第三章：幾何與證明 第二節：三角形的外心、內心、重心 一、選擇
1. （ ）如圖，△ABC 的三中線 AD 、 BE 、CF 相交於 G 點，若 AG ＝20， EG ＝12， CG ＝24，
則 AD ＋ BE ＋ CF 為多少？
(A)56 (B)66 (C)90 (D)102
《答案》D
2. （ ）下列關於重心的敘述，何者錯誤？
(A)三角形任意兩頂點，與其對邊中點之連線的交點即為重心 (B)重心到三角形之三頂點的距離相等
(C)重心到三角形之三頂點的距離是該頂點到對邊中點距離的 3 2 倍 (D)三角形的重心一定在三角形的內部
《答案》B
3. （ ）有一個三角形，它的外心在三角形的外部，則此三角形的形狀必為下列哪一種？
(A)銳角三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)鈍角三角形
《答案》D
4. （ ）如圖，△ABC 中，D 為 BC 中點，若 AP ＝
PQ
＝QR
＝ RS ＝ ST ＝TD ，則下列哪一點是△ABC 的重心位置？
(A)Q (B)R (C)S (D)T
《答案》C
5. （ ） 已知△ABC 中，I 點為此三角形的內心，若∠BIC＝135°，則△ABC 是下列哪一種三角形？
(A)銳角三角形 (B)直角三角形
(C)鈍角三角形 (D)條件不足，無法確定
《答案》B
6. （ ）已知正三角形 ABC 的邊長為 10，達達在△ABC 的內部找到一點 P，使得 P 點到三頂點等 距離，則 AP 的長為多少？
(A)5 3 (B) 3 3
5 (C) 3 2
5 (D) 3 3 10
《答案》D
7. （ ）已知 S 點為△ABC 的外心，則關於 S 點的位置，下列何者正確？
(A)S 點在△ABC 的內部
(B)S 點在△ABC 的其中一邊上 (C)S 點在△ABC 的外部
(D)以上都有可能
《答案》D
8. （ ）有一個三角形，它的外心恰位於其中一邊上，則此三角形的形狀必為下列哪一種？
(A)銳角三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)鈍角三角形
《答案》C
9. （ ）如圖，△ABC 中，D、E、F 三點將 BC 四等分， AG ： AC ＝1：3，H 為 AB 之中點，下 列哪一個點為△ABC 的重心？ 【90.基本學測一】
(A)X (B)Y (C)Z (D)W
《答案》C
10. （ ）如圖，G 點為△ABC 的重心，若 AG ＝16， FG ＝6， BG ＝14，則△ABC 的三中線長之 和是多少？
(A)32 (B)48 (C)57 (D)63
《答案》D
11. （ ）已知 R 點是△ABC 的內心，則關於 R 點的敘述，下列何者正確？
(A)R 點在△ABC 的內部
(B)R 點在△ABC 的其中一邊上 (C)R 點在△ABC 的外部
(D)以上都有可能
《答案》A
12. （ ）已知△ABC 三邊的垂直平分線交於 Q 點，則關於 Q 點的敘述，下列何者正確？
(A)Q 點是△ABC 的內心 (B)Q 點是△ABC 的外心 (C)Q 點是△ABC 的重心
(D)Q 點不是△ABC 的內心，也不是外心或重心
《答案》B
13. （ ）已知△ABC 中，∠B＝48°，則當∠C 等於下列哪一個度數時，會使得△ABC 的外心落在 三角形的外部？
(A)32° (B)42° (C)52° (D)62°
《答案》A
14. （ ）如圖，△ABC 是由三個等腰三角形所拼成的，其三個頂點的會合處為 P 點，則 P 點必為
△ABC 的哪一種心？
(A)內心 (B)垂心 (C)重心 (D)外心
《答案》D
15. （ ）△ABC 中，I 點為其內心，若∠A＝30°，∠B＝60°，則△AIB 面積：△BIC 面積：△AIC 面積＝？
(A)2：1： 3 ˉ(B)2： 3 ：1 (C) 3 ：1：2ˉ(D)1： 3 ：2
《答案》A
16. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若∠A＝110°，∠B＝27°，則∠BOC 為多少度？
(A)115° (B)126° (C)140° (D)153°
《答案》C
17. （ ）平面上有一個△ABC 與 S 點，若以 S 點為圓心，可作一圓通過△ABC 的三頂點，則關於 S 點的敘述，下列何者正確？
(A)S 點是△ABC 的內心 (B)S 點是△ABC 的外心 (C)S 點是△ABC 的重心
(D)S 點不是△ABC 的內心，也不是外心或重心
《答案》B
18. （ ）如圖(一)，有一質地均勻的三角形鐵片，其中一中線 AD 長 24 公分。若阿龍想用食指撐 住此鐵片，如圖(二)，則支撐點應設在 AD 上的何處最恰當？
(A)距離 D 點 6 公分處 (B)距離 D 點 8 公分處 (C)距離 D 點 12 公分處 (D)距離 D 點 16 公分處
《答案》B
19. （ ）P 為△ABC 內部一點，若 PA ＝ PB ＝ PC ，則 P 點在△ABC 的何處？
(A)三中線的交點上 (B)三高的交點上
(C)三邊垂直平分線的交點上 (D)三內角平分線的交點上
《答案》C
20. （ ）如圖，甲、乙、丙、丁四點中，有一個點是△ABC 的外心，請問是哪一個點？
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
《答案》D
21. （ ）I 點為△ABC 的內心，若 AB ＝6， BC ＝9， AC ＝12，則△AIB、△BIC、△AIC 的面積比 為何？
(A)3：4：6 (B)6：4：3 (C)4：3：2 (D)2：3：4
《答案》D
22. （ ）△ABC 中，O 點為△ABC 的外心，若∠A＝120°，∠B＝36°，則∠BOC＝？
(A)240° (B)156° (C)124° (D)120°
《答案》D
23. （ ）已知 N 點為△ABC 的外心，則關於 N 點的敘述，下列何者正確？
(A)N 點位於△ABC 三內角平分線的交點 (B)N 點位於△ABC 三中線的交點
(C)N 點位於△ABC 三邊中垂線的交點
(D)N 點位於△ABC 三高的交點
《答案》C
24. （ ）已知 R 點為△ABC 的重心，則關於 R 點的敘述，下列何者正確？
(A)R 點在△ABC 的內部
(B)R 點在△ABC 的其中一邊上 (C)R 點在△ABC 的外部
(D)以上都有可能
《答案》A
25. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，則∠BOC＝？
(A)160° (B)150° (C)135° (D)120°
《答案》A
26. （ ）已知△ABC 的三邊中垂線交於 R 點，則關於 R 點的敘述，下列何者正確？
(A)R 點到△ABC 的三邊等距離 (B)R 點到△ABC 的三頂點等距離 (C)R 點到△ABC 的三邊中點等距離 (D)R 點到△ABC 的三高等距離
《答案》B
27. （ ）平面上有一個△ABC 與 Q 點，若以 Q 點為圓心，可作一圓與△ABC 的三邊相切，則關於 Q 點的敘述，下列何者正確？
(A)Q 點是△ABC 的內心 (B)Q 點是△ABC 的外心 (C)Q 點是△ABC 的重心
(D)Q 點不是△ABC 的內心，也不是外心或重心
《答案》A
28. （ ）已知△ABC 的三中線交於 R 點，則關於 R 點的敘述，下列何者正確？
(A)R 點是△ABC 的內心 (B)R 點是△ABC 的外心 (C)R 點是△ABC 的重心
(D)R 點不是△ABC 的內心，也不是外心或重心
《答案》C
29. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，則∠BOC＝？
(A)150° (B)145° (C)140° (D)135°
《答案》C
30. （ ）已知 G 為△ABC 三中線的交點，若三中線長之和是 18，則 G 到△ABC 三頂點的距離之 和是多少？
(A)9 (B)12 (C)29 (D)36
《答案》B
31. （ ）如圖，直角坐標平面上，A、B、C 三點坐標分別為(7 , 6)、(1 , 1)、(7 , 1)，若 M 點為△ABC 的外心，則 M 點的坐標為何？
(A)(4 , 2
7 ) (B)(3 , 2
7 ) (C)(3 , 4) (D)(3 , 3)
《答案》A
32. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若 AB ＝8， BC ＝10， AC ＝12，則 OA ： OB ： OC ＝？
(A)3：4：5 (B)5：6：4 (C)12：10：15 (D)1：1：1
《答案》D
33. （ ）已知 N 點為△ABC 的內心，則關於 N 點的位置，下列何者正確？
(A)N 點位於△ABC 三內角平分線的交點 (B)N 點位於△ABC 三中線的交點
(C)N 點位於△ABC 三邊中垂線的交點 (D)N 點位於△ABC 三高的交點
《答案》A
34. （ ）已知△ABC 的三內角平分線交於 P 點，則關於 P 點的敘述，下列何者正確？
(A)P 點是△ABC 的內心 (B)P 點是△ABC 的外心 (C)P 點是△ABC 的重心
(D)P 點不是△ABC 的內心，也不是外心或重心
《答案》A
35. （ ）如圖，I 點為△ABC 的內心，若∠A＝70°，則∠BIC 為多少度？
(A)110° (B)125° (C)140° (D)145°
《答案》B
36. （ ）已知△ABC 的三內角平分線交於 P 點，則關於 P 點的敘述何者正確？
(A)P 點到△ABC 的三邊等距離 (B)P 點到△ABC 的三頂點等距離 (C)P 點到△ABC 的三邊中點等距離 (D)P 點到△ABC 的三高等距離
《答案》A
37. （ ）已知 S 點為△ABC 的重心，則關於 S 點的敘述，下列何者正確？
(A)S 點位於△ABC 三內角平分線的交點 (B)S 點位於△ABC 三中線的交點
(C)S 點位於△ABC 三邊中垂線的交點 (D)S 點位於△ABC 三高的交點
《答案》B
38. （ ）小章想將一質地均勻的三角形蛋糕平分給六個人，試問他應該怎麼切？
(A)沿三角形蛋糕的三中線切 (B)沿三角形蛋糕的三中垂線切 (C)沿三角形蛋糕的三內角平分線切 (D)沿三角形蛋糕三邊上的高切
《答案》A
39. （ ）如圖， BD 為圓 O 的直徑，弦 AC 未過圓心 O，則下列哪一個敘述是正確的？【93.基本 學測(一)】
(A)O 是△PCD 的外心 (B)O 是△APD 的外心 (C)O 是△ACD 的外心 (D)O 是△BCP 的外心
《答案》C
40. （ ） 老翁打算將一塊三角形的土地平分給三個小孩，他可先找出此一三角形土地的哪一個點？
(A)三角形三邊中垂線的交點 (B)三角形三內角平分線的交點 (C)三角形三中線的交點
(D)三角形三邊上的高之交點
《答案》C
41. （ ）下列敘述何者錯誤？
(A)任一長方形一定有一個外接圓
(B)對同弧的圓周角度數等於弦切角的度數 (C)一圓中若兩弦等長，則其弦心距相等 (D)任一三角形的外心一定在三角形的外部
《答案》D
42. （ ）如圖，△ABC 中，若 AD ＝ BD ＝ CD ＝10 公分， AC ＝16 公分，則△ABC 的面積為多少 平方公分？
(A)92 (B)94 (C)96 (D)98
《答案》C
43. （ ）如圖，I 點為等腰△ABC 的內心， DE 平行底邊 BC 且通過 I 點，若△ADE 的周長為 30 公 分，則 AB 為多少公分？
(A)12 (B)15 (C)18 (D)21
《答案》B
44. （ ）已知圓 O 為△ABC 的外接圓，若 AB 恰為圓 O 中最長的弦，則△ABC 為何種三角形？
(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)銳角三角形 (D)鈍角三角形
《答案》B
45. （ ）如圖，G 點為直角△ABC 的重心，∠ABC＝90°，若 AB ＝12 公分，BC ＝9 公分，則△AGD 的面積是多少平方公分？
(A)12 (B)9 (C)8 (D)6
《答案》B
46. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝7，BC ＝12， AC ＝9，其內切圓與三邊分別切於 D、E、F 三點，
則 AD ＋ BE ＋ CF ＝？
(A)11 (B)14 (C)15 (D)17
《答案》B
47. （ ）如圖，D、C 分別為 AB 與 BF 的中點， AC 與 DF 相交於 E 點，已知△CEF 的面積為 6，
請問△ABC 的面積是多少？
(A)9 (B)12 (C)18 (D)36
《答案》C
48. （ ）已知△ABC 的面積為 48，若 AB ＝7，且△ABC 的內切圓面積為 36π，則 BC ＋ CA ＝？
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
《答案》D
49. （ ）如圖，E 點為△ABC 的外心，延長 BC 到 D 使 CD ＝ 2
1 AB ，若∠B＝50°，則∠D＝？
(A)15° (B)20° (C)25° (D)30°
《答案》C
50. （ ）如圖，△ABC 中，內切圓與三邊分別切於 D、E、F 三點，若 AB ＝7， BC ＝12， AC ＝9，
則 AD ＋ BE ＋ CF ＝？
(A)11 (B)14 (C)15 (D)17
《答案》B
51. （ ）如圖，長方形 ABCD 中，E 為 BC 的中點，若 AB ＝3 公分， AD ＝4 公分，則四邊形 ECDF 的面積為多少平方公分？
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
《答案》A
52. （ ）△ABC 中，∠ACB＝90°， AB 、 BC 、 CA 的長度分別為 13 公分、12 公分、5 公分，若 I 點為△ABC 的內心，則△AIB 的面積為多少平方公分？
(A)12 (B)13 (C)15 (D)16
《答案》B
53. （ ）如圖，D 點為△ABC 的內心，若∠BDC＝135°， BE ＝ CE ＝6，則 AE ＝？
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
《答案》A
54. （ ）如圖，△ABC 中，∠ACB＝90°， AC ＝9， BC ＝12，I 點為△ABC 的內心，則 IC ＝？
(A) 2 (B)2 2 (C)3 2 (D)4 2
《答案》C
55. （ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中， AC 交 BD 於 O 點，E 為 BC 的中點，若四邊形 OFEC 的面 積為 6 平方公分，則梯形 AECD 的面積為多少平方公分？
(A)24 (B)27 (C)30 (D)33
《答案》B
（ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中，兩對角線相交於 O，E 為 AD 中點， CE 交 BD 於 F，則 OF ： BD ＝？
(A)1：3 (B)1：4 (C)1：5 (D)1：6
《答案》D
57. （ ）坐標平面上，直線 5x＋12y＝60 交 x 軸於 A 點，交 y 軸於 B 點，設 O 為原點，I 點為△
AOB 的內心，則△BIO 的面積為多少？
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
《答案》A
58. （ ）如圖，△ABC 中， AP 、 BP 分別為∠BAC、∠ABC 的角平分線，若∠C＝50°，則∠APB
＝？
(A)105° (B)110° (C)115° (D)120°
《答案》C
59. （ ）仁仁在一個質地均勻的三角形厚紙板上打了四個洞 P、Q、R、S，而 D、E、F 分別為 AB 、 BC 、 CA 的中點，如圖所示。若將一枝竹筷子分別頂入各點的洞內，然後旋轉此紙板，
則竹筷子頂入哪一點時，此塊三角形厚紙板可以穩定平衡的旋轉？
(A)P 點 (B)Q 點 (C)R 點 (D)S 點
《答案》C
60. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若∠BOC＝100°，則∠A＝？
(A)50° (B)130° (C)50°或 130° (D)80°或 130°
《答案》C
61. （ ）已知 I 點為△ABC 的內心，若∠A＝100°，則∠IBC＋∠ICB＝？
(A)20° (B)40° (C)60° (D)80°
《答案》B
62. （ ）已知一正三角形的面積為 12 3 平方公分，則此三角形的重心到三頂點的距離之和是多少 公分？
(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
《答案》C
63. （ ）仁仁畫了一個兩股長分別是 6 公分、8 公分的直角三角形，若欲再畫出此直角三角形的外 接圓，則仁仁應取多少公分為半徑？
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
《答案》A
64. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若 AB ＝ AC ＝10， BC ＝12，則 OA ＝？
(A) 4
25 (B) 2 5 (C)
9
25 (D) 3 5
《答案》A
65. （ ）如圖，正方形 ABCD 中，E、F 分別 BC 、 CD 的中點，對角線 AC 與 BD 相交於 O 點，且 AE 與 OB 相交於 G 點， AF 與 OD 相交於 H 點，若 AB ＝12，則△AOG 的面積是多少？
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
《答案》A
66. （ ）已知圓 O 為△ABC 的外接圓，圓心 O 點落在△ABC 的外部，則△ABC 必為何種三角形？
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)銳角三角形 (D)鈍角三角形
《答案》D
67. （ ）已知△ABC 的面積為 96 平方公分，且三邊長分別為 30 公分、26 公分、8 公分，則內心 到 AB 的距離為多少公分？
(A)3ˉ(B)4ˉ(C)5ˉ(D)6
《答案》A
68. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若∠A＝130°，則∠BOC＝？
(A)50° (B)100° (C)50°或 100° (D)80°或 100°
《答案》B
69. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若∠A：∠B：∠C＝1：3：8，則∠AOB＝？
(A)100° (B)110° (C)120° (D)130°
《答案》C
70. （ ）若正三角形的邊長為 a，外接圓半徑為 b，內切圓半徑為 c，則 a：b：c＝？
(A)1： 3 ： 6 (B) 3 ： 2 ：1 (C)2 3 ：2：1 (D)1：2：3
《答案》C
71. （ ）如圖，△ABC 中， BE 、 CF 為兩中線， BE ⊥ CF ，若 BE ＝15 公分， CF ＝9 公分，則
△ABC 的面積為多少平方公分？
(A)72 (B)84 (C)90 (D)92
《答案》C
72. （ ）有一股長為 4 2 的等腰直角三角形，其外心到三頂點的距離和為多少？
(A)12 (B)14 (C)16 (D)18
《答案》A
73. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ＝13，∠A＝120°，若 O 點為此三角形的外心，則 OC ＝？
(A)12 (B)13 (C)13 2 (D)13 3
《答案》B
74. （ ）在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝90°， AC ＝6 公分，則△ABC 的外接圓面積為多少平方 公分？
(A)18π (B)24π (C)36π (D)64π
《答案》C
75. （ ）如圖，在△ABC 中，∠BAC＝90°，G 點為重心，若 AG ＝8，則△ABC 的外接圓半徑是多 少？
(A)9 (B)12 (C)16 (D)18
《答案》B
76. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝4， BC ＝3，∠ABC＝90°，若 D、E 分別為 BC 、 AC 的中點，
則四邊形 CDFE 的面積為多少？
(A)2 (B)4.5 (C)6 (D)6.5
《答案》A
（ ）已知直角△ABC 的內切圓半徑為 3 公分，而且它的斜邊長為 15 公分，則此三角形的周長為 多少公分？
(A)18 (B)33 (C)36 (D)48
《答案》C
78. （ ）等腰△ABC 中，∠B＝90°，G 點為△ABC 的重心，若 BG ＝4，則△ABC 的面積是多少？
(A)36 (B)18 2 (C)16 (D)32 2
《答案》A
79. （ ）邊長為 20、21、29 的三角形，其外心到頂點的距離為何？
(A)10 (B)10.5 (C)14.5 (D) 3 70
《答案》C
80. （ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中，兩對角線相交於 O，E 為 AD 中點，CE 交 BD 於 F，則四邊 形 ABFE 面積：四邊形 ABCD 面積＝？
(A)1：3 (B)3：7 (C)4：9 (D)5：12
《答案》D
81. （ ）已知△ABC 的三邊長分別為 10 公分、11 公分、5 公分，若內心到 AB 的距離為 r 公分，
則△ABC 的面積為多少平方公分？(以 r 表示) (A)13rˉ(B)26rˉ(C)39rˉ(D)52r
《答案》A
82. （ ）直角△ABC 中，已知∠B＝90°，∠A＝30°，若 BC ＝5 公分，則△ABC 的外接圓面積為多 少平方公分？
(A)25π (B)36π (C)50π (D)75π
《答案》A
83. （ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中， AC 交 BD 於 G 點，E 為 BC 的中點， AE 交 BD 於 F 點，則 下列敘述何者正確？
(A)△ABG @ △ADG (B) AF ： EF ＝3：1 (C) GF ： BD ＝1：3 (D) GF ： DG ＝1：3
《答案》D
84. （ ）如圖，已知正△ABC 的周長是 90，M 為 AC 的中點，G 點為△ABC 的重心，則 BG ＝？
(A)20 (B)5 3 (C)15 3 (D)10 3
《答案》D
85. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則下列何者錯誤？
(A)∠AOC＝100° (B)∠AOB＝120°
(C)∠BOC＝140° (D)∠OCB＝30°
《答案》D
86. （ ）△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則此三角形的外心位置為下列何者？
(A)在△ABC 的內部 (B)在△ABC 的外部 (C) AB 的中點 (D) BC 的中點
《答案》C
87. （ ）如圖，在△ABC 中，∠B＝90°，D、E 分別為 AB 、 BC 的中點，且CD 和 AE 相交於 F 點，
若 AB ＝6 公分， BC ＝9 公分，則四邊形 DBEF 的面積是多少平方公分？
(A)27 (B)18 (C)9 (D)4
《答案》C
（ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中，M 為 BC 的中點，已知四邊形 BMNO 的面積為 8，則平行四邊 形 ABCD 的面積是多少？
(A)96 (B)64 (C)48 (D)32
《答案》C
89. （ ）如圖，I 點為直角△ABC 的內心，∠ACB＝90°，若 AB ＝10 公分， BC ＝6 公分，則△AIC 的面積為多少平方公分？
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
《答案》A
90. （ ）如圖，O 點為△PQR 的外心，若∠QOR＝120°，∠OPR＝20°，則∠1＋∠3－∠2＝？
(A)50° (B)55° (C)60° (D)65°
《答案》A
91. （ ）正三角形外接圓的面積是其內切圓面積的多少倍？
(A)2 (B) 3 (C)
2
3
(D)4《答案》D
（ ）如圖，已知 AB ＝10，BC ＝15， AC ＝8，△ABC 的面積為 a，若 I 點為△ABC 的內心，則 ID
＝？(以 a 表示)
(A) 66
1 aˉ(B) 66
2 aˉ(C) 33
1 aˉ(D) 33
2 a
《答案》D
93. （ ）一直角三角形中的內切圓半徑為 4，外接圓的半徑為 13，則此三角形的面積為多少？
(A)60 (B)80 (C)100 (D)120
《答案》D
94. （ ）如圖，圓 O 為△ABC 的內切圓，半徑為 3
6
2 ，若 AB ＝7， BC ＝6， AC ＝5，則△ABC 的面積＝？
(A)6 3 (B)7 3 (C)5 6 (D)6 6
《答案》D
95. （ ）如圖， AD 為△ABC 的對稱軸，D 點在 BC 上， ED 平分∠ADB， DF 平分∠ADC， EF 與 AD 相交於 P 點，則下列敘述何者錯誤？
(A) BE ＝ CF (B) DE ＝ DF (C) EF ＝
2
1 BC (D)P 點為△DEF 的外心
《答案》C
（ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠OAB＝40°，則∠ACB＝？
(A)35° (B)40° (C)45° (D)50°
《答案》D
97. （ ）△ABC 中，∠B＝90°，G 點為△ABC 的重心，若 AB ＝7， AC ＝25，則△AGC 的面積是 多少？
(A)75 (B)
3
175
(C)56 (D)28《答案》D
98. （ ）設 x 軸、y 軸與直線－2x＋y＝4 所組成三角形的外心為 P(a ， b)，則 b－a＝？
(A)－2 (B)2 (C)－3 (D)3
《答案》D
99. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝8， AC ＝6， BC ＝10，且 O 點為△ABC 內切圓的圓心，D、E 為切點，則鋪色部分的面積是多少？
(A)1－π (B)4－π (C)4－
4
1 π (D)4
《答案》B
100. （ ）坐標平面上，有 A(0 ， 4)、B(－3 ， 0)、C(3 ， 0)三點，若 P 點為△ABC 的外心，則 P 點的 坐標為何？
(A)(0 ， 8
7 ) (B)(0 ， 8
5 ) (C)(0 ， 8
3 ) (D)(0 ， 8 1 )
《答案》A
101. （ ）如圖，正△ABC 的邊長為 3 公分，已知 G 點為△ABC 的重心，則 AG 為多少公分？
(A)2 (B)1 (C) 2
3
3 (D) 3
《答案》D
（ ）如圖，O、P、Q 分別為△ABC 三邊的中點，若
CQ
＝21，則 GH ＝？(A)7 (B)
2 7
(C)4
21
(D)3 7
《答案》B
103. （ ）如圖，O 為△ABC 的內部一點，沿著 OA、OB 、OC ，將△ABC 切割成甲、乙、丙三塊。
之後將三塊三角形的 AB 、 BC 、 AC 邊切齊於直線 L 上，發現其頂點 O 成一直線且與 L 平行，則 O 點為△ABC 的何種心？
(A)外心 (B)內心 (C)重心 (D)O 點不存在
《答案》B
104. （ ）如圖，O 點為等腰△ABC 的外心，若 AB ＝ AC ＝10， BC ＝12，則下列敘述哪些是正確 的？
甲：∠1＝∠2 乙：∠3＝∠4 丙： AO ＝ 25
4 丁：O 點為△ABC 的重心
(A)甲、乙 (B)乙、丙 (C)丙、丁 (D)甲、丙
《答案》D
105. （ ）直角坐標平面上，有 A(2 , 15)、B(－18 , 0)、C(10 , 0)三點，若 I 點為△ABC 的內心，則
△BIC 的面積為多少？
(A)68 (B)72 (C)76 (D)84
《答案》D
106. （ ）如圖，圓 I 為直角△ABC 的內切圓，若 AC ＝12， BC ＝16，則△AIB 面積與△AIC 的面 積相差多少？
(A)10 (B)12 (C)14 (D)16
《答案》D
107. （ ）如圖，直角△ABC 中，∠B＝90°， AB ＝15， BC ＝8，I 點為△ABC 內切圓的圓心，則鋪 色部分的面積為多少？
(A) 8
23 π (B) 8
25 π (C) 8
27 π (D) 8 29 π
《答案》C
108. （ ）坐標平面上，有 A(1 ， 1)、B(5 ， 1)、C(1 ， 4)三點，則△ABC 的內心坐標為何？
(A)(1 ， 1) (B)(2 ， 2) (C)(3 ， 3) (D)(4 ， 4)
《答案》B
109. （ ）如圖，等腰△ABC 中，∠A＝120°， AB ＝4，則△ABC 的外心與 A 點的距離為多少？
(A)2ˉ(B)2 3 ˉ(C)4ˉ(D)4 3
《答案》C
110. （ ）坐標平面上，直線 3x－4y＋12＝0 與 x 軸交於 A 點，與 y 軸交於 B 點，設 O 為原點，則
△AOB 的內切圓半徑為多少？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
《答案》A
111. （ ）如圖，△ABC 中，M、N 分別為 AB 與 AC 的中點，若△AMN 的面積為 6，則△BGC 的面 積是多少？
(A)6 (B)8 (C)9 (D)12
《答案》B
112. （ ）設直角三角形的斜邊長為 c，兩股長分別為 a、b，內切圓半徑為 r，外接圓半徑為 R，則 R＋r＝？
(A)c (B) 2
c b a + +
(C)2(a＋b－c) (D) 2
b a +
《答案》D
113. （ ）如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ＝15， BC ＝18，若 I 為△ABC 的內心，則△BIC 的面積為 多少？
(A)
2
85
(B)2
83
(C)2
81
(D)2 77
《答案》C
114. （ ）坐標平面上，A、B、O 三點的坐標分別為(－8 ， 0)、(0 ， 6)、(0 ， 0)，則△AOB 的內心坐 標為下列何者？
(A)(2 ， －2) (B)(－2 ， 2) (C)(－1 ， 1) (D)(1 ， －1)
《答案》B
115. （ ）已知 O 點為△ABC 的內心，若∠A＝90°， AB ＝9， AC ＝12，則△AOB 面積：△BOC 面 積：△AOC 面積＝？
(A)1：2：3 (B)3：4：5 (C)3：5：4 (D)4：5：6
《答案》C
116. （ ）如圖，已知 G 為直角△ABC 的重心，O 為斜邊中點，若 AB ＝36， BC ＝48，則 OG 為多 少？
05040321
(A)16 (B)12 (C)10 (D)8
《答案》C
117. （ ）已知直角△ABC 的外接圓半徑為 5，內切圓半徑為 2，則△ABC 的周長＝？
(A)24 (B)26 (C)28 (D)30
《答案》A
118. （ ）如圖，直角△ABC 中，O 點為外心，G 點為重心，若 AC ＝24， BC ＝18，則 OG ＝？
(A)5 (B)6 (C)8 (D)12
《答案》A
119. （ ）如圖，△ABC 中，O 點為△ABC 的外心，若∠ACB＝30°，∠ABC＝26°，則∠CAO＝？
(A)75° (B)64° (C)62° (D)56°
《答案》B
120. （ ）在△ABC 中，∠A＝∠B＝45°， AB ＝12，則△ABC 的重心到 AB 的距離是多少？
(A)8ˉ(B)6ˉ(C)4ˉ(D)2
《答案》D
121. （ ）如圖，已知△ABC 的內切圓切三邊於 P、Q、R 三點，則下列敘述何者正確？
(A)O 點為三邊的垂直平分線交點 (B) OA ＝ OB ＝ OC
(C) AP ＝ BP ， AR ＝ CR ，
BQ
＝CQ
(D)∠B 與∠POQ 互補《答案》D
122. （ ）如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ，O 點為外心，若∠BOC＝100°，則下列各角度何者錯 誤？
(A)∠OBC＝40°ˉ(B)∠AOC＝130°
(C)∠OAB＝30°ˉ(D)∠ACB＝65°
《答案》C
123. （ ）如圖，I 點為△ABC 的內心，若 AB ＝8 公分， AC ＝6 公分，且△ABI 的面積為 6 平方公 分，則△ACI 的面積為多少平方公分？
(A) 2 9 (B)
3
11 (C)6 (D)8
《答案》A
124. （ ）下列有關三角形外心、內心、重心的敘述，何者錯誤？
(A)三角形的外心到該三角形的三頂點等距離 (B)三角形的內心到該三角形的三邊等距離
(C)三角形的重心到頂點的距離是重心到該頂點對邊距離是 2 1 倍 (D)等腰三角形的外心、內心、重心均在頂角的角平分線上
《答案》C
125. （ ）如圖，D、C 分別為 AB 與 BF 的中點， AC 與 DF 相交於 E 點，若 AC ＝9， DF ＝12，則 EC ＝？
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
《答案》A
126. （ ）在△ABC 中，∠A＝54°，∠B＝72°，若 O 點為△ABC 的外心，設△AOB、△BOC、△AOC 的周長依序為 a、b、c，則下列何者正確？
(A)a≠b (B)b≠c (C)a＝c (D)b＝c
《答案》B
127. （ ）如圖，∠ACB＝90°，M、N 分別為 BC 與 AC 的中點， AM 與 BN 相交於 O 點，若 AC ＝ 12， BC ＝9，則 ON ＝？
(A)5 (B) 13 (C)3 13 (D)10
《答案》B
128. （ ）已知 O 點為△ABC 的外心，若∠AOC＝140°，則∠B＝？
(A)70° (B)110° (C)70°或 110° (D)40°或 110°
《答案》C
129. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠B＝30°，∠C＝28°， AC ＝6，則△ABC 的外接圓半徑 是多少？
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
《答案》A
130. （ ）如圖，圓 O 是正△ABC 的外接圓，已知正△ABC 的邊長為 8 3 ，則鋪色部分的面積為多 少？
(A)64π－48 3 (B)64π＋48 3 (C)64π－16 3 (D)64π＋16 3
《答案》A
131. （ ）如圖，平行四邊形 ABCD 中，M 為 BC 的中點，若平行四邊形 ABCD 的面積是 36，則△
CMN 的面積是多少？
(A)8 (B)6 (C)4 (D)3
《答案》D
132. （ ）如圖，△ABC 中，已知 AD 、 BE 、CF 三中線相交於 G，且 EF 與 AD 相交於 H，若 AD ＝ 30，則 GH ＝？
(A)5ˉ(B)6ˉ(C)10ˉ(D)15
《答案》A
133. （ ）智智在正三角形 ABC 的內部中，找到一點 P 到三邊等距離，若 BC ＝12 3 ，則 AP ＝？
(A)12 (B)12 3 (C)16 (D)16 3
《答案》A
134. （ ）如圖，有一個三角形的運動公園，涼亭 I 正好位於三角形的內心，若軒軒自 P 點沿著箭 頭方向跑步經過涼亭再跑回 P 點，已知∠A＝60°，則軒軒總共轉了幾度？
(A)480° (B)400° (C)360° (D)320°
《答案》A
135. （ ）如圖，△ABC 中，內切圓切三邊於 P、Q、R，若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝8，則 AR ＝？
(A)1 (B)
2
3
(C)2 (D)2 5
《答案》A
136. （ ）如圖，等腰三角形 ABC 中，底邊 BC ＝30，面積為 120，則△ABC 內切圓的半徑為多少？
(A) 3 2 (B)
2 15 (C)
4
15 (D) 8 15
《答案》C
137. （ ）直角坐標平面上，有 A(0 , 8)、B(－6 , 0)、C(6 , 0)三點，則△ABC 的內心坐標為何？
(A)(0 , 2) (B)(0 , 3
8 ) (C)(0 , 3) (D)(0 , 4 7 )
《答案》C
138. （ ）△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC 於 D，若 AB ＝8 公分， BC ＝10 公分，又 r1、r2、r3 分別為△ABC、△ABD、△ACD 的內切圓半徑，則 r1＋r2＋r3 為多少公分？
(A)5 (B)10 (C) 5
24 (D) 5 48
《答案》C
139. （ ）△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，且△ABC 的面積為 18 3 平方公分，則△ABC 重心 到斜邊的距離為多少公分？
(A)2 (B)3 (C) 3 (D) 2
3 3
《答案》C
（ ）直角△ABC 中，∠C＝90°，G 點為重心，若 AC ＝6 公分， BC ＝8 公分，則下列敘述何者 正確？
(A)此三角形三邊中點所形成的小三角形的面積為 10 平方公分 (B) AG ＝
3 13 4 公分
(C)此三角形的內切圓面積為 10π平方公分 (D)此三角形的內切圓面積為 6π平方公分
《答案》B
（ ）如圖，△ABC 中，∠A＝90°， AB ＝9， AC ＝12。若 D 為 BC 上的一點，E、F 分別為△ABD 與△ACD 的重心，則 EF ＝？
(A)5 (B) 15
2 (C) 15
4 (D) 16 3
《答案》A
（ ）如圖，已知 I 點為△ABC 的內心，今勇勇從 P 點出發，沿著 PI 、 IC 、 CA 、 AB 、 BP ，再 走回 P 點，若∠BAC＝70°，則勇勇共轉了多少度？
(A)360° (B)395° (C)415° (D)470°
《答案》D
143. （ ）如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，G 點為△ABC 的重心，若 BG ＝
3
10
公分，CD ＝4 公分，則四邊形 CDGE 的面積為多少平方公分？
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
《答案》A
（ ）如圖，在△ABC 中，已知∠C＝90°，G 點為△ABC 的重心，GH ⊥ AB ，若 AC ＝40， BC ＝ 30，則 GH ＝？
(A)20ˉ(B)16ˉ(C)12ˉ(D)8
《答案》D
（ ）如圖，P 為圓 O 外一點， PA 、 PB 切圓 O 於 A、B 兩點，OP 交圓 O 於 C 點，若∠P＝40°，
則∠ACB＝？
(A)90° (B)100° (C)110° (D)120°
《答案》C
146. （ ）如圖，P 為圓 O 外一點， PA 、 PB 切圓 O 於 A、B 兩點， OP 交圓 O 於 C 點，判斷下列 何者正確？
(A)C 點為△PAB 的外心 (B)C 點為△PAB 的內心 (C)C 點為△PAB 的重心
(D)因不知△PAB 為何種三角形，故無法判定 C 點為何種心
《答案》B
147. （ ）如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠ABC＝25°，∠ACB＝31°，則∠BAO＝？
(A)56° (B)59° (C)60° (D)65°
《答案》B
148. （ ）已知直角△ABC 的內切圓半徑為 3，斜邊長是 15，則此三角形的周長為多少？
(A)18 (B)33 (C)36 (D)48
《答案》C
149. （ ）直角坐標平面上，有 A(1 , 2)、B(4 , 3)、C(－1 , 8)三點，則△ABC 的外心坐標為何？
(A)(
2 5 ,
2
5 ) (B)(0 , 5) (C)(
2 3 ,
2
11 ) (D)(
2 5 ,
2 11 )
《答案》C
150. （ ）如圖， AC 是 BD 的中垂線，E 為 AB 中點，若 BD ＝6， AB ＝5，則四邊形 BCFE 的面積 是多少？
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
《答案》A
（ ）如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，O 點為△ABC 的外心，∠C＝60°， BC ＝2。若△AOB 面積
＝a，△OBC 面積＝b，則下列敘述何者正確？
(A)a＞b (B)a＜bˉ(C)a－b＝0ˉ(D)a＋b＝4
《答案》C
152. （ ）如圖，G 點為△ABC 的重心， GM // AC ，若△ABC 的面積為 54，則△BGM 的面積是多 少？
(A)9 (B)12 (C)18 (D)24
《答案》B
153. （ ）如圖，O 點為△ABC 內部一點， OD 、 OE 、 OF 分別垂直 BC 、 AC 、 AB 於 D、E、F。
若 OD ＝ OE ＝ OF ＝3，且 AF ＋ BD ＋ CE ＝20 公分，則△ABC 的面積為多少平方公分？
(A)60 (B)70 (C)80 (D)90
《答案》A
154. （ ）如圖，△ABC 是圓 O 的內接等腰三角形，其中 AB ＝ AC ，今延長 CO 交 AB 於 D。若∠
BDC＝60°，則∠B＝？
(A)55° (B)60° (C)65° (D)70°
《答案》D
155. （ ）如圖，直角△ABC 中，∠C＝90°， AC ＝6， BC ＝3，內切圓的圓心為 I 點，切 AB 於 D 點，則 AD × BD ＝？
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
《答案》D
156. （ ）如圖，鈍角△ABC 中， AB ＝ AC ，若 AB ＝17， BC ＝30，則此三角形的外心 O 點到頂 點 A 的距離為何？
(A) 5
281 (B) 5
289 (C) 16
281 (D) 16 289
《答案》D
157. （ ）如圖，△ABC 中，∠B＝90°， AB ＝4， BC ＝3，且 O 點為△ABC 的內切圓圓心，則 OB
＝？
(A)1 (B) 2 (C)
6
10
(D)6 20
《答案》B
（ ）在△ABC 中，I 點為△ABC 的內心，其中
AB
＞ BC ＞ CA ，則IA
、IB
、 IC 的大小關係應為 下列何者？(A)
IA
＞IB
＞ IC (B)IA
＞ IC ＞IB
(C)IB
＞IA
＞ IC (D) IC ＞IB
＞IA
《答案》C
（ ）如圖，△ABC 是圓 O 的內接等腰三角形， AB ＝ AC ，延長 CO 交 AB 於 D。若∠BDC＝75°，
則∠B 為多少度？
(A)60° (B)65° (C)70° (D)75°
《答案》B
160. （ ）如圖，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 為 AB 上一點，G1、G2 分別為△BCD 與△ADC 的重心，
若 AC ＝9， BC ＝12，則
G
1G
2 ＝？(A)12ˉ(B)9ˉ(C)5ˉ(D)3
《答案》C
161. （ ）如圖，△ABC 中，∠A＝90°，圓 O 為△ABC 的內切圓，D 為切點。若 AB ＝8， AC ＝15，
則 CD ＝？
(A)3 2 (B)3 6 (C)3 26 (D)4 13
《答案》C 二、填充
1. 如圖，G 點為△ABC 的重心，若 AD ＝5 公分， BE ＝6 公分，CF ＝4 公分，則 AG ＋ BG ＋CG
＝ˉˉˉˉ公分。
《答案》10
2. 如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠ACB＝65°，則∠AOB＝ˉˉˉˉ度。
《答案》130
3. 如圖，△ABC 中，三中線 AD 、 BE 、CF 的和是 27 公分，則 DG ＋ EG ＋ FG ＝ˉˉˉˉ公分。
《答案》9
4. △ABC 中，∠C＝90°，O 點為△ABC 的外心，若 O 點到 A、B、C 三點的距離和為 18 公分，則
△ABC 的外接圓面積為ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》36π
5. 已知△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，O 點為△ABC 的內心，則∠AOC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》135
6. △ABC 中，∠C＝90°，O 為
AB
的中點，若 OC ＝2，則AB
＝ 公分。《答案》4
7. 如圖，I 點為△ABC 的內心，若∠A＝100°，則∠BIC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》140
8. 如圖，△ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 相交於 G 點，若△AFG 的面積是 7，則：
(1)△ABG 的面積＝ˉˉˉˉ。
(2)△AGE 的面積＝ˉˉˉˉ。
(3)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)14 (2)7 (3)42
9. 如圖，△ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 相交於 G 點，已知 AD ＝ CG ＝36， BE ＝45，試求：
(1) AG ＝ˉˉˉˉ。
(2) EG ＝ˉˉˉˉ。
(3) CF ＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)24 (2)15 (3)54
10. 如圖，在△ABC 中，兩中線 AD 與 BE 相交於 F，已知四邊形 DCEF 的面積是 60 平方公分，則
△ABF 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》60
11. 已知△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，O 點為△ABC 的外心，則∠AOC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》180
12. 如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝9，AC ＝12，I 點為△ABC 的內心，且 ID ⊥ BC，IE ⊥ AC ， IF ⊥ AB ，則 ID ＋ IE ＋ IF ＝ˉˉˉˉ。
《答案》9
13. 如圖，I 點為△ABC 的內心，若 AB ＝9， BC ＝12， CA ＝14，則△AIB、△BIC、△AIC 的面積 比＝ˉˉˉˉ。
《答案》9：12：14
14. 如圖，I 點為△ABC 的內心，若∠ABC＝52°，∠ACB＝26°，則∠BIC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》141
15. 如圖，△ABC 為直角三角形，G 點為重心，若 AC ＝12 公分， BC ＝9 公分，則△ABG 的面積＝
ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》18
16. 已知△ABC 中，∠A＝90°， BC ＝18，若 O 點為此三角形的外心，則 OA ＋ OB ＋ OC ＝ˉˉˉ ˉ。
《答案》27
17. 如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，若 AB ＝5， BC ＝12，則△ABC 的內切圓圓 O 的半徑為ˉˉˉ ˉ。
《答案》2
18. 已知直角坐標平面上 A、B、C 三點的坐標依序為(2 , 7)、(－4 , －1)、(8 , －1)，且 G 點為△ABC 的重心，試求：
(1) AG ＝ˉˉˉˉ。 (2)G 點的坐標為ˉˉˉˉ。
《答案》(1)
3
16
(2)(2 ,3 5
)19. 如圖，M、N 分別為 BC 、 AC 的中點， AM ⊥ BN ，已知∠BAP＝30°，且 AB ＝8，試求：
(1)△ABP 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
(2)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)8 3 (2)24 3
20. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，G 為△ABC 的重心，若 BC ＝6 公分，∠ECB＝45°，則△ABC 的 面積是ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》27
21. 已知 I 點為△ABC 的內心，若∠AIB＝115°，則∠C＝ˉˉˉˉ度。
《答案》50
22. 如圖，△ABC 中，I 點為內心，IH ⊥ BC ，且 H 點為垂足，若 AB ＝14，BC ＝15， AC ＝13，IH
＝4，則：
(1)△ABI 面積＝ˉˉˉˉ。ˉ(2)△ABC 面積＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)28ˉ(2)84
23. 在直角坐標平面上，直線 5x－12y＝－60 交 x 軸於 A 點，交 y 軸於 B 點，若 O 為原點，I 為△
ABO 的內心，則△AIB 的面積為ˉˉˉˉ。
《答案》13
24. 如圖，O 點、G 點分別為直角△ABC 的外心與重心，∠ABC＝90°，∠C＝60°，若 BC ＝6 公分，
則：
(1) OG ＝ˉˉˉˉ公分。
(2)△AGO 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)2 (2)3 3
25. 如圖，△PQR 中，∠PQR＝90°，∠QPR＝45°，G 點為△PQR 的重心，若 OG ＝a，則△PQR 的 周長＝ˉˉˉˉ。(以 a 表示)
《答案》6a＋6 2 a
26. 如圖，△ABC 的三中線 AD 、 BE 、CF 相交於 G 點，若 AD ＝18， BE ＝27，CF ＝24，則 AG ＋ BG ＋ CG ＝ 。
《答案》46
27. 如圖，平行四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 相交於 O 點，E 為 BC 中點， AE 交 OB 於 G 點，若 BD
＝6 公分，則：
(1) OB ＝ˉˉˉˉ公分。ˉ(2) OG ＝ˉˉˉˉ公分。
《答案》(1)3ˉ(2)1
28. 已知△ABC 中， AB ＝ AC ＝13， BC ＝24，∠BAC＞90°，若 O 點為△ABC 的外心，則 OA ＝ˉ ˉˉˉ。
《答案》
10 169
29. 已知直角坐標平面上有 A(－2 , 4)、B(－5 , 0)、C(1 , 0)三點，則△ABC 的重心坐標為ˉˉˉˉ。
《答案》(－2 , 3 4 )
30. 如圖，△ABC 中，已知∠A＝90°， AB ＝36， AC ＝48，O 為斜邊 BC 的中點，G 為重心，試求：
(1) OA ＝ˉˉˉˉ。
(2) OG ＝ˉˉˉˉ。
(3) GA ＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)30 (2)10 (3)20
31. 如圖，△ABC 的兩中線 AD 、 BE 相交於 G 點，若△ABC 的面積為 30，則四邊形 GDCE 的面積
為 。
《答案》10
32. 如圖，O 點是△ABC 的外心，且 OD 、 OE 、 OF 分別垂直平分 AB 、 BC 、 AC 。試回答下列問 題：
(1)若 BE ＝12 公分， OA ＝13 公分，則△BOE 的周長＝ˉˉˉˉ公分。
(2)若∠OAC＝50°，則∠AOC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》(1)30 (2)80
33. 如圖，在△ABC 中，已知∠ABC＝90°，G 點為△ABC 的重心，E、F 分別為 AB 與 AC 的中點，
若 AB ＝6 公分， BC ＝8 公分，試求：
(1) FG ＝ˉˉˉˉ公分。
(2) CG ＝ˉˉˉˉ公分。
(3)△BGC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)
3 5
(2)3 73
2 (3)8
34. 如圖，△ABC 中，O 點為△ABC 的外心，若∠BAC＝80°，∠ABC＝70°，則：
(1)∠AOB＝ 度。
(2)∠BOC＝ 度。
(3)∠AOC＝ 度。
《答案》(1)60 (2)160 (3)140
35. 如圖，O 點為等腰△ABC 的外心， AB ＝ AC ， AD 垂直平分 BC ，若 AB ＝5， BD ＝4，則：
(1) AD ＝ˉˉˉˉ。ˉ(2) AO ＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)3ˉ(2)
6 25
36. 如圖，△ABC 中，O 點為外心，I 點為內心，若∠BOC＝154°，則∠BIC＝ˉˉˉˉ度。
《答案》128.5
37. 如圖，△ABC 為等腰直角三角形，E、F 分別為 AC 與 AB 的中點，且 BE 與 CF 相交於 G 點，若
△EFG 的面積是 3 平方公分，則：
(1)△BCG 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
(2)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)12 (2)36
38. 如圖，圓 I 為直角△ABC 的內切圓，D、E、F 分別為切點，且∠B＝90°，若 AB ＝6， BC ＝8，
則：
(1) BD ＝ 。 (2) AF ＝ 。 (3) CE ＝ 。
《答案》(1)2 (2)4 (3)6
39. 有一個三角形的邊長分別為 12、16、20，則此三角形外接圓與內切圓面積的比值為ˉˉˉˉ。
《答案》
4 25
40. 如圖，△ABC 中，已知 AB ＝ AC ，B 點坐標是(－1 , 0)、C 點坐標是(3 , 0)，若△ABC 的面積為 12，試求：
(1)A 點的坐標是ˉˉˉˉ。
(2)△ABC 重心的坐標是ˉˉˉˉ。
《答案》(1)(1 , 6) (2)(1 , 2)
41. 已知 G 點為正△ABC 的重心，O 為外心，若 OA ＝8 3 公分，則：
(1) BG ＝ˉˉˉˉ公分。
(2)△ABC 的周長＝ˉˉˉˉ公分。
(3)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)8 3 (2)72 (3)144 3
42. 如圖，∠B＝90°，D、E 分別為 AB 、 BC 的中點， AE 與 CD 交於 F 點，若 AB ＝10 公分， BC ＝ 12 公分，則：
(1) DF ＝ˉˉˉˉ公分。
(2)四邊形 BEFD 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1) 3
13 (2)20
如圖，△ABC 中，∠A＝90°， AB ＝ AC ＝4 公分，I 點為其內心，則：
(1)∠BIC＝ˉˉˉˉ度。
(2)△ABC 外接圓與內切圓半徑之差＝ˉˉˉˉ公分。
《答案》(1)135 (2)4 2 －4 44.
如圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 的中點，BE 與 CD 相交於 F，且 BE ⊥ CD，若 BF ＝ CF
＝6 公分，則△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》54
45. 已知 O 點為鈍角△ABC 的外心，若∠BOC＝120°， AB ＝ AC ＝6 公分，則：
(1)∠BAC 為ˉˉˉˉ度。
(2)△ABC 的外接圓面積為ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)120 (2)36π
46. 如圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC，CE 平分∠ACB， AD 、 CE 交於 O 點，若 AB ＝ AC ＝13 公 分， BC ＝10 公分，則：
(1) OD ＝ˉˉˉˉ公分。
(2)△AOC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1) 3 10 (2)
3 65
47. 如圖，O 點為△ABC 的外心，若 AB ＝ AC ＝13， BD ＝ CD ＝5，則：
(1) OD ＝ˉˉˉˉ。 (2) OB ＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1) 24 119 (2)
24 169
48. 如圖，G 點為△ABC 的重心，已知 AD ＝18 公分，BE ＝30 公分，CF ＝24 公分，若 GD ＝ DK ， 試求：
(1) BK ＝ˉˉˉˉ公分。
(2)△BKG 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
(3)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1)16 (2)96 (3)288
49. 如圖，O 點為△ABC 的外心，若 AB ＝ AC ＝25， BC ＝48，則 OA ＝ˉˉˉˉ。
《答案》
14 625
50. 已知直角△ABC 的內切圓半徑為 5，若其斜邊長為 25，則：
(1)△ABC 的面積＝ˉˉˉˉ。
(2)△ABC 的兩股之差＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)150 (2)5
51. 已知等腰直角三角形的內切圓面積為 4π平方公分，則其外接圓面積為ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(12＋8 2 )π
52. 如圖，△ABC 為正三角形， AB ＝12，△ADC 為等腰直角三角形，∠ADC＝90°，I 點為△ABC 的內心，G 點為△ADC 的重心，則 IG ＝ˉˉˉˉ。
《答案》2 3＋2
53. 如圖，O 點為△ABC 的內心，P、Q、R 分別為切點，若 AB ＝4， AC ＝5， BC ＝6，圓 O 的半 徑為 2
7 ，則 BO ＝ˉˉˉˉ。
《答案》2 2
54. 如圖，G 點為△ABC 的重心，N 點為 BG 的中點，若 BG ＝8， GF ＝3， AD ＝8，則：
(1)△ABC 的三中線之和＝ˉˉˉˉ。
(2)△DEN 面積與△ABC 面積的比值＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)29 (2) 6 1
55. 已知一直角三角形的兩股長分別為 3 和 6，則此三角形的重心到其三頂點的距離之和為ˉˉˉ ˉ。
《答案》2 2 ＋ 5＋ 17
56. 如圖，△ABC 的內切圓與 BC 、 CA 、 AB 相切於 P、Q、R，若∠BAC＝64°，∠PRQ＝56°，則
∠B＝ˉˉˉˉ度。
《答案》48
57. 如圖，△ABC 中，∠CAB＝90°， AB ＝5 公分， AC ＝12 公分， AD ⊥ CB，D 在 CB 上，設△ACD 的內切圓半徑為 r 公分，則 r 值＝ˉˉˉˉ。
《答案》
13 24
58. 如圖，△ABC 中，∠BAC＝90°， AH ⊥ BC ，H 在 BC 上，若 AB ＝8 公分， AC ＝6 公分，且△
ABH、△ACH 的內切圓面積分別是 a1、a2，則 a1：a2 的比值為ˉˉˉˉ。
《答案》
9 16
59. 如圖，△ABC 中，D、E、F 為各邊中點，∠BAC＝30°， AB ＝8， AC ＝6，則鋪色部分面積＝
ˉˉˉˉ。
《答案》4
60. 如圖，D、E、F 為△ABC 三邊的中點，G 為△ABC 的重心，試問：
(1)若 AG ＋ BG ＋ CG ＝18 公分，則 DP ＋
EQ
＋ FR ＝ˉˉˉˉ公分。(2)若△CGD 面積＝3 平方公分，則△EGD 面積＝ˉˉˉˉ平方公分。
《答案》(1) 2 27 (2)
2 3
61. 如圖，G 點、I 點分別是△ABC 的重心和內心，若 AB ＝ AC ＝13， BD ＝ CD ＝5，則 IG ＝ˉˉ ˉˉ。
《答案》
3 2
62. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AD ＝ BC ，O 點為△ABC 的外心，則 AO ：OD 的比值為ˉˉˉ ˉ。
《答案》
3 5
63. 如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ，兩中線 CD 、 BE 互相垂直，且交於 F，若 EF ＝a，則 AF ＝ ˉˉˉˉ。(以 a 表示)
《答案》2 2 a
64. 如圖，等腰直角三角形 ABC 中， AD 與 BE 均為△ABC 的中線，且OG ⊥ AB ，若 OG ＝7，則 AB
＝ˉˉˉˉ。
《答案》42
65. △ABC 中， AB ＝13， BC ＝14， AC ＝15，若 G 點為△ABC 的重心，則 G 點到 BC 的距離為ˉ ˉˉˉ。
《答案》4
66. 如圖，△ABC 中，∠CAB＝90°，M 為 CB 的中點， AD ⊥ CB ，若 AB ＝6， AC ＝8，則：
(1)△ADM 的周長＝ˉˉˉˉ。
(2)△ADM 的外接圓面積為ˉˉˉˉ。
《答案》(1) 5 56 (2)
4 25 π
67. 如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，G 點、O 點分別為△ABC 的重心和外心，若OG ＝2.5 公分，△
ABG 的面積為 18 平方公分，則：
(1)△ABC 的外接圓直徑＝ˉˉˉˉ公分。
(2)△ABC 的內切圓半徑＝ˉˉˉˉ公分。
《答案》(1)15 (2)3
68. 如圖，△ABC 中，∠C＝90°，I 點是△ABC 的內切圓圓心，若內切圓半徑為 5， IA ＝5 5 ， AB 切圓 I 於 E，則 BE ＝ˉˉˉˉ。
《答案》15
69. 如圖，圓 I 是△ABC 的內切圓，∠BAC、∠ACB 的外角角平分線交於 D 點，若∠ADI＝48°，∠
CDI＝12°，則：
(1)∠IAD＝ˉˉˉˉ度。
(2)∠AIC＝ˉˉˉˉ度。
(3)∠B＝ˉˉˉˉ度。
《答案》(1)90 (2)120 (3)60 三、證明
1. 已知：如圖， BI 、 CI 分別為∠ABC 與∠ACB 的外角角平分線。
求證：∠BIC＝90°－
2 1 ∠A。
《答案》如圖，∠1＋∠2＝
2
1 (∠DBC＋∠ECB)
＝ 2
1 (∠3＋∠A＋∠4＋∠A)
＝ 2
1 (180°＋∠A)＝90°＋
2 1 ∠A
∠BIC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(90°＋
2 1 ∠A)
＝90°－
2 1 ∠A
2. 已知：如圖，△ABC 中，∠B＝90°，G 點為△ABC 的重心。
求證： AC 2 ＝ 5
4 AM 2 ＋ 5
4 NC 2 。
《答案》△ABM 中，AB 2 ＋BM 2 ＝AM 2 ÞAB 2 ＋
4
1 BC 2 ＝AM 2 ……①
△BCN 中，NB 2 ＋BC 2 ＝NC 2 Þ 4
1 AB 2 ＋BC 2 ＝NC 2 ……②
①＋②得 4
5 AB 2 ＋ 4
5 BC 2 ＝AM 2 ＋NC 2
Þ 4
5 (AB 2 ＋BC 2 )＝AM 2 ＋NC 2
Þ 4
5 AC 2 ＝AM 2 ＋NC 2
ÞAC 2 ＝ 5
4 AM 2 ＋ 5 4 NC 2 四、作圖
1. 如圖，試利用尺規作圖，找出△ABC 的重心。
《答案》 05040353
五、計算
1. 如圖， AD、BE、CF 為△ABC 的三中線，若 DG ＝12，EG ＝18，FG ＝15，則 AD ＋ BE ＋CF
＝？
《答案》135
2. 如圖，△ABC 中，∠C＝90°， BC ＝10， AC ＝24，I 點為△ABC 的內心， ID ⊥ BC ， IE ⊥ AC ， IF ⊥ AB ，則 ID ＋ IE ＋ IF ＝？
《答案》12
3. △ABC 中，∠C＝90°， BC ＝10， AC ＝24， AB ＝26，已知 O 點是△ABC 的外心，則 OA ＋ OB
＋ OC ＝？
《答案》39
4. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， AD 為△ABC 的中線，G 點為重心，若 AB ＝10， BC ＝12，則：
(1) AD ＝？ (2) GD ＝？
《答案》(1)8 (2)
3 8
5. 如圖，I 點為△ABC 的內心， ID ⊥ AB ， IE ⊥ BC ， IF ⊥ AC ，若 ID ＋ IE ＋ IF ＝21，則 ID 為 多少？
《答案》7
6. 如圖，G 點為△ABC 的重心，過 G 點作 L// BC ，交 AB 、 AC 於 D、E 兩點，則 DE ： BC ＝？
《答案》2：3
如圖，圓 O 為直角△ABC 的內切圓，D、E、F 分別為切點，且∠ACB＝90°，若 AO ＝13，OD ＝5，
則 BD ＝？
《答案》
7 85
8. 如圖，I 點為△ABC 的內心， IH ⊥ BC ，若 AB ＝111， BC ＝39， AC ＝120， IH ＝16，則：
(1)△AIB 的面積＝？
(2)△ABC 的面積＝？
《答案》(1)888ˉ(2)2160
9. 如圖，菱形 ABCD 中，兩對角線 AC 、 BD 相交於 O，E 為 BC 的中點，若 AC ＝24， BD ＝18，
則：
(1) BF ＝？
(2)四邊形 COFE 面積＝？
《答案》(1)6 (2)36
10. 如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°， AB ＝10 公分， BC ＝24 公分，且 I 點為△ABC 的內心，則△
AIC 的面積為多少平方公分？
《答案》52 平方公分
11. 如圖，O 點為△ABC 的外心，若∠A＝130°，則∠BCO 為多少度？
《答案》40°
12. 如圖，直角△ABC 中，G 點為重心，若 AB ＝16 公分， BC ＝12 公分，則△AGD 的周長、面積 各是多少？
《答案》周長為 3
73 4 40 +
公分，面積為 16 平方公分
13. 如圖，等腰△ABC 中，若 AB ＝ AC ＝10， BC ＝12，O 點為△ABC 的外心，則 OA ＝？
《答案》
4 25
14. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ＝13， BC ＝10，若 G 點為重心，則 AG ＝？
《答案》8
15. 如圖，長方形 ABCD 中，E、F、G、H 分別為 BC 、 CD 、 AD 、 AB 的中點，且 AE 與 CH 相交 於 I 點， AF 與 CG 相交於 J 點，若長方形 ABCD 的面積為 96 平方公分，則四邊形 AICJ 的面積 是多少平方公分？
《答案》32 平方公分
16. 如圖，△ABC 中，D 在 BC 上， DE 垂直平分 AB 於 E， DF 垂直平分 AC 於 F， BF 交 DE 於 G，
CE 分別交 BF 、 DF 於 H、I，請問哪一個點是△ABC 的重心？
《答案》H 點
17. 如圖，G 點為△PQR 的重心，且
PQ
＝ PR ＝17，QR
＝16。今以 G 點為圓心，將△PQR 旋轉一 周，則△PQR 掃過的區域面積為多少？《答案》100π
18. 如圖，△ABC 中，∠A＝90°， AB ＝ AC ，OA ＝2 公分，三中線 AD 、CE 、 BF 交於 O 點，則：
(1)△ABC 的外接圓直徑是多少公分？
(2)△EOF 的面積為多少平方公分？
(3)△ABC 的內切圓半徑是多少公分？
《答案》(1)6 公分 (2) 4
3 平方公分 (3)(3 2 －3)公分
19. 如圖，G 點為△ABC 的重心，直線 AG 交 BC 於 D 點，若 AB ＝ AC ＝10 公分， BD ＝ CD ＝6 公 分，則：
(1) AG 的長是多少公分？
(2)△BGC 的面積為多少平方公分？
《答案》(1) 3
16 公分 (2)16 平方公分
20. 如圖，P 是以 AB 為直徑的半圓上一點，I 點是△PAB 的內心，則：
(1)若 AI 的延長線交半圓於 Q，則∠BIQ 的度數為何？
(2)若 AI ＝ 5 ， BI ＝ 10 ，則 AB 的長度為何？
《答案》(1)45° (2)5
21. 如圖， BC 為圓 O 的直徑，圓 O 的半徑為 6，且△OAC 是正三角形，則△ABC 的內切圓半徑為 何？
《答案》3 3－3
22. 如圖，△ABC 中， BE ⊥ AC ， CF ⊥ AB ，D 是 BC 的中點：
(1)請證明 DE ＝ DF 。
(2)若 CE ＝6， BE ＝8，則 DF ＝？
《答案》(1)△BCE 中，∵BE⊥AC，D 為BC的中點
∴D 為△BCE 的外心 ÞBD＝DE＝DC……① 同理，D 為△BCF 的外心 ÞBD＝DF＝DC……② 由①、②得DE＝DF
(2)5
23. 如圖，直角△ABC 中，∠ABC＝90°，已知 D 為 AC 的中點，G1、G2 分別為△ABD 與△BCD 的 重心，若 AB ＝18， BC ＝24，則
G
1G
2 ＝？《答案》10
24. 如圖，已知 I 點為△ABC 的內心，試回答下列問題：
(1)說明∠BIC＝90°＋
2
1 ∠BAC。
(2)承上題，若∠BAC＝40°，則∠BIC 的度數為何？
(3)承上題，若∠BIC＝125°，則∠BAC 的度數為何？
《答案》(1)如圖
∵BI 、CI 分別為∠ABC、∠ACB 的角平分線
∴∠1＝
2
1 ∠ABC，∠2＝
2
1 ∠ACB
∠BIC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－
2
1 (∠ABC＋∠ACB)
＝180°－
2
1 (180°－∠BAC)＝90°＋
2
1 ∠BAC
(2)110° (3)70°
25. 如圖，O 點為△ABC 的外心， AD ⊥ BC ，若 AB ＝ AC ＝40 公分， BD ＝24 公分，則：
(1) AD 的長是多少公分？
(2) OA 的長是多少公分？
(3)△ABC 的外接圓面積為多少平方公分？
《答案》(1)32 公分 (2)25 公分 (3)625π平方公分
26. 如圖，已知△ABC 中， AB ＝ AC ＝17， BC ＝16，若 I 點為此三角形的內心，且 IE ⊥ AC 於 E 點，則 IE ＝？
《答案》 24 5
27. 如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 、 BD 交於 O 點，E 為 BC 的中點。若 PE ＝1 公分， BP ＝2 公 分，則：
(1) AO 是多少公分？
(2)△PED 的面積為多少平方公分？
《答案》(1) 3公分 (2) 3平方公分
