认识概率--知识讲解
【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对 有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能 事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可 能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率 (probability).如果用字母 A 表示一个事件，那么 P(A)表示事件 A 发生的概率. 事 件 A 的 概 率 是 一 个 大 于 等 于 0 ， 且 小 于 等 于 1 的 数 ， 即 ， 其 中 P( 必 然 事 件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的 属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数 增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m
n
会在某一个常数附近摆 动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去 估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（2016 秋 柘城县期末）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？• （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2= 1﹣ （其中 a、b 都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程 x2+2x+3=0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【思路点拨】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【答案与解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程 x2+2x+3=0无实数 解是必然事件； （2）a2+b2= 1﹣ 、（4）三个人性别各不相同是不可能事件， （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件． 【总结升华】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发 生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下 ， 可能发生也可能不发生的事件． 举一反三 【变式1】下列事件是必然事件的是( )． A．明天要下雨; B．打开电视机，正在直播足球比赛; C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于 1; D．买一张彩票，一定会中一等奖. 【答案】C. 【变式2】（2015•南岗区一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件中的不可能事件是（ ） A．点数之和小于 4 B．点数之和为 10 C．点数之和为 14 D．点数之和大于 5 且小于 9 【答案】C. 解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于 2，而小于或等于 12． 显然，是不可能事件的是点数之和是 14． 故选 C．
2. 在一个不透明的口袋中，装有 10 个除颜色外其它完全相同的球，其中 5 个红球，3 个蓝球，2 个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能 发生的？ (1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球； (2)从口袋中一次性任意取出 2 个球，它们恰好全是白球； (3)从口袋中一次性任意取出 5 个球，它们恰好是 1 个红球，1 个蓝球，3 个白球. 【答案与解析】 (1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有 2 个白球； (3)不可能发生，因为袋中只有 2 个白球，取不出 3 个白球. 【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系. 举一反三： 【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于 3，则甲胜，若掷出 的点数小于 3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏. 【答案】不公平，小于 3 的点数有 1、2，大于 3 的点数有 4、5、6，因此，它们的可能性是不同的， 所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等 【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而 变化的. 【答案】B. 【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定， 当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. 【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？【答案与解析】落在黄色区域的可能性大. 理由如下： 由图可知：黄色占整个转盘面积的 ； 红色占整个转盘面积的 ； 蓝色占整个转盘面积的 . 由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大. 【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的条件来确定解法，如面积法、数值法等.
类型三、利用频率估计概率
5.（2015 春 江都市期末）“• 2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、 B、“10 公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三 个项目组． （1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ． （2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.360 0.450 0.395 0.400 0.401 ①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ．（精确到 0.1） ②若本次参赛选手大约有 30000 人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ 【思路点拨】（1）利用概率公式直接得出答案； （2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； ②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数． 【答案与解析】 解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组， ∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为： ； 故答案为： ； （2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4； 故答案为：0.4； ②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）． 【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.正确理解频 率与概率之间的关系是解题关键．举一反三 【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率( ) (1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到 0.01)； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到 0.1)？ 【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为 0.9.
