單元04-排列

62

田徑教練想從6位選手中，任選4人參加四百公尺接 力賽，並排定第一棒到第四棒的順序，那麼出賽名單的 安排會有多少種呢？這是數學上的排列問題，也是日常 生活中常遇到的情境。有系統的導出排列公式是本單元 主要的內容。

排列

4

▲ 圖1

甲

直線排列

甲、乙、丙一起騎三人協力車，利用樹狀圖可得三人的坐法有「甲乙丙、甲 丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲」這6種不同的坐法，如圖2所示。 ▲ 圖2 (a) (b) 觀察圖2(b)的樹狀圖，坐法的安排也可以分成三個步驟： 第1步驟：從三人中選出一人坐第一個座位，有3種選擇。 第2步驟：從剩下的二個人中選出一人坐第二個座位，有2種選擇。 第3步驟：最後一個人坐第三個座位，僅有1種選擇。

4

排列

63

利用乘法原理，三人騎協力車的坐法共有 3# # =2 1 6 種方法。 一般而言，將n個不同的事物排成一列，想要知道有多少種排法，可以仿照 上面的作法來進行。把它想成有n個不同的事物要逐一從左至右填入n個空格 中，即完成這件事有n個步驟。在圖4中，空格內的紅色數字分別代表該空格可 填入事物的可能情形，這些數字依序為n, n- ,1 n- ,2 g,2,1。 ▲ 圖4 利用乘法原理，填完n個空格共有 n n^ -1h^n-2hg2 1: 種方法。為了方便表示， 我 們 用 !n 表 示 n , n- ,1 g , 3 ,2 , 1的 連 乘 積 ， 讀 作 「 n 的 階 乘 」 。 例 如 !1 = ,1 ! 2 =2#1= ,2 3!=3# #2 1= ,6 g。為了方便，規定0的階乘等於1，即 !0 =1。 將n個不同的事物排成一列，共有 ! n =n n^ -1h^n-2hg2 1: 種排法。

n

個不同事物的排列 這個結論可以幫助我們解決一些實際的問題，舉例如下。 學校獨唱比賽共有6位同學報名參加，出場順序由抽籤決定。共有多少 種可能的抽籤結果？ 解 抽籤的結果可視作將6位參賽者排成一列，其中排在最左邊代表第1位出 場，其後依次為第2,3,4,5,6位出場。因為6位參賽者排成一列共有 ! 6 =6# # # # #5 4 3 2 1= 720 種排法，所以抽籤結果也有720種。

例題

1

▲ 圖3

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縣長選舉共有5人登記參選，參選號次由抽籤決定。共有多少種可能的 抽籤結果？

隨堂練習

接下來，探討從n個不同的事物中任選 k個（1 # k#n）排成一列的排列 數。先看這個例子：從7人中任選3人排成一列，共有多少種排法？仿照前面填 空格的方式，把它想成有7個不同的事物要逐一從左至右填入3個空格中： ▲ 圖5 如圖5，利用乘法原理，排法共有 7# #6 5=210 種。利用階乘的符號將 7# #6 5表示成 ! ! ! ! 7 6 5 7 6 5 4 7 7 3 7 4 3 2 1 4 3 2 1 # # # # # # # # # # # = = = -^ h 6 7 84444 44443個 。 一般而言，利用填空格的方式，可以推得：從n個不同的事物中任選k 個 （1 #k #n）排成一列，排法共有 ! ! n k n -^ h 種，我們將這個排列數記作 Pk n （讀 作Pn取k）。因為取0物排列只有「不取」一種方法，所以定義 Pn₀=1。這時前 述的公式也會正確，因為 ! ! P n n 1 0 n 0= = ^ _- h 。將這個結論整理如下。 從n個不同事物中任選k個（0 #k # ）排成一列，共有n ! ! P n k n k n = -^ h 種排法。 直線排列

4

排列

65

特別地，當n個不同事物全選時，共有 ! ! ! ! ! P n n n n n 0 n n = - = = ^ h 種排法，這與 n個不同事物的排列之公式一致。 某歌手想從7首歌中，選出4首在簽唱會中依序表演， 其安排的方案共有多少種？ 解 從7首歌中，任選4首排成一列的方法數，共有 ! ! ! ! P 7 4 7 3 7 7 6 5 4 840 4 7 # # # = - = = = ^ h （種）。

例題

2

學校想從6個參觀地點中，選出3個依序參訪，其安排的方案共有多少 種？

隨堂練習

當問題有條件限制時，可先考慮受限制的部分，或用全部的排列數減去不符 合條件的排列數。

66

從0,1,2,3,4等五個數字中，任選3個相異數字，共可排出多少個三位 數？ 解 【解一】 分三個步驟：依序填入百位數、十位數及個位數。 1 填百位數：因為百位數不可填0，所以有4個數字可選。 2 填十位數：扣除百位數使用的數字，有4個數字可選。 3 填個位數：扣除百位數及十位數使用的數字，有3個數字可選。 利用乘法原理，排法共有 4# # =4 3 48 種，故所求的三位數共有48個。 【解二】 從這五個數字中，任選3個相異數字排成一列的方法數，有 P5₃=5# #4 3=60 種，但其中百位數字為0的排列，不符合規定，必須扣除。而百位數字 為0時，後兩位數字是由1,2,3,4四個數字中任選2個排列而成，其方法 有 P₂4=4#3=12種。故所求的三位數共有 P₃5-P4₂=60-12= 48（個）。

例題

3

田徑教練想從甲、乙、丙、丁、戊、己6位選手中，任選4人參加四百公 尺接力賽，並排定第一棒到第四棒的名單。若甲選手因起跑較慢不適合 擔任第一棒，則出賽名單的安排共有多少種？

隨堂練習

4

排列

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底下做一道「完全相鄰」或「完全分開」限制條件的排列問題。 男生4人及女生3人排成一列拍照。 1 若女生3人完全相鄰，則共有多少種排法？ 2 若女生3人完全分開，則共有多少種排法？ 解 1 分二個步驟： 男 男 男 女女女 男 1 將女生3人看成「1」人，視為5人作排列，排法有 !5 =120種。 2 看成「1」人的3個女生，彼此間有 !3 =6種排法。 利用乘法原理，女生3人完全相鄰的排法共有 ! ! 5 #3 =120#6= 720（種）。 2 分二個步驟： 1 先將4位男生排成一列，排法有 !4 =24種。 2 男生排好後，將3位女生分開排入兩旁及中間的5個空隙： 1 男 2 男 3 男 4 男 5 排法有 5# # =4 3 60種。 利用乘法原理，女生3人完全分開的排法共有 24#60=1440（種）。

例題

4

棒球隊的9名先發球員中有4名左打者，5名右打者。現在要將這9人排 定一到九棒的打擊順序。 1 若左打者的棒次連排，右打者的棒次也連排，則共有多少種排法？ 2 若左打者與右打者的棒次相間隔排，則共有多少種排法？

隨堂練習

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當限制條件之間有重疊時，可透過「取捨原理」計數。 學校想從7名學生中選派4人分別到臺大、臺師大、清大與交大等四所大 學參加研習，其中甲同學不到臺大，乙同學不到交大。請問共有多少種 選派的方案？ 解 設U為所有選派方案組成的集合，A為所有指定甲到臺大的選派方案組成 的集合，B為所有指定乙到交大的選派方案組成的集合。由題意知 n U^ h= P₄7=840,n A^ h=P6₃=120, n B^ h=P₃6=120,n A^ +Bh=P5₂=20。 因為 n U^ h-n A^ ,Bh n U n A n B n A+B = ^ h-_ ^ h+ ^ h- ^ hi 840 120 120 20 = -^ + - h 620 = ， 所以由文氏圖得知：甲不到臺大，乙不到交大的選派方案共有620種。

例題

5

全家5人排成一列依序上公車，若爸爸不排首位，么兒不排末位，則共 有多少種排法？

隨堂練習

4

排列

69

乙

有相同物的排列

前面討論的事物都是不相同的，現在我們來探討含有相同事物的排列。 例如：將a,a,a,b排成一列，會有多少種排法呢？我們先將3個a標示為 a₁, a₂, a₃（將3個a視為不同），再將這4個不同物排成一列，排法有 !4 =24種。 我們想知道的是：這24種排法中，究竟有哪些排列在抹去 a₁, a₂, a₃ 的下標後， 會是同一種排列呢？我們以b固定在第三個位置為例，列舉如下： ▲ 圖6 在圖6中， a₁, a₂, a₃ 在第一、二、四的位置上任意交換位置，會有 !3 =6種不同 的排列，如圖左所示。這 !3 =6個排列在抹去下標後，都會是圖右「 aaba 」的同 一 種 排 列 。 也 就 是 說 ， 有 下 標 時 的 !4 =24種 排 法 ， 在 抹 去 下 標 後 ， 只 會 有 24'6=4種不同的排法。因此，將3個a及1個b排成一列，排法共有 ! ! ! ! 4 3 3 4 4 ' = = （種）。 又例如，將 aaabb 排成一列，有多少種排法呢？仿照上例的方法，我們先將 3個a標示為 a₁, a₂, a₃，2個b標示為 b₁, b₂，排法有 !5 =120種。接著將3個a 的下標抹去，排法要除以 !3 ，再將2個b的下標抹去，排法再除以 !2 。因此，排 法共有 ! ! ! 3 2 5 10 # = （種）。 同理，將 aaabbcc 排成一列，共有 ! ! ! ! 3 2 2 7 210 # # = （種）。

70

一般而言，仿照上述的討論，可以得到以下的結果： 設有 k 種不同種類的事物（同類中的事物都相同），第 1 類有 m₁個，第 2 類有 m₂個，…，第 k 類有 m_k個，共計 n 個，即 m₁+m₂+g+m_k= 。n 將此 n 個事物排成一列，共有 ! ! ! ! m m m n k 1 2 g 種排法。 有相同物的排列 底下我們來看一個生活中有相同物的排列問題： 甲、乙兩人負責在7天年假期間到公司值班，其中甲值班4天，乙值班3 天。請問年假值班的安排共有多少種？ 解 將4個甲及3個乙在一到七底下任意排一列，例如： 一 二 三 四 五 六 七 甲 甲 乙 乙 甲 乙 甲 這個排列表示甲值班第一、二、五、七天，乙值班第三、四、六天。因 此 ， 每 一 種 排 列 方 法 等 同 於 一 種 值 班 的 安 排 。 利 用 有 相 同 物 的 排 列 公 式，值班的安排共有 ! ! ! ! ! ! 4 3 4 3 4 3 7 35 + = = ^ h _（種）。

例題

6

開往動物園的電聯車有7節車廂。若打算將其中3節車廂漆上相同的無尾 熊圖樣，4節車廂漆上相同的貓熊圖樣，則此7節車廂圖樣的安排共有多 少種？

隨堂練習

4

排列

71

利用有相同物的排列公式，可以求棋盤街道的捷徑走法。 在右圖的棋盤街道中，從A到B走捷徑（只能向右 或 向 上 走 的 路 徑 ） ， 求 下 列 情 形 各 有 多 少 種 方 法？ 1 任意走捷徑。 2 經C點。 3 經C點或經D點。 4 不經C點且不經D點。 解 因為走捷徑，所以每次都只能向右或往上走， 即必須走7次向右，3次向上。 將圖中的紅色捷徑表示為 「右右右上上上右右右右」； 藍色捷徑表示為 「上右右上右右右右右上」 從這兩個表示法可以發現：每一條捷徑等同於7個右與3個上的一種直線 排列。 1 設U為所有捷徑走法組成的集合，則任意走捷徑的方法有 ! ! ! n U 7 3 7 3 3 2 1 10 9 8 120 # # # # = + = = ^ h ^ h （種）。 2 設S為所有經C點的捷徑組成的集合。分二個步驟計算 n S^ h： 第1步驟是從A走捷徑到C；第2步驟是從C走捷徑到B。 利用乘法原理，經C點的捷徑走法有 ! ! ! ! ! ! n S 2 1 3 5 2 7 3 21 63 # # = = = ^ h （種）。

例題

7

72

3 設T為所有經D點的捷徑組成的集合。利用取捨原理，經C點或經D 點的捷徑走法有 n S^ ,Th=n S^ h+n T^ h-n S^ +Th ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 63 4 2 6 3 1 4 2 1 3 2 1 3 3 1 4 # # # = + -63 60 36 87 = + - = （種）。 4 因為 n U^ h-n S^ ,Th=120-87=33， 所以不經C點且不經D點的捷徑走法有33種。 在右圖的棋盤街道中，從A到B走捷徑，求下列 情形各有多少種方法？ 1 任意走捷徑。 2經C點。 3 經C點或經D點。 4不經C點且不經D點。

隨堂練習

底下是有三種相同物的排列問題。 由6個數字0,0,1,1,2,2排成的六位數，共有多少個？ 解 因為0排首位時不是六位數，所以「6個數字的任意排列數」減去「0排 首位的排列數」即為所求。利用有相同物的排列，得六位數共有 ! ! ! ! ! ! ! ! 2 2 2 6 2 2 1 5 90 30 60 - = - = （個）。

例題

8

4

排列

73

由7個數字4,5,5,5,8,8,8排成的7位數中，偶數有多少個？

隨堂練習

丙

重複排列

某行李箱的密碼鎖有4個滾輪，每一個滾輪上都有0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字可供選擇，設定這四個數字的 密碼共有多少組呢？ 首先考慮第一個滾輪，因為有十個數字可供選擇，所 以有10 種方法。接著第二個滾輪，因為數字可以重複使 用，所以還是有十個數字可供選擇。同樣的，第三個與第四個滾輪也都有十個數 字可供選擇，如圖8所示： ▲ 圖8 利用乘法原理，密碼共有 10#10#10#10=104 組。像這種事物可以重複出現的排列，稱為重複排列。 一般而言，仿照上例的方法，我們有以下的結論。 從n種不同的事物（每種至少有k個）中，任意選出k個排成一列。若每 種事物都可以重複出現，則共有 n n: :g:n=nk 644444 44444k個n7相乘8 種排法。 重複排列 ▲ 圖7

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舉一個「狡兔三窟」的例子。 兔 子 挖 了 三 個 可 以 藏 身 的 洞 。 如 果 兔 子 每 晚 都 待 在 這 三 個 洞 的 其 中 之 一 ， 躲 避 敵 人 ， 那 麼 未 來 的 五 個 晚 上 ， 兔 子有多少種藏身安排？ 解 由題意知，兔子每天晚上有三個藏身的地方。 利用乘法原理，五天共有 3# # # # =3 3 3 3 35= 243 種藏身安排。

例題

9

自動販賣機有6種飲料可供選擇，三個人運動完後各購買一罐飲料。 1 共有多少種選購方法？ 2 若三人約定所選的飲料不可以相同，則共有多少種選購方法？

隨堂練習

4

排列

75

舉一個重複排列應用在分配的實例。 將4本不同的書全部分給甲、乙、丙三人，求下列情 形各有多少種分法： 1 任意分。 2 甲至少得1本。 3 甲恰得1本。 解 1 因為4本書每本都有3種分法，所以分法有 3# # # =3 3 3 34=81（種）。 2 當甲未得時，每本書都只有2種分法，此時分法有 2# # #2 2 2= 24=16（種）。 因此，甲至少得1本的分法有 (任意分法) - (甲未得的分法)=81-16=65（種）。 3 先從4本書選1本給甲，有4種分法。再將剩下的3本書任意分給乙、 丙兩人，有 23種分法。利用乘法原理，分法共有 4#23=32（種）。

例題

10

有A,B,C三間房間可供選擇，每間房間最多可 住4人。下列住宿的安排方案各有多少種？ 1 4人同時住宿。 2 5人同時住宿。

隨堂練習

4

76

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 將「讀」、「書」、「好」三個字任意排列，共有6種排法。 2 從5個人中任選3個人排成一列，共有 P5₃種排法。 3 將六個字母 PAPAPA 任意排成一列，共有 ! ! ! ! 2 2 2 6 種排法。 4 將4名新生任意分發到3個班級，共有 43種分法。

二、基礎題

「IMO」是國際數學奧林匹克的縮寫。現有5種不同的顏色可供選擇，將這 3個字母分別用不同顏色來寫（一字一色），共有多少種選擇？ 用六個數字0,1,2,3,4,5組成沒有重複數字的三位數。 1 能組成多少個三位數？ 2 這些三位數中，不是5的倍數者有多少個？ 二隻黃貓、三隻白貓及四隻黑貓排成一列，求下列各排列數： 1 黃、白、黑三顏色貓各連排在一起。 2 任二隻黑貓不相鄰。

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有5個工程隊承建5個不同的建案，每個工程隊承建一個建案，其中甲工程 隊不能承建1號建案，乙工程隊不能承建2號建案，共有多少種承建方案？ 將 甲 、 乙 、 丙 三 名 志 工 安 排 在 週 一 至 週 六 的 6 天 中 支 援 園 遊 會 服 務 的 工 作。若要求每人參加兩天，且每天安排一人，則共有多少種安排的方法？ 下圖為一街道圖。求從A取捷徑走到B，共有多少種方法？ 社團幹部5人訂午餐，有雞腿、排骨、魚排3種便當可選，但其中任一種便 當至多只能作4人份。問：5人共有多少種選購方法？

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兩對夫婦各帶一個小孩到遊樂園玩，六人購票後排成一列依序入園。為安 全起見，首尾一定排兩位爸爸，而且兩個小孩一定排在一起，則入園的排 隊方法共有多少種？

三、進階題

由數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有多 少個？ 在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或 負方向跳1個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過6次跳動後運動 物體落在點+4處，則此運動物體共有多少種跳動方法？

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某班慶生會原訂的5個節目已排成節目單。若臨時再增加2個新節目，且原 有5個節目的相對順序保持不變，則增加2個新節目後的節目單可以有多少 種？ 將A,B,C,D,E,F六個字母排成一列，若A,B都須在C的同一側，則共有多 少種排法？ 用三串分別為2個紅氣球、3個黃氣球和3個藍氣球來當射擊靶子，如圖所 示。若每次射破的氣球，都必須是該串尚未被射破氣球中最低的那一個， 則射破全部8個氣球可以有多少種次序？