五十年數學教育的反思
陳振宣
屈指算來, 黑板生涯將滿五十春秋, 在 這半個世紀裡, 數學教育經歷了多次改革的 浪潮。 撫今追昔, 思潮滾滾, 積聚數十年的心 聲, 渴望一吐為快, 希望能對數學教育改革有 一點參考價值。
一. “題海戰術”的功與過
1946 年秋僅有一年半教齡的我, 擔任了 一所大型中學的高三理科班的解析幾何教學, 同時兼任高三理甲班的級任導師。 當時年少 氣盛, 上課滔滔不絕, 把各種教材上的不同內 容, 集眾家之長教給學生。 當時採用的教材是 陳懷書教授編著的復興甲種本。 這是由美國 數學家 Osgood 的解析幾何編譯而成。 教材 內容已多超出課程標準, 但我還是把 Smith
& Bale 和 Loney 的兩本名著的精采內容 點滴不漏地講下去。 當時的指導思想是“以多 取勝”。 認為只有掌握多而巧的解題方法, 才 能在考試中遊刃有餘。 學生傳抄的解析幾何 公式表多達一百頁以上。 這種教學實際上就 是“題海戰術”。 學生做題經常到午夜, 負擔之 重可想而知。 當然這不是我的“創造”, 其源蓋 出於當時數學教育中的傳統做法。 回憶我的 高中階段, 各年級的數學課程都是“雙料”的,
三角既讀 Granvile 的, 又讀 Loney 的; 大 代數讀了 Fine 的, 再讀 Hall & Knight 的; 解析幾何讀完 Smith & Bale 的, 還 得讀 Loney 的。 當時在孤島上海, 中學林 立, 在大樓裡沒有操場, 體育、 音樂、 美術課 通通停開。 數學每周 8-10 課時。 我們這一代 人, 可以說是在“題海”裡泡大的。 整個高中三 年演算的題何止千萬。 大學裡又不是念師範 的, 什麼教育學、 心理學一無所知。 擔任教職 後, 只知承襲自己老師的教學方法進行教學, 內容不厭其詳, 方法多多益善。 記得當時講圓 錐曲線的切線、 法線, 不但講割線逼近切線 的極限方法, 還講利用直線的參數方程和分 點公式 (實質上, 也是直線參數方程的另一 種形式), 又介紹了笛卡爾求切線方程的方法。
我當時要求學生從拿到題感到無辦法到有辦 法; 從有辦法到辦法多; 從方法多到能快速找 到好方法, 這樣貫徹“以多取勝”的策略, 取得 的效果是令人“興奮”的。 1947年理科甲班28 人畢業,26 人考取名牌國立大學, 如交大、 清 華、 浙大、 北洋、 廈門等。 1948年的理科班考 大學的結果也十分 “驚人”, 學生涂象初一人 就考上了五所國立大學, 其中有交大、 清華等 名校。
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“題海戰術”的成果是靠花費了大量的精 力, 反覆練習而取得的。 但是學生處於被動 的地位, 以記憶代替理解, 以摹仿代替思索, 束縛了思維的自由, 扼殺了學生的創造能力, 不利於身心的健康發展。 記得 1948 年畢業的 一位高材生李福岱, 他考取幾所國立大學與 海軍學院, 但考完後患了肺結核吐血, 喪失 了進入大學深造的機會。 這實在是“題海戰 術”的“罪過”。
二. “雙基”教學的得與失
1950 年代到 1960 年代初, 提倡向蘇聯 學習, 號召教師加強基礎知識與基本技能的 教學, 即所謂落實雙基。 1949 年前的數學教 學重方法輕概念。 自從向蘇聯學習後, 促使教 師重視概念教學與學習教學理論。 當時在各 數學期刊上探討數學概念教學的文章達百餘 篇, 反映了當時數學教育的概貌。 這樣做帶來 的結果是:
1. 教師開始重視數學概念與原理, 提高了數 學修養。 就我個人來說, 為了探索解不等 式的教學, 終於發現解初等不等式的通 法。 1982 年又提出了連續函數的第二條 性質定理。 廣大教師努力鑽研業務, 成果 累累, 這些都是強化“雙基”教學的結果。
2. 注意對學生學習方法的引導, 重視對學生 獨立思考能力的培養, 教學效果也有了相 當的提高。 我所任教的學校是一所小型的 普通完全中學, 學生來源並不理想。 然而 還是出了不少相當優秀的學生。
以上兩點可算是“雙基”教學的“得”吧!
3. 在強調“雙基”教學的過程中, 把蘇聯 10 年的教學內容作為我們十二年的課程, 不 能越雷池一步, 無形中降低了學生的知識 水平, 此“失”之一也。
4. 在具體的運作上, 由於對“雙基”中的基本 技能理解得過於狹隘, 把數學教學當作單 純的知識傳授, 忽視了思維能力的提高, 以致在 1976 年以後, 使“題海戰術”死灰 復燃。
三. 進入數學思維素質培養的 新天地
1970 年代末高考競爭開始激烈, 高考命 題的難度逐漸上升,“題海戰術”愈演愈烈。 數 學教育一方面對“題海戰術”造成學生高分低 能深痛惡絕, 另一方面為了應付考試又不得 不大搞“題海戰術”, 坊間習題集、 測驗卷鋪天 蓋地, 學生陷入了做不完的作業之中, 教育領 導部門屢禁不止。
進入 1980 年代之初, 世界數學教育改 革經歷了新數運動由興到衰的變化。 數學教 育工作者逐漸認識到在數學教育中, 應把培 養學生的數學思維的能力放在首位, 不能局 限於單純的知識傳授。 如何提高學生的思維 能力, 成為世界各國研究的重點。
為了擺脫“題海戰術”的束縛, 不得不下
“海” 探索一番。 我們決定以改革的精神自編
「數學題解辭典」, 我擔任了解析幾何卷的責 任編委 [1]。 我們分析題型、 精選題目、 講究 提法、 探求解題思路, 並按知識點組織題組, 選好例題, 以上述幾點精神, 對例題詳加分
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析, 以收舉一反三之效。 為以後對數學思維方 法的研究積累了素材。
此時, 錢學森先生正倡導思維科學的 研究, 我結合自己的數學教學的經驗, 對 數學思維方法作了初步的歸納, 後又學習了 G.Poly´a 的 「 怎樣解題 」 [2]、「 數學的發 現」 [3]、 「 數學與猜想」 [4], 使認識有了更 深度的發展。 我剖析了大量高考試題, 在數學 思維方法的研究上有了一些進展。 並於 1985 年出版了 「中學數學思維方法」[5]。 此後研究 逐步深入, 陸續出版了 「初中數學解題思維方 法導引」[6]、「數學思想方法入門」 [7](上海市 選修教材)、「高考中常用的數學思想方法」[8], 初步建立了數學思維方法的理論框架。 「高考 中常用的數學思想方法」 在 「中學生數理化」
上連載了一年多; 在全國許多地方的講學, 也 都獲得了積極的反響。
進入 1990年代, 世界上發達國家對數學 教育的改革日益重視, 而國內的題海氾濫卻 愈演愈烈, 坊間已很難看到練習冊與測驗卷 以外的著作, 於是將應試教育改革為素質教 育的呼聲逐漸增強。 但是如何完成這種轉變, 仍是一項艱巨的工程。
從 1990年代以來, 我著重研究了什麼是 數學素質? 確定數學素質的主變量是什麼?
1989 年我提出“關於數學思維能力結構的一 個猜想”[9], 1992 年又提出 “提高數學素質 的幾點設想”[10], 接著在 「高考數學命題研 究與試題評析 」 [11] 中對確定數學素質的三 個主變量作了進一步闡述。 1993 年在上海市 新學科研究所建立了 “數學素質教育與智能 開發的研究” 課題組, 在十幾所中學裡開展實
驗, 目前已初見成效, 研究正向縱深發展。 我 體會出確定數學素質的如下三個主變量:
1. 數學知識與數學語言
數學知識和數學研究成果的傳輸交流都 離不開數學語言。 運用數學知識解決實際問 題, 更離不開數學語言這一思維載體。 知識藉 書面語言流傳後世, 思維依附於語言 (物質外 殼) 才能流暢地進行。 數學知識和數學語言是 密切相關又難以分割的。
數學語言, 狹義地說, 是指數學符號語 言; 廣義地說, 一切用以反映數量關係和空 間形式的語言, 都是數學語言。 在數學教科書 裡, 它有三種形態: 自然語言 (包括口頭的、
文字的普通語言。 這是理解概念與原理的基 礎); 符號語言 (這是簡縮思維, 提高思維效率 的根本); 圖象語言 (這是形象思維的載體)。
同一數學研究對象, 往往可用不同的語言形 態表達。 不同語言形態的互譯能力是數學的 基本能力之一。 不少數學問題的解決, 實質上 不過是不同語言形態的互譯而已。 數學思維 活動多是無聲的數學語言活動, 流暢的數學 思維建築在嫻熟的數學語言的基礎上。 這就 是數學知識與數學語言是數學素質的第一個 主變量的道理。
2. 數學思維方法
如何才能自如地運用數學知識與數學語 言, 發揮它的最大效用呢? 除了熟練掌握它 的技能外, 還要善於概括領會數學思維方法。
解決問題的過程, 正是艱苦思考的過程。 如何 找到解決問題的突破口, 這要靠科學的思維
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方法。 人們往往不注意從思維高度去概括數 學思維方法, 把一些難題的巧妙解法歸之於 聰明人的偶然頓悟, 不明其規律何在, 無以名 之, 一律稱之為“技巧”, 難怪學生不易掌握。
其實, 經過仔細剖析, 上升到思維高度加以概 括, 無非是自覺或不自覺地運用了正確的數 學思維方法的緣故。 這正說明數學思維方法 是又一個主變量。
3. 情感因素
人是有感情的。 人的思維總是伴隨著情 感的發展變化而同步進行。 從大量智力測試 發現, 人的思維能力既可受情感因素的激勵 獲得超常發揮, 也可因它的干擾而產生失常 表現。 但由於把智力因素與情感因素割裂開 來考察, 將興趣、 意志、 品格· · ·. 等心理素 質與智力因素對立起來, 把它們統稱為非智 力因素, 因而將之從智力因素中排除出去, 這 實在是莫大的誤解。 實際上, 人的智能不單與 智力因素有關, 同時和情感素質也是息息相 關的。 所以把情感因素列為確定數學素質的 第三個主變量, 逐漸為人們所理解。 在“數學 素質教育與智能開發的研究”課題組內, 正在 通過數學的實際應用, 趣題妙解, 數學美的欣 賞, 數學家獻力於科學事業的故事等等去激 發對數學的興趣, 培養持之以恆的毅力, 善於 思考的習慣和強烈的探究慾等品質。
除了以上論述的三個主變量之外, 近年 來, 有人發現畫圖能力、 識圖能力、 計算機操 作等能力也與數學素質有關, 這方面的研究 尚有待於進一步探索。
五十年的數學教育實踐, 走過不少彎路, 現雖年已古稀, 仍在課題組內和第一線的年
輕教師一起“跌”、“爬”、“滾”、“打”, 共同探索 提高數學素質的規律。 研究正在深入, 認識還 在發展。 我常有“今是而昨非”之感。 希望有 更多的年輕教師及時投入研究, 不斷深入, 早 日取得突破, 為數學素質教育的理論基礎添 磚加瓦, 為中華民族的教育事作出更大的貢 獻。
參考文獻
1. 責任編委與主要編寫人陳振宣, 數學題解辭 典: 解析幾何卷, 上海辭書出版社, 1983 年 6 月第一版, 1994 年 1 月第三次印刷。
2. G.Poly´a, 怎樣解題, 台灣九章出版社有中譯 本。
3. G.Poly´a, 數學的發現, 台灣九章出版社有中 譯本。
4. G.Poly´a, 數學與猜想, 台灣九章出版社有中 譯本。
5. 陳振宣等編著, 中學數學思維方法, 上海科技 教育出版社, 1985 年 7 月第一版, 1990 年 4 月第二次印刷。
6. 陳振宣等編著, 初中數學解題思維方法導引, 上海科技教育出版社,1990 年 3 月。
7. 陳振宣著, 數學思想方法入門, 上海市中小學 課程教材改革委員會辦公室印。
8. 陳振宣、 陳永箴著, 高考中常用的數學思想方 法, 中國青年出版社, 1993 年 12 月第一版。
9. 陳振宣, 關於數學思維能力結構的一個猜想, 中學數學教學, 上海師大, 1989 年第 5 期。
10. 陳振宣, 提高數學素質的幾點設想, 中學數學 教學, 上海師大, 1992 年第 2 期。
11. 陳振宣等編著, 高考命題研究與試題評析, 上 海科技教育出版社, 1992 年 3 月第二版。
—本文作者是中國管理科學研究院思維科學 研究所、 上海市新學科研究所思維科學研究 室的研究員。 —
