數學傳播 33卷2期, pp. 48-51
從旋轉及縮放看尤拉線與九點圓
張海潮
自 Euler (1707∼1783) 發現尤拉線, Poncelet (1788∼1867) 證明九點圓以來, 相關的 論文無數; 本文絕非創見, 只能算是個人的讀書筆記。
重心、 內心、 外心與垂心是三角形的四心, 前三心的物理或幾何的意義明顯, 比較容易掌 握; 至於垂心, 指的是三高的共同交點, 論證通常要借重縮放關係, 請看圖一:
圖一
圖中, P , Q, R 三點是 BC, CA, AB 三邊的中點, 不難發現 △P QR 的垂心剛好是
△ABC 的外心。 借重 △ABC 的外心, 可以證明 △P QR 的三高共點。
易見圖一中的 △P QR 與 △ABC 相似, 邊長是 △ABC 的一半。 不過細究起來, △P QR 和 △ABC 的位置上下顛倒, 不是單純的縮放, 縮放之外, 還需加上旋轉, 請看圖二:
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圖二
如圖, 令 P , Q, R 分別為 △ABC 三邊的中點, 並令 G 為 △ABC 和 △P QR 的共同重心, 由相關位置可以看出 △P QR 正是 △ABC 繞重心 G 旋轉 180◦ 之後再縮小一半的結果。 注 意到在旋轉繼以縮放的過程中, 角度的關係不變 (註一)。
現在考慮 △ABC (大三角形) 的垂心 E、 外心 F 和重心 G, 以及 △P QR (小三角形) 的垂心 e、 外心 f 和重心 G, 請看圖三:
圖三
由前段的討論知, 若將 △ABC 繞 G 旋轉 180◦ 之後再縮小一半, 就會得到 △P QR; 並且由 於旋轉和縮放時角度的關係不變, △ABC 的垂心 E 自然變換到 △P QR 的垂心 e, 但是由於 e 同時也是 △ABC 的外心 F , 所以 E, G, F 三點共線並且 EG = 2GF ; 又因 EA 透過旋
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轉和縮小一半之後, 變換到 F P , 因此 EA = F P 。 結論是 (註二):
(1) 三角形的垂心 E、 重心 G、 外心 F 依序共線 (稱為尤拉線) (2) EG = 2GF
(3) EA = 2F P
接著再將圖三中 △ABC 的外心 F 繞 G 旋轉 180◦ 之後再縮小一半, 得到 △P QR 的 外心 f (圖四)。
圖四
由於 EG = 2GF = 4Gf , 易見 f 是 EF 的中點。 由結論 (3), EA = 2F P , 因此若將 P f 延長之後, 會交到 AE 的中點 A′, 並且有 P f = f A′ (圖五)。
圖五
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注意到在直角三角形 △P A′′A′ 中, f 是斜邊 P A′ 的中點, 所以有 (4) f A′′= f A′ = f P 。
記得 f 是 △P QR 的外心, 根據 (4), 加上對稱的考量, 可以看出, 以 f 為圓心, fP 為 半徑的圓會通過下列九個點 (圖六):
△ABC 三邊的中點 P , Q, R; △ABC 三高的垂足 A′′, B′′, C′′;
△ABC 垂心到三頂點連線段的中點 A′, B′, C′。
圖六
這個圓稱為九點圓 (註三)。
註一. 本文談及的旋轉, 均為繞重心 G 旋轉 180◦; 縮放均指以 G 為中心的縮放。
註二. 部貞市郎, 幾何學辭典, P.102, 第 500條, 台北九章出版社。
註三. 同註二, 部貞市郎, 幾何學辭典, P.137, 第 675條。
—本文作者為台大數學系退休教授—
