《數學奠基活動模組： 二元一次方程式_國中七年級 》
編號： (由主辦單位填寫)
數學魔術名稱：你排我猜
設計者：台北市興雅國中 林壽福老師、吳如皓老師 壹、 活動器材：
一、撲克牌每組 4 人給兩副。
二、預言紙(每組 4 套，每套 3 張)。
三、學習單(每組 4 張)。
四、學習回饋單(每組 4 張)。
貳、活動說明：
一、單元主題說明：
(一)透過撲克牌操作，探究色牌數量變化規律(pattern)，發展「符號表徵」之先備 具體心像，以利「二元一次聯立方程式求解」之學習。
(二)活動適於「二元一次方程式」正式課程之前。
(三)適用年級：(國中七年級以上)。
二、活動目標與核心概念：
(一)給定紅色 5 張、黑色 5 張牌，任意排成兩列，解決「兩列中紅色牌和黑色牌的 張數差」問題。
(二)核心概念：發展二元一次式的操作性代數(符號)表徵心像。
貳、 活動流程：
一、魔術活動：(老師找一名同學當觀眾，示範魔術並串聯提問，其他學生觀察聆聽) (一)拿出一副撲克牌，展開給觀眾檢查，是一副正常牌。
(二)隨意分兩堆彈洗後，由觀眾從 10~20 任選一個喜歡的張數，例如 14。
(三)若觀眾選擇的是奇數張，問觀眾還要不要加牌？(秘訣：藉機看到觀眾所挑下一 張牌顏色)
(四)接著由觀眾洗牌或弄亂。
(五)撲克牌面朝下，排成兩列，例如長列有 8 張、短列有 6 張。
(六)寫下預言「長列中的紅色牌會比短列中的黑色牌多出 1 張」。
(七)翻開牌，數一數長列中的紅色牌有幾張，短列中的黑色牌有幾張，長紅比短黑 多幾張？
跟預言一樣嗎？如果是，恭喜您，魔術成功！！！
●關鍵提問與追問：(魔術表演完後，不直接進行破解，先鼓勵學生問問題) 1.若預言要成真，你覺得需要掌握哪些訊息？
2.看著老師桌面上的牌，說說看你發現什麼？
3.排成上下列後，隨意調換幾張牌，兩列中紅牌、黑牌的數量差會保持不變嗎？(提示) ●老師再將魔術程序，從頭至尾說明一遍。讓學生再進行思考。
●請學生回座位，拿出紅色、黑色牌各 5 張，並將這 10 張牌洗亂，再隨意排成兩列(長
短可相等或不相等）。你能否做出準確預言？分組討論。
即預言：「等長兩列」或「長列比短列」中紅色牌會比黑色牌多出幾張。
●若學生不知道如何著手解決問題，可給予適當提示引導，或建議循著學習單的問題做 思考。
●【學習單、延伸題提問引導參考】
1.學習單（可以：自問自答或向他人提問）
(1)我（你）發現什麼？
(2)我（你）是怎麼想的？
(3)關鍵是什麼（答案或想法中哪步最重要）？
(4)怎麼確認我（你）的想法是對的（證據在哪裡）？
(5)答案可以進一步簡化嗎？
2.延伸題第 1 題全體總動員（可以：自問自答或向他人提問）
(1)我（你）怎麼得到 2
x的？說明我（你）的想法。
(2)怎麼確認我（你）的想法是對的（證據在哪裡）？
(3)這解法可否類推於下一題？
(4)除了結果能用 2
x表示，還有其他的表達方式嗎？
3. 延伸題第 2 題色牌數不等（可以：自問自答或向他人提問）
(1)色牌數量不等，例如紅色牌 6 張、黑色牌 5 張，還能玩這個魔術嗎？ (What if not) (2)解答中
2
1
x ，其中的 1 代表什麼？
(3)若改問：A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多幾張？我（你）怎麼說？(答：
2
1 x 張) (4)繼續增加紅牌的數量，這個式子還成立嗎？或者需要做怎樣的調整？
(5)還有其他的表達方式嗎？
4. 延伸題第 3 題隨機動員（可以：自問自答或向他人提問）
(1)使用代數式來表達我（你）的發現。
(2)上題解法，在這裡還適用嗎（能否類推）？
(3)對於結果，我（你）還有其他表達方式嗎？
(4)哪個表徵較好、較快，能切合更廣的問題或方便魔術表演？
(5)還能使用更少的資訊來玩這個魔術嗎？
二、活動設計與原理說明
●活動設計
●原理說明
(一)紅黑牌數量相等(例如：各 5 張) 1.以極端例來觀察，可以很快發現規律。
(1)當排成等長時，則兩列中的紅牌和黑牌數量相等，且上下列不管再調整幾張，兩色 的數量差保持不變（關鍵）。
(2)當排成不等長時，例如兩列中數量相差 2 張，則長列中的紅牌比短列中的黑牌多 1 張，且上下列不管再調整幾張，長列中的紅牌仍比短列中的黑牌多 1 張，兩顏色的 數量差保持不變（關鍵）。
(3)當排成不等長時，例如兩列中數量相差 4 張，則長列中的紅牌比短列中的黑牌多 2 張，且上下列不管再調整幾張，長列中的紅牌仍比短列中的黑牌多 1 張，兩顏色的 數量差保持不變（關鍵）。
2.學生可能發現的規律有：
(1)長列減短列差的一半；
(2)紅色牌張數-短列排張數；
(3)長列排張數-黑色牌張數。
R R R R R B B B B B
R R R R R B B B B B
R R R R R B B B B B
(一) 關鍵處在於掌握到「不變性」。只要知道紅、黑牌的數量，則排成上下列 後不管調換幾張，兩列中紅牌、黑牌的數量差保持不變。
(二) 變數使數學表徵符號作為一種思考工具成為可能。Usiskin(1988)確認變 數三種用法：(1)作為特定的未知數；(2)作為規律的一般化使用；(3) 在共變量中的一個變量(參考書目 1)。本設計即是在培養學生上面第(2) 項能力，即能使用符號來表徵一般化的規則，提升其數學學習力。
(三) 讓學生分享想法與不同的解題路徑。要求說明與解釋（或論述）。
(四) 從特殊例（極端例）到一般例的思維過程體驗，並引導學生在動態變化 中看到數學結構，及其代數式表徵的對稱之美。
(五) 一般化路徑可透由底下幾個方式得到關係：
1. 操作具體物（撲克牌）
2. 圖表
3. 解聯立方程式
(六) 學生採用越多的方法思考和測試新概念，新概念就越容易正確形成，並 和其他豐富的概念關係相融合統一。
若以延伸題第 3 題符號表達，假設拿出 X 張紅牌、Y 張黑牌，把牌分成兩堆，多的 那堆有 a 張、少的那堆有 b 張，則答案可為：
(1)
2
) ( )
(ab X Y
； (2) X-b； (3) (a-Y)。
(二)延伸題參考解答：
1.全體總動員
由上題得到的規律可知，當排成不等長時，A 堆比 B 堆多 x 張，則長列中的紅牌比 短列中的黑牌多 x/2 張，且上下列不管再調整幾張，長列中的紅牌仍比短列中的黑 牌多 1 張，兩顏色的數量差保持不變（關鍵）。
2.色牌數不等
延續前面解法，也以極端例來觀察
(1) 當排成 6 張紅牌和 5 張黑牌時，長列中的紅牌會比短列中的黑牌多 1 張，且上下列 不管再調整幾張，兩顏色的數量差保持不變（關鍵）。
(2) 當排成 7 張紅牌和 4 張黑牌時，長列中的紅牌會比短列中的黑牌多 2 張，且上下列 不管再調整幾張，兩顏色的數量差保持不變（關鍵）。
(3) 當排成 8 張紅牌和 3 張黑牌時，長列中的紅牌會比短列
中的黑牌多 2 張，且上下列不管再調整幾張，兩顏色的數量差保持不變（關鍵）。
……
綜合之，假設 A 堆（長列）比 B 堆（短列）數量多 x 張時，則 A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多
2
1
x 張，其中的 1 代表原來紅牌與黑牌的數量差。(一旦知道 1 代表的 意義，則可以做類推)
*也可以透過觀察法或圖表法得到答案為：(a-Y)or(X-b)or
2
) ( )
(ab X Y
張。(使用 學習單最後一題符號)
*若問 A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多幾張？答案為：
2
1
x 張，其中的 1 代表原
來紅牌與黑牌的數量差。使用學習單最後一題符號則為：
(a-X)or(Y-b)or
2
) ( )
(ab X Y
張。
R R R R R R B B B B B
R R R R R R B B B B B
R R R R R R B B B B B
3.隨機動員
〈解法一〉觀察法
可透過操作觀察，發現 pattern：
(1) A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多(a-Y)or(X-b)or
2
) ( )
(ab X Y
張；
(2)A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多(a-X)or(Y-b)or
2
) ( )
(ab X Y
張。
〈解法二〉圖表法 根據題意，列表如右：
∵R1-B2＝R1-〔Y-(a-R1)〕=a-Y or R1-B2＝R1-〔b-(X-R1)〕=X-b
∴A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多 (a-Y)or(X-b)張。
同理：
∵B1- R2＝(a-R1)- (X-R1)=a-X or B1- R2＝(Y-B2)- (b-B2)=Y-b
∴A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多(a-X)or(Y-b)張。
〈解法三〉解聯立方程式法 R1+B1=a…①
R2+B2=b…② R1+R2=X…③ B1+B2=Y…④
由①-②得 (R1-B2)+(B1-R2)=a-b…⑤ 由③-④得 (R1-B2)+(R2-B1)=X-Y…⑥ 由⑤+⑥得 2(R1-B2)=(a-b)+(X-Y) 故(R1-B2)＝
2
) ( )
(ab X Y
； 同理
由⑤-⑥得 2(B1-R2)=(a-b)-(X-Y) 故(B1-R2)＝
2
) ( )
(ab X Y
。
但又∵a+b=X+Y， ∴a-Y=X-b or a-X=Y-b 故(R1-B2) ＝
2 ) ( 2 2
) ( 2 2
) ( )
( X b
Y or a Y
X b
a
，也可以表為(a-Y)or(X-b)；
而且(B1-R2) ＝
2 ) ( 2 2
) ( 2 2
) ( )
( Y b
X or a Y
X b
a
，也可以表為(a-X)or(Y-b)。
紅牌 黑牌 總量
長列 R1
B1
or(a-R1) or(Y-B2)
a
短列
R2
or(X-R1) or(b-B2)
B2
orY-(a-R1) orb-(X-R1)
b
總量 X Y
肆、學習單：
發現「你排我猜」的秘密
我們玩過「你排我猜」魔術後，只要再勤加練習，並且找機會勇敢地『秀』
一下，你就是一位小魔術師了。接下來的學習單，將考驗我們能否『智勇雙全』？ 用心想一想，用自己的話完成此學習單，你會是這個活動最完美的學習者。加 油喔！
我的姓名是：
(一) 拿出紅色、黑色牌各 5 張，並將 10 張牌隨意洗亂，任意排成上下兩列，上列中紅色 牌會比下列中黑色牌的張數多幾張？
(二) 請用一句話(或一個式子)總結你在上面的發現？
(三) 怎麼確認你的想法是對的（證據或關鍵在哪裡）？
(四) 請用其他代數(以符號表徵)表達方式呈現你的結論(或答案)？
(五)我發現這個活動的「秘密」還有……
答：
伍、學習回饋：
我們玩過「你排我猜」魔術，度過了快樂的時光，現在請你用心想一想，「你排我 猜」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你(妳)學了些什麼？請用自己的話寫下來。
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：( ) 103 年( )月( )日
陸、延伸題
1.(全體總動員)
如果我們拿整副牌（52 張，其中 26 張紅、26 張黑）來玩，當把牌任意分成 A、B 兩 堆，而 A 堆比 B 堆多 x 張，請你推論此時 A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多幾張（或 A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多幾張）？請說明你的推論。
2.(色牌數不等)
如果紅色、黑色牌數量不同，例如紅色牌 6 張、黑色牌 5 張，面朝下、洗亂，再隨意 排成兩列（張數可相等或不相等），請你推論此時 A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多 幾張？請說明你的推論。
3.(隨機動員)
如果我們拿某些牌來玩（X 張紅牌、Y 張黑牌），當把牌分成 A、B 兩堆（多的那堆有 a 張、少的那堆有 b 張），請你推論此時 A 堆的紅牌數會比 B 堆的黑牌數多幾張（或 A 堆的黑牌數會比 B 堆的紅牌數多幾張）？請說明你的推論。
柒、參考書目
1. John A. Van De Walle 著，張英傑、周菊美合譯（2005 年）中小學數學科教材教法，台北 市：五南圖書出版公司。
2. 林壽福‧吳如皓 著（2009 年）數學魔術——27 個數學概念奇蹟。台北市：尖端出版社。
捌、附件─預言紙(大班教學可分寫在珍珠板上，效果佳；小眾使用影印紙即可)
愈
