等速反向不共中心旋轉的兩直線 所交的軌跡

數學傳播

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, pp. 69-71

等速反向不共中心旋轉的兩直線 所交的軌跡

一一 等軸雙曲線或直線

陳國唐

考慮兩條不共旋轉中心, 且以等角速率反向旋轉的兩條直線 L₁ 、 L₂。 若以 L₁ 之旋轉中 心為 (−1, 0), L2 旋轉中心為 (1, 0), 並設時

間為 0 時, L₁ 、 L₂ 與 x 軸正向所夾之有向 角分別為 α 、 β, 如右圖所示, 再設 L₂ 經時 間 t 後所轉的角為 ϕ(t), 則 L₁ 經時間 t 後 所轉的角為 −ϕ(t), 因此, L1 、 L₂ 在時間 t 時的交點為

(L₁ : y = tan[α − ϕ(t)] · (x + 1) L₂ : y = tan[β + ϕ(t)] · (x − 1),

解得

x=tan[β + ϕ(t)] + tan[α − ϕ(t)]

tan[β + ϕ(t)] − tan[α − ϕ(t)]

= sin(α + β) sin[2ϕ(t) + β − α]

= sin(α + β) · csc[2ϕ(t) + β − α], (1) y=2 · tan[β + ϕ(t)] · tan[α − ϕ(t)]

tan[β + ϕ(t)] − tan[α − ϕ(t)]

=cos[2ϕ(t) + β − α] − cos(α + β) sin[2ϕ(t) + β − α]

= cot[2ϕ(t) + β − α] − cos(α + β) · csc[2ϕ(t) + β − α]. (2)

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當 α + β 為 kπ (k 為整數) 時, (1) 式化為 x = 0, 而 (2) 式化為 y= cot[2ϕ(t) + β − α] ± csc[2ϕ(t) + β − α],

其值為所有實數。 因此在 α + β 為 kπ (k 為整數) 時, L₁ 、 L₂ 之交點軌跡即為 y 軸。

其次, 若 α + β 不為 kπ (k 為整數), 則由 (1)× cos(α + β)+(2)× sin(α + β) 可得 cos(α + β)x + sin(α + β)y = sin(α + β) · cot[2ϕ(t) + β − α], (3) 將 (1) 式 、 (3) 式分別化為

csc(α + β)x = csc[2ϕ(t) + β − α], cot(α + β)x + y = cot[2ϕ(t) + β − α], 即可得

csc²(α + β)x²− [cot(α + β)x + y]² = 1, (4) 化簡得

x² − 2 cot(α + β)xy − y² = 1.

因此, 只要 α + β 不為 kπ (k 為整數), 由二次曲線的分類法則可知上述二次方程式在坐標平 面上的圖形為一雙曲線。 意即 L₁ 、 L₂ 之交點軌跡為一雙曲線。

進一步地, 由(4) 式可得此雙曲線的兩漸近線為

csc(α + β)x ± [cot(α + β)x + y] = 0, 化簡得

y= tanh1

2(α + β)i

· x 、 y = − cot h1

2(α + β)i

· x, 故可知此雙曲線的中心為 (0, 0), 即 L₁ 、 L₂ 之旋轉中心的中點。 又因為

− coth1

2(α + β)i

· tanh1

2(α + β)] = −1,

因此, 兩漸近線互相垂直, 意即 L₁ 、 L₂ 之交點軌跡為一等軸雙曲線。 又 (1, 0) 、 (−1, 0) 滿足 (4) 式, 這表示 L₁ 、 L₂ 之旋轉中心落在此等軸雙曲線上。

根據上述討論, 若給定直線 L₁ 、 L₂ 的初始位置, 及 L₁ 、 L₂ 的旋轉中心 O₁ 、 O₂, 則以 尺規可作出 L₁ 、 L₂ 之交點軌跡之漸近線、 貫軸、 共軛軸、 頂點、 焦點, 作法如下:

1. 作射線 O₁O₂ 並選取其截 L₁、 L₂ 所得的一組同位角 α 、 β;

2. 過 O₁、 O₂ 之中點 O 作一直線 M₁, 使射線 O₁O₂ 截其所得 α 之同位角為 ¹₂(α + β), 再 作直線 M₂ 垂直 M₁ 於 O, 則 M₁、 M₂ 為所求之漸近線;

等速反向不共中心旋轉的兩直線所交的軌跡

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3. 過 O 作直線 N₁、 N₂ 使其為 M₁、 M₂ 交角之分角線, 其中 N₂ 與 O₁、 O₂ 位於 M₁、 M₂ 所交出的同一組對頂角範圍內, 則 N₁ 為所求之共軛軸, N₂ 為所求之貫軸;

4. 在 N₂上, O 的兩側作點 A₁、 A₂, 使 OA₁ = OA₂ = pd(O2, M₁) × d(O2, M₂), 其中 d(O₂, M₁) 、 d(O₂, M₂) 分別代表點 O₂ 到 直線 M₁ 的距離、 點 O₂ 到直線 M₂ 的距離, 則 A₁ 、 A₂ 為所求之頂點;

5. 在 N₂上, O 的兩側作點 F₁ 、 F₂, 使 OF₁ = OF₂ =√

2OA₁, 則 F₁ 、 F₂ 為所求之焦點.

—本文作者原任教台北縣立清水高中, 現任教於國立政大附中—