臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期

臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期 ^{□第 二} 次定期考查 □競試

□第 次補考 □第 次複習考 試卷

科目：數學科（BC 組） 適用班級：S305~S310 ˇ 高中部 □國中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

※除特殊標示外，所有機率均以最簡分數表示。

一、填充題：（每格5 分）

1. 袋中有 3 顆白球與 6 顆黑球，自袋中取出一球確定顏色後，另找同顏色的一球而兩球同時放回袋中。假設各球被 取出的機率相等，今連取三次，求第一次取到白球，第二次取到黑球而第三次取到白球的機率= (A) 。

2. 設三個抽屜中由上而下分別放有 5 顆黑球與 3 顆紅球，4 顆黑球與 3 顆紅球，3 顆黑球與 3 顆紅球，今隨機打開 一抽屜並從抽屜中任取一球。若已知取到的是紅球，試求這紅球取自最上面的抽屜之機率= (B) 。

3. 擲一個公正的骰子一次，A 表示點數為 6 的因數的事件，B 表示點數為偶數的事件，C 表示點數為 4 的事件。問 A、B、C 是否獨立？ (C) 。

4. 某電腦公司目前聘用 120 人，其中有 50 位本國男性、40 位本國女性、30 位外國男性。試問應再聘用多少名外國女 性，才能達到性別與國籍獨立的目標？ (D)

5. 設 A 與 B 兩事件滿足 P(A) = 0.2, P(A∪B) = 0.7。

(1) 若 A 與 B 為互斥事件，試求 P(B)之值= (E) 。(以小數表示) (2) 若 A 與 B 為獨立事件，試求 P(B)之值= (F) 。

6. 在市面上一斤豬肉的平均價錢是 60 元，標準差是 9 元，一斤牛肉的平均價錢是 80 元，標準差是 16 元。如今有一 肉販叫價一斤豬肉65 元而一斤牛肉 90 元。試問以市面的情況而言，

(1) 此肉販對哪種肉的叫價相對較高？ (G) (2) 哪種肉的價格比較穩定？ (H)

7. 設袋中有 6 個紅球，3 個白球，每次任取一球，取到紅球放回，取到白球不放回，各球被取出的機率相等，今連 取三次，求依序為紅球、白球、白球的機率= (I) 。

8. 設某工廠由甲、乙、丙三台機器製造某一產品。甲生產全部產品的 50%，乙生產全部產品的 30%，丙生產全部產品 的20%。又依過去的經驗知甲產品有 2%，乙產品有 4%，丙產品有 5%為不良品。

(1) 從產品中任選一產品，則該產品為不良品的機率為 (J) ？(以小數表示) (2) 已知選出之產品為不良品，問此產品出自甲機器的機率為 (K) ？

9. 某種疾病的檢驗方法不是百分之百正確；依過去的經驗知道，患有此疾病的人而能正確判斷的可能性為 80%；沒 有此疾病的人檢驗而誤判的可能性為5%。假設來做檢驗的人中有 20%患有此疾病，問被判斷有疾病的人中真正 有疾病的機率= (L) ？(以小數表示)

10. 設小明今年申請 A、B、C 三所大學成功的機率分別為 0.2、0.4、0.5，且互不影響，試求今年小明能順利申請到大學 的機率= (M) ？(以小數表示)

11. 阿牛 的網路商店，第1, 2, 3, 4 個月份，利潤分別為 2 萬、4 萬、8 萬、9 萬，請預估第 5 個月份的利潤= (N) 。

二、計算題（題組型）：無過程者不給分（每題6 分）

一個箱中有大小材質均勻的紅球4 個，白球 4 個，由箱中任取一球時，取到白球的機率為 1/2。現在將球分成兩 袋，甲袋有2 個紅球 1 個白球，乙袋中有 2 個紅球 3 個白球：

(1) 如果先任選一袋，並自該袋中任取一球時，取到白球的機率是否仍為 1/2？如果不是，那機率變成多少？

(2) 選擇甲袋與選擇白球，是否為獨立事件？

(3) 阿牛 想測試理論與實際操作上的差異性，隨機做了五回合的試驗，每回合操作10 次，所得的數據資料中，

若X 表示一回合中取到甲袋的次數，Y 表示一回合中取到白球的次數

X 3 5 6 4 7

Y 5 4 2 6 3

為了檢視X 與 Y 的相關性，請做出 X 與 Y 的散布圖：

(4) 阿牛 發現X 與 Y 呈現高度相關，所以進一步請求出相關係數：

(5) 阿牛 發現X 與 Y 之間很接近線性關係，因此請做出 Y 對 X 的迴歸直線：

備註： ¹

2 2

1 1

n

i i

i

n n

i i

i i

(x x)(y y) r

(x x) (y y)



 

 

 

 

 

臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期 ^{□第 二} 次定期考查 □競試

□第 次補考 □第 次複習考 答案卷

科目：數學科（BC 組） 適用班級：S305~S310 ˇ 高中部 □國中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

一、填充題：請按照空格編號填入，每格5 分

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

(H) (I) (J) (K) (L) (M) (N)

二、計算題：無過程者不給分（每題6 分）

(1) (3)

(2)

(4) (5)

X Y

臺北市立萬芳高級中學九十三學年度第一學期 ^{□第 二} 次定期考查 □競試

□第 次補考 □第 次複習考 答案

科目：數學科（BC 組） 適用班級：S305~S310 ˇ 高中部 □國中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

一、填充題：請按照空格編號填入，每格5 分

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

4 55

21

73 否 24 0.5 5

8 牛肉

(H) (I) (J) (K) (L) (M) (N)

豬肉 1

18 0.032 5

16

2

7 0.76 12

二、計算題：無過程者不給分（每題6 分）

(1) 不是

1 1 1 3 7 2 3 2 5 15   

(3)

(2)

P(選甲袋)=1

2 P(選白球)= 7 15 P(選甲袋且選白球)=1 1 1

2 3 6 所以不是獨立事件

(4)

5

4

2 2 2 2 8 4

10 5 10 10

x y r





   

    

(5)

4 4( 5) 5 4 8 5

y x

y x

   

   或

X Y

臺北市立萬芳高級中學九十一學年度第一學期第二次定期考數學科題目卷

科目：數學（自然組） 適用班級：S303~S308 高中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

一、 填充題：50%(每格 5 分)

1. 設將坐標系 S 平移(-4,3)得到坐標系S ，若已知點A(1,2)_S，求A 對原坐標系 S 的坐標。

A: (1)

2. 設將坐標系 S 平移(1,-2)得到坐標系S ，已知直線L 對原坐標系 S 的方程式為 3x-y-5=0，

求L 對新坐標系的方程式。A: (2)

3. 設將坐標系 S 旋轉 30⁰得到坐標系S ，求B(4,4)s對新坐標系S 的坐標。A: (3)

4. 設二次曲線 Γ：10x² + 15xy + 2y² + 20x - 28y + 20=0，試將坐標系旋轉一銳角θ，使 Γ 的新 方程式中不含交叉項，求(1)cot2θ= (4) ,(2)cos2θ= (5) (3)sinθ= (6)

5. 下列哪些方程式無法以適當平移的方式將一次項都消去？A： (7) (A) 4x²-4xy+y²-2x-4y+8=0 (B) xy+2x-y-6=0 (C) x²-6xy+y²-8x+8y+12=0 (D) x²- 2x - 4y +1=0

6. 設拋物線 Γ：y ²- 4x + 4y + 8=0,已知原坐標系平移(h , k)後，Γ 的新方程式為y 4² x^，求

(h , k) = (8)

7. 試判斷 3x² + 2xy - y²- x + 3y - 2=0 為哪一類圖形？ (9)

8. 將原坐標 S 旋轉 45⁰到新坐標系S 時，原二次曲線5x²-6xy+5y²-32=0 的新方程式為 (10)

三、計算題：50%(1,2 每題 15 分;3,4 題每題 10 分)

1. 設二次曲線 Γ：5x² - 6xy + 5y² –24 = 0，若將原坐標系旋轉一銳角θ，建立新坐標系 y

x ，使Γ 的方程式標準化，並使新方程式為

x

 yc

 f

(1)θ=______ (2) c=______ (3)f=______

2. 設二次曲線 Γ：3x² + 5y² - 6x + 20y + 3=0,可化為 3(x-h)² + 5(y-k)² = r,若將坐標系 S 平移 使此橢圓對新坐標系S 而言，它的中心在原點，則

(1) (h , k , r) =________

(2) 新坐標系的原點對原坐標系而言,它的坐標為何？________

(3) 橢圓的新方程式為何？_________

3. 試就實數 k 之值討論方程式 x²-4y²-2x+8y-k=0 的圖形.

4. 試將二次曲線 Γ：4x² +24xy+11y² - 24x + 28y - 44=0 標準化。

(化成如

1

b y a

x

 

 

的形式)

※參考公式：













 

 









cos sin

sin cos

y x

y

y x

x

























cos sin

sin cos

y x

y

y x

x

臺北市立萬芳高級中學九十一學年度第一學期第二次段考答案卷

科目：數學(自然組) 適用班級：s303 ~s308 高中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

一、 填充題：50%(每格 5 分) (1).

(-3,5)

(2).

^{3x y 0}

(3).

(22 3,22 3)

(4).

15 8

(5).

17 8

6.

34 3

7.

(A)(D)

8.

(1,-2) 9.

雙曲類

10.

16 4

2

 y 

x

二、 計算題50%(1,2 題每題 15 分;3,4 每題 10 分) 1.

(1) 45⁰ (2) 4 (3) 12

2.

(1)(1,-2,20) (2)(1,-2) (3)

3 x

 y 5

 20

3.

(1) k=3 時, 圖形為二直線 x-2y+1=0,x+2y-3=0.

(2) k3 時,圖形為雙曲線.

4.

A:

1 1 4

2 2

 

 x  y

台北市立萬芳高級中學九十二學年度高三自然組第一學期數學科第二 次段考試卷

301 304 305 306 310 班級： 姓名：

座號：

一、單一選擇及填充題：80 分(每題 4 分)

1.設坐標系平移至新原點(2,-1)，則點 A(4,6)的新坐標為 (A)(6,5) (B)(2,7) (C)(5,6) (D)(7,2) (E)(4,6)

2.設坐標系平移至新原點(2a,3b)，則新坐標為(a,b)的點原坐標為 (A)(0,0) (B)(a,b) (C)(2a,3b) (D)(-a,-2b) (E)(3a,4b)

3.若有一圖形的方程式為 3x² +y² - 6x+ 4y+3＝0，今將坐標軸平移至新原點，

使新方程式缺一次項，則新原點為

(A)(1,–2) (B)(1,4) (C)(–2,4) (D)(–1,–4) (E)(–1,4)

4.x²+6xy-7y²+2x+2y+1=0 經坐標平移變換後，化得標準式為 aX²+bXY+cY²=k，則 a+c 的值為

(A)1　(B)-6　(C)6　(D)-2　(E)2。

5.移軸至新原點^O(a，b ) 時，直線 L：3x + 2y = 6 之新方程式 3X+2Y=6,則 3a+2b 的值為

(A)-2　(B)-1　(C)0　(D)1　(E)2。

6.取^O( h，k ) 為新原點，平移坐標軸，若 L1：3x – 4y = 17 與 L2：2x + y = 4 對新坐標系的方程式都缺常數項，則 ( h，k ) =　　　　。

7.將坐標軸旋轉^30，則A(2,4)的新坐標為

(A)(2,4) (B)(2+ ³,–1 + 2 ³) (C)(–2 + ³,1+ 2 ³) (D)(1 + 2 ³,–2 +

3) (E)(–2,–4)

8.將坐標軸旋轉 cos^{– 1} ₁₇⁸ ，則A(17,–34)的新坐標為

(A)(–22,–31) (B)(22,–31) (C)(34,17) (D)(–17,–34) (E)(17,–34)

9.將坐標軸旋轉銳角 θ，使 4x²+12xy+9y²+16x+24y+16=0 的新方程式缺^xy 項，求cos2θ＝

(A)^–₁₂⁵ (B)¹²₅ (C)^–₁₃¹² (D)¹²₁₃ (E)^–₁₃⁵

10.有一個非退化的二次曲線 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0，若判別式 4ac-b ² <

0，則此二次曲線的圖形為

(A)圓　(B)橢圓　(C)拋物線　(D)雙曲線　(E)兩條平行直線。

11.錐線 4x²+24xy+11y²+40x+30y-105=0 經旋轉變換後為 aX²+bY²=c，則 a+b=

(A)15　(B)14　(C)13　(D)12　(E)11。

12.二元二次方程式 3x²+7xy-6y²-9x-5y+6=0 之圖形為

(A)圓　(B)橢圓　(C)拋物線　(D)雙曲線　(E)兩條相交直線。

13.利用坐標軸的旋轉，判斷方程式^{2x2 16xy5y2 15}的圖形為 (A)圓　(B)橢圓　(C)拋物線　(D)雙曲線　(E)兩條平行直線。

14.設 A，B 為二階方陣，若 3A-B＝ 



 



 4 3

2

1 ，A–B＝ 



 





 4 13

6

3 ，且A＝ 



 



 d c

b

a ，則

a +^b+ c +^d ＝

(A)-1 (B)-2 (C)-3 (D)-4 (E)-5 15.設方陣 A＝ 

 





1 2 1

1 ，若A³–6A＝kI2，則k＝

(A)–2 (B)–5 (C)–9 (D)1 (E)9

16.A =

 







 









 1 4 2

2 1 2

4 1 3

，B =

 







 









 11 2

14 3

21 0

，C = 3A–2B，則 C^t=[Cij]中 C32的值為

(A)10 (B)-10 (C)-4 (D)4 (E)9

17.設 A = 



 





1 1 2 2 0

1 ，B = 



 



   1 2 0

1 1

3 若矩陣方程組：

 











B 5 Y X 2

A 5 Y 2

X

。

18.設 A 與 B 都是^32矩陣，A = [ aij ]，B = [ bij ]，而 aij = i + j，bij = 3i – 2j，則 A – 2B =　　　　。

19.設，^為二角且





 













cos sin

sin

cos 



 













 cos sin

sin cos

=





 





 ab ba

，則b =

(A) sin ( ₊^ )　(B) cos (₊^ )　(C) sin (_–^ )　(D) cos (_–^ _)　(E) sin (^–_)。

20.若 A = 

 



 5 4

3

2 ，B = 

 



 2 3

4

5 ，試求BA=　　　　。

二.計算題：20 分(每題 5 分)

(題目在答案卷上)

台北市立萬芳高級中學九十二學年度高三自然組第一學期數學科第二 次段考答案卷

301 304 305 306 310 班級： 姓名：

座號：

一.選擇題答案欄：80 分(每題 4 分)

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11 .

12 .

13. 14. 15.

16 17 18. 19. 20.

二.計算題：四題共 20 分(每題 5 分)

1.若以(1,2)為新原點將坐標軸平移，則直線 L 的新方程式 7X–Y+ 8＝0 的舊方程 式為何?

2.假設臺北市在民國 88 年底有 200 萬人口，臺北縣有 350 萬人口，每一年臺北市 有10%的人口搬到臺北縣其餘 90%不動，而臺北縣有 20%人口搬到臺北市其餘 80%不動，則民國 90 年底的人口數，臺北市有多少人？

3.拋物線 y² = 4x，經過轉軸變換將坐標軸旋轉 30⁰後，新的拋物線方程式為何?

4. 設 A＝ 



 









 x x

x x x

2 2

2 2

，B＝ 



 







 x x

x x

1

2 1

2 ，若A＝2B，求 x ＝______。

台北市立萬芳高級中學九十二學年度高三社會組第一學期數學科第一 次段考答案卷

301 304 305 306 310 班級： 姓名：

座號：

一.選擇題答案欄：80 分(每題 4 分)

1. B 2. E 3. A 4. B 5. C

6. (3,-2) 7. B 8. A 9. E 10

.

D

11 .

A 12 .

E 13. D 14. D 15

.

C

16 .

C 17

. ^

 







 4 5 1

0 2

7 18.























5 0 5

10 5

0 19. E 20

. ^

 





19 14

35 26

二.計算題：四題共 20 分(每題 5 分)

1.若以(1,2)為新原點將坐標軸平移，則直線 L 的新方程式 7X–Y+ 8＝0 的舊方程 式為

答案：7x7x–y–y+3＝+3＝00 解析：





2

＝y y

1

＝x x

–

– 代入代入7(x7(x–1)–(y–1)–(y–2) + 8–2) + 8＝＝00^77x–x–yy+3+3＝＝00

2. 假設臺北市在民國 88 年底有 200 萬人口，臺北縣有 350 萬人口，每一年臺北 市有10%的人口搬到臺北縣其餘 90%不動，而臺北縣有 20%人口搬到 臺北市其餘80%不動，則民國 90 年底的人口數，臺北市有多少人？

答案： 285 萬人

解析：X1=PX0= 



 





8 . 0 1 . 0

2 . 0 9 .

0 



 



 350

200 = 



 



 300

250 ，X2=PX1= 



 





8 . 0 1 . 0

2 . 0 9 .

0 



 



 300

250 = 



 



 265 285

3. 拋物線 y² = 4x，經過轉軸變換將坐標軸旋轉 30⁰後，新的拋物線方程式為 答案：X²+2 ³XY+3Y²-8 ³X+8Y=0

解析：x=¹₂ ( ³X-Y)，y=₂¹ (X+ ³Y)代入得 X²+2 ³XY+3Y²-8 ³X+8Y=0 4. 設 A＝ 



 









 x x

x x x

2 2

2 2

，B＝ 



 







 x x

x x

1

2 1

2 ，若A＝2B，求 x ＝______。

答案：00

解析： x解析： ² + x+ ＝＝2 x2 ²， x， ＝＝22 x ^ x＝＝00或或1（不合） ∴1（不合） ∴ x＝＝00