費氏數列與Padovan數列的二項式係數恆等式：用「階和數列」的觀點

費氏數列與

Padovan 數列的二項式係數恆等式：

用「階和數列」的觀點

陳建燁

臺北市立第一女子高級中學

壹、前言：

在 參 考 資 料[1]中， 探 討 了 一個 和 二 項 式係 數 與 費 氏數(註 1)有 關的 恆 等 式 ： 0 0 1 1 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n n

C F



C F C F



 



C F

_{ }



C F



F

， 亦 即 ₂ 0 n n k k n k

C F

F







。此 一 等 式，可 視 為 二 項 式 係 數 與 費 氏 數 的「 內 積 」，當 時 有 一 耐 人 尋 味 之 處 ： 內 積 的 結 果 為 何 是 費 氏 數 ， 而 不 是 二 項 式 係 數 ？ 另 一 方 面， 在 參 考 資 料[2] 的 第 53 頁，出 現了 有 關二 項 式 係 數 與 Padovan 數列(註 2) 的 恆 等 式 。 本 篇 文 章 一 開 始，將 先 給 出「 階 和 數 列 」的 定 義，建 立 一 般 項 公 式，接 著 應 用 到 費 氏 數 列 與 巴 都 萬 數 列 ， 以 證 明 較 為 一 般 的 恆 等 式 ： 0 k k i n i i

C F

_ 





F

2k n ， 0 k k i n i i

C P

_ 





P

3k n 與 0 n n k l n r k k

C P

_{  } 





P

( 3)l n r ， 註1： 費 氏數 列 0 1 2 1

0,

1

:

n n n n

F

F

F

F

_

F

_

F









_

_



。 數 列 的 前 幾 項 為 0，1， 1，2，3，5，8，13，21， …… 。 註2： Padovan 數 列 0 1 2 3 1

1

:

n n n n

P

P

P

P

P

_

P

_

P

 







_

_



。 (參 考 資 料[2])

貳、本文：

一、階和數列的定義與一般項公式

(一 ) 階 和 數 列 的 定 義 ： 1. 對 於數 列

a

_n ：

a a a

₀

, , , , ,

_{1 2}

_

a

_n

_

， 令

s a

(1) _n



a

_n



a

_n1， 其 中

n



0,1, 2,

_

， 則 所 得 的 數 列

s a

(1) _n ：

a

₀



a a

₁

,

₁



a

₂

,

_

,

a

_n



a

_n1

,

_

， 稱 為

a

_n 的 一 階 階 和 數 列 。 例 ：

s a

(1) ₀



a

₀



a

₁ ··· (註 3) 2. 對 於

s a

(1) _n ， 令

s a

(2) _n



s a

(1) _n



s a

(1) _n1， 其 中

n



0,1, 2,

_

， 則 所 得 的 數 列

s a

(2) _n ：

s a

(1) ₀



s a

(1) ₁

,

_

,

s a

(1) _n



s a

(1) _n1

,

_

，稱 為

a

_n 的 二 階 階 和 數 列 ， 其 中 的

s a

(2) _n



s a

(1) _n



s a

(1) _n1



(

a

_n



a

_n1

) (



a

_n1



a

_n2

)



a

_n



2

a

_n1



a

_n2， 因 此 可 得

s a

(2) _n ：

a

₀



2

a

₁



a

₂

,

_

,

a

_n



2

a

_n1



a

_n2

,

_

。 3. 同 樣地 ， 對 於

s

(k1)

a

_n ， 令

s a

( )k _n



s

(k1)

a

_n



s

(k1)

a

_n1， 其 中

n



0,1, 2,

_

， 則 所 得 的 數 列

s a

( )k _n ：

s

(k1)

a

₀



s

(k1)

a

₁

,

_

,

s

(k1)

a

_n



s

(k1)

a

_n1

,

_

，稱 為

a

_n 的

k

階 階 和 數 列 。 ··· (註 4) 例 ：

s a

(3) _n ：

s a

(2) ₀



s a

(2) ₁

,

_

,

s a

(2) _n



s a

(2) _n1

,

_

， 其 中 的

s a

(3) _n



s a

(2) _n



s a

(2) _n1 1 2 1 2 3

(

a

_n

2

a

_n

a

_n

) (

a

_n

2

a

_n

a

_n

)















a

_n



3

a

_n1



3

a

_n2



a

_n3。 註3：

s a

(1) _n的

s

代 表 sum， 而

s a

(1) _n



a

_n



a

_n1即 為 原 數 列

a

_n 之 中 相 鄰 兩 項 之 和 。 註4： 此處 列 出階 和 數 列 的兩 種 圖 解 方式 ， 供 讀 者參 考 ：

圖 解 1：

a

_n ：

a

₀

a

₁

a

₂

a

₃

_

_

a

_n

a

_n1

_

_

(1) n

s a

：

s a

(1) ₀

s a

(1) ₁

s a

(1) ₂

_

_

s a

(1) _n (2) n

s a

：

s a

(2) ₀

s a

(2) ₁





(3) n

s a

：

s a

(3) ₀

_

圖 解 2：

a

_n ：

a

₀

a

₁

a

₂

a

₃

_

_

a

_n

a

_n1

_

_

(1) n

s a

：

a

₀



a

₁

a

₁



a

₂

a

₂



a

₃

_

_

a

_n



a

_n1 (2) n

s a

：

a

₀



2

a

₁



a

₂

a

₁



2

a

₂



a

₃





(3) n

s a

：

a

₀



3

a

₁



3

a

₂



a

₃

_

(二 ) 階 和 數 列 的 一 般 項 公 式 由 以 上 的 例 子 觀 察，可 看 到 二 項 式 係 數 的 出 現，不 難 歸 納 出 以 下 的「 階 和 數 列 一 般 項 公 式 」 ： ( )k n

s a



₀k ₁k ₁ k k n n i n i k n k

C a



C a

_

 

_

C a

_

 

_

C a

_ 0 k k i n i i

C a

_ 





。 接 著 ， 證 明 階 和 數 列 的 一 般 項 公 式 ：

證 明 ： 用 數 學 歸 納 法 ！ 當

k



1

時 ，

s a

(1) _n



a

_n



a

_n1 1 1 0 i n i i

C a

_ 





， 命 題 成 立 。 假 設 當

k m



時 命 題 成 立 ， 即 ( ) 0 m m m n i n i i

s a

C a

_ 





， 則 當

k m

 

1

時 ，

s

(m1)

a

_n



s a

( )m _n



s a

( )m _n1 (由階 和 數列 的 定 義) 0 m m i n i i

C a

_ 





₁ 0 m m i n i i

C a

_{ } 





(由歸 納法 假 設) 0 m m i n i i

C a

_ 





1 _{( 1) 1 ( 1)} 1 1 m m i n i i

C

a

      





0 m m i n i i

C a

_ 





1 ₁ 1 m m j n j j

C a

   





(其中 令

j i

 

1

) 0 m m i n i i

C a

_ 





1 ₁ 1 m m i n i i

C a

   





0 1

(

m m m

)

n i n i i

C a

C a

_ 







_{1 1} 1

(

m m m

)

i n i m n m i

C a

_{ }

C a

_{ } 







0 1 1 1 1

(

m m

)

m m m m n i n i i n i m n m i i

C a

C a

_

C a

_{ }

C a

_{ }  













1 1 0 1 1 1 1

(

)

m m m m m n i i n i m n m i

C



a

C

C

_

a

_

C

_

a

_{ } 











1 1 1 0 1 1 1 m m m m n i n i m n m i

C



a

C



a

_

C

_

a

_{ } 









(因 為

C

_im



C

_im_1



C

_im1) 1 1 0 m m i n i i

C

a

   





， 命 題 亦 成 立 。 故 由 數 學 歸 納 法 ， 所 欲 證 之 命 題 成 立 。

二、對費氏數列作階和：

由 費 氏 數 列 的 遞 迴 關 係

F

_n2



F

_n1



F

_n， 可 得 如 下 的 階 和 ：

n

F

：

F

₀

F

₁

F

₂

F

₃





F

_n

F

_n1





(1) n

s F

：

F

₂

F

₃

F

₄

_

_

F

_n2 (2) n

s F

：

F

₄

F

₅





(3) n

s F

：

F

₆





_

觀 察 ： 以

F

_n 為 第 0 列 ，

s F

(1) _n 為 第 1 列 。 第

k

列 的 最 左 方 的 項

s F

( )k ₀恰 為

F

_2k，而 向 右 方 的 各 項，以 費 氏 數 的 形 式 而 言，下 標 從

2k

開 始 ， 逐 項 增 加 1，因 此 可歸 納 出 第

k

列 第

n

項 的

s F

( )k _n應 為

F

_{2k n} 。 例 如 ： 第 2 列 第 0 項 的

s F

(2) ₀為

F

₄



F

_{2 2 0 } ， 而 第2 列 第 1 項 的

s F

(2) ₁為

F

₅



F

_{2 2 1 } 。 命 題 ： 費 氏 數 列

F

_n 的 各 階 階 和 數 列 之 中 ， 第

k

列 第

n

項 的

s F

( )k _n為

F

_{2k n} ， 其 中

k



1

， 且

0

n



。 證 明 ： 用 數 學 歸 納 法 ！ 當

k



1

時 ， 第 1 列 第

n

項 的

s F

(1) _n



F

_n



F

_n1



F

_n2



F

_{2 1 n } ， 命 題 成 立 。 假 設 當

k m



時 命 題 成 立 ， 即 第

m

列 第

n

項 的

s F

( )m _n



F

_{2m n} ， 則 當

k m

 

1

時 ，

s

(m1)

F

_n



s F

( )m _n



s F

( )m _n1 (由階 和 數 列 的定 義)



F

_{2m n}



F

_{2m n 1} (由 歸納 法 假 設)

故 由 數 學 歸 納 法 ， 可 知 欲 證 之 命 題 成 立 。 接 著 ， 一 方 面 ， 由 階 和 數 列 的 一 般 項 公 式 ， 有

s F

( )k _n 0 k k i n i i

C F

_ 





， 另 一 方 面 ， 由 所 證 之 命 題 ， 有

s F

( )k _n



F

_{2k n} ， 所 以 可 得 0 k k i n i i

C F

_ 



( )k n

s F





F

_{2k n} ， 即 為 在 前 言 中 所 提 到 的 一 個 恆 等 式 。 特 別 地 ， 取

n



0

， 即 得 ₂ 0 k k i i k i

C F

F







。

三、對

Padovan 數列作階和：

由 Padovan 數 列的 遞 迴 關 係式

P

_n3



P

_n1



P

_n， 可 得 如 下 的 階 和 ： n

P

：

P

₀

P

₁

P

₂

P

₃





P

_n

P

_n1





(1) n

s P

：

P

₃

P

₄

P

₅





P

_n3 (2) n

s P

：

P

₆

P

₇





(3) n

s P

：

P

₉





_

觀 察 ： 以

P

_n 為 第 0 列 ，

s P

(1) _n 為 第 1 列 。 第

k

列 的 最 左 方 的 項

s P

( )k ₀恰 為

P

_3k，而 向 右 方 的 各 項，以 Padovan 數 列 的形 式 而 言， 下 標 從

3k

開 始 ， 逐 項 增 加 1，因 此 可 歸 納 出第

k

列 第

n

項 的

s P

( )k _n應 為

P

_{3k n} 。 例 如 ： 第 2 列 第 0 項 的

s P

(2) ₀為

P

₆



P

_{3 2 0 } ， 而 第 2 列 第 1 項 的

s P

(2) ₁為

P

₇



P

_{3 2 1 } 。

命 題 ：Padovan 數列

P

_n 的 各 階 階 和 數 列 之 中 ， 第

k

列 第

n

項 的

s P

( )k _n為

P

_{3k n} ， 其 中

1

k



， 且

n



0

。 證 明 ： 用 數 學 歸 納 法 ！ 當

k



1

時 ， 第 1 列 第

n

項 的

s P

(1) _n



P

_n



P

_n1



P

_n3



P

_{3 1 n } ， 命 題 成 立 。 假 設 當

k m



時 命 題 成 立 ， 即 第

m

列 第

n

項 的

s P

( )m _n



P

_{3m n} ， 則 當

k m

 

1

時 ，

s

(m1)

P

_n



s P

( )m _n



s P

( )m _n1 (由階 和 數 列 的定 義)



P

_{3m n}



P

_{3m n 1} (由歸 納 法假 設)



P

_{3m n 3} (由 Padovan 數 列 的定 義)



P

_{3(m 1) n}， 命 題 亦 成 立 。 故 由 數 學 歸 納 法 ， 可 知 欲 證 之 命 題 成 立 。 接 著 ， 一 方 面 ， 由 階 和 數 列 的 一 般 項 公 式 ， 有

s P

( )k _n 0 k k i n i i

C P

_ 





， 另 一 方 面 ， 由 所 證 之 命 題 ， 有

s P

( )k _n



P

_{3k n} ， 所 以 可 得 0 k k i n i i

C P

_ 



( )k n

s P





P

_{3k n} ， 特 別 地 ， 取

n



0

， 得 ₃ 0 k k i i k i

C P

P







。 此 外 ， 在 0 k k i n i i

C P

_ 





P

3k n 之 中 ， 將

i

、

k

與

n

分 別 改 為

k

、

n

與

m

， 可 得 0 n n k m k k

C P

_ 





P

3n m ， 再 以

m l n r

  

代 入 ， 可 得

P

_{( 3)l n r} 0 n n k l n r k k

C P

_{  } 





，

參、討論與總結：

在 處 理 有 關 組 合 數 學 的 主 題 時 ，「 算 兩 次 」(Double Counting)是一 個 常 用 的想 法：一 方 面，證 明 階 和 數 列 的 一 般 項 公 式，另 一 方 面，證 明 費 氏 數 列 與Padovan 數列 作 階 和之 後 的 一 般 項 公 式 ， 兩 相 對 照 之 下 ， 即 得 所 欲 證 之 恆 等 式 ： 0 k k i n i i

C F

_ 





F

2k n ， 0 k k i n i i

C P

_ 





P

3k n 與 0 n n k l n r k k

C P

_{  } 





P

( 3)l n r 。 一 般 而 言，階 差 數 列 要 比 階 和 數 列 來 得 常 見，甚 至 可 能 有 人 根 本 沒 聽 過 何 謂「 階 和 數 列 」。但「 階 和 」的 觀 念 與 一 般 項 公 式，絕 非 故 弄 玄 虛，而 是 相 當 樸 實 的，在 前 幾 列 的 階 和 運 算 中，「 二 項 式 係 數 」即 已 自 然 浮 現，而 費 氏 數 列 與Padovan 數 列 的遞 迴 關 係 式，恰 好 與 階 和 數 列 的 結 構 吻 合 ， 使 得 每 一 列 的 階 和 作 完 ， 下 一 列 仍 為 費 氏 數 列 或 Padovan 數 列。至 此，筆 者 體 會 到 何 以 等 式 的 右 端 是 費 氏 數 列 與 Padovan 數列，而 不是 二 項 式 係數， 對 此 類 恆 等 式 ， 也 有 了 另 一 番 的 領 悟 。 或許 有 讀 者會 這 麼 想，何 不直 接 對所 欲 證 的 恆等 式 使 用 數學 歸 納 法 呢？ 對 此，可 以 反 問：那 所 要 證 的 恆 等 式 是 怎 麼 出 現 的 呢 ？ 這 正 是 本 篇 文 章 想 回 答 的：先 透 過 觀 察 歸 納 作 出 猜 想，再 使 用 數 學 歸 納 法 證 明，即 所 謂 的「 先 猜 後 證 」。本 篇 文 章 用 到 的 高 中 數 學 知 識 與 觀 念 有：遞 迴 數 列、二 項 式 係 數、數 學 歸 納 法，可 提 供 學 完 數 列 級 數 與 排 列 組 合 的 高 中 學 生 作 為 自 學 補 充 教 材 。

參考資料：

[1] 陳 建 燁 ， Pascal 與 Fibonacci 的 對 話 ， 高 中 數 學 學 科 中 心 電 子 報 第 110 期 ， 2016 年 5 月 。 [2] 廖 信 傑 ， 用 矩 陣 方 法 探 討 三 階 遞 迴 數 列 ， 數 學 傳 播 38 卷 1 期 ， P36， P53。