高二下第一次期中考數學題庫(50)

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(1)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/43

Sec1-1

一、單選題

( )1.下圖為一個正立方體﹐它共有 12 個邊﹒問﹕這 12 個邊中﹐ 有幾個邊所在的直線與直線 AB 歪斜﹖ (1)2 (2)3 (3)4 (4)5 (5)6﹒ 解答 5 解析 下圖中以實線表示的邊所在的直線與直線 AB 歪斜﹒ 共有 6 條直線與直線 AB 歪斜﹐故正確的選項為(5)﹒ ( )2.如圖﹐假設一正立方體的邊長為 2﹐則 A 點到平面 BCD 的距離為 (1) 3 (2) 2 (3)2 3 3 (4) 3 2 (5) 6 2 ﹒ 解答 3 解析 設 A 點到平面 BCD 的距離為 h﹐ 四面體 A - BCD 的體積 1 1 3 ABD AC 3 BCD h  △   △  ﹐ ∴1 (1 2 2) 2 1 [ 3 (2 2) ]2 3 2    3 4  h 2 2 3 = 3 3 h   ﹒ A B A C B D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B D C A A B

(2)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/43 ( )3.下列各敘述何者恆真﹖ (1)平行於同一平面的二相異直線必平行 (2)垂直於同一直線的二線互 相平行 (3)若一平面與二平行平面相交﹐其交線互相平行 (4)任意兩相異直線必有一公垂線 (5)兩相異直線若不相交﹐必平行﹒ 解答 3 解析 (1) 可能相交﹒ (2)二度空間為真﹐但三度空間不為真﹒ (3) (4)二度空間不真﹐但三度空間為真﹒ (5)二度空間為真﹐但三度空間可為歪斜線﹒ 故選(3)﹒ ( )4.設 A﹐B﹐C 為空間中三點﹐且不在同一直線上﹒若空間中一點 D 滿足 AD BD CD  ﹐問﹕這 樣的 D 點一共有 (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)無窮多個﹒ 解答 5 解析 設 O 為△ABC 的外心﹐即AOBOCO取 D 為通過點 O 與平面 ABC 垂直的直線上的任意點﹐ 則由畢氏定理可知﹕ 2 2 2 2 ADAODOBODOBDCO2DO2 CD因此直線上的點 D 均滿足ADBDCD故這樣的 D 點有無窮多個﹐即正確的選項為(5)﹒ A B C O D L

(3)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/43 ( )5.下圖中﹐ABCD EFGH 是一個正立方體﹒問下列哪些直線與平面 ACGE 垂直﹖ (1)直線 AB

(2)直線 BF (3)直線 CG (4)直線 DB (5)直線 EB﹒ 解答 4 解析 平面 ACGE 如下圖所示﹒ (1)因為直線 AB 與直線 AC 不垂直﹐所以直線 AB 與平面 ACGE 不垂直﹒ (2)因為直線 BF 與直線 AE 平行﹐所以直線 BF 與平面 ACGE 不垂直﹒ (3)因為直線 CG 在平面 ACGE 上﹐所以直線 CG 與平面 ACGE 不垂直﹒ (4)因為直線 DB 與直線 AC 為正方形 ABCD 的兩對角線﹐互相垂直﹐又直線 DB 與正方形 ABCD 和 EFGH 的中心連線 PQ 也垂直﹐所以直線 DB 與平面 ACGE 垂直﹐如下圖所示﹒ (5)因為直線 EB 與直線 AE 不垂直﹐所以直線 EB 與平面 ACGE 不垂直﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(4)﹒ A E B H G C F D A E B H G C F D A E B H G C F D Q P

(4)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/43 ( )6.正四面體 OBCD 中﹐二稜 OB ﹐ CD 之中點分別為 M﹐N﹐求 OB MN  (1)1 (2) 3 (3) 2 (4)1 2 (5) 1 3﹒ 解答 3 解析 △OBN 中﹐ONBN﹐M 為OB中點﹐∴NMOB設稜長為 a﹐則 3 2 ONa﹐ 2 a OM  ﹐∴ ( 3 )2 ( )2 1 2 2 2 a MNa   a﹐ ∴ 2 1 2 OB a MNa  ﹐故選(3)﹒

二、多選題

( )1.下圖是一個立體圖形﹐ABCD 是一個正方形﹒下列哪些直線與直線 AD 歪斜﹖ (1)直線 AB (2)直線 BC (3)直線 BE (4)直線 CE﹒ 解答 34 解析 (1)直線 AB 與直線 AD 交於 A 點﹒ (2)直線 BC 與直線 AD 平行﹒ (3)直線 BE 與直線 AD 歪斜﹒ (4)直線 CE 與直線 AD 歪斜﹒ 故正確的選項為(3)(4)﹒ O B D C N M A B C D E

(5)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/43 ( )2.空間中﹐下列何者恆真﹖ (1)垂直同一直線之相異二平面平行 (2)垂直同一平面之相異二直線 平行 (3)若直線 L 平行平面 E﹐則包含 L 之平面必平行 E (4)若直線 L 垂直平面 E﹐則包含 L 之平面必垂直 E (5)垂直同一平面之相異二平面必垂直﹒ 解答 124 解析 (1)○ (2)○ (3)╳﹕ (4)○ (5)╳﹕ 故選(1)(2)(4)﹒ ( )3.一個三角形在一直線上之投影可能為 (1)一三角形 (2)一線段 (3)一直線 (4)二平行直線 (5)一點﹒ 解答 25 解析 可能為一線段或一點﹒ 故選(2)(5)﹒ ( )4.下圖中﹐ABCD EFGH 是一個正立方體﹐下列哪些線段與 AG 共平面﹖ (1) AH (2) BC (3) CE (4)DH (5) EF ﹒ 解答 13 解析 (1)因為AHAG相交於 A 點﹐所以由 A﹐G﹐H 三點在同一平面上﹐可得AHAG共平面﹒ (2)因為BCAG互相歪斜﹐所以不共平面﹒ (3)因為CEAG相交於一點﹐所以共平面﹒ (4)因為DHAG互相歪斜﹐所以不共平面﹒ (5)因為EFAG互相歪斜﹐所以不共平面﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)﹒ A E B H G C F D E L

(6)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/43

三、填充題

1.如下圖﹐長方體 ABCD EFGH 中﹐AE1﹐AB2﹐AD3 (1)有一蜜蜂從 A 點飛到 G 點﹐其飛行的最短距離為____________﹒ (2)有一螞蟻從 A 點爬到 G 點﹐其爬行的最短距離為____________﹒ 解答 (1) 14;(2) 18 解析 (1)AGAE2EG2  AE2(EF2FG2) 122232  14﹒ (2)(i)將矩形 DCGH 沿DH攤開﹐如圖﹐ 此時 2 2 (3 2) 1 26 AG    ﹒ (ii)將矩形 DCGH 沿DC攤開﹐如圖﹐ 此時 2 2 (3 1) 2 20 AG    ﹒ (iii)將矩形 BCGF 沿BC攤開﹐如圖﹐ 此時 2 2 3 (2 1) 18 AG    ﹒ 由(i)(ii)(iii)知爬行的最短距離為 18﹒ A D H F G B E C 1 3 2 1 2 3 A D C E H G 2 1 3 G C B H D A A F B D G C 2 1 3

(7)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/43 2.ABC 為等腰三角形﹐ABAC5﹐BC8﹐G 為其重心﹐D 為 BC 中點﹐將 G 點垂直拉升至與平面 ABC 距離為 2 處得點 P﹐試求 PC____________﹒ 解答 21 解析 由 ABC 為等腰三角形﹐ABAC5﹐BC8﹐ 2 2 2 2 5 4 3 AD AC CD       ﹐ 又 G 為三角形 ABC 重心DG1﹐ 2 2 17 CG DG CD     ﹐ 2 2 21 CP CG PG     ﹒ 3.設 ABCD 為正四面體(各面均為正△)﹐ 其稜長 a﹐設 M 為 CD 中點﹐AMB ﹐則 (1)其高 AG____________﹒ (2)體積為____________﹒ (3)全表面積為____________﹒ (4)cos ____________﹒ 解答 (1) 6 3 a;(2) 3 2 12 a ;(3) 2 3a ;(4)1 3 解析 (1)∵稜長為 a﹐底面△BCD 的中線BM長為 3 2 a﹐G 為重心﹐ ∴ 2( 3 ) 3 3 2 3 BGaa △ABG 中﹐ 2 2 2 2 1 2 2 2 6 3 3 3 AGABBGaaaAGa﹒ (2)體積 1 3  (底面積)  高 1 3 2 6 2 3 3 4 a 3 a 12a     ﹒ (3)全表面積  4(△BCD) 4 3 2 3 2 4 a a    ﹒ (4)△AGM 中﹐ 1 3 1 3 2 cos 3 3 2 a GM AM a     ﹒ A B C D P G A B D C M G a

(8)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/43 4.如圖﹐設 A﹐B﹐C 在平面 E 上﹐且 ABBC﹐另設 PA平面 E 於 A﹐ 已知PA8﹐AB6﹐BC24﹐求 PC____________﹒ 解答 26 解析 △PAB 中﹐PB 8262 10﹐ ∵PAEABBC﹐ 由三垂線定理知PBBC△PBC 中﹐ 2 2 2 2 10 24 26 PCPBBC    ﹒ 5.將長方形 ABCD 沿著對角線 BD 摺起﹐使 ABD 平面與 BCD 平面互相垂直﹐ 若 AB a﹐ AD b﹐則 AC____________﹒ 解答 4 4 2 2 a b a b   解析 如圖﹐ 2 2 2 2 ab BD a b AH a b      ﹐ ∴ 2 2 2 2 2 2 2 ( ab ) b HD b a b a b      ﹐ 在△CHD 與△CBD 中﹐由餘弦定理﹕ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) cos( ) 2 b a CH a a b CDB b a b a a b           4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a CH a b a b       4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 b a b a a b b a b a a b b CH a a b a b a b a b                ﹐ ∴ 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a a b b a b AC AH CH a b a b a b            ﹒

P

E

C

B

A

8

6

24

b b a a a b A C D B A H

(9)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/43 6.一正立方體之稜長為 a﹐共頂點的三稜為 AB ﹐ AC ﹐ AD ﹐則 A 到平面 BCD 的距離為____________﹒ 解答 3 3 a 解析 設 A 到平面 BCD 之距離為 h﹐ 則四面體 ABCD 體積 四面體 CABD 體積 2 2 1 3 1 ( 2 ) 3 4 3 2 a a h a       3 3 h a   ﹐ ∴A 到平面 BCD 之距離為 3 3 a﹒ 7.如圖﹐有一個各稜等長的金字塔形﹐設其四個正三角形的側面中相鄰二面的夾角為﹐ 側面與底面之夾角為﹐則 (1)cos ____________﹒ (2)sin ____________﹒ 解答 (1) 1 3  ;(2) 6 3 解析 (1)如圖﹐設PB之中點為 M﹐△PAB﹐△PBC 都是正三角形 AP AB   ﹐CPCB﹐∴AMPBCMPB﹐ 故AMC (二面角的定義)﹐ 令APa﹐則 3 2 AMCMa﹐ 又 2 2 2 2 2 ACABBCaaa﹐△ACM 中﹐由餘弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( 2 ) 1 4 4 cos 3 3 2 2( ) 4 a a a AM CM AC AM CM a          ﹒ (2)設 E﹐F 分別為BCAD之中點 △PEF 中﹐ 3 2 PEaPFEFa﹐ 2 2 2 3 3 ( ) ( ) 1 2 2 cos 3 3 2 2 a a a a a        ﹐ ∴ 2 6 sin 1 cos 3     ﹒ ∴ 2 6 sin 1 cos 3      ﹒ A B C D P A B C M A B C E D F P

(10)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/43 8.若 2 為正八面體相鄰二面所成之二面角﹐則 cos ____________﹒ 解答 3 3 解析 令正八面體之中心為 O﹐CD中點為 M﹐稜長為 a﹐ △PCD 為正三角形﹐ ∴ 3 2 PMa﹐ 2 a OM  ﹐ ∴cos 2 1 3 3 3 3 2 a OM PM a     ﹒ 9.空間中﹐A 點在 E 平面上的垂足為 H﹐AH3﹐直線 L 在 E 平面上﹐由 H 作 L 的垂線交 L 於 B 點﹐ 2 HB﹐C 是 L 上一點且AC7﹐求 BC____________﹒ 解答 6 解析 如圖﹕ △AHB 中﹐ AHBH﹐∴AB2AH2BH2﹐∴AB 9 4  13﹒ 由三垂線定理得知ABL於 B﹐△ABC 中﹐ BCAC2AB2 ﹐∴BC 49 13 6﹒ 10.如圖﹐ABCD-EFGH 為一長方體﹐共有 8 個頂點﹐12 條稜﹒ (1)由各頂點所構成的平面中﹐包含直線 AB 的有____________個﹒ (2)由各頂點所構成的平面中﹐包含 A 點的有____________個﹒ (3)由各頂點所構成的平面中﹐恰通過三個頂點的有____________個﹒ 解答 (1)3;(2)9;(3)8

解析 (1)由各頂點所構成的平面中﹐包含直線 AB 的有平面 ABCD﹐平面 ABGH﹐平面 ABFE﹒

(2)由各頂點所構成的平面中﹐包含 A 點的有平面 ABCD﹐平面 ABGH﹐平面 ABFE﹐平面 ACH﹐ 平面 ACF﹐平面 AFH﹐平面 ADGF﹐平面 ADHE﹐平面 AEGC﹒

(3)由各頂點所構成的平面中﹐恰通過三個頂點的有平面 BDE﹐平面 ACF﹐平面 BDG﹐平面 ACH ﹐平面 AFH﹐平面 BEG﹐平面 CFH﹐平面 DEG﹒

a A B C D M O P 3 2 7 A B C H E L 13 A E B H F D C G

(11)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/43

Sec1-2

一、單選題

( )1.如圖﹐ 長方體 ABCD-EFGH 中﹐AB2﹐AE1﹐AD3﹐AP2﹐FQ1﹐則 PQ 的長為 (1) 2 (2) 3 (3)2 (4) 5 (5) 6 ﹒ 解答 5 解析 作圖如下﹕ 建立坐標系﹐ 設 E(0,0,0)﹐則 P(0,2,1)﹐Q(2,1,0)﹐ PQ 4 1 1   6﹒ 故選(5)﹒ ( )2.坐標空間中﹐下列哪一點與原點的距離最大﹖ (1)(1,2,3) (2)(1,0,5) (3)(2,2,2) (4)(1,  1,4) (5)(0,3,3)﹒ 解答 2 解析 各點與原點的距離分別為﹕ (1) (1 0) 2(20)2 (3 0)2  14 (2) (1 0) 2 (0 0)2 (5 0)2  26 (3) (20)2(20)2(20)2  12 (4) (1 0) 2  (( 1) 0)2(40)2  18 (5) (00)2 (3 0)2 (3 0)2  18 因為最大值為 26﹐所以正確的選項為(2)﹒ A P D H B F Q G E C z A P D H B F Q G E x y C

(12)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/43

二、多選題

( )1.A(4,3,2)與 B(2,3,4)為空間中二點﹒選出正確的選項﹕ (1)點 A 到 xy 平面的距離為 2 (2)點 B 到 x 軸的距離為 4 (3)若點 P 在 y 軸上﹐則 APBP (4)若 AP BP﹐則點 P 在 y 軸上﹒ 解答 13 解析 (1)因為點 A 對 xy 平面的投影點為(4,3,0)﹐所以距離為 2﹒ (2)因為點 B 到 x 軸的投影點為(2,0,0)﹐所以距離為 (22)23242 5﹒ (3)若點 P 在 y 軸上﹐則 P 點坐標為(0,y,0)﹒ 因為 2 2 2 2 (4 0) (3 ) (2 0) ( 3) 20 AP   y    y  ﹐且 2 2 2 2 (2 0) (3 ) (4 0) ( 3) 20 BP   y    y  ﹐ 所以APBP﹒ (4)空間中﹐若APBP﹐則點 P 在一個平面上﹐由(3)可知﹐此平面包含 y 軸﹐但點 P 不一定在 y 軸上﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)﹒ ( )2.空間坐標中﹐已知 P( 2,7,3)﹐Q(4,  1,  2)﹐下列敘述何者正確﹖ (1)P 到 xy 平面的距離為 2 2 ( 1) 7 (2)P 在 y 軸的投影點為(0,7,0) (3)P 相關於 yz 平面對稱點是(  2,  7,  3) (4) 5 5 PQ (5)若點 R 在 xy 平面上﹐則 PRQR的最短距離為 101﹒ 解答 24 解析 (1)╳﹕距離為 3 (2)○ (3)╳﹕P 對 yz 平面的投影點(0,7,3)﹐P 對 yz 平面的對稱點(2,7,3) (4)○﹕PQ ( 2 4)2(7 1) 2 (3 2)2  1255 5﹒ (5)╳﹕P﹐Q 位於 xy 平面之異側﹐∴最短距離即 P﹐Q 二點之距離為 125 故選(2)(4)﹒

(13)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/43 ( )3.坐標空間中﹐下列哪些點可和 A(1,2,3)﹐B(2,5,3)﹐C(2,6,4)三點構成一個平行四邊形﹖ (1)(1,1,2) (2)(1,3,4) (3)(3,7,6) (4)(3,9,4) (5)(  1,  5,  2)﹒ 解答 124 解析 計算AB(1,3, 0)﹐BC(0,1,1)﹐CB(0, 1, 1)  ﹒ 由下圖可知﹕D﹐E﹐F 三點均可和 A﹐B﹐C 三點構成一個平行四邊形﹐ 且其各點坐標分別為 (2,6, 4) (1,3,0) (3,9, 4) D C CD C AB   ﹒ (1, 2,3) (0, 1, 1) (1,1, 2) E A AE A CB     ﹒ (1, 2,3) (0,1,1) (1,3, 4) F A AF A BC   ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒ A B C D E F

(14)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/43 ( )4.試繪圖觀察﹐下列哪些向量的終點位在由OA(1, 2,3)與OB(0,3, 1) 所張出的平行四邊形內﹖ (1) 1(1, 2,3) 1(0,3, 1) 2 2 OC   (2) 1(1, 2,3) 1(0,3, 1) 3 3 OD   (3) OE 2  (1,2,3)  (0,3,  1) (4) OF (1,2,3)  (0,3,  1)﹒ 解答 12 解析 因為平行四邊形上的點坐標均可以表示成 s(1,2,3) t(0,3,  1)的型態﹐其中 0  s  1﹐0  t  1﹐ 所以正確的選項為(1)(2)﹒ 繪圖如下﹕ ( )5.下列哪些點與 A(6,2, 4)﹐B(  3,5,8)兩點共線﹖ (1)(3,3,0) (2)(0,4,4) (3)(9,1,  8) (4)(3,7,4) (5)(  9,3,4)﹒ 解答 123 解析 設 C(3,3,0)﹐D(0,4,4)﹐E(9,1, 8)﹐F(3,7,4)﹐G(  9,3,4)﹐則 ( 9,3,12) 3( 3,1, 4) AB    ﹐AC ( 3,1, 4)﹐AD ( 6, 2,8) 2( 3,1, 4)﹐ (3, 1, 4) ( 1)( 3,1, 4) AE      ﹐AF ( 3,5,8)﹐AG ( 15,1,8)﹒ 由上面的向量可知﹕C﹐D﹐E 三點與 A﹐B 兩點共線﹒ 故正確的選項為(1)(2)(3)﹒

(15)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/43 ( )6.下圖中﹐O ABCD 是一個各邊長均為 2 的四角錐﹐其中 ABCD 是一個正方形﹒選出正確的選項

﹕ (1)OAOBOCOD 0 (2)OAOBOCOD 0 (3)OAOBOCOD 0 (4) OA OB OC OD (5)OA OC 2﹒ 解答 34 解析 設點 O 在底面 ABCD 的投影點為 G﹐點 E﹐F 分別為ABCD的中點﹒ (1)OAOBOCOD2(OEOF)4OG 0 ﹒ (2)OAOBOCOD2(OEOF) 0 ﹒ (3)OAOBOCODOAOC(OBOD)2OG2OG 0 ﹒ (4)因為邊長均為 2﹐且AOB COD  60﹐ 所以OA OB   2 2 cos 60 OC OD ﹒ (5)因為OA OC 2﹐ 2 2 2 2 2 2 2 2 ACABBC    ﹐即△AOC 之三邊長為 2﹐2﹐2 2﹐ 所以△AOC 是等腰直角三角形﹐可得OAOC﹐故OA OC 0﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(4)﹒ A B C D O A B C D O G F E

(16)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/43

三、填充題

1.空間中一點 A(  7,3,  4)﹐則 A 到 x 軸距離為____________﹒ 解答 5 解析 A(  7,3,  4)對 x 軸投影點(  7,0,0)﹐∴所求 32 ( 4)2 5﹒ 2.空間中 P( 1,4,7)﹐Q(2,a,6)﹐R(5,4,b)三點共線﹐(a,b)  ____________﹒ 解答 (4,5) 解析 PQ//PR(3,a 4, 1) //(6, 0,b7) 3 1 6 b 7     ﹐a  4  0  a 4﹐b  5﹐ ∴(a,b)  (4,5)﹒ 3.設 A(3, 1,2)﹐B(5,3, 4)﹐若 P 在直線 AB 上且 2AP3AB﹐求 P 點之坐標為____________﹒ 解答 (6,5,  7)或(0,  7,11) 解析 設 P 點坐標為(x,y,z) (1)A-B-P 作圖如下﹕ 5 3 2 6 2 1 x x      ﹐ 1 2 3 5 2 1 y y       ﹐ 2 2 4 7 2 1 z z        ﹐ ∴P(6,5,  7)﹒ (2)P-A-B 作圖如下﹕ 3 2 15 0 3 2 x x      ﹐ 2 9 1 7 3 2 y y        ﹐ 2 12 2 11 3 2 z z      ﹐ ∴P(0,  7,11)﹒ 2 1 A(3, 1,2) B (5,3, 4) P(x, y,z) 3 2 P(x, y,z) A(3, 1,2) B (5,3, 4)

(17)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/43 4.若 A(3, 1,2)﹐B(2,1,1)﹐試在 zx 平面上找一點 C 使△ABC 為正三角形﹐則點 C 之坐標為____________﹒ 解答 (1,0,3)或(4,0,0) 解析 設 C(x,0,z) 1 4 1 6 AB    ﹐ 2 2 ( 3) 1 ( 2) 6 ACAB x   z  2 2 ( 2) 1 ( 1) 6 BCAB x   z  解得 x  1 時﹐z 3 或 x 4 時﹐z  0﹐ ∴C(1,0,3)或(4,0,0)﹒ 5.設 (0, 2, 2 2) ﹐ (0,2, 2 2) ﹐ (0, 2,2 2) ﹐ (0, 2, 2 2)  為一正立方體的四個頂點﹐求此正立方體的體積為 ____________﹒ 解答 64 解析 ∵任二頂點的距離為 4﹐4 2﹐4 3﹐∴邊長  4﹐∴體積  43 64﹒ 6.設 A(1, 3,4)﹐與 B(2,1, 6)是空間中兩點﹐P 是 z 軸上一點﹐則(1)PA2PB2之最小值為____________﹐(2) 當有最小值時﹐P 點之坐標為____________﹒ 解答 (1)65;(2)P(0,0,  1) 解析 設 P(0,0,a)﹐ 2 2 2 2 2 2 [1 9 ( 4) ] [4 1 ( 6) ] 2 4 67 2( 1) 65 PAPB    a    a  aa  a  ﹐ 當 a  1 時﹐最小值為 65﹐此時 P(0,0,  1)﹐ ∴(1)最小值為 65﹒(2)當有最小值時﹐P 點坐標為 P(0,0,  1)﹒ 7.已知空間中 P 點坐標為(3,4,5)﹐試求﹕ (1)P 點至 y 軸的距離____________﹒ (2)P 點至 xy 平面的對稱點 Q 的坐標____________﹒ 解答 (1) 34;(2)(3,4,  5) 解析 (1)設 y 軸投影點 H(0,4,0)﹐∴距離為PH 320252  34﹒ (2)Q(3,4,  5)﹒

(18)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/43 8.空間中四點 P(1,3,1)﹐Q(0, 1,3)﹐R(1,1,1)﹐S(1,  1,4)﹐令 1 2 2 aPQRPQS﹐且AB3 a ﹐又 (10,5, 2) OB﹐求點 A 之坐標為____________﹒ 解答 (11,17, 7) 2  解析 PQ  ( 1, 4, 2)﹐RP(0, 2, 0)﹐QS(1, 0,1)﹐ 1 3 ( 1, 4, 2) (0, 2,0) 2(1,0,1) ( , 4,3) 2 2 a        ﹐ 令 A(x,y,z)﹐OB(10,5, 2)B(10,5, 2)﹐ 3 (10 ,5 , 2 ) 3 3( , 4,3) 2 AB xy  z a   ﹐ ∴10 9 11 2 2 x x     ﹐ 5  y  12  y  17﹐ 2  z  9  z  7﹐ ∴ (11,17, 7) 2 A  ﹒ 9.△ABC 中﹐A(3, 1,2)﹐B(0,3,2)﹐C(3,  6,14)﹐A 之分角線交 BC 於 D﹐求 D 點之坐標為____________﹒ 解答 ( , ,5 1 16) 6 2 3 解析 作圖如下﹕ 9 16 5 AB   ﹐AC 25 144 13  ﹐ 5 13 BDDCABAC : ﹐ 0 15 39 30 26 70 5 1 16 ( , , ) ( , , ) 5 13 5 13 5 13 6 2 3 D        ﹒ 10.A(2,1, 5)﹐B(8,  3,  2)﹐求 AB 在 yz 平面上的正射影長為____________﹒ 解答 5 解析 A 在 yz 平面之投影點 A(0,1,  5)﹐B 在 yz 平面之投影點 B(0,  3,  2)﹐ 所求 2 2 2 0 4 3 5 A B       ﹒ A(3, 1,2) B(0,3,2) D C(3, 6,14) 5 13

(19)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/43 11.在空間坐標中﹐設 xy 平面為一鏡面﹐今有一光線過 A(1,2,2)射向鏡面上之點 P(  3,4,0)﹐經鏡面反射後通 過點 B﹐若AP2BP﹐則 B 點坐標為____________﹒ 解答 (  5,5,1) 解析 作圖如下﹕ 2 1 APPBA P :PB : ﹐ 設 B(x,y,z)﹐ 由分點公式﹕ 2 1 3 3 2 2 4 ( , , ) ( 5,5,1) 3 2 2 0 3 x y x y z z                  ﹒ 12.在空間坐標系中﹐點 P 在第一卦限﹐若 P 到 x 軸﹐y 軸﹐z 軸之距離各為 5﹐ 34﹐ 41 ﹐求 P 點坐標為 ____________﹒ 解答 (5,4,3) 解析 令 P(x,y,z)﹐∵P 在第一卦限﹐∴x 0﹐y 0﹐z  0﹐ P 至 x 軸之投影點為(x,0,0)﹐ ∴P 至 x 軸距離為 2 2 5 yz P 至 y 軸距離為 2 2 34 xz P 至 z 軸距離為 x2y2  41 2 2 2 2 2 2 25 5 34 4 3 41 y z x x z y z x y               ∴P(5,4,3)﹒ A'(1,2, 2) A (1,2,2) 1 2 B(x, y,z) P( 3,4,0) xy 平面

(20)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/43

Sec1-3

一、單選題

( )1.墾丁音樂季的廣場上有照明燈 A﹐B﹐現小明建置一個空間坐標系得 A(1,3,5)﹐B(9,7,5)﹐在廣場 地面上﹐即 xy 平面上﹐想找動點 P(x, y,0)﹐使得 PAPB﹐試問 P 點的個數為 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4)無限多個﹒ 解答 1 解析 PA (1 x, 3y, 5)﹐PB(9x, 7y, 5)﹐因PAPB﹐知PA PB 0﹐ 即(1  x)(9 x)  (3  y)(7 y)  25  0﹐(x  5)2 (y 5)2 5 0﹐故無解﹒ ( )2.設 a﹐b 皆為正實數﹐則(a 2 )(b 1 2) a b   之最小值為 (1)5 (2)6 (3)7 (4)8 (5)9﹒ 解答 5 解析 [( a)2 ( 2 ) ][(b 2 1 )2 ( 2) ]2 (1 2)2 a b     ﹐∴(a 2 )(b 1 2) 9 a b    ﹐故選(5)﹒

二、多選題

( )1.下圖是一個正立方體﹒下列哪些向量和 AB 的內積是一個正數﹖ (1) AC (2) AD (3) AG (4) DG (5) FH ﹒ 解答 134 解析 因為僅ACAGDGAB的夾角小於 90﹐所以此三個向量和AB的內積是正數(ADAB 的夾角等於 90﹐FHAB的夾角大於 90﹒) 故正確的選項為(1)(3)(4)﹒ A B C G H E D F

(21)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P21/43 ( )2.下圖為一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1) ABADEG (2) ABADAEAG (3) 0 AE EG  (4)ED EF 0 (5)AG CE 0﹒ 解答 1234 解析 (1)ABADACEG﹒ (2)ABADAEABBCCGAG﹒ (3)因為AEEG﹐所以AE EG 0﹒ (4)因為EDEF﹐所以ED EF 0﹒ (5)因為 ACGE 是一個長與寬不等長的長方形﹐所以對角線AGCE並沒有垂直﹐因此 0 AG CE  ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ A B C D E F G H

(22)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P22/43 ( )3.下圖是坐標空間中的一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1)E 點的坐標為(2,2,2) (2) ( 2, 2, 2) DC   (3)|OE|2 3 (4) DGGC (5) BD 和 BG 的夾角為 45﹒ 解答 1234 解析 由 A 點的坐標可知此正立方體的邊長為 2﹒ (1)E 點的坐標為(2,2,2)是正確的﹒ (2)D 點的坐標為(2,0,2)﹐C 點的坐標為(0,2,0)﹐故DC ( 2, 2, 2) 是正確的﹒ (3)因為 E 的點坐標為(2,2,2)﹐所以|OE| 222222 2 3是正確的﹒ (4)因為DG ( 2, 0, 0)﹐GC(0, 2, 2) ﹐計算DG GC 0﹐ 所以DGGC是正確的﹒ (5)因為BD(0, 2, 2) ﹐BG  ( 2, 2, 2)﹐計算BD BG 8﹐ 得兩向量之夾角 的餘弦值為 8 2 2 cos cos 45 2 2 2 2 3 6 | || | BD BG BD BG         ﹐ 所以BDBG的夾角不是 45﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ A (2,0,0) B C D E F G O x y z

(23)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/43 ( )4.下圖中﹐ABCD EFGH 是一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1)EA EG 0 (2)ED EF 0 (3)EC AG 0 (4) EFEHAC (5) EFEAEHEC﹒ 解答 1245 解析 將正立方體放在坐標空間中﹐如下圖所示﹕ (1)EA EG (0, 0, 1) ( 1,1, 0)   0﹒ (2)ED EF  ( 1, 0, 1) (0,1, 0)  0﹒ (3)EC AG  ( 1,1, 1) ( 1,1,1) 1    ﹒ (4)EFEHEGAC﹒ (5)EFEAEHEFFBBCEC﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒ A B C D E F G H A (1,0,0) B (1,1,0) C (0,1,0) E (1,0,1) F (1,1,1) G (0,1,1) H (0,0,1) D (0,0,0) x y z

(24)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P24/43 ( )5.下圖中﹐ABCD 是一個正四面體﹐M 為 CD 中點﹐選出正確的選項﹕ (1)直線 CD 與平面 ABM 垂直 (2)向量 AB 與向量 CD 垂直 (3) BA BM (4)平面 ACD 與平面 BCD 所夾的二面角大於 60 (5)AMB ADB﹒ 解答 1245 解析 (1)因為 M 為CD中點﹐又△ACD﹐△BCD 均為正三角形﹐可得CDAM ﹐且CDBM﹐即直 線 AM 與直線 BM 均與直線 CD 垂直﹐因此直線 CD 與平面 ABM 垂直﹒ (2)因為AB CD (AMMB CD) AM CD MB CD   0 0 0﹐ 所以向量AB與向量CD垂直﹒ (3)因為 3 3 2 2 BMBCBA﹐所以BABM﹒ (4)因為CDAM﹐且CDBM﹐所以平面 ACD 與平面 BCD 所夾的二面角為AMB ﹐ 又 3 2 AMBMAB﹐計算 2 2 2 2 2 ( 3) ( 3) 1 3 1 1 1 2 2 2 cos cos 60 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 AM BM AB AM BM              ﹐ 故 60﹒ 即平面 ACD 與平面 BCD 的二面角大於 60﹒ (5)AMB  60ADB﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒ A B C D M A B C D M

(25)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P25/43

三、填充題

1.空間中兩向量 a (2,3,1)﹐ b (2 , 3 , )xy z ﹐若 ab 14﹐求 x2 y2 z2之最小值為____________﹒ 解答 2 解析 ab 4x9y z 14﹐ 由柯西不等式﹕ (x2 y2 z2)[42 ( 9)2 12] (4x 9y z)2 2 2 2 196 2 98 x y z      ﹐ ∴最小值為 2﹒ 2.若 P(2,1,2)﹐Q(3,5,  1)且向量 v (5, 0,1)﹐則 PQ 在 v 上之正射影為____________﹒ 解答 (5 ,0,1) 13 13 解析 PQ(1, 4, 3) ﹐ 所求之正射影 (1, 4, 3) (5,0,1) (5,0,1) 2 (5,0,1) (5 ,0, 1) 26 13 13 1 16 9 25 0 1            ﹒ 3.與 a (1, 1, 0) 垂直﹐且與 b (0,1, 1) 成 45角之單位向量為____________﹒ 解答 (0,0,  1)或( , ,2 2 1) 3 3 3 解析 設 e ( , , )x y z ﹐ 0 0 ae    x y 2 | | | | cos 45 2 1 1 2 bebe     y z     y z x2 y2 z2 1…… 由分別得 x  y﹐z y  1 代入 y2 y2 (y 1)2 1 3y2 2y 0 y(3y 2) 0 y  0 或 2 0 3 y  x 或2 1 3  z 或 1 3  ﹐ ∴ e (0, 0, 1) 或( , ,2 2 1) 3 3 3 ﹒

(26)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/43 4.正△ABC 的邊長為2 3﹐內部一點到三邊之距離為 x﹐y﹐z﹐求 (1)x2 y2 z2之最小值為____________﹒ (2) xyz之最大值為____________﹒ 解答 (1)3;(2)3 解析 如圖﹐

△ABC 之面積 △BPC △APC △APB

2 3 1 (2 3) 2 3( ) 3 4 2 x y z x y z          ﹒ (1)(x2 y2 z2)(12 12 12) (x y z)2 ∴x2 y2 z2 3﹐最小值為 3﹒ (2) 2 2 2 2 2 2 2 [( x) ( y) ( z) ][1  1 1 ]( xyz) ﹐ 2 3 3 ( xyz) ﹐ ∴0 xyz 3﹐ ∴最大值為 3﹒ 5.x﹐y﹐z 均為正數﹐若 x y z  9﹐求1 9 25 x y z 之最小值為____________﹒ 解答 9 解析 [( x)2 ( y)2 ( z) ][(2 1 )2 ( 3 )2 ( 5 ) ]2 (1 3 5)2 x y z        1 9 25 9 ( ) 81 x y z      ∴1 9 25 9 x y z  ﹐ 即1 9 25 x y z 之最小值為 9﹒ A P B C z x y

(27)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/43 6.△ABC 中﹐A(1,0, 1)﹐B( 1,2,0)﹐C(  3,3,  1)﹐求 (1) AB AC ____________﹒(2)cosA ____________﹒(3)△ABC 面積為____________﹒ 解答 (1)14;(2)14 15;(3) 29 2 解析 AB ( 2, 2,1)﹐AC ( 4,3, 0) (1)AB AC   8 6 14﹒ (2)cos 14 14 3 5 15 | | | | AB AC A AB AC       ﹒ (3)∵cos 14 15 A ﹐∴sin 29 15 A ﹐ △ABC 面積 1| | | | sin 1 3 5 29 29 2 AB AC A 2 15 2         ﹒ 7.設 x﹐y﹐z 為實數﹐且 3x 2y 5z 6﹐求(x  4)2 (y 5)2 (z 6)2之最小值為____________﹒ 解答 38 解析 [(x  4)2 (y 5)2 (z 6)2][32 22 52] (3x 12 2y 10 5z 30)2  [(x  4)2 (y 5)2 (z 6)2] 38 (3x 2y 5z 32)2 ∴(x  4)2 (y 5)2 (z 6)2 38﹐ ∴最小值為 38﹒ 8.已知 A(1, 2,0)﹐B(2,0,2)﹐C(3, 1,2)﹐D(6,  5,  3)﹐求 AB 與 CD 之夾角為____________﹒ 解答 135 解析 AB(1, 2, 2)﹐CD(3, 4, 5)  ﹐ 3 8 10 1 cos 135 3 5 2 2 | | | | AB CD AB CD             ﹒

(28)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/43 9.a﹐b﹐c 表三實數﹐若 a b c 5﹐求 a2 2a b2 4b c2 3 的最小值為____________﹒ 解答 10 3 解析 a2 2a b2 4b c2 3 (a 1)2 (b 2)2 c2 2﹐ 由柯西不等式﹕ [(a  1)2 (b 2)2 c2][12 12 12] (a 1 b 2 c)2 2 2 2 16 ( 1) ( 2) 3 a b c       ﹐∴ 2 2 2 10 ( 1) ( 2) 2 3 a  bc   ﹐ ∴a2 2a b2 4b c2 3 的最小值為10 3 ﹒ 10.已知 a (1,1, 2)﹐ b (2, 1,1) ﹐求 (1) ab____________﹒(2) a 與 b 之夾角為____________﹒ 解答 (1)3;(2)60 解析 (1) ab    2 1 2 3﹒ (2)cos 3 1 60 2 6 6 | | | | a b a b          ﹒ 11.已知 a (4, 1,3) ﹐ b  ( 2,1, 2) ﹐若 na 且 nb ﹐| n | 1 ﹐求 n ____________﹒ 解答 ( 1 2 2, , ) 3 3 3  或( ,1 2, 2) 3  3 3 解析 設 n ( , , )x y z ﹐  na  0 4x y 3z0  nb   0 2x y 2z0  2 2 2 | n | 1 xyz 1 由得 x:y:z  (  1):2:2﹐ 令 x  t﹐y 2t﹐z 2t 代入﹐ 得 2 1 9 1 3 t    t ﹐ ∴ ( 1 2 2, , ) 3 3 3 n   或( ,1 2, 2) 3  3 3 ﹒

(29)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/43 12.已知 a (1, 2, 1) ﹐ b (3, 2x5,3y1)﹐ c ( ,5,z x1)﹐若 a // b 且 bc ﹐求(x,y,z)之值為 ____________﹒ 解答 ( ,1 2, 21) 2  3 2 解析 // 1 2 1 2 5 6 1 3 2 5 3 1 2 a b x x x y            ﹐ 2 3 1 3 3 y     y ﹐ 1 21 0 10 1 0 11 2 2 bcacac   z        x z ﹐ ∴( , , ) ( ,1 2, 21) 2 3 2 x y z    ﹒ 13.設 a (2,1,1)﹐ b ( , 2, 4)x﹐且 a ﹐ b 之夾角為 120﹐求 x 之值為____________﹒ 解答  2 解析 ab | a || b | cos120﹐ 2 1 2 2 2 6 20 cos120 6 120 2 x   x      x  平方  5x2 16x 52 0 (x 2)(5x 26) 0﹐ ∴x  2 或 26 5 x (不合﹐∵式之左式必須為負)﹒

(30)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P30/43

Sec1-4

一、單選題 (6 題)

( )1.試求 a (5, 4, 3) 與 b   ( 2, 1, 6)所張開之平行四邊形面積最接近下列何者﹖ (1)16 (2)17 (3)32 (4)34 (5)36﹒ 解答 3 解析 ( 4 3, 3 5 , 5 4 ) (21, 24,3) 1 6 6 2 2 1 ab          ﹐ 故所求面積| ab | 441 576  9 1026≒32﹒ ( )2.求行列式 2 2 2 1 1 1 a a b b c c   

之值為 (1)0 (2)  (a2 b2 c2) (3)(a b)(b c)(c a) (4)(a b)(b c)(a c) (5)以上皆非﹒ 解答 4 解析 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 a a a a b b b b a b b c c a a b b c a c c c c c               ﹐故選(4)﹒ ( )3.設 A(1,1,2)﹐B(2,1,1)﹐C(3,4,a)為坐標空間中三點﹒問 a 為下列哪一個選項時﹐△ABC 的面積最 接近 5﹖ (1)a 1 (2)a 3 (3)a 5 (4)a 7 (5)a  9﹒

解答 5 解析 因為AB(1, 0, 1) ﹐AC(2,3,a2)﹐所以 △ABC 的面積為1 1 1 2 | | | (3, ,3) | 18 2 ABAC 2 a 2 a ﹒ 因為5 10 100 2 2   ﹐又將各個 a 值代入1 2 18 2 a ﹐分別得 (1)a  1﹐ABC  19 2 ﹐(2)a  3﹐ABC  27 2 ﹐(3)a  5﹐ABC  43 2 ﹐(4)a  7﹐ABC  67 2 ﹐(5)a  9﹐ABC  99 2 ﹐ 故使得△ABC 的面積最接近 5 的 a 值為 9﹐ 即正確的選項為(5)﹒

(31)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P31/43 ( )4.若平面上三直線 L1﹕(4  a)x y 2﹐L2﹕x  (7  a)y 1﹐L3﹕x y 0 交於一點﹐則 a  (1)  5 (2)0 (3)5 (4)10 (5)  10﹒ 解答 1 解析 ∵三線共點﹐∴ 4 1 2 1 7 1 0 1 1 0 a a       2  1  2(7  a)  4  a  0  a  5﹒ ( )5.a﹐b﹐c 為△ABC 之三邊長﹐若行列式 2 2 2 1 1 0 1 a a b b c c﹐則△ABC 之形狀必為 (1)正三角形 (2) 等腰三角形 (3)直角三角形 (4)銳角三角形 (5)鈍角三角形﹒ 解答 2 解析 2 2 2 1 1 0 ( )( )( ) 0 1 a a b b a b b c c a a b c c         或 b c 或 c a﹐ ∴△ABC 為等腰三角形﹐故選(2)﹒

( )6.設△ABC 的三頂點 A(1,3)﹐B(3,4)﹐C( 1,5)﹐則△ABC 的面積為 (1)3 (2)6 (3)9 (4)12 (5)15﹒ 解答 1 解析 △ABC 面積 1 3 1 1 | 3 4 1 | 3 2 1 5 1    ﹐ 故選(1)﹒

二、多選題

( )1.設 a 與 b 是空間中二個不平行的非零向量﹐選出正確的選項﹕ (1) (ab ) a (2) (ab )(ab ) (3) ( ab )(2 a 3 b ) (4)若 na 且 nb ﹐則 n ( ab ) 解答 123 解析 因為( ab ) a ﹐且( ab ) b ﹐所以 ab 與所有由 ab 所張出之向量均垂直﹐因 此選項(1)(2)(3)都是正確的﹒ (4)若 nanb ﹐則 n//( ab )﹒ 故正確的選項為(1)(2)(3)﹒

(32)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/43 ( )2.下列哪些向量與 ab 垂直﹖ (1) a (2) 3 a (3) ab (4) 5 b 4 a (5) ba ﹒ 解答 1234 解析 因為 abab 均垂直﹐所以所有由 ab 的線性組合所表示的向量均與 ab 垂直 ﹒ 又 ba  (ab )﹐和 ab 平行﹒ 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ ( )3.下列哪些選項中的行列式與行列式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c 相等﹖ (1) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c (2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b c c c a a a (3) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 4 2 4 2 a a a b b b c c c  (4) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 a a a b c b c b c c c c    ﹒ 解答 1234 解析 (1)因為行列互換其值不變﹐所以相等﹒ (2)因為任意兩列對調﹐其值變號﹐所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b c c c a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) a a a a a a a a a c c c b b b b b b b b b c c c c c c       ﹒ (3)因為任一行(列)可以提出同一個數﹐所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 4 2 4 2 a a a b b b c c c  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 4 4 2 2 2 a a a a a a a a a b b b b b b b b b c c c c c c c c c         ﹒ (4)因為將一列的 k 倍加到另一列﹐其值不變﹐所以 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 a a a b c b c b c c c c    1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c  ﹒ 1  故正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

(33)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P33/43

三、填充題

1.已知 a (1, 0,1)﹐ b (1, 1, 0) ﹐若 na 且 nb ﹐| n | 3﹐求 n ____________﹒ 解答 (1,1,  1)或(  1,  1,1) 解析 nab 之公垂向量﹐ (1,1, 1) ab   ﹐令 nt(1,1, 1) ( , ,t tt)﹐ 2 2 2 | n | t  t t  3  t 1﹐ ∴ n (1,1,  1)或(  1,  1,1)﹒ 2.已知由三向量 a ( ,a a a1 2, 3)﹐ b ( ,b b b1 2, 3)﹐ c ( ,c c c1 2, 3)﹐所張出之平行六面體的體積為 20﹐求由三 向量 ab ﹐ bc ﹐ ca 所張出之平行六面體體積為____________﹒ 解答 40 解析 ab (a1b a1, 2b a2, 3b3)﹐ 1 1 2 2 3 3 ( , , ) bcbc bc bc ﹐ 1 1 2 2 3 3 ( , , ) caca ca ca ﹐ 體積 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 | | a b a b a b b c b c b c c a c a c a           1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 | | a b a b a b c a c a c a c a c a c a           ( 1)   1  1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 | | 2 | | 2 2 2 a b a b a b a b a b a b c a c a c a c a c a c a c c c c c c               ( 1)   1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 | | a b a b a b a a a c c c        1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 | | b b b a a a c c c     1  1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 | | 2 20 40 a a a b b b c c c     ﹒

(34)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P34/43 3.解方程式 2 1 25 5 1 0 4 2 1 x x   ﹐則 x  ____________﹒ 解答 5 或  2 解析 原式  (x  5)(5  2)(  2  x)  0  (x 5)(x  2)  0  x 5 或 x  2﹒ 4.已知向量 a    ( 3, 1, 1)﹐ b (1, 3, 2) ﹐ 求(1) ab ____________﹒ (2)由 a ﹐ b 所張出平行四邊形之面積為____________﹒ 解答 (1)(  5,5,10);(2)5 6 解析 (1) ( 1 1, 1 3, 3 1) ( 5,5,10) 3 2 2 1 1 3 ab            ﹒ (2)面積| ab | 2525 100  1505 6﹒ 5.空間中四點 A( 1,2,1)﹐B(2,2, 1)﹐C(3,1, 3)﹐D(k,k  1,  2)共平面﹐求 k  ____________﹒ 解答 3 2  解析 AB(3, 0, 2) ﹐AC(4, 1, 4)  ﹐AD(k1,k 1, 3)﹐ 則 3 0 2 4 1 4 0 1 1 3 k k         9  8(k  1)  0  2(k  1)  12(k  1)  0 3 2 k    ﹒ 6.若 a (2,5, 1) ﹐ b (3, 2, 2)﹐則 ab ____________﹒ 解答 (12,  7,  11) 解析 (5 1, 1 2 2, 5) (12, 7, 11) 2 2 2 3 3 2 ab       ﹒ 7.若 a (5,3,8)﹐ b (2, 2,5) ﹐ c ( , , 0)k k 所張開之平行六面體之體積為 176﹐則 k  ____________﹒ 解答 ± 8 解析 0 | 5 3 8 | |15 16 25 16 | | 22 | 2 2 5 k k V   kkkkk  ﹐ ∴|22k|  176  k  ± 8﹒

(35)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P35/43 8.已知 a (1, 0,1)﹐ b (3, 1, 2) ﹐ c (0,1, 1) ﹐求由三向量 a ﹐ b ﹐ c 所張出之平行六面體的體積為 ____________﹒ 解答 2 解析 ab (1,1, 1) ﹐ 體積| (ab ) c || (1,1, 1) (0,1, 1) |   2﹒ 9.已知空間中二向量 PQ ﹐ PR ﹐且PQPR(2, 5, )t ﹐又△PQR 之面積為 3﹐試求 t  ____________﹒ 解答 3 3 解析 由題意得﹕1 4 5 2 3 2 9 36 2 27 2  t    t  t ﹐ ∴t 3 3﹒ 10.已知 A(  1,  2,3)﹐B(2, 1,4)﹐C(3,6,9)為空間中三點﹐求△ABC 的面積為____________﹒ 解答 5 6 解析 AB(3,1,1)﹐AC(4,8, 6)﹐ ( 2, 14, 20) ABAC   ﹐ 由ABAC所張之平行四邊形面積為|ABAC| 4 196 400 60010 6﹐ ∴△ABC 面積為5 6﹒ 11.求下列各行列式的值﹕ (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3    ____________﹒ (2) 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ____________﹒ 解答 (1)4 6;(2)0 解析 (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3   1 2 3 0 2 2 0 4 6 0 0 2 3     ﹒ ( 1)   ( 1)   (2) 1997 1998 1999 1997 1 1 2000 2001 2002 2000 1 1 0 2003 2004 2005 2003 1 1   ﹒ ( 1)    ( 1)

(36)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P36/43

Sec2-1

一、單選題

( )1.下列何者為 zx 平面之方程式﹖(1)x 0 (2)y 0 (3)z 0 (4)x z 0 (5)xz  0﹒ 解答 2 解析 zx 平面過(0,0,0)且法向量為(0,t,0) (0,t,0)・(x 0,y 0,z  0)  0  0  ty  0  0  y  0﹐故選(2)﹒ ( )2.設原點在平面 E 上的投影為(1,2, 2)﹐則 A (3,2,1) 到 E 的距離為 (1) 2 (2)4 3 (3) 1 (4) 2 3 (5) 1 3﹒ 解答 2 解析 令 O(0,0,0)﹐P(1,2,  2) nOP(1,2,  2)﹐ ∴E﹕1 (x 1) + 2(y  2)  2 (z + 2) = 0 x + 2 y 2 z  9 = 0﹐ ∴d(A,E) 2 2 2 | 3 4 2 9 | 4 3 1 2 ( 2)         ﹒ ( )3.下列何者與 A (1 , 2 , 3)﹐B (5 , 7 , 3)﹐C (1 , 1 ,  3)三點共面﹖ (1)(0 , 0 , 0) (2)(3 , 2 , 1) (3)(1 , 0 , 1) (4)(1 , 5 ,  3)﹒ 解答 1 解析 CA(0,1, 6)﹐CB(4, 6, 0)﹐CA CB  ( 36, 24, 4)  4(9, 6,1) ﹐ A﹐B﹐C 所在平面方程式為 9(x  1)  6(y  2)  1(z  3)  0  9x 6y z  0﹐故選(1)﹒

(37)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P37/43

二、多選題

( )1.關於平面 E:3x 4y 5z  6﹐選出正確的選項﹕ (1)點(1,  3,3)在平面 E 上 (2)點(3,  2,1)在 平面 E 上 (3)向量(3,4,5)是平面 E 上的一個法向量 (4)向量(  6,  8,  10)是平面 E 上的一個法 向量 (5)原點到平面 E 的最短距離為 6﹒ 解答 1234 解析 (1)因為(1,  3,3)代入 3x 4y 5z 得 3・1  4・(  3)  5・3  6﹐所以在 E 上﹒ (2)因為(3,  2,1)代入 3x 4y 5z 得 3・3  4・(  2)  5・1  6﹐所以在 E 上﹒ (3)向量(3,4,5)為平面 E 上的一個法向量﹒ (4)向量(  6,  8,  10)與(3,4,5)平行﹐為平面 E 上的一個法向量﹒ (5)原點到平面 E 的最短距離為 2 2 2 3 0 4 0 5 0 6 6 6 5 2 3 4 5           ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ ( )2.關於平面 E﹕x y z 3﹐選出正確的選項﹕ (1)平面 E 和 E1﹕x y z  3 平行 (2)平面 E 和 E2﹕2x 2y z 5 交於一直線 (3)平面 E 和 E3﹕x y 2z 0 垂直 (4)平面 E 和 xy 平面所 夾的銳角大於 45﹒ 解答 1234 解析 由平面 E 的方程式 x y z  3 可知﹕ n (1,1, 1) 是 E 的一個法向量﹒ (1)因為 n 也是 E1﹕x y z  3 的一個法向量﹐又 E 和平面 E1相異﹐所以 E 和 E1平行﹒ (2)因為平面 E2﹕2x 2y z  5 的法向量(2,2,  1)和 n 並不平行﹐所以兩平面 E 和 E2交於一直線 ﹒ (3)因為平面 E3﹕x y 2z 0 的法向量(1,1,2)和 E 的法向量 n (1,1, 1) 之內積為 1  1  1  1  2  (  1)  0﹐ 所以 E 和 E3垂直﹒ (4)因為 xy 平面的法向量為(0,0,1)﹐所以 E 和 xy 平面的夾角 滿足 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 ( 1) 1 1 cos 3 1 1 ( 1) 0 0 1                ﹒

因為cos135 2 cos 1 1 cos120 2  3 2

 

       ﹐所以 120 135﹐

因此所夾的銳角 180 滿足 45 180 60﹒

(38)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P38/43 ( )3.在空間坐標系中﹐下列敘述何者為真﹖ (1)xy 平面的方程式為 xy 0 (2)yz 平面的方程式為 y 0 (3)zx 平面的方程式為 x 0 (4)z 0 表一平面 (5)通過 A (  2 ,  1 ,  3)且垂直 z 軸的平面 方程式為 z  3﹒ 解答 45 解析 (1)╳﹕應為 z  0 (2)╳﹕應為 x  0 (3)╳﹕應為 y  0 (4)○ (5)○ 故選(4)(5)﹒

( )4.下列哪些平面與平面 E﹕x 2y 3z 2 恰相交於一直線﹖ (1)E1﹕x 2y 3z 3 (2)E2﹕2x

4y 6z 4 (3)E3﹕x 2y z 2 (4)E4﹕ 3x 6y 9z 3 (5)E5﹕x y z  1﹒ 解答 35 解析 平面 E﹕x 2y 3z  2 的法向量為 n (1, 2,3) ﹒ (1)平面 E1﹕x 2y 3z  3 的法向量為 n ﹐但 E1與 E 相異﹐故 E1與 E 平行﹒ (2)平面 E2的方程式可改寫成 x 2y 3z 2﹐與 E 相同﹐故 E2與 E 重合﹒ (3)平面 E3﹕x 2y z  2 的法向量為(1,  2,1)與 n 不平行﹐故 E3與 E 相交於一直線﹒ (4)平面 E4的方程式可改寫成 x 2y 3z  1﹐其法向量為 n ﹐但 E4與 E 相異﹐故 E4與 E 平行(5)平面 E5﹕x y z  1 的法向量為(1,1,1)與 n 不平行﹐故 E5與 E 相交於一直線﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(5)﹒

(39)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P39/43

三、填充題

1.在空間中﹐E 為過 A(2,1, 1)﹐B(1,2, 1)﹐C(1,1,3)之平面﹐E為過 P(1,0,1)﹐Q(0, 2,1)且與 E 垂直之平面 ﹐求 E之方程式為____________﹒ 解答 2x y 4z  2  0 解析 AB(  1,1,0)﹐AC(  1,0,4)﹐設 E 之法向量 N(a,b,c)﹐ 0 0 0 4 0 AB N a b AC N a c            a : b : c  4 : 4: 1﹐取 N (4,4,1)﹐ ∴E 之方程式為 4(x  2)  4(y  1)  1・(z  1)  0  4x 4y z  11  0﹒ 設 E之法向量為N (a,b,c)﹐PQ(  1,  2,0)﹐ 0 2 0 0 4 4 0 PQ N a b N N a b c                     a : b : c 2 : (  1) : (  4)﹐ ∴E之方程式為 2(x  1)  1・(y  0)  4(z  1)  0  2x y 4z  2  0﹒ [另解] AB AC (4,4,1)﹐取NE (4,4,1)﹐ E NPQ(2,  1,  4)﹐取NE (2,  1,  4)﹐ ∴E : 2(x  1)  y 4(z  1)  0  2x y 4z  2  0﹒ 2.求過點 A(2,1, 2)且與平面 3x 2y 4z  1  0 平行的平面方程式為____________﹒ 解答 3x 2y 4z  4  0 解析 設所求為 3x 2y 4z d 0﹐A(2,1, 2)代入得 d  4﹐ ∴所求為 3x 2y 4z  4  0﹒

(40)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P40/43 3.空間中﹐已知平面 E 通過(3,0,0)﹐(0,4,0)及正 z 軸上一點(0,0,a)﹐ 若平面 E 與 xy 平面的夾角成 45﹐則 a  ____________﹒ 解答 12 5 解析 設所求 E 之方程式為 1 3 4 x y z a    ﹐a  0﹐

(4a)x (3a)y 12z 12a  0﹐法向量N1(4a,3a,12)﹐

取 xy 平面之法向量為N2(0,0,1)﹐ 1 2 2 1 2 12 cos 45 25 144 | || | N N a N N        ﹐ 2 2 2 144 12 ( ) 2 25a 144  a 5 (取正)﹐ ∴a  12 5 ﹒ 4.在空間坐標系中﹐有一平面鏡 E﹐若一雷射光自 P (4 , 12 , 1)射向鏡面 E 上之點 O (  2 , 4 ,  1) 後反射通過 Q ( 2 , 1 , 3)﹐則鏡面 E 之平面方程式為____________﹒ 解答 3x y 4z  6  0 解析 OP(6,8, 0)﹐OQ(0, 3, 4) ﹐ 3 4 ( , ,0) 5 5 OP   ﹐ (0, 3 4, ) 5 5 OQ    ﹐ ( , , )3 1 4 5 5 5 OP OQ     ﹐取 N (3,1, 4)﹐ 所求平面方程式為 3(x  2)  1(y  4)  4(z  1)  0  3x y 4z  6  0﹒ 5.平面 E1﹕x 2y 3z  3  0﹐E2﹕3x 2y z  5  0 相交於直線 L﹐任取 L 上兩相異點 P﹐Q﹐若點 A(3,1,0)﹐則平面 APQ 的方程式為____________﹒ 解答 x 10y 13z  7  0 解析 點 P﹐Q 在平面 APQ 上 L 在平面 APQ 上﹐ 而 L 為平面 E1﹕x 2y 3z  3  0﹐E2﹕3x 2y z  5  0 的交線﹐而 A E1﹐E2﹐ ∴可設平面 APQ 的方程式為 1 (3x 2y z  5)  t(x 2y 3z  3)  0﹐ ∵過點 A(3, 1,0)﹐∴t  4﹐∴平面 APQ﹕(3x 2y z  5)  4(x 2y 3z  3)  0 平面 APQ﹕x 10y 13z  7  0﹒ 2,1,3) P (4,12, 1) Q ( O( 2,4, 1) E N

(41)

1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P41/43 6.若空間中包含三點 A (0 , 1 , 1)﹐B (  1 ,  1 , 0)﹐C ( 6 , 0 , 3)的平面 E﹕ax by cz 3﹐則序組(a , b , c)  ____________﹒ 解答 (5 ,  8 , 11) 解析 AB   ( 1, 2, 1)﹐AC  ( 6, 1, 2)﹐ABAC ( 5,8, 11)   (5, 8,11)﹐ 所求平面方程式為 5(x  0)  8(y  1)  11(z  1)  0  5x 8y 11z  3﹐ ∴(a , b , c)  (5 ,  8 , 11)﹒ 7.設 A (1 , 2 , 3)與 B (5 , 4 , 3)為空間中兩點﹐則 AB 的垂直平分面方程式為____________﹒ 解答 2x y  9  0 解析 AB中點 M (3 , 3 , 3)﹐AB(4, 2, 0)2(2,1, 0)﹐ 所求為 2(x  3)  1(y  3)  0(z  3)  0  2x y  9  0﹒ 8.設 A(4,3,2)﹐B(2,1,4)﹐點 P 在平面 E﹕x 2y 2z  1 上移動﹐則PA2PB2的最小值為____________﹒ 解答 14 解析 點 A(4,3,2)﹐B(2,1,4) 在平面 E﹕x 2y 2z + 1  0 的同側﹐ 如圖﹐取AB中點 M(3,2,3)﹐ 2 2 2 1 1 ( 1) 3 AM      ﹐ 由三角形中線定理﹕PA2PB22(AM2MP2)﹐ ∵AM2 3﹐∴PA2PB2最小  MP2最小 P 為 M 在平面 E 的投影﹐ 2 2 2 | 3 4 6 1| 6 ( , ) 2 3 1 ( 2) ( 2) MPd M E           ﹐ ∴PA2PB2之最小值 2(AM2MP2)的最小值 2(3  4)  14﹒ P E B A M

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1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P42/43 9.空間中四點 A (1 , 1 , 2)﹐B ( 1 , 0 , 3)﹐C (2 , 0 , 1)﹐D (3 , k , 1)﹐求 (1)過 A﹐B﹐C 三點的平面方程式為____________﹒ (2)若 A﹐B﹐C﹐D 四點共平面﹐則 k  ____________﹒ 解答 (1)4x 5y 3z  5  0;(2)k  2 解析 (1)AB  ( 2, 1,1)﹐AC(1, 1, 3)  ﹐ABAC(4, 5,3) ﹐ 平面 ABC 4(x  1)  5(y  1)  3(z  2)  0  4x 5y 3z  5  0﹒ (2)D (3 , k , 1)代入平面 12 5k  3  5  0  k  2﹒ 10.求兩平面 E1﹕2x 3y z 3 與 E2﹕ 3x y 2z  6 的銳夾角為____________﹒ 解答 60 解析 N1(2, 3,1) ﹐N2 ( 3,1, 2)﹐ 1 2 1 2 ( 6 3 2) 1 cos 2 4 9 1 9 1 4 | || |                N N N N  ﹐ ∵夾角為銳角﹐∴ 60﹒ 11.如圖﹐一長方體 ABCD-EFGH﹐AB1﹐AD2﹐AE3﹐求 A 點至△BDE 所在平面的距離為 ____________﹒ 解答 6 7 解析 先建立坐標系﹐ 則 A (2 , 1 , 3)﹐B (2 , 0 , 3)﹐D (0 , 1 , 3)﹐E (2 , 1 , 0)﹐ ( 2,1, 0)   BDBE(0,1, 3) ﹐BDBE     ( 3, 6, 2) (3,6, 2)﹐ △BDE 所在平面為 3(x  2)  6(y  0)  2(z  3)  0  3x 6y 2z  12  0﹐ | 6 6 6 12 | 6 7 9 36 4 d       ﹒ A B F E C D H G x A B F E C D H G z 3 1 2 y

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1082 高二數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P43/43 12.A (3 , 1 , 0)﹐B ( 2 , 4 , 1)﹐E﹕x 2y 3z  5  0﹐若直線 AB 交平面 E 於 P 點﹐求 AP : BP ____________﹒ 解答 5:4 解析 二點代入平面均為正﹐表示在平面 E 之同側﹐ 由圖知APBPAA: | 3 2 5 | 14     BB :| 2 8 3 5 | 10 14      :8  5:4﹒ 13.已知平面 E 為一鏡面﹐有一光線通過 A (4 , 5 , 1)經鏡面 E 上一點 T (1 , 1 , 1)反射後朝向 B (1 , 4 , 5)的方向 直線前進﹐求平面 E 之方程式為____________﹒ 解答 3x 7y 4z  14  0 解析 TA(3, 4, 0)  |TA|5﹐TB(0,3, 4)  |TB|5﹐ ∵|TA||TB|﹐以TATB為邊作一平行四邊形﹐則四邊形 ATBC 為一菱形﹒ TC平分∠ATB﹐TC平面 E﹐∴TCTA TB (3, 7, 4)﹐ 故平面 E 之方程式為 3(x  1)  7(y  1)  4(z  1)  0  3x 7y 4z  14  0﹒ A B A' B' P E A T (1,1,1) B (1,4,5) (4,5,1) C

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