《分式》全章复习与巩固（提高）

(1)

《分式》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质 1．分式一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式.其中 A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B≠0 时，分式

A

B

才有意义. 2.分式的基本性质　　（M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分　利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　

(2)

3．基本运算法则　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算

a b

c



 

；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算

a c

ac

b d

 

bd

，其中

a b c d

、、、

是整式，

bd



0

. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算

a

c

a d

ad

b d

   

b c

bc

，其中

a b c d

、、、

是整式，

bcd



0

. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质 1、（2016•营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（）

(3)

　　A.

1

2 x



1

　　　B.

1

2 x



1

　　　C. 2

1 3x

x



　　　D. 2

5

3

2

1 x

x



【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断. 【答案】D；【解析】一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于 0.即若是一个分式，则有意义 B≠0.而选 项 D，分母 2x2_+1≥1_{，所以无论 x 取何值} ₂

5

3

2

1 x

x



一定有意义. 【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零. 2、不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数．（1）

1

4

2

3

1

3

4 a

b

a

b





；（2）

0.3

0.2

0.05 x

y

x y





；（3） 2 2 2 2

3

0.4

10

1

0.6

4 x

y

x

y





．【答案与解析】解：（1）

1

4

1

4 ₁₂

6

16

2

3

2

3

1

1 ₁₂

4

3

4

3

4 a

b

a

b

_a

_b

a

b

a

b

a

b



_



_





_



_

_











_



_







．（2）

0.3

0.2

0.05 x

y

x y





(0.3

0.2 ) 100

30

20 (0.05

) 100

5

100 x

y

x

y

x y

x

y









 



5(6

4 )

6

4 5(

20 )

20 x

y

x

y

x

y

x

y







；（3）原式 2 2 2 2 2 2 2 2

(0.4

0.3 ) 100

40

30 (0.25

0.6 ) 100

25

60 x

y

x

y

x

y

x

y















2 2 2 2 2 2 2 2

5(8

6 )

8

6 5(5

12 )

5

12 x

y

x

y

x

y

x

y







；【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时，要把小数先化成最简分数；相乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘．类型二、分式运算 3、计算： 2 4

1

2

4

1 

x



1 

x



1 

x



1 

x

．【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题．【答案与解析】解：原式 2 2 4 4 4 8

2

4

8

1 x





















．【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简的目的．在解题

(4)

时既要看到局部特征，又要全局考虑．举一反三：【变式】计算

1

1 (

1) (

1)(

2) (

2)(

3)

a a



a



a



a



a



…

1 (

a

2005)(

a

2006)



．【答案】解：原式

1

2

3 a a

a



 





_



_{ }





_{ }





_





 



…

1

1 2005

2006

a







_



_







1

2

3 a a

a

 











…

1

1 2005

2006

a







2

1

1 2006

2006

(

2006)

(

2006)

2006

a

a a

a



 









．类型三、分式条件求值的常用技巧 4、已知

1

4 x

x

 

，求 2 4 2

₁

x



x



的值．【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求出 2 4 2

₁

x



x



的值．【答案与解析】解：方法一：∵ 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2

1 (

1)

1

1 x

x



_



 

_

_{ }



2 2 2

1

1 x

x











_



_

 

_



_











，而

1

4 x

x

 

_， ∴ 4 2 2

1

15 x

x



_

，∴ 2 4 2

1 1 15

x



x





．方法二：原式 2 2 4 2 2 2 2

1

1 (

1)

₁

x

_x

x







 

_{ }

2 2

1

1 x

x





_



_









2

1

15

1

1 x

x





_



_









．【总结升华】（1）本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值．（2）根据完全平方公式，熟练掌握

1 x

x



_、 2 2

1 x

x



_、

x

4

x

₂2

1 x



之间的关系，利用它们之间的关系进行互相转化．举一反三：

(5)

【变式】（2015 春惠州校级月考）若• 0＜x＜1，且的值．【答案】解：∵x+ =6， ∴（x﹣ ）2₌_{（x+ ）}2_﹣_{4=36 4=32}_﹣ _， x ∴ ﹣ =±4 ，又∵0＜x＜1， ∴x﹣ = 4﹣ ． 5、设

_abc

_

₀

，且

₃

_a

_

₂

_b

_

₇

_c

_

₀

，

₇

_a

_

₄

_b

_

₁₅

_c

_

₀

，求 2 2 2 2 2 2

4

5

6

2

3 a

b

c

a

b

c





的值．【答案与解析】解：解关于

_a

、

_b

的方程组

3

2

7

0

7

4

15

0 a

b

c

a

b

c









   



得

2 a c

b

c





 



．把

₂

a c

b

c





 



代入原式中， ∴ 原式 2 2 2 2 2 2 2 2

4 5(2 )

6

22

11 2(2 )

3

12

6 c

c





 



．【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值．举一反三：【变式】已知 ₂ ₂

2 x



xy



3 y



0

，且

x

 

y

，求 2

x

y

x y



的值．【答案】解：因为

2 x

2



xy



3 y

2



0

，所以

(

x y



)(2

x



3 ) 0

y



，所以

x y

 

0

或

2 x



3 y



0

，又因为

x

 

y

，所以

x y

 

0

，所以

2 x



3 y



0

，所以

2

3 y



x

，

(6)

所以 2 2

2

3

3 x

x

y

x

x y

_x





_

3

2

7 ₇

3

3 x

x



 



．类型四、分式方程的解法 6、解方程 2

6

3

5

25 (

3)(

5) (

3)(

5)

x





x



x



x



x



．【答案与解析】解：原方程整理得：

6

3

5 (

x



5)(

x



5)



(

x



3)(

x



5) (



x



3)(

x



5)

方程两边同乘以

(

x



3)(

x



5)(

x



5)

得：

6(

x

 

3) 3(

x

 

5) 5(

x



5)

去括号，移项合并同类项得：

2 x



8

，∴

x



4

．检验：把

x



4

代入

(

x



3)(

x



5)(

x



5)(

x

 

5) 0

∴

x



4

是原方程的根．【总结升华】解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意可能会产生增根，所以必须验根．举一反三：【变式】（2015 春靖江市校级月考）若关于• x的方程 ﹣ = 有增根，求增根和 k 的值．【答案】解：最简公分母为 3x（x 1﹣ ），去分母得：3x+3k x+1= 2x﹣ ﹣ ，由分式方程有增根，得到 x=0 或 x=1，把 x=0 代入整式方程得：k=﹣ ；把 x=1 代入整式方程得：k=﹣ ．类型五、分式方程的应用 7、（2015•扬州）扬州建城 2500 年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树 1200 棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多 20%，结果提前 2 天完成，求原计划每天栽树多少棵？【思路点拨】设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意可得，实际比计划少用 2 天，据此列方程求解．

(7)

【答案与解析】解：设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），由题意得， ﹣ =2，解得：x=100，经检验，x=100 是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树 100 棵．【总结升华】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．举一反三：【变式】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期 3 天．现两队合做 2 天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？【答案】解：设该工作限期为