一、余子式与代数余子式

(1)

(2)

, 31 22 13 33

21 12 32

23 11

32 21 13 31

23 12 33

22 11

a a a a

a a a

a a

a a a a

a a a

a a







33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

例如



₂₂ ₃₃ ₂₃ ₃₂



11 a a a a

a 

 ^ ^a₁₂



â₂₃â₃₁ ^ â₂₁â₃₃





₂₁ ₃₂ ₂₂ ₃₁



13 a a a a

a 



33 31

23 21

13 33

31

23 21

12 33

32

23 22

11 a a

a a a

a a

a a a

a a

a

a a  



一、余子式与代数余子式

(3)

在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作

n a_ij i j

 1

n _a_ij

. M_ij

 

_，

记 A_ij   1 ⁱ^ ^j M_ij 叫做元素的代数余子式．aij

例如

44 43

42 41

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

a a

D 

44 42

41

34 32

31

14 12

11 23

a a

a

a a

a

a a

a M 

 

² ³ ₂₃

23 1 M

A   ^  M₂₃.

(4)

,

44 43

42 41

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

a a

D  ,

44 43

41

34 33

31

24 23

21 12

a a

a

a a

a

a a

a M 

 

¹ ² ₁₂

12 1 M

A   ^  M₁₂.

,

33 32

31

23 22

21

13 12

11 44

a a

a

a a

a

a a

a

M  ^A₄₄ ^

 

^ ¹ ⁴^⁴ ^M₄₄ ^ ^M₄₄^.

个代数余子式.

对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别

(5)

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．D  a_ij A_ij

n i

aij a_ij

44 43

42 41

33

24 23

22 21

14 13

12 11

0 0

0

a a

a

a a

D 

 

¹ ^.

44 42

41

24 22

21

14 12

11 33

3 3

a a

a

a a

a

a a

a

 a



 例如

(6)

证 当位于第一行第一列时 ,a^ij

nn n

n

a a

a

a a

a a D







2 1

2 22

21

11 0 0



即有 D  a₁₁M₁₁.

又 ^A₁₁ ^

 

^ ¹ ¹^¹ ^M₁₁^ ^M₁₁^,

从而 D  a₁₁A₁₁.

在证一般情形 , 此时

(7)

nn nj

n

ij

n j

a a

a

a a

a

D











1

1 1

11

0

 0

, 1

, 2

,

1行第行第行对调

行依次与第的第

把D i i  i 

得

 

nn nj

n

n i

j i i

ij

i

a a

a

a a

a

D











1

, 1 ,

1 1

, 1 1

0 0

1 ^ _ _ _





aij

(8)

,

1 ,

2 ,

1 对调

列第

列列依次与第

的第

再把D j j  j  得

   

nn j

n nj

n i

j i j

i ij

j i

a a

a

a a

D











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1 1

1

0 0

1 1



 

  





aij

(9)

 

nn j

n nj

n i j

i j

i ij

j i

a a

a

a a











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1 2

0 0

1



 

 



 

nn j

n nj

n i

j i j

i ij

j i

a a

a

a a











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1

0 0

1



 





aij

(10)

nn nj

n

ij

n j

a a

a

a a

a

D











1

1 1

11

0

 0 中的余子式 M_ij . 在

余子式仍然是

中的在行列式

元素

ij

nn j

n nj

n i

j i j

i ij

ij

a

a a

a

a a

a a a











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1

0 0



aij

(11)

故得

 

nn j

n nj

n i j

i j

i ij

j i

a a

a

a a

D











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1

0 0

1



 



 ^

 

^ ¹ ⁱ^ ^j^a_ij^M_ij^.

于是有

nn j

n nj

n i

j i j

i ij

a a

a

a a











1 ,

, 1 1

, 1 ,

1

0 0



  a_ijM_ij ,

aij

(12)

定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

in in

i i

i

i A a A a A

a

D  1 1  2 2   



i  1 ,2, ,n



证

nn n

n

in i

i

n

a a

a

a a

a

a a

a D



2 1

1 12

11

0 0

0

0        





二、行列式按行（列）展开法则

(13)

nn n

n i

n

a a

a



2 1

1

1 12

11

0

 0

nn n

n

i

n

a a

a

a a

a



2 1

2

1 12

11

0

 0

nn n

n

in n

a a

a

a a a

a



2 1

1 12

11

0

 0

 ^ â_i₁Â_i₁ ^ â_i₂Â_i₂ ^ _^ â_inÂ_in



ⁱ  _{1 }^,²^, ^,ⁿ



(14)

例 1

3 3

5 1

1 1

0 2

4 3

1 5

2 1

1 3



 D

0 3

5 5

0 1

0 0

1 3

1 11

1 1

1 5



 

₃

1 2 c

c  

3

4 c

c 

(15)

0 5

5

1 1

11

1 1

5 )

1

( ³ ³



 ^

0 5

5

0 2

6

1 1

5



5 5

2 ) 6

1

( ¹ ³



 

 ^

5 0

2 8



   40.

1

2 r

r 

(16)

证用数学归纳法

2 1

2

1 1

x D  x

  x₂  x₁ ( ),

1

2













j i

j

i x

x

）式成立．

时（

当  2 1

 n

例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式



 







1 1

1 2 1

1

2 2

1

2 1

).

( 1

1 1

j i n

j i

n n n

n

n n

n x x

x x

x

x x

x

x x

x D







) 1 (

(17)

，阶范德蒙德行列式成立

）对于

假设（1 n  1

) (

0

) (

0 0

1 1

1 2

1 3

2 3 1

2 2

2

1 1

3 3

1 2

2

1 1

3 1

2

x x

x

x x

x

x x

D

n n

n

n n







 





就有

提出，

因子列展开，并把每列的公

按第1 ( x_i  x₁ )

(18)

) (

) )(

(

2 1

1 3

1

2 j

j i n

i n

n x x x x x x x x

D     









 

).

(

1

j j

i n

i x

x 











2 2

3 2

2

3 2

1 1

3 1

2

1 1

1 )

( )

)(

(





n n n

n

n n

x x

x

x x

x x x

x x







n-1 阶范德蒙德行列式

(19)

推论行列式任一行（列）的元素与另一行

（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

，即 a_i₁ A_j₁  a_i₂ A_j₂  a_in A_jn  0, i  j.

,

1 1 1

1 11

1 1

nn n

jn j

in i

n

jn jn

j j

a a

A a















 



证把行列式 D  det(a_ij ) 按第 j 行展开，有

(20)

,

1 1 1

1 11

1 1

nn n

in i

n

jn in

j i

a a

A a















  



可得换成

把 a _jk a_ik (k  1,,n),

行 第 j

行 第 i

时, 当 i  j

).

( ,

2 0

2 1

1A a A a A i j

a_i _j  _i _j    _in _jn  

同理 a1_i A1_j  a2_i A2 _j   a_ni A_nj  ⁰^, ⁽i  j^).

相同

(21)

关于代数余子式的重要性质







 





 0 , ;

, ,

1 i j

j i

D D A

a _ij

n k

kj

ki 当

 当







 





 0 , ;

, ,

1 i j

j i

D D A

a _ij

n k

jk

ik 当

 当







 

 0 , . ,

1

j i

ij 当

，其中当

(22)

例３计算行列式

2 7

7

0 1

0

3 5

3



 D

解

2 7

0 3  1



 D

.

 27

按第一行展开，得

2 7

0 50

 7 7

1 30 



(23)

0 5

3 2

0

0 4

1 4

0

0 1

3 2

0

2 5

2 7

1

0 2

1 3

5



 例４计算行列式 D

解

0 5

3 2

0

0 4

1 4

0

0 1

3 2

0

2 5

2 7

1

0 2

1 3

5



 D

(24)

6 6

0

2 7

0

1 3

2

10 





 

6 6

2 2 7

10 











42 12



1080. 20    



5 3

2

4 1

4

1 3

2 5

2  





 



5 3

2 0

4 1

4 0

1 3

2 0

2 1

3 5

2 1 ² ⁵



 ^

1

3 r

r 

  ₁

2 2 r

r  

(25)

(26)

1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .







 





 0 , ;

, . ,

2

1 i j

j i

D D A

a _ij

n k

kj

ki 当

 当







 





 0 , ;

, ,

1 i j

j i

D D A

a _ij

n k

jk

ik 当

 当







 

 0 , . ,

1

j i

ij 当

，其中当

三、小结

(27)

思考题

阶行列式设n

n n

D_n











0 0

1

0 3

0 1

0 0

2 1

3 2

1



求第一行各元素的代数余子式之和

1 .

12

11 A A n

A   

(28)

思考题解答

解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

A n

A

A₁₁  ₁₂   ₁

 n









0 0

1

0 3

0 1

0 0

2 1

1 1

 1 .

1

!

2 



 



 





 n

j j

n