勾股定理證明-G074
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF (於證明過程第 1 點說明點 H 在GF 上)。
2. CF 與 HK 交於 Q 點， BK 與CE 交於 R 點。
3. 在 AC 上取一點 M ，使得 CM DE，從 M 點作 CB 的平行線與 AB 交於 N 點。
4. 從 K 點作 AC 的平行線與 CF 交於 L 點。
A B
D F
G
E K H
L C
M Q
N
R
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，證明正方形 AHKB 所切割出的 區塊，可以拼合出正方形 CBDE 的區域與正方形 CAGF 的區域，由面積相等的關係，最 後推出畢氏定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB， AG AC,GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等), 得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上。
2. 證明三角形LBK 與三角形 GAH 全等：
因為 BK AH，又由平行關係可得到 LKB GHA與 KBL HAG，所以 LBK GAH
(ASA 全等).
3. 證明三角形 KQL 與三角形 BRC 全等：
因為 BK AB,LBK90 ABC CAB，由平行關係可得到 90
KLB BCA
，所以
BKL ABC
(AAS 全等).
進一步得到 LK CB，又由平行關係可得到QLK 90 RCB與 90
LKQ LKB CBR
，所以 KQL BRC
(ASA 全等).
4. 證明三角形 ANM 與三角形 HQF 全等：
因為 AM ACCM GFHGHF，且由平行關係得 90
AMN HFQ
, MAN FHQ，所以 ANM HQF
(ASA 全等).
5. 證明四邊形 MNBC 與四邊形 ERBD 全等：
因為對應邊 CM DE, CBDB，對應角 90
NMC RED
,MCB EDB90,NBC90 CBR RBD，所以 MNBC ERBD
四邊形 四邊形 ﹒ 6. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( ) (
)
AHKB ANM MNBC
LBK KQL ACQH
HQF ERBD GAH
BRC ACQH
ERBD BRC HQF
AHG ACQH
CBDE CAGF
正方形 面積 面積＋四邊形 面積
＋ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
面積＋四邊形 面積＋ 面積
＋ 面積＋四邊形 面積
四邊形 面積＋ 面積 ＋ 面積
＋ 面積＋四邊形 面積
正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB CB CA
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(10), 250-251.
2. 心得：此證明輔助線的畫法皆與三角形 ABC 的邊成平行關係，使學生較容易看出 對應角的相等關係，進一步證明對應的區域全等。此證明透過平移與旋轉的 拼圖方法證明畢氏定理。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 說明：此題作圖的輔助線畫法，與 G072 類似，差別只在於由不同的頂點所作的平 行線段。
