數學傳播 39 卷 2 期, pp. 94-96
n 對平行線猜想的證明
吳 波
文 [1] 中劉步松老師證明了名之為“三組平行線定理”的如下優美結論:
定理1([1]): 如圖一, 平面上給定三組平行線, 分別是 a1//a2, b1//b2 , c1//c2 , 處在不同組的 兩條直線都是相交的。 設 a1 與 b2 的交點為 A, b1 與 c2 的交點為 B, c1 與 a2 的交點為 C;
a2 與 b1 的交點為 D, b2 與 c1 的交點為 E, c2 與 a1 的交點為 F , 則有如下兩個結論:
(1) 若 A, B, C 三點不共線, 則 S△ABC = S△DEF; (2) 若 A, B, C 三點共線, 則 D, E, F 三點也共線。
圖一
文 [1] 猜想這個結論可以推廣到 n 對平行線時, 並對 n = 4, 5, 6, 7 驗證了猜想成立。
本文擬在一般情形下證明這個猜想。
對凸多邊形 A1A2· · · An, 從一個頂點出發的 n − 3 條對角線可將其分成 n − 2 個三角 形, 因此有
SA1A2A3···An = S△A1A2A3 + S△A1A3A4 + S△A1A4A5 + · · · + S△A1An−1An. (1)
註: 上式中各三角形的面積是均指有向面積。
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n對平行線猜想的證明 95
對一般的平面多邊形 (不論凸的、 凹的, 甚至是邊與邊有交點的多邊形), 我們作如下定義 定義1: 對平面多邊形A1A2· · · An, 由(1)式定義的SA1A2···An稱為多邊形A1A2· · · An的面積。
可以證明 (證略):
引理1: 對平面多邊形 A1A2· · · An 所在平面內任一點 O, 下式粧成立:
SA1A2A3···An = S△OA1A2 + S△OA2A3 + S△OA3A4 + · · · + S△OAn−1An+ S△OAnA1.
設 O 為給定的點, 下面我們約定 P 表示向量 OP 。
我們知道, 三角形面積與向量外積“×” (或稱向量積) 有關, 由此我們不妨作如下定義:
定義2: S△OAB = 1
2OA× OB = 1
2A× B。
當 O、A、B 輪換時 S△OAB 的值不變; 當 O、A、B 中有兩者重合時 S△OAB 的值為 0。
定義 2 結合引理 1 立得:
引理2: 2SA1A2···An = A1×A2+A2×A3+A3×A4+· · ·+An−1×An+An×A1。 現在我們就可以證明 “n 對平行線猜想” 了。
定理2: 若平面上的兩個多邊形 A1A2· · · An 和 B1B2· · · Bn 滿足:AiBi+1//Ai+1Bi (i = 1, 2, 3,. . . , n, 此處約定: An+1 = A1, Bn+1 = B1), 則這兩個多邊形的面積相等。
證明: 因為 AiBi+1//Ai+1Bi, 則 AiBi+1×Ai+1Bi = 0。 即 (Bi+1−Ai) ×(Bi−Ai+1) = 0。
展開變形得:Bi× Bi+1− Ai+1× Bi+1+ Ai× Bi = Ai× Ai+1。
分別令 i = 1, 2, 3, . . . , n, 將所得 n 式累加可得 (注意 An+1 = A1, Bn+1 = B1):
B1× B2+ B2× B3 + B3× B4+ · · · + Bn−1× Bn+ Bn× B1
= A1× A2+ A2× A3+ A3× A4+ · · · + An−1× An+ An× A1.
由引理 2 即知這兩個多邊形的面積相等。
另外, 筆者發現可以用割補法給出定理 1 的純幾何證明。 思路很簡單: 為了利用條件中的 平行線, 將兩個目標圖形分別分割成若干對等底等高的三角形即可。
96 數學傳播 39 卷 2 期 民 104 年 6 月
c b
a c b
a L
K D G E B
F H I A
J
C
圖二如圖 2, 條件同定理 1, 其中直線 b1 和 c1 相交於點 G, a1 和 c1 相交於點 H, a1 和 b1 相 交於點 I。 我們插入點 G、H、I 對兩目標三角形進行分割。
由引理1有: S△ABC = S△GAB+S△GBC+S△GCA。 其中:S△GBC = S△HGC+S△HBC+ S△HCG = S△HGB+ S△HBC, S△GCA = S△IGC + S△ICA+ S△IAG。
又上式中的 S△IGC = S△HIG+ S△HGC+ S△HCI = S△HIG+ S△HCI。
所以 S△ABC = S△GAB+ S△HGB + S△HBC + S△HIG+ S△HCI + S△ICA+ S△IAG。 (2) 同理 S△DEF = S△GEF + S△HGF + S△HF D+ S△HIG+ S△HDI+ S△IDE+ S△IEG。 (3) 比較 (2)、 (3) 兩式右側的 7 對三角形, 其中第 4 對相同, 第 2 對、 第 5 對、 第 7 對等底等高。
再看第 1 對: △GAB 與 △GEB 等底等高, 而 △GEF 也與 △GEB 等底等高, 所以 第 1 對三角形面積也相等。 同理第 3 對、 第 6 對面積也相等。
所以 S△ABC = S△DEF。
注意到 (2)、 (3) 兩式都是由引理 1 推得的, 而引理 1 是粧等式, 則上述證明對定理 1 的 各種變式圖形均適用。 有興趣的讀者可以對圖 1 進行驗證。
這種方法對一般的 n 對平行線時也適用。
不知道空間中是否有和定理 1 類似的結論成立?
註: 最初筆者是用座標法來證明 “n對平行線猜想” 的, 經審稿先生建議而改以向量呈現, 使證 明過程得以大大簡化。 在此謹表謝意!
參 考資料
1. 劉步松, 三組平行線定理及其一個猜想[J]。 數學傳播, 2013(37), 2: 93-96。
—本文作者任教重慶市長壽龍溪中學—
