第十五章
直線運動
15 - 1 時間
一.時間： 1.制訂：自古以來，人類就不斷的找尋測量時間方法，並利用日常生活中 的各種現象來計時。一般而言，其實任何有週期性及有規律性的變 動現象，都可用來計時的。如， (1).單擺的來回運動。 (2).無風下燃燒的炷香、蠟燭等等。 (3).竹竿的影子長度。 (4).日出日落、月之盈虧及四季循環等，均可拿來衡量日之長短，進而找 出日、月、年等單位。 (5).人的脈搏、呼吸等動作均具有規律性，可用來計時。 2.單位：利用地球自轉及繞日公轉的規律性所訂出來的。 (1).太陽日：太陽連續兩次出現在天空中同一位置所經歷的時間。 (2).平均太陽日：因為每一太陽日的長短不一樣，因此取一年中各太陽日 的平均值即稱為平均太陽日。也是我們平常所說的一天 或一日。 (3).秒：一個平均太陽日的 1 / 86400；現行採用的公定時間單位。 (4).年：地球於其公轉軌道上，繞太陽一週所需的時間。 (5).其他單位：年、月、小時、分。 3.測量工具： (1).古代計時器：如，日晷、沙漏、滴漏、燭鐘。 (2).機械鐘(舊式的鐘錶)：利用規律性的機械擺動，每日誤差大約是千分 之一秒。 (3).電鐘石英鐘：利用電池或插座電源的能量，使石英晶體的振動計時， 三年內誤差小於1 秒。 (4).原子鐘：最精密的計時器，300000 年內誤差小於 1 秒。現在的時間單 位「秒」便是根據銫原子鐘作標準所制定的。 二.單擺運動： 1.單擺：用一條線吊一重物可形成一個擺， 只使其作單一方向的擺動，就是一單 擺。當重物拉到一邊再放開，單擺可 在同一平面作來回擺動。如右圖。 (1).擺錘：單擺下的重物，稱為擺錘。 (2).擺長：單擺細線的固定點至擺錘重心的距離。 (3).擺角：單擺運動時，最大擺幅與中心線的夾角(Θ)。 (4).擺動一次：由圖中的 B 點放手，經過 B A C A B。(5).頻率：每秒鐘單擺所擺動的次數；單位是 1 / 秒、Hz、赫。 (6).週期：單擺往復擺動一次所需的時間；單位是秒。 2.單擺運動的等時性：在同一地點，如果擺長保持一定且擺角不太大時 (小 於100)，則單擺往復擺動一次所需的時間(週期)是不變的，與擺錘的質量 和擺角的大小無關。此現象稱為單擺的等時性。 (1).擺長一定時，單擺運動一次所需的時間與擺錘的質量和擺角的大小無 關 擺角與擺錘改變，週期不變。如下圖左、中。 (2).單擺的擺長一定時，每擺動一次的時間不變，故擺動所需的時間與擺 動次數成正比。如下圖右。 週期與擺錘質量無關 週期與擺角大小無關 時間與擺動次數成正比 (3).單擺的週期僅和擺長有關。擺長愈長，則週期愈長(擺動愈慢)；反之， 擺長愈短，則週期愈短(擺動愈快)。 但週期、擺長並不成正比。關係 圖如下圖左。 (4).不同長度的單擺其擺動次數和時間的關係圖，如下圖中。若直線愈靠 近擺動時間軸，則表擺長愈長，如下圖右。 週期與擺長的關係 時間與擺動次數關係圖 愈近時間軸，則擺長愈長 <範例>： 1.有一單擺擺動 45 次需時 15 秒，試問： (1).擺動一次所需的時間是多少? (2).單擺的週期是多少？ (3).單擺的頻率是多少？ (4).3 分鐘內該單擺擺動的次數?
2.用 A 單擺(擺長 100 cm)和 B 單擺 (擺長 25 cm)做擺動次數和時間的關係 實驗，其關係圖如右，問： (1).A 單擺是哪一條曲線? (2).A、B 的週期分別是多少? (3).各擺動 30 次，A、B 需要多少秒? (4).若改用擺長為 250 cm 的單擺作實驗，其關係圖應在哪一區域?
實驗
15 – 1 擺的製作與週期的測量
實驗目的：由擺的製作與週期的測量，來了解擺的等時性。 實驗器材：馬錶、細線、砝碼、鐵架等等。 實驗步驟：step 1：取一細線長約 100 公分，下端懸掛一砝碼作擺錘，並將細線懸吊於 鐵架上，如下圖一。 step 2：將擺錘側拉約 50，在輕輕放開擺錘並同時按下碼錶計時，測量往返 擺動10 次所需的時間；並記錄之。如下圖二。 step 3：更換不同質量的砝碼作擺錘，重複 step 2。如下圖三。 step 4：更換不同擺長(25 公分)，重複 step 2。如下圖四。 圖一 圖二 圖三 圖四 實驗討論： 1. 為什麼再測量週期時，要先測量擺動十次所需時間，再求平均值，而不直 接測量一次所需時間？
2. 擺錘質量改變時，擺的週期是否仍然一樣？ 3. 擺線長度改變時，擺的週期有何變化？
<小試身手>
1. 何者不是古代人常用的計時工具？ (1)沙漏 (2)滴漏 (3)竹子的影長變化 (4) 閃爍的星星。 2. 鐘擺擺的太快，何者是最有效的方法？ (1)增長擺長 (2)縮短擺長 (3)減小擺 動幅度 (4)增加擺錘質量。 3. 在小角度的單擺運動實驗中，週期與下列哪一項因素有關？ (1)擺錘質量 (2)擺動角度 (3)擺線長度 (4)擺線種類。 4. 今以閃光攝影法紀錄子彈飛行的情形，欲使相鄰兩黑點間的時間距是 0.01 秒，則閃光燈的閃光頻率是 (1)0.01 (2)0.1 (3)10 (4)100 Hz。 5. 打點計時器於 10 秒內，於紙帶上打了 400 個點，試問： (1)計時器的頻率是 。 (2)相鄰兩點間的時間間隔是 。 6. 下列單擺中，週期最大的是 (1)擺長 60 cm，擺角 5 度 (2)擺長 80 cm，擺角 7 度(3)擺長 90 cm，擺角 8 度 (4)擺長 100 cm，擺角 5 度。 7. 要具備哪些條件，才可用來測量時間？ (1)周而復始的現象 (2)有一定的週 期 (3)規律性變化 (4)以上皆是。 8. A、B、C 三個單擺的擺動次數與時間關係圖， 如右所示，試問： (1)相同時間下，擺動次數最多的是 。 (2)三個單擺中，擺長的長短順序是是 。 9. 小玟作單擺實驗時，欲探討擺動週期與擺角大小 、擺長及擺錘質量的關係，結果如下表，試問： 擺長(cm) 擺錘質量(g) 擺角(度) 擺動20 次所需時間(秒) 100 50 2 20.1 100 50 4 20.0 100 50 6 20.2 100 50 8 19.8 100 50 10 20.0 (1)此實驗中操縱的變因是 。 (2)有此實驗可知，擺動的週期具有下列何種性質？ (a)與擺錘質量無關 (b) 擺角小於90 度時，擺動週期與擺角無關 (c)擺角介於 2 度到 10 度時， 不論擺角如何，其週期皆相同 (d)與擺長無關。 (3)畫出單擺週期與擺角的關係圖。 10.於小角度的單擺實驗中，擺長為 36 公分，擺錘質量為 50 公克時，測得其 擺動5 次，需 12 秒。若擺長不變，擺錘質量改為 100 公克，則擺動 10 次，需要 秒。
11.太陽相鄰兩次出現在天空中同一位置所經歷的時間，稱之為 。 12.現行所採用的公定時間單位是 。
15 - 2 位置和位移
一.位置的描述：日常生活中，我們常問"你在那裡?"，其實意思是"你的位置 在那裡?"。而當你回答時，常會選擇一個明顯的目標作為基 準來說明你的位置；而這明顯的目標即是所謂的參考目標或 參考體。 <範例 1>：林老師家住在蘇澳冷泉後方 20 公尺處，此句話用來說明林老師 家的位置，而蘇澳冷泉就是參考目標。 <範例 2>：約會時，若告訴你的男(女)朋友，約會地點是在羅東麥當勞等他， 則羅東麥當勞就是參考目標。 若沒有明顯的參考目標，亦可將自己當作參考目標。如， <範例 1>："前面那位同學是新來的學生"，則參考目標就是說話的人或聽者。<課外常識>：何謂相對位置
利用參考目標描述一個物體的位置，在物理學上，稱所描述的位置是物體 相對於參考目標的相對位置。如，張三、李四、阿扁三人站在一直線上，張三 站在前面，李四在中間而阿扁站在最後面，我們可以說李四在張三後面，但 也可說李四在阿扁前面。即所謂的相對於張三而言，李四在張三後面；而相對 於阿扁而言，李四則在阿扁前面。 二.位移與路程： 1.直線上位置座標的表示法：在地圖上，我們用經度和緯度來描述地理位 置，同樣道理，我們亦可用座標來描述物體 的位置。一般而言，座標原點即所謂的參考 目標或參考點；即正數表示物體位置在原點 右方，而負數則表示物體位置在原點左方。 如，<範例 1>：下圖中，是一條直線，以 O 點為原點其座標是 0，原點右邊的數 是正數，而左邊的數則是負數。所以， A 點的位置是原點右邊 2 cm，其座標是 。 B 點的位置是原點右邊 5 cm，其座標是 。 C 點的位置是原點左邊 4 cm，其座標是 。 <範例 2>：若選擇西方為正，則負數就表示的 物體在東方；若選擇北方為正，則 負數就表示的物體在南方。如，如 右圖，東西向的直線公路上，若選 用某一加油站為原點，且東方為正，單位長度為公里。 則甲車位於加油站西方20 公里，其座標是 。 乙車位於加油站東方40 公里，其座標是 。 2.平面座標的表示法 X、Y 軸直角座標： 於一平面上的物體，其位置可用座標x 與 y 表示。設 O 點為參考體，並定出一互相 垂直的座標軸，x 與 y 分別代表位置至 Y 軸與X 軸的垂直距離。可表示成(x，y)。 如右圖所示。 1.座標軸的方向與單位長度可任意選定，以方便為原則。 2.若座標的原點改變時，其座標數值亦隨之改變。 三.位移：物體作有方向性的位置改變，稱之為位移。所以，位移具有大小及 方向。位移的大小是指起點到終點間的直線長度，而起點到終點的 方向即是位移的方向。如，起點的位置是S1，終點的位置是S2，則 物體的位移是S1 - S2，且S1 - S2的正、負則表示位移的方向性。 四.路程：運動物體所經過的各點所連結成的軌跡。開車沿一直線前往距離 1 公里的車站回來，則車子所經過的路程是2 公里；但因為起點與終 點重合，所以位移為零。 <範例 1>：若一隻螞蟻由 A 點(＋2)向右爬到 B 點(＋9)，則其位移及路程分 別是多少? 若改由 B 點(＋9)向左爬到 C 點(－4)，則其位移及路程分別是多少? 若由A 點(＋2)向右爬到 B 點(＋9)，再由 B 點(＋9)向左爬到 C 點(－4)，則其 位移及路程分別是多少?
<想想看>：
若5 公分表示物體的位置是在距某參考目標的南方 5 公分處，則－5 公分所 代表的意思是什麼? 五.位移、距離與路程的區分： (1).位移：是代表運動起點到運動終點間直線長度之大小和方向，與所走路 程無關。 (2).距離：是兩點間之直線長度，只有大小，沒有方向。 (3).路程：是運動物體所經過的各點所連結成的軌跡。 <範例 1>：若時鐘秒針長 10 公分，從靜止走動了 15 秒， 如右圖，則此過程中的位移、距離及路程分別 是多少?<小試身手>
1. 以東方為正，某物體沿直線運動，其位置與時間的關係如下表。試問： 位置(公尺) 0 3 8 4 －2 6 時間(秒) 0 1 2 3 4 5 (1)0 ~ 5 秒間，總共走了 公尺，此量是位移或者是路程？ 。 (2)1 ~ 2 秒間向 方走了 公尺；2 ~ 3 秒間向 方走了 公尺；4 ~ 5 秒間向 方走了 公尺。 (3)將上表的資料畫出一位置－時間圖。 2. 阿詩坐於行駛的汽車中，請問阿詩 (1)有運動 (2)沒有運動 (3)端視其所參考 的基準而定。 3. 若以老師的位置作為原點時， A 哥的位置是 (4，1)，Cs 的位置是(－ 3，7)，若改以 A 哥作為原點時，則老師的位置是 ，Cs 的位置是 。 4. 一物體沿一直線運動的位置－時間圖如右。則：(1)物體的起點位置是 公尺。 (2)0 ~ 10 秒末位置相距 公尺；0 ~ 15 秒 末位置相距 公尺；15 ~ 20 秒末位置 相距 公尺。 (3)20 秒內物體所移動的路徑長是 公尺。 (4)20 秒內物體的位移是 公尺。 5. 軍訓課上基本教練時，A 哥見其右方有一顆樹，當教官連續下令「向左轉」、 「向後轉」、「向右轉」後，此時樹在A 哥的 (1)前方 (2)後方 (3)左邊 (4)右邊。 6. 找出下面的對話中的參考目標： (1)聯全商店在宜蘭火車站斜對面。 (2)郵局在羅東客運總站南邊。 (3)宜蘭學院在法院正對面。 7. 下列各位置時間圖中，何者代表物體靜止？ 8. 承(7)，哪些代表有運動？ 9. A、B 兩車在直線上運動，其位置時間圖如右， 試問： (1)兩車於 秒時相會，此時距離原點 公尺。 (2)10 秒時， 車跑在前面。 (3)30 秒時， 車跑在前面，此時兩車相距 公尺。 10.於位置時間圖中，移動速度愈快者，表示其斜直線 (1)愈陡 (2)愈緩 (3)不一 定。 11.Cs 沿一半徑為 50 公尺的圓形軌道走了 1/6 圈，則其位移是 公尺，路徑 長是 公尺。若走一圈回到原點，則其位移是 公尺，路徑長是 公尺。
<高手過招>
15 - 3 速度
一.靜止與運動： 1.靜止：物體於一段時間內，其位置沒有因時間改變而改變，則可稱此物 體是靜止的；其位置時間關係圖，如下圖左所示。 2.運動：物體於一段時間內，其位置因時間的改變而改變，則可稱此物體 是有運動的；其位置時間關係圖，如下圖右所示。 靜止 運動 二.物體的運動快慢之分： 我們常說 Cs 跑的比 A 哥快，而阿添跑的比 Cs 更快；那麼物體運動的快慢到 底如何去界定？一般而言，有以下方法： 1.相同時間內，物體移動的路程愈大，表物體移動的愈快。 <例如>：Cs、A 哥兩人同時向東運動 5 分鐘，結果 Cs 移動了 900 公尺，A 哥 移動了800 公尺；則 Cs 的運動較快，而 A 哥的運動比較慢。 2.路程相同時，物體所花的時間愈少，表物體移動的愈快。 <例如>：Cs、A 哥兩人同時向東運動 1000 公尺，結果 Cs 花了 6 分鐘，A 哥則 花了6.5 分鐘；則 Cs 的運動較快，而 A 哥的運動比較慢。 三.平均速度：有大小及方向性 1.定義：單位時間內物體所移動的位移。2.單位：公尺 / 秒 (m / s)、公里 / 小時 (km / hr)、公分 / 秒 (cm / s)。 3.表示：若物體於時間 t1時，其位置是 S1，而於時間t2時，其位置是S2， 則於此段時間內該物體的平均速度是 平均速度 ＝ 位移 / 時間間隔 ＝ (S2－S1) / (t2－t1) 4.範例：A 哥跑了 100 公尺花了 12 秒，而 Cs 則花了 12.5 秒，則 A 哥與 Cs 的平均速度分別是多少？ 四.平均速率：只有大小沒有方向。 1.定義：單位時間內物體所移動的路程。 2.單位：公尺 / 秒 (m / s)、公里 / 小時 (km / hr)、公分 / 秒 (cm / s)。 3.表示：平均速率 ＝ 路程 / 時間間隔 五.等速度直線運動：當一個物體於每一段相同時間內的位移均相同時，則我 們可以說該物體是在作等速度直線運動；亦可稱為等速 度運動。 1.特性：於相同時間內，物體的運動距離(位移)均相等。運動方向亦不改 變。 2.位置(縱軸)－時間(橫軸)圖：為一斜直線，分別如下所示。 圖一 由原點出發 圖二 由離原點一段距離 圖三 由離原點一段距離 出發，離原點而去 出發，朝原點而來 3.速度(縱軸)－時間(橫軸)圖：則為一水平直線，如下圖左。 4.如何求得位移：對於等速度運動的物體而言，其位移剛好等於曲線與 時間軸所圍成的面積(S)。如上圖右所示。 六.瞬時速度：所指的是物體於運動過程中任一時刻的速度。
七.速度與速率的比較： 1.速度有方向性，速率則沒有。 2.單位相同。 3.兩物體的速度若相同，則速率一定相同；但速率相同時，速度不一定 相 同。 <小常識>：打點計時器 1.裝置：如右圖所示。 2.用途：可藉打點計時器於紙帶上所留的軌跡， 即可判斷其運動情形。 3.範例：若打點器一直是打在同一位置，則表示 紙帶不動；若打點器所留下的點，其間 隔距離相等，則表示紙帶等速度運動。
實驗
15 – 2 認識速度
實驗目的：由打點計時器在指帶上所留下的軌跡，來觀察物體的運動狀況， 藉此了解速度的概念。 實驗器材：打點計時器、紙帶。 實驗步驟： step 1：將紙帶穿過打點計時器針尖的下方，如下圖一。 step 2：接通電源，不要拉動紙帶，觀察打點器在紙帶上所留下點的分布情 形，如下圖二。 step 3：以穩定的速率拉動紙帶，觀察打點器在紙帶上所留下點的分布情形。 如下圖三。 step 4：以不同的速率拉動紙帶，觀察打點器在紙帶上所留下點的分布情形。 如下圖三。 圖 三 圖 一 圖 二 圖 四 實驗討論： 1.於 step 2 中，紙帶為什麼只有一點？Ans： 2.於 step 3 中，紙帶上相鄰兩點間的距離是否相同？這代表什麼意思？ Ans： 3.於 step 4 中，紙帶上相鄰兩點間的距離是否相同？這代表什麼意思？ Ans： 練習題： 1.羅東、宜蘭兩車站相距 15 公里，今有兩輛公車各自從羅東、宜蘭兩站分別以 30 公尺 / 秒及 45 公尺 / 秒等速率相向前進，試問： (1)兩車相遇於何處？ (2)兩車何時相遇？ 2.右圖為甲、乙兩物體的位置－時間圖，試問： (1)甲、乙兩物體的速度分別是多少？ (2)甲、乙兩車何時相遇？ (3)第 2 秒末時，甲乙兩車相距多遠？ 3.某日 A 哥去爬山，循原路線上下山，且上山的速率是 20 公尺 / 分鐘，下山 的速率是30 公尺 /分鐘，試問： (1)平均速度是多少？ (2)平均速率是多少？ 4.某物體之位置－時間圖如右，試問： (1)0 ~ 4 秒的平均速度？ (2)4 ~ 6 秒的平均速度？
(3)0 ~ 6 秒的平均速度？ (4)0 ~ 6 秒的平均速率？ 5.甲、乙二汽車沿同方向在直線運動，其位置－時 間圖如右，試問： (1)甲、乙兩車的平均速度分別是多少？ (2)甲車何時可追上乙車？ (3)甲車追上乙車時，甲車距離出發點多遠？ <小試身手> 1.等速度運動必為 運動。 2.某物體之位置－時間圖如右，試問： (1)AB、BC、CD 三段中，速度的大小順 序是 。 (2)物體的總位移是多少？ (3)AB 間的平均速度是多少？ 3.＋10 公尺 / 秒與－10 公尺 / 秒的意義是 (1)速度相同、方向不同 (2)速度不同、 方向相同 (3)速率相同、方向不同 (4)速率不同、方向相同。 4.下列各種位置－時間圖中，哪一個不是等速度運動？ 5.下列各種速度－時間圖中，哪一個是等速度運動？
6.下列各圖均是利用每秒 30 次的照相裝置，所拍攝的物體運動情形，試問何 者是等速度運動？ 7.右圖是某物體的位置－時間圖，試問： (1)物體的總位移是多少公尺？ (2)前 2 秒的平均速度是多少？ (3)全程的平均速度是多少？ (4)全程的平均速率是多少？ (5)t ＝ 4 秒之瞬時速度是多少？ 8.某物體的運動過程中，當其運動的大小、方向皆保持不變時，稱之為 運 動。 9.欲準確的描述物體運動快慢的真實情形時，可用 物理量來表示。而同時 具有物體運動快慢與方向的物理量是 。 <高手過招>
15 － 4 加速度
當你從家裡搭校車出發到校的過程中，車子是否從頭到尾均維持著一定的速 度前進呢？在這段路程中，一定會有速度愈來愈快及愈來愈慢的情形發生， 哪 您又如何來描述期間的運動過程？因此本章節所要探討的就是速度隨著時間 而變化的情形。 一.加速度：日常生活中，若甲、乙兩車同時啟動並加速之某一速度，但甲車 所花的時間比較多，則我們說乙車的加速度比較大。運動中的物 體其速度因為時間的改變而改變，則稱此物體在作加速度運動。 一般而言，加速度運動可分成三種類型：1.運動的快慢改變，但運動方向不變。 <例如>：汽車以不同的速率持續往東行駛。 2.運動的快慢不變，但運動方向改變。 <例如>：秒針的走動，其針尖運動的速率不變，但方向持續在改變。 3.運動的快慢改變，且運動方向也變。 <例如>：從蘇澳開往台北的火車，沿路行駛，不論運動的速率與方向均在改 變。 二.平均加速度：物體每一秒鐘的速度變化量，即稱之為物體的平均加速度。 1.定義：單位時間內的速度變化量，即是加速度。 2.公式：若物體於時間 t1時，其速度是v1，而於時間t2時，其速度則是v2， 則該物體平均加速度，可以下列方式表示： 平均加速度 ＝ 速度變化量 / 時間間隔 ＝ (v2－v1) / (t2－t1) 3.單位：距離 / 時間2 如，公尺 / 秒2、公分 / 秒2等等。 4.方向：加速度的方向視 v2－v1的正負而定。 (a)如果 v2－v1＞0，則加速度的方向與 v1方向一致(加速度方向與物體運動 方向一致)，其速度愈來愈快，故加速度＞0。如下圖一所示。 (b)如果 v2－v1＜0，則加速度的方向與 v1方向相反(加速度方向與物體運動 方向相反)，其速度愈來愈慢，故加速度＜0。如下圖二所示。 (c)如果 v2－v1＝0，則加速度為零，其速度維持一定，故加速度＝0，是等 速度直線運動。如下圖三所示。 圖 一 圖 二 圖 三 5.範例： (a)若有一輛汽車於筆直公路上行駛，若於 2 秒時測得其速度是 14 公尺 / 秒，而於5 秒時測得其速度是 20 公尺 / 秒，試問於此段時間內，該車 的平均加速度是多少？ (b)車子於筆直公路上行駛，速度是 20 公尺 / 秒，若想要於 4 秒內停止該 車，試問該車之加速度是多少？
三.等加速度運動：當一個物體的加速度不會因為時間的改變而改變，則稱此 物體作等加速度運動；換句話說，物體的速度變化量與時 間間隔的比值不隨著時間的改變而改變。 1.範例：若某物體之速度時間關係，如下表所示，則可知加速度為： 時間(秒) 0 1 2 3 4 5 速度(公尺 /秒) 3 6 9 12 15 18 2.性質： (a)作等加速度運動物體的速度－時間圖為一斜直線。如下所示。 物體由靜止作等加速度運動，如圖一所示。 物體以 V0的初速度，作等加速度運動；加速度的方向與速度的方向相同， 所以，速度隨時間作直線性增加。如圖二所示。 物體以 V0的初速度，作等加速度運動；但加速度的方向與速度的方向相 反，所以，速度隨時間作直線性減小。如圖三所示。 圖 一 圖 二 圖 三 圖 四 (b)作等加速度運動物體的加速度－時間圖為一水平直線。如上圖四所示。 (c)求位移：對於等加速度運動的物體而言，其位移剛好等於曲線與時間 軸所圍成的面積，同講義12 頁。 四.瞬時加速度：所指的是物體於運動過程中任一時刻的加速度。在求平均加 速度時，若將所取的時間間隔愈小，則平均加速度愈能夠描 述每一時刻速度的變化情形，而此平均加速度就愈接近瞬時 加速度。
<科學新知>：自由落體
1.自由落體：由靜止狀態，僅受到重力(地心引力)的作用，自高處沿鉛垂直線落下的物體，稱之為自由落體。 2.自由落體運動： (1)定義：物體由靜止狀態，僅受到重力(地心引力)的作用，自高處沿鉛垂直 線落下的運動，稱為自由落體運動。 (2)特性： 為一等加速度運動，且加速度等於 9.8 m / s2或980 cm / s2。 初速度等於零。一般而言，加速度用 g 表示。 (3)範例： 果樹上掉下的水果(忽略其他阻力)。 跳傘者從飛機上往下跳未張開傘時(開傘後則因為空氣阻力，而減慢下降速 度)。 五.速度－時間圖與加速度大小的關係： 圖 一 甲乙平行， 圖 二 甲靠近速度軸， 圖 三 非一直線， 故加速度一樣大 故加速度比較大 故加速度不一定 六.範例練習： 1.某物體作等加速度運動，其初速為 16 m / s，經過 6 秒後，速度變成 28 m / s，試問： (1)該物體之加速度是多少？ (2)再經過 3 秒，其速度是多少？ (3)經過幾秒後，其速度變成 32 m / s？ 2.有一汽車以 45 m / s 作等速度運動，若巧遇前方有紅燈，需要 3 秒鐘內將汽 車停止，試問： (1)該汽車之加速度是多少？ (2)畫出該汽車之速度－時間圖(開始煞車至停止)。 (3)此段時間內的汽車位移是多少？
3.某物體以向西 12 m / s 的初速度作等加速運動，經 10 秒後，其速度變成向 東8 m / s，試問： (1)該物體之加速度是多少？ (2)畫出該物體之速度－時間圖。 (3)何時，該物體的速度為 0？ 4.右圖是某物體之速度－時間圖，試求： (1)加速度？ (2)第 3 秒末的速度？ (3)4 秒內的位移？ 5.右圖是某物體之速度－時間圖，試求： (1)0 ~ 20 秒的平均加速度？ (2)20 ~ 40 秒的平均加速度？ (3)40 ~ 50 秒的平均加速度？ (4)0 ~ 50 秒的平均加速度？ (5)0 ~ 50 秒的位移？ (6)0 ~ 50 秒的平均速度？ 6.某物體之運動軌跡如下所示，試問：
(1)AB 間的平均速度是多少？ (2)BC 間的平均速度是多少？ (3)CD 間的平均速度是多少？ (4)AC 間的平均加速度是多少？ (5)AD 間的平均加速度是多少？ <小試身手> 1. 某物體之速度時間關係如下表，試問： 時間(秒) 0 1 2 3 4 5 6 7 速度(公尺/秒) 0 8 16 24 32 36 40 40 (1)畫出該物體之速度－時間圖。 (2)求出該物體 0 ~ 2 秒之平均加速度？ 2. 自由落體運動的初速是 ，其加速度大小是 公分 / 秒2或 公尺 / 秒2。 3. 某人由靜止以 2 公尺 / 秒2的等加速度運動，則於0 ~ 4 秒間，某人的平均 速度是多少？ (1)2 (2)3 (3)4 (4)5 公尺 / 秒2。 4. 下列有五組運動物體之位置－時間圖，試問： (1) 哪些圖代表著該物體作等速度運動？ (2) 哪些圖代表著該物體作等加速度運動？ (3) 哪些圖代表著該物體是靜止的？ 5. 一運動物體於下列何種情形時，代表著有加速度？ (1)速率變快時 (2)速度 變慢時 (3)運動方向改變時 (4)以上皆是。 6. 若某一物體的加速度為零，則物體 (1)必靜止 (2)依原速率前進 (3)作圓周運 動 (4)可能靜止或等速度運動。 7. 先前章節所介紹的單擺運動，是一種 (1)等速度 (2)等速率 (3)加速度。 8. 下列各物理量中，哪些是有方向的？ (1)路程 (2)速度 (3)速率 (4)位移 (5)加 速度。 9. 某物之速度－時間圖如右，試問：
(1) 物體加速行駛的時間是多少？加速度是多少？ (2) 物體等速行駛的時間是多少？
(3) 物體減速慢行的時間是多少？加速度是多少？ (4) 50 秒內，該物體的位移是多少？
16 - 1 兩力的合成
還記得國二時曾提到手推重物時，如果重物不動，乃是因為它一同時受了一 方向相反、大小相等的力量(靜摩擦力)。所以當大小相等、方向相反的兩個力量， 若沿著同一直線作用於靜止的物體上，則此物體仍然是靜止的。若此兩力不相 等，該物體將會有如何的變化？即是本章節所要探討的重點。 一.什麼是力？使物體發生形變或改變物體之運動狀態的作用。 1.當物體的形狀發生改變時，則代表物體受到外力的作用。如，壓扁、拉長、 扯斷、扭曲等等。 2.當物體的運動狀態發生改變時，亦則代表物體受到外力的作用。如，加速、 減速、方向改變等等。 二.二力平衡：當大小相等、方向相反的兩力，沿著同一直線，同時作用於同 一靜止的物體時，該物體仍靜止不動，則我們稱此兩力平衡。 如下圖一所示。 三.二力不平衡：當兩力沿著同一直線，以相反方向，同時作用於同一靜止的 物體時，若其中一個力量較大，則物體會向力量較大的一方 運動。如下圖二所示。 圖 一 兩力平衡 圖 二 兩力不平衡，往力量大的一方運動 四.日常生活中兩力平衡的例子： 1.天方板上的日光燈： 力量分析： 2.桌上的書本： 力量分析： 3.靜止於海上的船： 力量分析：<課外補充>：合力與分力
1.合力：同時有幾個力量作用於同一物體上，若對該物體所產生的效果而言， 相當於某一力量作用於該物體，即可稱此力量為其他幾個力量之合 力。 2.分力：上述中的任何一個力量，均是此力量之分力。 3.圖示說明：以下圖說明。FA、FB均是分力，而FR是合力。 五.兩力的合成：將物體所受的兩個力量，求其合力，即稱之為兩力的合成。 1.當兩力方向相同時(兩力夾角是 00)：合力的大小是兩力之和，且合力最大。 如圖一所示。 2.當兩力方向相反時(兩力夾角是 1800)：合力的大小是兩力之差 ，且合力最 小。如圖二所示。 圖 一 兩力方向相同 圖 二 兩力方向相反 3.結論： (a)在同一直線上的兩力(FA、FB)，若方向相反，其合力大小等於兩力相減(FA －FB)，合力的方向則指向力量較大的那個方向。 (b)在同一直線上的兩力(FA、FB)，若方向相同，其合力大小等於兩力相加(FA ＋FB)，合力的方向則與兩力方向相同。 (c)任意兩力之合力(FR)，其大小必介於兩力和與差之間。如下所示： (FA－FB) ＜ (FR) ＜ (FA＋FB)<課外補充>：圖解法求兩力之合力
1.若兩力之夾角不是先前所說的 00或1800時 你該如何求得合力？可利用平行四邊形求 得合力。以右圖說明。 2.兩力夾角愈小合力愈大；夾角愈大合力愈小。 如下圖所示。 圖 一 夾角愈小 圖 二 夾角愈大 圖 三 F＝(FA2＋FB2) 1/2合力愈大 合力愈小 <小試身手> 1.兩個不同的力量作用於同一物體時，要兩力維持平狀態，則兩力的條件是： (1) ；(2) ；(3) 。 2.根據物體之受力情形，試回答下列問題： (1)僅受一力作用，則此物體會靜止不動嗎？ (2)同時受到兩力作用，此物體一定靜止不動嗎？ (3)同時受到大小相等方向相反的兩力作用，物體是否靜止不動？ (4)若物體受力後，仍保持靜止，是否可稱此物體所受合力為零？ (5)若物體所受合力為零，是否一定保持靜止？ 4.下列物體均呈靜止狀態，則哪些物體所受合力等於零？ 5.兩力分別是 9 kgw 與 12 kgw，同時作用於同一點，則 (1)兩力方向相同時，其合力大小是 kgw。 (2)兩力方向相反時，其合力大小是 kgw。 (3)兩力夾角是 900時，其合力大小是 kgw。 6.兩力分別是 9 kgw 與 12 kgw，同時作用於同一點時，則其合力不可能是 (1)3 (2)9 (3)12 (4)22 kgw。 7.當兩力的夾角由 00漸增至1800時，其合力大小為 (1)漸增 (2)漸減 (3)先增後 減 (4)先減後增。 8.若 FA、FB兩力之合力為F，則 (1)F 必大於 FA或FB (2)F 必小於 FA或FB (3) F 必 等於FA或FB (4)不一定。 9.試求下列各力之合力及方向：向東 10 gw、向西 20 gw、向北 15 gw、向南 18 gw、向北 12 gw、向東 26 gw。方向： 、大小： 。 10.若兩力方向相同時，合力是 12 kgw；方向相反時，其合力是 2 kgw，則此 兩力分別是 kgw、 kgw。 11.一靜止物體分別受到 10 gw、15 gw、17 gw、8 gw 四力同時作用，物體仍然 呈靜止狀態，則該物體所受的合力是 (1)25 (2)0 (3)50 (4)15 gw。 12.右圖中，有四個力量同時作用於 O 點，FA向東10 牛頓、FB向西8 牛頓、FC向南5 牛頓、FD向北8 牛頓，則此四力之合力方向應指向 (1)I 區 (2)II 區 (3)III 區 (4)IV 區。
13.右圖中，彈簧秤的刻度是 1.2 kgw，砝碼 A 的重量是 2 kgw 則砝碼B 的重量是 kgw，絲線張力是 kgw。
16 - 2 力矩與槓桿原理
於先前的章節中曾提到，當一靜止物體受到大小相等、方向相反且作用在同 一直線的兩力作用時，則物體仍然是靜止不動的；若兩力大小不一樣、方向相 同、同一直線上時，則物體會發生移動；若大小相同、方向相反、不在同一直 線時，則物體會發生轉動。而到底是哪些因素會影響到物體之轉動？而轉動的 程度又與哪些因素有關？ 一.何謂力的作用線、支點與力臂？以下圖為例說明。 1.力的作用線：沿代表力的箭號線段兩端延長的直線，即稱之為力的作用線。 2.支點：能使槓桿自由旋的中心轉軸或定點，亦可稱之為轉軸。 3.力臂：由支點到力的作用線的垂直距離。 4.力臂的求法：根據上述的定義，下圖中 F1的力臂是d1，而F2的力臂是d2。 圖 一 圖 二 圖 三 二.力矩：物體轉動的難易程度，稱為力矩亦可稱為旋轉的效果。 1.定義：能使物體繞支點產生轉動效應的物理量。 2.公式：力矩 ＝ 作用力 × 力臂 L ＝ F × d 3.單位：力矩單位隨著力量及力臂的單位而改變。常見的單位如下表所示。 力 (F) 力臂 (d) 力矩 ( L ) 單 位 公克重 (gw) 公分 (cm) 公分公克重 ( gw－cm ) 單 位 公斤重 (kgw) 公尺 (m) 公尺公斤重 ( kgw－cm ) 單 位 牛頓 (N) 公尺 (m) 牛頓公尺 ( N－m ) 4.範例練習：試求出下列各圖中之力矩大小？5.方向：根據物體旋轉方向，力矩可分成順時鐘方向與逆時鐘方向。 (a)順時鐘力矩：使物體作順時鐘方向旋轉的力矩，如圖一。 (b)逆時鐘力矩：使物體作逆時鐘方向旋轉的力矩，如圖二。 圖 一 順時鐘方向 圖 二 逆時鐘方向 6.三者的關係：力矩 ＝ 作用力 × 力臂 (a)若力臂一定時，則作用力與力矩成正比。 (b)若力矩一定時，則作用力與力臂成反比。 (c)若作用力一定時，則力臂與力矩成正比。 7.日常生活中的力矩實例： (a)開、關門：如圖一所示。 F2對門軸的力臂最大，所以，門最容易被推轉動。 F3、F4的力臂較小，所以，門不易被推轉動，需用較大的力量才可推動。 F1與F5的力臂等於零，所以。門不會被推轉動。 (b)方向盤的操縱：如圖二所示。 F4對轉軸的力臂最大，故輪子最容易轉動。 F2、F3的力臂較小，故輪子不易轉動，需用較大的力量才可轉動。 F1對轉軸的力臂等於零，故門不會轉動。 (c)旋轉水龍頭：如圖三所示。 F1與F2兩力大小相等、方向相反、但不同一直線，所以，不會移動但會轉動 圖 一 圖 二 圖 三 8.力矩的應用：由力矩 ＝ 力臂 × 力量 可知，當要使物體發生轉動所需的力 矩一定時；若力臂愈大則所需的力量就愈小，故可愈省力。 如， (1)利用板手轉鬆螺絲時，由於板手的握炳較長，故可以比較省力；若直接
用手去轉鬆螺絲，則因為螺絲半徑小，力臂短，故比較費力。如下頁圖 一所示。 (2)利用釘拔子拔鐵釘時，由於力臂比較長，故可以比較省力。如下頁圖二所 示。 圖 一 圖 二 三.槓桿原理： 1.槓桿：槓桿是可繞著一固定點或軸線而作自由轉動的物體或硬棒。如，天 平、蹺蹺板等等。 2.原理：當槓桿同時受到順時鐘方向與逆時鐘方向的力矩作用時，若兩方向 的力矩大小相等時，則槓桿會保持靜止的平衡狀態，此現象稱之 為槓桿原理。換句話說，當物體不發生轉動時，物體所受到的合力 矩等於零。 施力 × 施力臂 ＝ 抗力(物重) × 抗力臂 當物體所受到的合力矩等於零，該物體不發生轉動，亦可稱該物 體處於轉動平衡的狀態。 3.力矩與轉動：當槓桿同時受到順時鐘方向與逆時鐘方向的力矩作用時，兩 方向的力矩會彼此抵銷而減弱槓桿的轉動效果。如下圖所示。 圖 一 圖 二 圖 三 合力矩 ＝ 0 合力矩 ≠ 0 合力矩 ≠ 0 不轉動 順時鐘方向轉動 逆時鐘方向轉動 4.應用： (a)測質量：天平即是最典型的例子。如下圖一所示。 (b)省力抬重物：如下圖二所示。
圖 一 圖 二
你不可不知：移動與轉動比較
1.移動：只與物體所受合力有關。 2.轉動：只與物體所受合力矩有關。 3.當合力 ＝ 0、合力矩 ＝ 0 時，則物體不會移動亦不會轉動。 4.當合力 ≠ 0、合力矩 ＝ 0 時，則物體會移動但不會轉動。 5.當合力 ＝ 0、合力矩 ≠ 0 時，則物體不會移動但會轉動。 6.當合力 ≠ 0、合力矩 ≠ 0 時，則物體不會移動亦不會轉動。 四.範例練習： 1.張三以 40 牛頓的力量垂直開門，若門寬是 1.5 公尺，試求： (1)若施力於門樞(轉軸)處，則力矩是多少？ (2)若施力於門把(最遠)處，則力矩是多少？ 2.試求下列各圖中 O 點的力矩是多少？ (甲) (乙) (丙) 3.試求下圖中 O 點的力矩與方向？4.李四利用一長 1.5 公尺的木棍挑 A、B 重物兩端分別是 14 kg 與 28 kg，若忽 略木棍重，則應如何挑此重物，才不會前後搖晃？
