器[20]，再來就是進行如何抑制假性諧波通帶的研究，以達到 原先擬定的設計訴求。3.1 具有平
具有平
具有平坦
具有平
坦
坦群延遲之
坦
群延遲之寬頻
群延遲之
群延遲之
寬頻
寬頻
寬頻帶通
帶通
帶通
帶通濾波器合成
濾波器合成
濾波器合成
濾波器合成
為了要有系統的合成濾波器，我們必須先作電路結構的奇模和偶模分析，求 出整個電路的傳送和反射多項式，並得到傳輸零點後，利用頻率映像函數，求得 在低通頻域的傳送多項式之分子，以及反射多項式之分子。最後利用兩者傳送和 反射多項式之比值相等之概念，即可得到電路中所有的阻抗值。 3.1.1 虛頻率軸上的零點虛頻率軸上的零點虛頻率軸上的零點虛頻率軸上的零點 圖 3.1~3.3 為零點在不同位置上時，S 參數之頻率響應圖。當傳輸零點位於 虛頻率軸上時，由圖 3.4 可觀察到當零點位於虛頻率軸上時，群延遲最為平坦。 圖 3.1 傳輸零點位於實頻率軸上 圖 3.2 傳輸零點位於無限遠處 0 1 2 3 4 5 6 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0Prototype frequency (rad/s)
S 2 1 /S 1 1 ( d B ) -30 -20 -10 0 S 2 1 /S 1 1 ( d B ) 0 1 2 3 4 5 6 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Prototype frequency (rad/s)
S 2 1 /S 1 1 ( d B )
0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Frequency (GHz) G ro u p D e la y ( n s ) 圖 3.4 不同位置零點之群延遲比較 3.1.2 偶數階偶數階偶數階寬頻偶數階寬頻寬頻帶通寬頻帶通帶通濾波器帶通濾波器濾波器 濾波器 以四階濾波器為例，合成四階濾波器之特性： 固定零點位置，適當選取漣波因子ε。 則頻寬 W 可被決定。 由於合成四階濾波器時，先固定零點，因此不同的反射損耗可以對應到不同 的頻寬以及阻抗。根據圖 3.5 可找出當反射損耗為 20dB 時，群延遲最為平坦， 因此選取表 3.1 反射損耗為 20dB 的狀況。
表 3.1 當零點固定(k=1)時，改變 LR所對應之各參數值 LR(dB) BW(%) Z1 (Ω) Z2 (Ω) 16 100.08 60.15 42.65 17 98.14 61.56 43.68 18 96.18 62.87 44.85 19 94.21 64.09 45.97 20 92.25 65.22 47.03 Frequency (GHz) G ro u p d el a y ( s ec ) 1 2 3 4 5 0 6 2E-10 3E-10 4E-10 5E-10 1E-10 6E-10 Frequency (GHz) G ro u p d el a y ( s ec ) 1 2 3 4 5 0 6 2E-10 3E-10 4E-10 5E-10 1E-10 6E-10 圖 3.5 不同反設損耗所對應之群延遲圖 訂定寬頻濾波器的條件： 四階柴氏響應，在虛頻率軸上具有零點，以達到平坦群延遲。
圖 3.6 為四階電路的架構，而為了要設計出符合以上條件的寬頻濾波器，首 先先進行電路的奇偶模分析，以求得濾波器的 S 參數。奇偶模電路如圖 3.7，可 先從分析得到奇模和偶模的反射係數如(3-1)和(3-2)，其中 t = tanθ，而 z1、z2為 Z1、Z2之歸一化阻抗。再由(3-1,2)可導出此電路架構的 S 參數以及濾波器的傳輸 零點，如(3-3)~(3-5)。 2
,
2
Z
θ
2,
2
Z
θ
port2
1,
Z
θ
1,
Z
θ
port1
180 ° 1,
Z
θ
1,
Z
θ
圖 3.6 四階寬頻帶通濾波器架構1, Z θ 1, Z θ 2 2 , 2 Z θ 1, Z θ 1, Z θ 2 2 , 2 Z θ (a) (b) 圖 3.7 具有虛頻率軸零點的四階寬頻帶通濾波器之 (a)偶模架構 (b)奇模架構
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 even t t z j t z j z t jtz t t z j t z j z t jtz + − + − + + − + Γ = + − − − − + − − (3-1)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 odd t t z j t z z j t tz t t z j t z z j t tz + + − − + + + + Γ = + + + − + − + + + (3-2)(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 4 4 1 2 11 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3 4 4 1 1 2 1 2 1 2 8 4 4 ( 2) 4 (1 ) 8 ( 4 ) 8 4 12 8 4 ( 2) 4 (1 ) 8 4 4 8 ( 4 ) cir z z z z z z z z z t z z t S z z z j z z z z t z z z z z z t j z z z z z t z z t − − + − − + − + ⋅ + − ⋅ = + + + ⋅ + − + − − − ⋅ − + + ⋅ + + ⋅ (3-3)(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 2 1 2 21 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 (1 1 ) 2 (6 2 1 4 8 4 12 8 4 ( 2) 4 (1 ) 8 cir jz z t jz z z t t jz z t S z z z j z z z z t z z z z z z t − − + − − + ⋅ − ⋅ = + + + ⋅ + − + − − − ⋅ (3-4)δ=1.15，則(2-1)可表成(3-6)，接著將(3-5)所求得的零點對應至低通頻域如(3-7)， 最後運用 2.3 節所提之 Cameron 濾波器合成方法，並將(3-6)代入後，可得到多項 式 P(t)和 F(t)如(3-10)及(3-11)。
(
)
1 1.15 tanθ − Ω = − (3-6){
1.15}
z j Ω = ± (3-7) 2 4 ( ) 1 2 P Ω = + ⋅Ω + Ω (3-8) F( ) 1 14Ω = − ⋅Ω + ⋅Ω2 17 4 (3-9)(
)
1 1.15 tanθ − Ω = − 時， P t( ) 1 2 1.322 1.754 t t = + ⋅ + (3-10) 2 4 1.32 1.75 ( ) 1 14 17 F t t t = − ⋅ + ⋅ (3-11) 將(3-3)、(3-4)、(3-10)和(3-11)作整理後，可得到(3-13)和(3-14)，ε為漣波因 子。並運用等漣波近似函數(3-12)，使(3-13)等於(3-14)，而在四階的狀況下為固 定傳輸零點位置，則求得電路中所有的阻抗值如(3-15)，在中心頻的狀況下 θ= 90°。完成設計後四階寬頻帶通濾波器各個參數結果如表3.2，架構如圖3.6，S 參數及群延遲模擬圖如圖3.8和圖3.9。 11 21 21 21(tan ) (tan ) (tan )
(tan ) (tan ) (tan )
cir cir S F S S P jS θ ε θ θ θ = θ = θ (3-12)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 4 4 1 2 11 2 2 21 1 2 2 2 2 2 4 1 2 2 1 2 8 4 4 ( 2) 4 (1 ) 8 ( 4 ) (tan ) (tan ) 4 (1 1 ) 2 (6 2 1 +4 cir cir z z z z z z z z z t z z t S jS z z t z z z t t z z t θ θ − − + − − + − + ⋅ + − ⋅ = − + − + ⋅ ⋅ (3-13) 2 4 11 2 4 21 (tan ) (tan ) 29.75 18.48 (tan ) (tan ) 1.75 2.64 S F t t S P t t θ ε θ ε ε ε θ θ − + = = + + (3-14) 1 65.22 , 2 3 47.03 Z = Ω Z =Z = Ω (3-15)表 3.2 四階寬頻帶通濾波器各個參數結果 參數 ΩZ Z1 (Ohm) Z2= Z3 (Ohm) BW f0 (GHz) LR (dB) 參數值 ± 1.15 j 65.22 47.03 92.16% 3 20 1 2 3 4 5 0 6 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 M a g n it u d e ( d B ) Frequency (GHz) S11 S21 1 2 3 4 5 0 6 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 M a g n it u d e ( d B ) Frequency (GHz) S11 S21 圖 3.8 四階寬頻帶通濾波器 S 參數 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 G ro u p d e la y ( s e c ) 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 G ro u p d e la y ( s e c )
3.1.3 奇數階奇數階奇數階寬頻奇數階寬頻寬頻帶通寬頻帶通帶通濾波器帶通濾波器濾波器 濾波器 以五階濾波器為例，合成五階濾波器之特性： 固定頻寬 W，適當決定傳輸零點的位置。 則頻寬ε 可被決定。 訂定寬頻濾波器的條件： 五階柴氏響應，在虛頻率軸上具有零點，以達到平坦群延遲。 中心頻率 ω 0 = 3GHz。 通帶頻寬 W = 3GHz (3 ~ 6GHz)。 五階架構圖如圖 3.10，同樣的先利用奇偶模分析求得 S 參數。奇偶模電路如 圖 3.11，可先從分析得到奇模和偶模的反射係數如(3-16)，其中 t = tanθ，而 z1、 z2、z3為 Z1、Z2、Z3之歸一化阻抗，再導出電路的 S 參數和傳輸零點，如(3-17) ~ (3-19)。 1
,
Z
θ
1,
Z
θ
1,
Z
θ
2,
Z
θ
3,
Z
θ
1,
Z
θ
圖 3.10 五階寬頻帶通濾波器架構1, Z θ 1, Z θ 3 2 , Z θ 1, Z θ 1, Z θ 2 2 , Z θ (a) (b) 圖 3.11 具有虛頻率軸零點的五階寬頻帶通濾波器之 (a)偶模架構 (b)奇模架構 2 3 2 1 1 3 1 2 3 2 3 2 1 1 3 1 3 3 2( ) 2 2 2( ) 2 2 even z t j z z t z z t j z z t j z z t z z t j z + + ⋅ − − Γ = − + − + (3-16a) 2 2 2 1 1 3 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 ( 2 ) 2( ) 2 ( 2 ) 2( ) odd j z t z z z t j z z j z t z z z t j z z − + + ⋅ + + Γ = + + ⋅ − + (3-16b) 2 2 1 2 1 1 2 3 1 4 3 4 1 1 2 1 2 2 3 11 3 1 2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 1 1 3 2 1 3 4( ) 2(2 ( ) ( 2)) ( 4 2 4 ) 4 ( ) 2 (3 4 ) 2( 2 2 2 ( ) 2 ( )) 2 ( 2 2 ( ) 2 ( )) cir z z z z z z z t z z z z z z z t S z z z j z z z z t z z z z z z z z z z z z z t j z z z z z z z z z z z z − + + + − − ⋅ + − + − ⋅ = + + + ⋅ − + + + + + + ⋅ − + + + + + + ⋅ 3 4 3 4 2 5 1 1 2 2 1 3 1 2 ( 2 4 ( )) 2 t z z z z z z t j z z t + + + + ⋅ + (3-17) 2 2 3 2 5 1 3 1 2 3 1 2 21 3 1 2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 3 2 1 3 2 2 ( ) 2 4 ( ) 2 (3 4 ) 2( 2 2 2 ( ) 2 ( )) 2 ( 2 2 ( ) 2 ( )) cir j z z t j z z z t j z z t S z z z j z z z z t z z z z z z z z z z z z z t j z z z z z z z z z z z z t + + ⋅ + = + + + ⋅ − + + + + + + ⋅ − + + + + + + ⋅ (3-18)
同樣根據頻率映像函數(2-1)式，設 δ=1 則得到(3-21)，接著將(3-20)所求得的 零點對應至低通頻域如(3-22)，最後運用 Cameron 的合成濾波器法則，並將(3-21) 代入後，可得到多項式 P(t)和 F(t)如(3-27)及(3-28)。
(
)
1 tanθ − Ω = − (3-20) 3 2 1 1 , , , , z z j j k z j k j k Ω = − = − (3-21) 2 4 1 1 ( ) k P k k + Ω = + Ω + Ω (3-22) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) C k B k B k F A k A k A k Ω = Ω + Ω + Ω (3-23) 其中 A k( )=11.67 5.83+ k+11.67 1+k (3-24) ( ) 13.49 3.83 13.66 1 B k = − − k− +k (3-25) ( ) 3.83 2 1 C k = + +k (3-26)(
)
1 tanθ − Ω = − 時， P t( ) 1 k 1 12 14 k k t t + = + ⋅ + (3-27) 3 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) C k B k B k F t A k t A k t A k t = ⋅ + ⋅ + ⋅ (3-28) 將(3-19)、(3-27)和(3-28)作整理後，可得到(3-29)，ε為漣波因子。運用等漣波近 似函數(3-14)，使(3-29a)等於(3-29b)，再根據圖3.12可知當k = 1.56時，群延遲 最為平坦，因此選取表3.3中k = 1.56之狀況，則求得五階電路中所有的阻抗值 如(3-30)，而在中心頻的狀況下 θ= 90°。完成設計後五階寬頻帶通濾波器各個參 數結果如表3.4，架構如圖3.5，S參數及群延遲模擬圖如圖3.13和圖3.14。 2 2 1 2 1 1 2 3 1 4 3 4 1 1 2 1 2 2 3 11 2 2 3 2 5 21 1 3 1 2 3 1 2 4( ) 2(2 ( ) ( 2)) ( 4 2 4 ) (tan ) (tan ) 2 2 ( ) 2 cir cir z z z z z z z t z z z z z z z t S jS z z t z z z t z z t θ θ + − + + − ⋅ − − + − ⋅ = + + ⋅ + (3-29a) 2 4 11 3 5 21 (tan ) (tan ) ( ) ( ) ( ) (tan ) (tan ) ( ) (1 ) ( ) ( ) S F kA k kB k t kC k t S P kA k t k A k t A k t θ ε θ ε ε ε θ θ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + + ⋅ + (3-29b)表 3.3 當頻寬固定時，改變 k 所對應之各參數值 k ΩZ Z1 (Ω) Z2 (Ω) Z3 (Ω) ε LR(dB) 1.00 ± j 70.83 65.40 65.4 2.72 21.97 1.24 ± j0.9 69.43 55.30 68.57 2.59 21.11 1.56 ± j0.8 67.9 46.36 72.33 2.48 20.2 2.04 ± j0.7 66.07 37.88 77.28 2.38 19.17 2.78 ± j0.6 63.96 30.15 83.83 2.30 18.02 1 2 3 4 5 0 6 0.0 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 -1.0E-10 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1 2 3 4 5 0 6 0.0 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 -1.0E-10 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 圖 3.12 不同 k 對群延遲作圖 1 67.9 , 2 46.36 , 3 72.33 Z = Ω Z = Ω Z = Ω (3-30)
表 3.4 五階寬頻帶通濾波器各個參數結果
參數 ΩZ Z1 (Ohm) Z2 (Ohm) Z3 (Ohm) BW f0 (GHz) LR (dB)
參數值 ± j , ± 0.8 j 67.9 46.36 72.33 100% 3 20 1 2 3 4 5 0 6 -50 -40 -30 -20 -10 -60 0 M a g n it u d e (d B) Frequency (GHz) S11 S21 1 2 3 4 5 0 6 -50 -40 -30 -20 -10 -60 0 M a g n it u d e (d B) Frequency (GHz) S11 S21 圖 3.13 五階寬頻帶通濾波器 S 參數 1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 圖 3.14 五階寬頻帶通濾波器群延遲
3.2 寬截止頻帶之設計
寬截止頻帶之設計
寬截止頻帶之設計方法
寬截止頻帶之設計
方法
方法
方法
將高阻抗與低阻抗的傳輸線交錯串接，這種濾波器通常稱為步階阻抗濾波 器，若設計得宜，其占用的面積會較一般傳輸線殘段所做的濾波器小，並能將倍 頻推遠。因此我們將 3.1 節所設計的寬頻濾波器步階阻抗化，以達到將電路縮小化，並有寬的截止頻帶之目的。 由 2.4 節我們知道，若將一電氣長度為 θ 之傳輸線等效成步階阻抗之型式 後，當 K<1 (Z1>Z2)時，步階阻抗部分的長度會小於 θ，在此令 Z1 = ZH、Z2 = ZL 如圖 3.15。因此，我們可利用均勻傳輸線和步階阻抗等效傳輸線的 ABCD 矩陣 相等之概念，求得不同長度不同阻抗值之傳輸線，應該等效成怎樣的步階阻抗結 構。 θ (a) (b) 圖 3.15 (a)長為 θ 之傳輸線 (b) 長為 θ 的傳輸線之步階阻抗等效電路 3.2.1 偶數階寬偶數階寬偶數階寬截止頻帶設計偶數階寬截止頻帶設計截止頻帶設計 截止頻帶設計 四階架構由兩種不同長度的傳輸線所組成，環的部分為 90°傳輸線，而開路 和短路殘段為 45°傳輸線，因此有兩種等效方程式。 90°傳輸線 藉由 90°傳輸線的 ABCD 矩陣和步階阻抗部分的 ABCD 矩陣相等，可得到 (3-31)~(3-33)，並可求出最佳化的阻抗值和電氣長度如表 3.5。 2 2
cos cos 2 ( ) cos sin sin
0 H L H L H L L H L H L Z Z Z Z Z Z θ θ − + θ θ θ = (3-31) 2 2 2
cos sin ( sin sin cos sin 2 )
H L H L L H L H H L
Z Z Z Z
Z
θ θ − − θ θ + θ θ =
表 3.5 鼠競環 SIR 的阻抗值和電氣長度 90°傳輸線 ZL ZH θL θH Z=65.6 Ω 50.5 Ω 113.35 Ω 25.34° 22.74° 45°傳輸線 藉由 45°傳輸線的 ABCD 矩陣和步階阻抗部分的 ABCD 矩陣相等，可得到 (3-34)~(3-36)，並可求出最佳化的阻抗值和電氣長度如表 3.6。 2 2
cos cos 2 ( ) cos sin sin 1
2 H L H L H L L H L H L Z Z Z Z Z Z θ θ θ θ θ − + + = (3-34) 2 2 2
cos sin ( sin sin cos sin 2 )
2 H L H L L H L H H L H Z Z Z Z Z Z θ θ + − θ θ + θ θ = (3-35) 2 2 2 2
cos sin ( sin sin cos sin 2 ) 1
2 L L H H H H L L H L H L Z Z Z Z Z Z Z θ θ + − θ θ + θ θ = (3-36) 表 3.6 殘段 SIR 的阻抗值和電氣長度 45°傳輸線 ZLb ZHb θLb θHb Z=47.4 Ω 30 Ω 151.4 Ω 17.14° 20.98° 完成設計後的四階步階阻抗式寬頻帶通濾波器架構如圖 3.16，S 參數如圖 3.17，其比例頻寬達 100%(1.5~4.5GHz)，且中心頻四倍頻以下之止帶均有壓 制，因此具有寬截止頻帶的特性；而群延遲如圖 3.18，從圖中可觀察到此電 路架構有平坦的群延遲。
L Z L H Z H L Z L L Z L H Z H L Z L 圖 3.16 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的架構 2 4 6 8 10 12 14 0 16 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 Frequency (GHz) M a g n itu d e (d B ) 2 4 6 8 10 12 14 0 16 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 Frequency (GHz) M a g n itu d e (d B ) 圖 3.17 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的 S 參數模擬
1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 圖 3.18 具有寬截止頻帶之四階寬頻帶通濾波器的群延遲模擬 3.2.2 奇數階寬奇數階寬奇數階寬截止頻帶設計奇數階寬截止頻帶設計截止頻帶設計 截止頻帶設計 五階架構皆由長度為 90°的傳輸線所組成，因此只需要用到 90°等效方程式。 90°傳輸線 藉由 90°傳輸線的 ABCD 矩陣和步階阻抗部分的 ABCD 矩陣相等，可得到 (3-37)~(3-39)，並可求出最佳化的阻抗值和電氣長度如表 3.7。 2 2
cos cos 2 ( ) cos sin sin
0 H L H L H L L H L H L Z Z Z Z Z Z θ θ − + θ θ θ = (3-37) 2 2 2
cos sin ( sin sin cos sin 2 )
H L H L L H L H H L H Z Z Z Z Z Z θ θ − − θ θ + θ θ = (3-38) 2 2 2 2
cos sin ( sin sin cos sin 2 ) 1
L L H H H H L L H L H L Z Z Z Z Z Z Z θ θ − − θ θ + θ θ = (3-39) 表 3.7 五階 SIR 的阻抗值和電氣長度 90°傳輸線 ZL ZH θL θH Z=67.9 Ω 30.3 Ω 116.64 Ω 16.81° 30.52°
90°傳輸線 ZLb1 ZHb1 θLb1 θHb1 Zb1=46.36 Ω 38.54 Ω 136.47 Ω 20° 22.75° 90°傳輸線 ZLb2 ZHb2 θLb2 θHb2 Zb2=72.33 Ω 30.3 Ω 129.77 Ω 20° 22.75° 完成設計後的五階步階阻抗式寬頻帶通濾波器架構如圖 3.19，S 參數如圖 3.20，其比例頻寬達 100%(1.5~4.5GHz)，且中心頻 4 倍頻以下之止帶均有壓 制，因此具有寬截止頻帶的特性；而群延遲如圖 3.21，從圖中可觀察到此電 路架構有平坦的群延遲。 18 0 L Z L H Z H L Z L L Z L H Z H L Z L L Z L H Z H L Z L L Z L H Z H L Z L 圖 3.19 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的架構
Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) 2 4 6 8 10 12 14 0 15 -100 -80 -60 -40 -20 -120 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) 2 4 6 8 10 12 14 0 15 -100 -80 -60 -40 -20 -120 0 圖 3.20 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的 S 參數模擬 1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1 2 3 4 5 0 6 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 圖 3.21 具有寬截止頻帶之五階寬頻帶通濾波器的群延遲模擬
第四章
第四章
第四章
第四章
佈
佈局
佈
佈
局
局與實作
局
與實作
與實作
與實作
板材的方面，選擇板厚為 15 豪英吋(mil)，介電常數為 9.8 的陶瓷基板。佈 局方面，採用共平面帶線(CPS)架構實現，而在輸入埠和輸出埠處，則為共平面 波導(CPW)架構以利測量。4.1 四階
四階
四階濾波器
四階
濾波器
濾波器
濾波器
CPS 主要適合高阻抗傳輸線的實踐，對低阻抗來說必須採取並聯的型式。圖 4.1 為四階架構的佈局圖，表 4.1 和表 4.2 為對應圖 4.1 的各個線寬、線距和線長。表 4.1 四階 ABCDE 各區塊所對應之阻抗、線寬與線距
區塊 阻抗 訊號線寬 地線寬 線距
A 50 Ω 4.5 mil 16 mil 1.5 mil
B 50.5 Ω 4 mil 4 mil 5 mil
C 113.35 Ω 4 mil 4 mil 5 mil
D 30 Ω 4 mil 4 mil 4 mil
E 151.4 Ω 4 mil 4 mil 13 mil
表 4.2 四階之各段線長 岔路環部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 線段 長度 LH 88.5 L3 180.5 L6 133 L1 128.5 L4 101.5 L7 158 L2 141 L5 128.5 L8 101 殘段部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 線段 長度 Ls1 53 Ls4 66 Lo3 61 Ls2 43.5 Lo1 90 Lo4 74 Ls3 61 Lo2 43.5 圖 4.2 為電磁模擬及實作量測之通帶 S 參數比較，從此圖可發現反射損耗在 15dB 以下之比例頻寬，EM 模擬為 95.78%，實際量測為 98%。而群延遲不論是理論 還是量測皆很平坦，如圖 4.3。圖 4.4 可觀察到截止頻帶在-20dB 以下的頻段約為 5GHz~6.5GHz。實做電路圖如圖 4.5，模擬與量測詳細各個參數的比較如表 4.3。
Frequency (GHz) M agni tu d e (dB ) EM模擬 量測結果 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 5.5 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M agni tu d e (dB ) EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 5.5 -40 -30 -20 -10 -50 0 圖 4.2 四階通帶 S 參數之模擬與量測比較 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.2 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) EM模擬 量測結果 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.2 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 圖 4.3 四階之通帶群延遲 EM 模擬與量測比較
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) EM模擬 量測結果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 圖 4.4 四階 S 參數 EM 模擬與實際量測之比較 圖 4.5 四階實作電路圖
表 4.3 四階 EM 模擬與實際量測之各參數比較 比例頻寬 中心頻 群延遲 截止頻帶(-20dB 以下) EM 模擬 95.78% 2.85GHz 0.3ns 5GHz~6.3GHz 實作量測 98% 2.95GHz 0.19ns 5GHz~6.5GHz 由以上之比較可以發現量測和模擬的趨勢十分吻合，然而在截止頻帶不夠 寬，因此從 CPS 架構需要平衡的特性加以改良電路佈局，並犧牲一些面積的優 勢將短路和開路殘段截彎取直，以避免不連續狀況產生，改善過後的電路佈局如 圖 4.5，ABCDE 所有區塊的線寬和線距不變(阻抗不變)如表 4.1，而表 4.4 為對應 圖 4.5 的各個線長。從 S 參數模擬我們可以發現如圖 4.6 所示，截止頻帶在-20dB 以下之頻段為 5GHz~8.7GHz，可抑制約三倍頻，著實比圖 4.1 之設計方式增寬很 多，而群延遲模擬如圖 4.7。此架構所有相關參數的值如表 4.5。
表 4.4 四階改良架構之各段線長 岔路環部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 線段 長度 LH1 / LH2 94.5/88.5 L3 138.5 L6 129 L1 133.5 L4 111.5 L7 134 L2 141 L5 133.5 L8 125 殘段部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 Ls1 49.5 Lo1 60 Ls2 76 Lo2 76 Ls3 60 Lo3 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) S11 S21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -70 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) S11 S21 S11 S21 S11 S21 圖 4.7 四階改良架構之 S 參數 EM 模擬
Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.2 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) G ro u p d e la y ( s e c ) 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.2 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 圖 4.8 四階改良架構之通帶群延遲 EM 模擬 表 4.5 四階改良架構之 EM 模擬之各參數 比例頻寬 中心頻 群延遲 截止頻帶(-20dB 以下) EM 模擬 100.82% 3.03GHz 0.26ns 5GHz~8.7GHz
4.2 五階
五階
五階濾波器
五階
濾波器
濾波器
濾波器
同樣對低阻抗採取 CPS 並聯型式的佈局。圖 4.9 為四階架構的佈局圖，表 4.3 和表 4.4 為對應圖圖 4.9 的各個線寬、線距和線長。表 4.6 五階 ABCDEF 各區塊所對應之阻抗、線寬與線距
區塊 阻抗 訊號線寬 地線寬 線距
A 50 Ω 4 mil 8.5 mil 2 mil
B 30.3 Ω 8.5 mil 8.5 mil 2 mil
C 116.64 Ω 8.5 mil 8.5 mil 10.5 mil
D 38.54 Ω 8.5 mil 8.5 mil 4.5 mil
E 136.47 Ω 8.5 mil 8.5 mil 17 mil
F 129.77 Ω 8.5 mil 8.5 mil 14.5 mil
表 4.7 五階之各段線長 岔路環部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 線段 長度 LH 129 L3 66 L6 89.5 L1 97.5 L4 90 L7 61.5 L2 100 L5 98 L8 81 殘段部分 (mil) 線段 長度 線段 長度 線段 長度 Ls1 69 Ls4 120.5 Lo3 55 Ls2 78 Lo1 66.5 Lo4 147 Ls3 111 Lo2 54.5 圖 4.10 為電磁模擬及實作量測之通帶 S 參數比較，從此圖可發現反射損耗在 15dB 以下之比例頻寬，EM 模擬為 103.4%，實際量測為 102.5%。而群延遲不論是模 擬還是量測皆很平坦，如圖 4.11。圖 4.12 可觀察到實作的截止頻帶在-20dB 以下 的頻段約為 5GHz~9.3GHz，可抑制三倍頻。實作電路圖如圖 4.13，模擬與量測 詳細各個參數的比較如表 4.8。
1 2 3 4 5 0 6 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) 模擬結果 量測結果 1 2 3 4 5 0 6 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) 模擬結果 量測結果 模擬結果 量測結果 模擬結果 量測結果 圖 4.10 五階通帶 S 參數之模擬與量測比較 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.5 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) Gr o u p d e la y ( s e c ) EM模擬 量測結果 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 5.5 1.0E-10 2.0E-10 3.0E-10 4.0E-10 5.0E-10 6.0E-10 7.0E-10 8.0E-10 9.0E-10 0.0 1.0E-9 Frequency (GHz) Gr o u p d e la y ( s e c ) EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) EM模擬 量測結果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 -40 -30 -20 -10 -50 0 Frequency (GHz) M a g n it u d e ( d B ) EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 EM模擬 量測結果 圖 4.12 五階 S 參數 EM 模擬與實際量測之比較 圖 4.13 五階實作電路圖
表 4.8 EM 模擬與實際量測之各參數比較
比例頻寬 中心頻 群延遲 截止頻帶(-20dB 以下)
EM 模擬 103.4% 2.9GHz 0.3ns 5GHz~8.3GHz
第五章
第五章
第五章
第五章
結論
結論
結論
結論
本論文以鼠競環搭配短路與開路殘段，來設計不論奇數或偶數階之寬頻帶通 濾波器，不論奇偶階之濾波器在虛頻率軸上都有可設計的成對零點出現，因此能 使群延遲平坦。此外，由於傳輸線的週期性，故高頻會出現週期性之僞頻通帶 (spurious passband)，所以本文將提出之寬頻帶通濾波器架構中各段傳輸線， 改良成步階阻抗結構，以推遠僞頻通帶，達到具有寬截止頻帶之特性。 傳輸零點位置由短路殘段和開路殘段的阻抗值決定，偶數階以四階為例，奇 數階則以五階為例。其中四階架構的殘段長度為 45°，固定零點位置使得短路殘 段和開路殘段的阻抗值相等，則頻寬和漣波因子ε具有自由度；五階架構的殘段 長度為 90°，其頻寬固定而零點位置和漣波因子ε可變，因此可求得最合適的殘 段阻抗值。在虛軸上成對出現的傳輸零點，確實使得群延遲達平坦。在加寬上截 止帶方面，先找到每一段傳輸線等效的步階阻抗架構，經由模擬結果可證實此結 構能推遠僞頻通帶，達到寬截止頻帶的效果。 綜合以上理論推導與實作，證明此架構確實符合具有平坦群延遲和寬截止頻 帶之寬頻帶通濾波器的規格，適合用於寬頻及多頻通訊系統。參考文獻
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