用力學證明橢圓的光學性質
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*108.03.19
∼ 108.03.19
一堂高中數學課
1.
橢圓的光學性質
【從一焦點出發的光線，經橢圓壁反射後，必經過另一個焦點】。 如圖 1 所示： 圖 1 這一個性質真是簡潔、好記，但是，為何這一個性質是正確的呢？ 我們當然有幾何上漂亮的證明方法，不過，用力學的方式來詮釋，竟然有極其簡單美妙的方法， 底下我們來看看。2.
物理想法
我們找一條繩子，然後把兩端釘在空中的兩個定點，然後在繩上放一個可以滑動的小砝碼，如 圖 2 所示： 圖 2 *bee 美麗之家: http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 1不過，老實說，圖 2 畫的很不切實際。因為，砝碼有重量，所以繩子會被拉緊，我們再畫一次， 如圖 3 所示： 圖 3 圖 3 中，在 P 點上有三個力，這三個力的力圖如圖 4 所示： 圖 4 因為−⇀f1,− ⇀ f2 是繩子的張力，所以其大小一樣，因此，我們把三個力的力圖放大，可見− ⇀ f1,− ⇀ f2 張出 一個菱形，其合力−⇀f1 + − ⇀ f2 的方向恰好在角平分線上，如圖 5 所示： 圖 5 此時−⇀f1 + − ⇀ f2 和 − ⇀ f3 不會平衡，而且物體會朝三力的合力前進，這就是砝碼運動軌跡的【切線方 向】。如圖 6 所示： 圖 6 2
因為−⇀f3 + ( − ⇀ f1 + − ⇀ f2)是運動方向，所以它的方向必然和 − ⇀ f1 + − ⇀ f2 的方向垂直，不然的話，砝碼的 運動方向會受到 (−⇀f1 + − ⇀ f2)的影響。於是， (−⇀f1 + − ⇀ f2)的方向就是【法線】方向。 同時由 F1到 P 再到 F2是一個以切線所在的直線為【反射面】的【反射動作】。 想想看：砝碼移動的軌跡是不是一個橢圓？ 是的，因為繩長是固定的，如此，我們就【看到】力學的橢圓的光學性質。
