第第第第4章章章章 二次曲線二次曲線二次曲線二次曲線

高中數學(4)習作甲 第 4 章 二次曲線 4-1 拋物線 77

第 第

第 第 4 章 章 章 章 二次曲線 二次曲線 二次曲線 二次曲線

4-1 拋物線 拋物線 拋物線 拋物線

重點一重點一

重點一重點一 拋物線的定義拋物線的定義拋物線的定義 拋物線的定義 例題

例題 例題 例題 1

右圖中，拋物線 Γ 以 F（2 , 2）為焦點，L：x＝－2 為準線，若 A，

B，C，D，E 為方格紙上的格子點，試問拋物線Γ會經過下列哪些 點？（6 分）

(A)A (B)B (C)C (D)D (E)E 解

解 解

解：：：：假設 P 為Γ上任一點，F 為拋物線之焦點 利用拋物線的定義，即 PF ＝d（P，L）

故選(A)(B)(D)

重點二 重點二 重點二

重點二 拋物線的標準式拋物線的標準式拋物線的標準式 拋物線的標準式 例題例題

例題例題 2

頂點為（0 , 0），焦點為（0 , 2）之拋物線方程式為 。（6 分）

解解

解解：：：：頂點為 V（0 , 0），焦點為 F（0 , 2），則VF＝｜c｜＝2 對稱軸為 x＝0

如右圖，開口向上 ∴c＝2

利用拋物線的標準式（x－h）²＝4c（y－k）

故拋物線方程式為 x²＝8y

例題 例題 例題 例題 3

設拋物線的焦點為 F（3 , －1），準線為 L：x＝1，試求對稱軸方程式、頂點坐標、拋物線方 程式。（12 分）

解解

解解：：：：(1) 對稱軸通過焦點 F（3 , －1）

且垂直準線 x＝1

對稱軸方程式為 y＝－1 (2) 頂點 V 為 A 與 F 之中點

∴V ( )

( )

1 3 1 1

2 1

2 , 2 ,

 

 

 

－ ＝

＋ －＋ －

(3) 此拋物線開口向右

頂點^V

(

)

利用拋物線的標準式（y－k）²＝4c（x－h）

故拋物線方程式為（y＋1）²＝4（x－2）

高中數學(4)習作甲 第 4 章 二次曲線 4-1 拋物線 78

例題 例題 例題 例題 4

已知拋物線方程式為 y²＝2y＋4x＋7，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、對稱軸方程式。

（12 分）

解 解 解

解：：：：y²＝2y＋4x＋7

（y－1）²＝4x＋8＝4（x＋2）＝4×1（x＋2）

此拋物線開口向右，且 c＝1

∴頂點坐標為 V（－2 , 1）

焦點坐標為 F（－2＋1 , 1）＝（－1 , 1）

準線方程式為 L：x＝－3 對稱軸方程式為 y＝1

例題例題 例題例題 5

已知拋物線方程式為 x²－4x＋4y－4＝0，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、對稱軸方 程式。（12 分）

解解

解解：：：：x²－4x＋4y－4＝0

（x－2）²＝－4（y－2）

此拋物線開口向下，且 c＝－1

∴頂點坐標為 V（2 , 2）

焦點坐標為 F（2 , 2－1）＝（2 , 1）

準線方程式為 L：y＝3 對稱軸方程式為 x＝2

高中數學(4)習作甲 第 4 章 二次曲線 4-1 拋物線 79

例題 例題 例題 例題 6

一拋物線的對稱軸垂直於 x 軸，並通過（0 , 1），（1 , 2），（3 , －2）三點，試求拋物線方程式、

焦點坐標、準線方程式。（12 分）

解 解 解

解：：：：(1) 已知拋物線的對稱軸垂直於 x 軸 可設拋物線方程式為 y＝ax²＋bx＋c

又過（0 , 1），（1 , 2），（3 , －2），代入方程式得 1

2

2 9 3 c

a b c a b c







＝

＝ ＋ ＋

－ ＝ ＋ ＋

a＝－1，b＝2，c＝1

故拋物線方程式為 y＝－x²＋2x＋1

(2) ∵y＝－x²＋2x＋1
（x－1）²＝－（y－2）

（x－1）²＝4× 1 4

 

 

－ （y－2）

頂點（1 , 2），開口向下，｜c｜＝1 4

∴焦點 F 1 1 2, 4

 

 

 － ＝ 7 1,4

 

 

  (3) 準線方程式為y＝9

4

例題 例題 例題 例題 7

如右圖，汽車前燈的外形是拋物線繞軸旋轉而成的拋物面，它的縱截面之輪廓 是拋物線的一部分，若燈口的直徑為 8 公分，燈深 4 公分，試求焦點與頂點的 距離。（10 分）

解解

解解：：：：汽車前燈的縱截面為拋物線，如右圖 令頂點 V（0 , 0），焦點為 F（c , 0）

燈口 A 點（4 , 4）代入拋物線 y²＝4cx 中 得 16＝4c×4
c＝1

故焦點與頂點的距離為 1 公分

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例題 例題 例題 例題 8

設 y＝ax²＋bx＋c 之圖形如右，下列何者正確？（10 分）

(A)a＜0 (B)b＜0 (C)c＞0

(D)a＋b＋c＞0 (E)b²－4ac＞0 解

解 解

解：：：：y＝ax²＋bx＋c
y＝a

2

2 x b

a

 

 

 ＋  ＋ 4 2

4 ac b

a

－

(A) ×：∵開口朝上 ∴a＞0 (B) ×：對稱軸 x＝－

2 b

a＜0
b＞0 (C) ○：∵y 之截距為正 ∴c＞0 (D) ○：令 x＝1 ∴a＋b＋c＞0

(E) ○：與 x 軸交於兩點 ∴b²－4ac＞0 故選(C)(D)(E)

例題 例題 例題 例題 9

已知直線 L：x＋2＝0，圓 C：x²＋y²－6x－4y＋12＝0，試求與 L 相切且與圓 C 外切之切圓圓 心軌跡方程式為 。（10 分）

解 解 解

解：：：：C：（x－3）²＋（y－2）²＝1 設所求圓心 P（x , y）

PQ ＝d（P , L）＋1

2 2

3 2

x y

（ － ）＋（ － ） ＝（x＋2）＋1

（x－3）²＋（y－2）²＝（x＋3）² 故軌跡方程式為（y－2）²＝12x

例題 例題 例題 例題 10

有一拋物線形隧道口，最底部寬為 4 公尺，頂部高為 4 公尺，最高點為 原點，以公尺為單位，試求隧道口所形成的拋物線方程式。（10 分）

解 解 解

解：：：：將拋物線的隧道口坐標化，置最高頂點於原點 位置，

則拋物線方程式為 x²＝4cy，其中 c＜0

∵通過（2 , －4）

∴2²＝4c×（－4），得 4c＝－1 即拋物線方程式為 x²＝－y