第七章·无穷级数
微积分课程
2020 年 8 月 29 日 暨南大学数学系 吕荐瑞
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 = π 4.
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无穷级数
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4.
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无穷级数的概念
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第一节
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无穷级数的性质
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第二节
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正项级数 .
第三节
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任意项级数
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第四节
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幂级数
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第五节
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无穷级数
定义 1 给定数列：1,2,3,· · · ,n,· · · ，式子 1+ 2+ 3+ · · · + n + · · · 称为无穷级数（简称级数），记为 ∞ ∑ n=1 n， 其中第 n 项 称为级数的通项．.
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无穷级数
定义 1 给定数列：1,2,3,· · · ,n,· · · ，式子 1+ 2+ 3+ · · · + n + · · · 称为无穷级数（简称级数），记为 ∞ ∑ n=1 n，其中第 n 项 称为级数的通项．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和， 各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项； 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项； 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项； 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项； 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项； 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．.
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级数的敛散性
级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛； 此时称 S 为级数的和， 称 Rn = S − Sn = n+1+ n+2+ · · · 为级数 的余项；.
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例 1 讨论几何级数（或称等比级数） ∞ ∑ n=1 qn−1 = + q + q2+ · · · + qn−1+ · · · 的敛散性，其中 ̸= 0，而 q 称为级数的公比．.
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例 2 讨论级数 ∞ ∑ n=1 1 n(n+1) 的敛散性． 例 3 讨论级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的敛散性．.
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例 2 讨论级数 ∞ ∑ n=1 1 n(n+1) 的敛散性． 例 3 讨论级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的敛散性．.
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无穷级数的概念
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第一节
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无穷级数的性质
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第二节
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正项级数 .
第三节
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任意项级数
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第四节
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幂级数
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第五节
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7.
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无穷级数的运算：化正为负
S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ).
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性质 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 都收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 (n± n) 也收敛，而且有 ∞ ∑ n=1 (n ± n) = ∞ ∑ n=1 n ± ∞ ∑ n=1 n..
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性质 2 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 n 也收 敛，而且有 ∞ ∑ n=1 n = ∞ ∑ n=1 n. 推论 级数的每一项同乘以不为 0 的常数后，其敛散 性不变．.
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性质 2 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 n 也收 敛，而且有 ∞ ∑ n=1 n = ∞ ∑ n=1 n. 推论 级数的每一项同乘以不为 0 的常数后，其敛散 性不变．.
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例 1 求级数 ∞ ∑ n=1 1 3n + 2 5n 的和． 例 2 判定级数 ∞ ∑ n=1 3 ln n+1n 的敛散性．.
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例 1 求级数 ∞ ∑ n=1 1 3n + 2 5n 的和． 例 2 判定级数 ∞ ∑ n=1 3 ln n+1n 的敛散性．.
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性质 3 在一个级数前面加上（或者去掉）有限项，级 数的敛散性不变． 例 3 设级数 ∞ ∑ n=1 n 的第 n 次部分和 Sn = 2nn−1，判 断级数 ∞ ∑ n=1 n+2 的敛散性．若级数收敛，求出它的和．.
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性质 3 在一个级数前面加上（或者去掉）有限项，级 数的敛散性不变． 例 3 设级数 ∞ ∑ n=1 n 的第 n 次部分和 Sn = 2nn−1，判 断级数 ∞ ∑ n=1 n+2 的敛散性．若级数收敛，求出它的和．.
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无穷级数的运算：无中生有
0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 17
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无穷级数的运算：无中生有
0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 17
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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 4 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．.
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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 4 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．.
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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 4 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 3 + 3 + 3 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．.
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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 4 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．.
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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 4 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 3 + 3 + 3 + · · · = 3/ 2 = 2..
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收敛的必要条件
定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 5 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 6 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的通项趋于 0，但是它发散．.
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收敛的必要条件
定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 5 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 6 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的通项趋于 0，但是它发散．.
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收敛的必要条件
定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 5 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 6 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的通项趋于 0，但是它发散．.
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收敛的必要条件
定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 5 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 6 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的通项趋于 0，但是它发散．.
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收敛的必要条件
定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 5 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 6 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1n 的通项趋于 0，但是它发散．.
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练习 1 判断级数的敛散性．如果级数收敛，求出它 的和．
(1) 12 + 34 + 65 + 78+ · · · + 2n2n−1 + · · · (2) (32 + 13) + (34 + 19) + (38+ 271 ) + · · ·
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无穷级数的概念
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第一节
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无穷级数的性质
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第二节
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正项级数 .
第三节
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任意项级数
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第四节
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幂级数
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第五节
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定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 ⇐⇒ 它的部分和数列有界． 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．.
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定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 ⇐⇒ 它的部分和数列有界． 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．.
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定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 ⇐⇒ 它的部分和数列有界． 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．.
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定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 ⇐⇒ 它的部分和数列有界． 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．.
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正项级数 .
第三节
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比较判别法
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A
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比值判别法
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B
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根值判别法
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C
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定理 2 (比较判别法) 对于两个正项级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n，若有 c > 0 使得 n ¶ cn，对所有 n，则有 1 当 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 2 当 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．.
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比较判别法
例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 nn 的敛散性．.
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比较判别法
例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 nn 的敛散性．.
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比较判别法
例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ 1 nn 的敛散性．.
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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ． 1 若 0 < < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 3 若 = +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．.
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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ． 1 若 0 < < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 3 若 = +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．.
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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ． 1 若 0 < < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 3 若 = +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．.
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比较判别法
例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 3n2+ n 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3− 3 的敛散性． 例 7 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln 1+ 1 n2 的敛散性．.
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比较判别法
例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 3n2+ n 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3− 3 的敛散性． 例 7 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln 1+ 1 n2 的敛散性．.
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比较判别法
例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 3n2+ n 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3− 3 的敛散性． 例 7 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln 1+ 1 n2 的敛散性．.
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比较判别法
例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 3n2+ n 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3− 3 的敛散性． 例 7 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln 1+ 1 n2 的敛散性．.
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比较判别法
练习 1 判断级数的敛散性． (1) ∞ ∑ n=1 1 3n− 2 (2) ∞ ∑ n=1 1 npn+ 1.
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正项级数 .
第三节
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比较判别法
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A
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比值判别法
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B
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根值判别法
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C
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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n+1 n = ，则有 1 若 < 1，则级数收敛； 2 若 > 1，则级数发散； 3 若 = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n+1 n = ，则有 1 若 < 1，则级数收敛； 2 若 > 1，则级数发散； 3 若 = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n+1 n = ，则有 1 若 < 1，则级数收敛； 2 若 > 1，则级数发散； 3 若 = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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比值判别法
例 8 设 > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1 n n 的敛散性． 例 9 判定级数 ∞ ∑ n=1 n cos2 nπ3 2n 的敛散性．.
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比值判别法
例 8 设 > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1 n n 的敛散性． 例 9 判定级数 ∞ ∑ n=1 n cos2 nπ3 2n 的敛散性．.
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正项级数 .
第三节
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比较判别法
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A
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比值判别法
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B
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根值判别法
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C
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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．.
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根值判别法
例 10 设 > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1 n n+ 1 n 的敛散性．.
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练习 2 判定级数的敛散性： (1) ∞ ∑ n=1 2n n(n + 1) (2) ∞ ∑ n=1 3n 2n(rctn n)n.
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无穷级数的性质
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第二节
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正项级数 .
第三节
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任意项级数
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第四节
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幂级数
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第五节
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泰勒公式和泰勒级数
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第六节
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交错级数
定义 1 正负项相间的级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n，即 1− 2+ 3− 4+ · · · + 2k−1− 2k+ · · · , 其中每个 n > 0，称为交错级数．.
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交错级数
定理 1 (莱布尼兹定理) 如果交错级数满足条件 1 n+1 ¶ n，n = 1,2,3,· · · ； 2 lim n→∞n = 0； 则级数收敛，且其和 S ¶ 1，余项满足 |Rn|¶ n+1． 例 1 交错级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 收敛．.
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交错级数
定理 1 (莱布尼兹定理) 如果交错级数满足条件 1 n+1 ¶ n，n = 1,2,3,· · · ； 2 lim n→∞n = 0； 则级数收敛，且其和 S ¶ 1，余项满足 |Rn|¶ n+1． 例 1 交错级数 ∞ ∑ (−1)n+1 收敛．.
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任意项级数
定理 2 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 2 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收 敛．.
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任意项级数
定理 2 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 2 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收 敛．.
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任意项级数
定理 2 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 2 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收 敛．.
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任意项级数
定理 2 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 2 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 称 ∞ ∑ 绝对收敛，若 ∞ ∑ 和 ∞ ∑ | | 都收.
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任意项级数
定理 3 对于任意项级数 ∞ ∑ n=1 n，若 lim n→∞ n+1 n = ， 则有 1 当 < 1 时级数绝对收敛； 2 当 > 1 时级数发散．.
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任意项级数
例 2 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)nn! nn； (2) ∞ ∑ n=1 n n!； (3) ∞ ∑ n=1 n n ； (4) ∞ ∑ n=1 nn−1．.
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任意项级数
例 2 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)nn! nn； (2) ∞ ∑ n=1 n n!； (3) ∞ ∑ n=1 n n ； (4) ∞ ∑ n=1 nn−1．.
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任意项级数
例 2 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)nn! nn； (2) ∞ ∑ n=1 n n!； (3) ∞ ∑ n=1 n n ； (4) ∞ ∑ n=1 nn−1．.
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任意项级数
例 2 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)nn! nn； (2) ∞ ∑ n=1 n n!； (3) ∞ ∑ n=1 n n ； (4) ∞ ∑ n=1 nn−1．.
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任意项级数
练习 1 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n· 2n．.
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任意项级数
练习 1 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n· 2n．.
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任意项级数
练习 1 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ (−1)n+1 1 ．.
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正项级数 .
第三节
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任意项级数
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第四节
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幂级数
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第五节
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泰勒公式和泰勒级数
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第六节
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初等函数的幂级数展开式
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第七节
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定义 1 形如 ∞ ∑ n=0 n( − 0)n 的级数，即 0+1(−0)+2(−0)2+· · ·+n(−0)n+· · · 称为 − 0 的幂级数． 特别地，当 0 = 0 时，级数 ∞ ∑ n=0 nn，即 0+ 1+ 22+ · · · + nn + · · · 称为 的幂级数．.
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定义 1 形如 ∞ ∑ n=0 n( − 0)n 的级数，即 0+1(−0)+2(−0)2+· · ·+n(−0)n+· · · 称为 − 0 的幂级数． 特别地，当 0 = 0 时，级数 ∞ ∑ n=0 nn，即 0+ 1+ 22+ · · · + nn + · · · 称为 的幂级数．.
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幂级数的收敛域
对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若 = 0 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点； 若 = 0 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点． 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．.
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幂级数的收敛域
对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若 = 0 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点； 若 = 0 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点． 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．.
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幂级数的收敛域
对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若 = 0 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点； 若 = 0 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点． 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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定理 1 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞ n+1 n = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定． 定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R= 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．.
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幂级数的收敛域
问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 若 R= 0，则收敛域为 {0}；.
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幂级数的收敛域
例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=0 (−1)n−1n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1n 的收敛域． 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n=0 n n! 的收敛域．.
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幂级数的收敛域
例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=0 (−1)n−1n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1n 的收敛域． 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n=0 n n! 的收敛域．.
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幂级数的收敛域
例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=0 (−1)n−1n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1n 的收敛域． 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n=0 n n! 的收敛域．.
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幂级数的收敛域
例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 + 1． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n2n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 或者令 t = 32．.
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幂级数的收敛域
例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 + 1． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n2n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 或者令 t = 32．.
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幂级数的收敛域
例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 + 1． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n2n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 或者令 t = 32．.
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幂级数的收敛域
例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 + 1． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n2n n 的收敛域． 解答 令 t = 2 或者令 t = 32．.
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幂级数的收敛域
练习 1 求幂级数 ∞ ∑ n=1 n (2n − 1)(2n) 的收敛域．.
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幂级数的运算
定理 设 ∞ ∑ n=0 nn 和 ∞ ∑ n=0 bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n=0 nn ± ∞ ∑ n=0 bnn = ∞ ∑ n=0 (n± bn)n, 其中等式在 (−R,R) 中成立．.
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幂级数的运算
定理 设 ∞ ∑ n=0 nn 和 ∞ ∑ n=0 bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n=0 nn · ∞ ∑ n=0 bnn = ∞ ∑ n=0 cnn, 其中 cn = n ∑ =0 kbn−k，等式在 (−R,R) 中成立．.
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幂级数的运算
定理 设 ∞ ∑ n=0 nn 和 ∞ ∑ n=0 bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n=0 nn . ∑∞ n=0 bnn = ∞ ∑ n=0 dnn, 其中等式在 (−R,R) 的某个子区间内成立．.
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性质 1 幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 的和函数 S() 在其收敛域 上连续． 性质 2 幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 的和函数 S() 在其收敛域 上可积，且有逐项积分公式 ∫ 0 S() d = ∫ 0 ∞ ∑ n=0 nnd = ∞ ∑ n=0 ∫ 0 nnd = ∞ ∑ n=0 n n+ 1 n+1 逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．.
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性质 1 幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 的和函数 S() 在其收敛域 上连续． 性质 2 幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 的和函数 S() 在其收敛域 上可积，且有逐项积分公式 ∫ 0 S() d = ∫ 0 ∞ ∑ n=0 nnd = ∞ ∑ n=0 ∫ 0 nnd = ∞ ∑ n=0 n n+ 1 n+1 逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．.
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性质 3 幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 的和函数 S() 在其收敛区 间 (−R,R) 上可导，且有逐项求导公式 S′() = ∞ ∑ n=0 nn)′ = ∞ ∑ n=0 nn)′ = ∞ ∑ n=0 nnn−1 逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．.
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例 6 对几何级数 ∞ ∑ n=0 n 逐项求导和逐项积分． 练习 2 .求无穷级数 ∞ ∑ n=1 n2 3n 的和．.
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例 6 对几何级数 ∞ ∑ n=0 n 逐项求导和逐项积分． 练习 2 .求无穷级数 ∞ ∑ n=1 n2 3n 的和．.
