等加速運動

一、等加速運動的特性 二、直線等加速度運動公式 三、直線等加速運動的重要性質 四、自由落體 五、靜止下落（初速為零的自由落體） 六、鉛直下拋 七、鉛直上拋 八、沿光滑斜面滑動的等加速運動 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7 範例 8

一、等加速度運動的特性

二、直線等加速度運動公式

1. 公式推導

(2) v – t 圖的面積＝位移 0 2 v v x  t    _{ k} (3) 將j代入k 0 0 2 v v at x   t     2 0 1 2 v t at   _l

0 0 2 0 2 1 2 v v at v v x t x v t at             j k l (4) 由j可得：t v v0 a   代入k 2 2 0 0 0 2 2 v v v v v v x a a        

2. 公式整理

v



v



x

 



範例1

1

2 2 0 2 v  v  a x 5 2. 已知位移與初速，欲求末速時，可用 1. 10 秒內的平均速度＝第 秒末的瞬時速 度，請同學由 (1)(2) 小題驗證。 來計算。

解 (1)v₅  v₀  at    6 4 5 26(m/s) 0 10 260 26(m/s) 10 x v t       ～ 2 2 0 1 1 (2) 6 10 4 10 260 2 2 x v t at          2 2 2 0 (3)v  v  2a x  6    2 4 8 100 10(m/s) v  

範例2

2

(1) 當小轎車減速至 20 公尺 / 秒時，並未撞上大卡車 ，那就安全了。由如下圖 (a) 可知，不相撞的條件 為：小轎車在減速至 20 公尺 / 秒時， x_小車大車－x  d

2. 恰好相撞時的 v － t 圖如右圖 (b) 所示，圖中 　　形區域為 小轎車的位移，　　形區域為 大卡車的位移，故 形區域即為小轎車比大卡車 多走的距離。故恰好撞上時， 面積＝ d

解  d 24(m) 4 (32 20) (2) 24(m) 2 d      需大於才不會撞上d 24(m)_。 2 1 32 4 ( 3) 4 (20 4) 2 d    _      _      x x d  _小車大車   － (1) 20 20 32 3 4(s) / t m s t t      設 秒後小轎車已減速至

三、直線等加速運動的重要性質

1. 直線等加速度運動在某時距內的平均速度 ＝初速與末速的算術平均

設初速為 v₀ 、第 t 秒末的速度為 v ，其 vt 關係如圖所示。 (1)0 v x t t    ～ 秒的平均速度 0 ( 2 2) 2 t t v v a t    第秒末的瞬時速度 0 0 2 2 v v t _{v v} t   _   _。 0 0 0 ( ) 0 2 2 v v t v v v t        。

某作直線等加速度運動物體的 vt 關係如圖所示： 0~4 (1) 0 4～ 秒的平均速度 v 0~4 2 (2) 2 v  v  4(m/s)。 第 秒末的瞬時速度 2 6 4 2 4 2 6 4(m/s) 2 x t          _。

2. 直線等加速度運動在第 t 秒內的位移 = ₀ 1 (2 1) 2 v  a t  2 2 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 2 t t x v t at v t a t       _  _{ }    _     第秒內的位移 0 1 (2 1) 2 v a t   _{ 。}

3. 如圖所示，做直線等加速度運動的質點，在連 續兩相等時距 _{內的位移分別為 d1} 及 d₂ ，則 其 加速度 t  2 1 2 2 ( ) ( ) d d d a t t      

2 1 0 2 1 2 0 1 ( ) 2 1 (2 ) (2 ) 2 d v t a t d d v t a t                 j k 2 2 1 2 d d a t( )  k j  _得    2 1 d d d a     

範例3

3

某生做「直線等加速度實驗」，自靜止起拉動紙條通 過電鈴型計時器，在 5 秒內紙帶上有 51 個痕點，今 力學滑車拉動紙帶，分析紙帶上痕點如下圖所示，則 ：

(1) 滑車之加速度為 公分 / 秒 2 。 (2) 圖中 x 的值為 公分。

(3) 圖中 第 9 痕點的瞬時速度大小為 公分 / 秒。

(4) 圖中第 11 痕點的瞬時速度大小為 　公分 / 秒。

3

(1) 相鄰兩個痕點之間的時距＝　　　　　　　秒。 5.0 0.1 51 1  (2) 某時距內的平均速度＝該時距時間中點的瞬時速度 7~9 8 7~9 9~11 10 9~11 x v v t x v v t      _   _  _{ }  _  9~11 7~9 10 8 x x v v _{t t} a t t  _   _{ }      9~11_{( )}2 7~9 _{( )}2 x x d t t         d  （ 為相鄰相同時距內的位移變化量）

(3) 當滑車作等加速度直線運動時，在 相等時距內的 _d 相等。 2 ( ) d a t     

解 (1) ₂ ( ) d a t    9~11 7~9 2 ( ) x x t      2 2 13.5 10.5 75(cm/s ) (0.1 2)     9~11 7~9 5~7 3~5 (2) x  x  x  x 13.5 10.5 7.5 x x 4.5(cm)      

解 2 0 1 (3) 2 S  v t  at 由 11 9 (4)_由v  v  at  60 75 (0.1 2) 75(cm/s)    2 9 9 1 13.5 (0.1 2) 75 (0.1 2) 2 60(cm/s) v v          

四、自由落體

五、靜止下落（初速為零的自由落體）

1. 常用的向量符號規則

2. 運動方程式 由等加速度運動公式可得 a v y  _     _       ： ： ： 加速度 速度 位置

g

gt

1

2

gt

(1) (2) t v     由落地所需時間 由落地時的速率 。 。 物體自離地高 h 處由靜止自由落下，則： 3. 落地所需時間與落地時的速率 2 1 2 h  gt 2h g 2 ₂ v  gh 2gh

範例4

4

(1) 設甲球原來的高度為 h _甲，落下的過程費時 t 秒 ；乙球原來之高度為 h _乙，落下的過程費時 t － 1 秒。 (2) h h h         甲乙 甲 依題意， 公尺 。 其中： 。 14.7 2 1 2 gt 2 1 ( 1) g t 

解 2 2 1 1 (1) ( 1) 14.7 2 gt 2 g t    _  _    2 4.9 2 19.6(m) (2) 19.6 14.7 4.9(m) h h           甲 乙 2( ) t s  

六、鉛直下拋

1. 常用的向量符號規則

2. 運動方程式

g

v



gt

1

2

v t



gt

七、鉛直上拋

1. 常用的向量符號規則

2. 運動方程式

g



v



gt

1

2

v t



gt

3. 運動的分析

常見的鉛直上拋錯誤概念 在鉛直上拋運動的上升過程中，質點運動的方 向保持向上，因此很多同學誤以為質點必受到一個 向上的外力作用。事實上，質點只受向下的重力作 用而已 ( 就算考慮阻力，阻力的方向也是向下 ) ， 因為重力的方向與運動方向相反，所以質點的運動 方向雖是保持向上，但是速度會愈來愈慢。

4. 運動的對稱性

(1) 質點回到與拋射 點等高處時的瞬 時速度大小相同 ，方向相反。 ⇒ 推論：質點不論 上升或下降，通 過同一高度時的 速率都相等。

(2) 質點上升至最高點與由 最高點下降至拋射點所 需時間相同： 0 0 0 0 0 0 v v gt t g v v gt t g              上升上升 下降下降 ⇒ 推論：不論上升或下降相同的高度，其所需的時間相同 。 ※ 因為下降過程是初速為零的自由落體運動，因此

範例5

5

5

1. 定向下為負，向上為正，以拋射 點為原點，則回到原拋射點處 的 位移為 　　公尺，到達地面 處的 位移為 _公尺。 2. 在最高點處的瞬時速度為　　。 0 － 25 0

解 (1) v v 0  gt1 2 1 20 2 10 2 20(m) 2       _。 (3)此過程是初速為零的自由落體 2 0 1 1 1 (2) 2 h v t  gt 1 1 0 20 10t t 2(s)      。 2 2 1 2 h gt   2 1 20 10 t t 2(s)       _。

2 0 3 3 1 (4) 2 h  v t  gt 2 3 3 3 1 0 20 10 4(s) 2 t t t         。 0 3 (5) v v  gt _{ 20 10 4   20(m/s)} 2 0 4 4 1 (6) 2 h  v t  gt 2 4 4 4 1 25 20 10 2 5(s) t t t          _。

範例6

6

48

6

由對稱性可知： 1. A→B 及 B→A 所需時間相等； B→C 及 C→A 所需時間亦相等。 2. 將此運動自頂點 C 一分為二， 後半段做初速度為零的自由落 體運動。

解 1(s) B A A B t _  t _  。 (2) t_CA   2 1 3(s)；t_{A A}   5 1 6(s)。 2 2 1 1 10 3 45(m) 2 (3) 1 10 2 20(m) 2 H h              5 1 (1) 2(s) 2 B C C B t _  t _    ； 2 1 45 20 25(m) h H h       _。 0 (4)v  gt_CA  10 3 30(m/s) 

八、沿光滑斜面滑動的等加速運動





2. 下頁表格所示的三種沿光滑斜面滑動之等加速度 運動，除了加速度大小為 gsinθ 外，其餘與上述 討論常見的三種自由落體運動相似。

運動情形 圖示 與自由落體運動的 對應 運動公式 物體自斜 面上靜止 下滑（向 下加速） 靜止下落 2 2 sin 1 sin 2 2 sin v g t x g t v g x       _{  }        以沿斜面向下為正：

運動情形 圖示 與自由落體運動的 對應 運動公式 物體以初 速 v₀ 沿 斜面下滑 ( 向下加 速 ) 鉛直下拋 0 2 0 2 2 0 sin 1 sin 2 2 sin v v g t x v t g t v v g x        _{   }         以沿斜面向下為正：

運動情形 圖示 與自由落體運動的 對應 運動公式 物體以初 速 v₀ 沿 斜面上滑 ( 向上減 速 ) 鉛直上拋 0 2 0 2 2 0 sin 1 sin 2 2 sin v v g t x v t g t v v g x        _{   }         以沿斜面向下為正：

範例7

7

解 2 (m/s ) a 設沿斜面下滑的加速度為 2 1 (1) 2 S  at ： 由頂端下滑 2 2 1 24 4 3(m/s ) 2 a a      _。 2 0 1 (2) 2 S  v t  at， 由底部上滑：由令向上為正 2 0 0 1 0 6 ( 3) 6 9(m/s) 2 v v        　  _。

範例8

8

0 2 1. 2. v a    由對稱性可知： 上滑時間=下滑時間 秒 初速 下滑至斜面底部時的速度量值 下滑加速度公尺/秒 。 。 。 j k 4 2 2  sin 10 sin 37 6 g    

解 2 1 (1) 2 S_下  at ， 下滑時 2 1 6 2 12(m) 2     _， 12+12=24(m)  故全程路徑長 (2) v_底部  at   6 2 12(m/s)。 (3) v₀  v_底部 12(m/s)。