第二章 直線與圓
◆總複習◆
一、單選題
1. 如右圖所示﹐坐標平面上﹐以(1, 4), (1, 3), (2, 0) 及 (5, 0) 為頂點的四邊形區域（含邊界）﹐可用下列哪一組不 等式表示？
(1)x1, 3x y 6, y0, x y 5 (2)x1, 3x y 6, y0, x y 5 (3)x1, 3x y 6, y0, x y 5 (4)x1, 3x y 6, y0, x y 5 (5)x1, 3x y 6, y0, x ﹒ y 5 解答：(5)﹒
解析：設 (1, 4)A ﹐ (1, 3)B ﹐ (2, 0)C ﹐ (5, 0)D 四邊形 ABCD 區域（含邊界）如下：
1
3 6
0 5 AB x BC x y CD y DA x y
： 的右邊
： 的右邊
： 的上方
： 的左邊
﹐即不等式組為 1
3 6
0 5 x
x y y x y
﹐
2. 設 k 為實數﹐若方程式x2y2 1 kx 的圖形恆為一圓﹐則下列哪一個選項是正確的？ 0 (1) k 值不能為 1 (2)此圓的圓心在 y 軸上 (3)此圓的最小半徑為 2
(4)不論 k 為任何實數﹐(0, 1) 與 (0, 1) 必為圓上的兩點 (5)當圓與直線x 相切時﹐則4 k ﹒ 4 解答：(4)﹒
解析：圓 C ：
2 2
2 2 2 2 4 2
1 0 ( ) 1 ( )
2 4 2
k k k
x y kx x y
﹐
故圓心 ( , 0) 2
K k ﹐且半徑 4 2
2 0
r k ﹐對任意實數 k 恆成立﹐
又此圓的圓心 K 在 x 軸（y ）上﹐當0 k 時﹐此圓的半徑0 r 為最小﹐ 1 當x 代入圓 C ﹐得0 y2 或 11 0 y 1 ﹐
即不論 k 值﹐ (0, 1) 與 (0, 必為圓 C 上的點﹐又1) 2 2 1 0 4
C x y kx L x
：
：
①
② ﹐
由②代入①﹐16y2 1 4k 0 y24k15 ﹐ 0
∵相切﹐其判別式024(4k15) ﹐求得0 15 k 4 ﹒
二、多選題
1. 坐標平面上有四條直線L1, L2, L3, L 與 x 軸﹐y 軸及直線 y4 ﹐其相x 關位置如圖所示﹒其中L 與2 L 垂直﹐而3 L 與3 L 平行﹒設4 L1, L2, L 的3 斜率分別是m1, m2, m 且3 L 的方程式為4 ym x4 ﹐試問下列哪 些 選c 項是正確的？
(1)m3m2 m1 (2)m2m4 (3)1 m1 (4)1 m m1 4 (5)1 c ﹒ 0 解答：(2)(5)﹒
解析： (1)因L 斜率為正﹐3 L 與1 L 斜率均小於 0﹐且2 L 較直線 y2 陡﹐又直線 yx 較x L 陡﹐ 1 故m3m1 1 m2﹐故選項(1)錯誤﹒
(2)由L 與2 L 垂直﹐而3 L //3 L ﹐故4 m3m4且m2m3 ﹐即1 m2m4 ﹐故選項(2)正確﹒ 1 (3)由(1)知m1 ﹐故選項(3)錯誤﹒ 1
(4)由m2m4 ﹐又1 m2m1﹐且m4 ﹐即0 m2m4m m1 4 1 m m1 4﹐故選項(4)錯誤﹒
(5)L 交 y 軸於原點下方﹐則4 c ﹒ 0
2. 如右圖﹐兩直線L1, L 的方程式分別為2 L1:xay , b 0 L2:cx ﹐試問下列哪些選項y d 0 是正確的？(1)a (2)0 b (3)0 c (4)0 d (5)0 ac ﹒ 1
解答：(1)(3)(4)(5)﹒
解析：因L 的斜率1 1 1
m ﹐ x 截距 ba ﹐L 的斜率2 m2 ﹐ y 截距 dc ﹐
由圖形知0m1m2﹐故 1
0 c 0 a
a
﹐0 且c 1 a c
﹐故a ﹐0 c ﹐ 0
又 1 1 2
( ) 1
c ac ac c c ac ac
a a
﹐故選項(1)(3)(5)正確﹒
由圖形知L 的 x 截距1 ﹐故選項(2)錯誤﹐ b 0 b 0 L 的 y 截距2 ﹐故選項(4)正確﹒ d 0 d 0
3. 若x2y2dxey 表一圓且與 y 軸相切於原點﹐則下列哪些選項是正確的？ f 0 (1)d (2)0 e (3)0 f (4)0 d2e2 (5)0 e2 f2 ﹒ 0
解答：(2)(3)(4)﹒
解析：圓 C ：x2y2dxey 與 y 軸（f 0 x ）切於原點(0﹐0)﹐故圓 C 過(0﹐0)代入得0 f ﹐ 0 因 C ：x2y2dxey 與 y 軸（0 x ）相切﹐ 0
令x 代入 C 得0 y2ey ﹐ 判別式0 De2 ﹐ 4 0 0 e 0 圓 C ：x2y2dx ﹐即0 ( )2 2 2
2 4
d d
x y ﹐半徑
2
2 0
4
r d ﹒ d 0
三、填充題
1. 已 知 兩 相 異 直 線axby 與1 cxdy 相交於 (2, 3) ﹐則過 ( , )1 a b 及( , )c d 兩 點 的 直 線 之 斜 率 為 ﹐且直線方程式為 ﹒
解答： 2 3
﹐ 2x3y ﹒ 1
解析：由相交於 (2, 3) 知 2 3 1 2 3 1
a b c d
①
②﹐
① ② 得 2
2( ) 3( ) 0
3 b d a c b d
a c
﹐ 故過 ( , )a b 及( , )c d 兩點的直線斜率為 2 3
﹐
由 2 3 1 2 3 1
a b c d
，知直線 2x3y 同時通過 ( , )1 a b 及 ( ,c d ﹐故所求直線為 2) x3y ﹒ 1
2. 在坐標平面上﹐一矩形的四個頂點 (0, 0),A B(8, 0), C(8, 5), D(0, 5)﹐若直線ym x( 將矩6) 3 形 ABCD 分成面積相等的兩塊﹐則 m 之值為 ﹒
解答：1 4﹒
解析：過平行四邊形對角線交點的直線必平分此平行四邊形為全等的兩部分，當然面積也平分相等 的兩塊。
如圖 ABCD 為一矩形﹐直線 L ：y 3 m x( 通過點 (6, 3) ﹐且以 m 為斜率﹐ 6) 設直線 L 可平分矩形 ABCD ﹐必過 BD 的中點 5
(4, ) 2 ﹐
5 3 (4 6)
2
m
4m ﹐1 1 m ﹒ 43. 給定兩點 ( 1, 2)P 及 (1, 3)Q ﹒
(1)若直線 2x 與 PQ 相交﹐則 k 的範圍為 ﹒ y k (2)若直線ym x( 與 PQ 相交﹐則 m 的範圍為 ﹒ 3) 解答：(1) 1 ﹒ (2)k 0 3
4 m 1
﹒
解析：(1)令直線 L ： 2x ﹐ L 與 PQ 相交 點 P ﹐ Q 在直線 L 的異側或 L 上 y k 0
[2 ( 1) 2 k][2 1 ( 3) k] 0 k k( ﹒ 1) 0 1 k 0 (2)同(1)令 L ：mx y 3m ﹐ 0
L 與 PQ 相交[ ( 1)m 2 3 ][m m ( 3) 3 ]m 0 2(m1)(4m 3) 0 3 4 m 1
﹒
4. 若直線 1
: 2
L y2x 及二點 (1, 5), (4, 9)A B ﹐在直線 L 上找一點 P﹐使 AP PB 有最小值﹐則 (1)點 P 坐標為 ﹒ (2)最小值為 ﹒
解答：(1) 10 11 ( , )
3 3 (2) 65 ﹒ 解析：(1)令 (1, 5)A 對 L ： 1
2 2
y x 的對稱點坐標為 ( , )A' s t ﹐
則
5 2 1
5 1 1 2 2 2 2
t AA' L
s
t s
AA' L
（ ∵ ）
（ ∵ 中點在 上）
2 7 0 2 1 0 s t s t
解得A' s t( , )(3, 1)﹒
(2)設 P 為 L 上一點﹐由(1)知 APA'P﹐ 欲使 AP BP A'PBP為最小時（最小值為 A'B ） 為 A' ﹐ P ﹐ B 三點在一直線上﹐ 即點 P 為直線 A'B 與 L 的交點﹐
故解
9 1 9( 4) 3 4 1 2 2
y x
y x
﹐得 10
x 3 ﹐ 11
y 3 ﹐故所求點 10 11 ( , )
3 3
P ﹐
最小值為APABA'B (4 3) 2 (9 1)2 65﹒ 5. 坐標平面上﹐ (0, 1),A B(1, 0), C(2, 1) ﹒
(1)△ABC 的外接圓方程式為 ﹒
(2)若點 ( , )P x y 為外接圓上任一點﹐則 x 最大值為 ﹐最小值為 ﹒ y 解答：(1)x2y22x2y ﹒ (2)最大值 2 ﹐最小值1 0 2﹒
解析：(1)求得 AB 的垂直平分線方程式為x ……①﹐ y 0 BC 的垂直平分線方程式為x ……②﹐ y 2 0
解①②得x ﹐1 y ﹐即圓心 (1, 1)1 P ﹐半徑rAP ﹐ 1 故圓方程式為(x1)2(y1)2 ﹐即1 x2y22x2y ﹒ 1 0
(2)令 x ﹐直線 L ： x y ky k 與圓 C ：x2y22x2y ﹐相切或相割﹐ 1 0 故將 y 代入 C ﹐得x k x2 ( x k)22x 2( x k) 1 0 ﹐
2x2 ( 2k 4)x(k22k ﹐ 1) 0
此方程式有二相異實根或二相等實根﹐故判別式大於或等於 0﹐得( 2 k 4)28(k22k ﹐ 1) 0 4k2 ﹐8 0 k2 ﹐2 0 2 k 2﹐
故 x 的最大值為 2 ﹐最小值為y 2﹒
6. 坐標平面上﹐已知圓C x: 2y24x6y 與 x 軸相切﹒ k 0
(1)實數 k 之值為 ﹒ (2)若圓 C 又與直線 ymx相切﹐其中m ﹐則 m 值為 ﹒ 0 解答：(1) 4 ﹒ (2)12
5 ﹒
解析：(1) C ：(x2)2(y3)2 13 ﹐圓心 (2, 3)k ﹐半徑 13 k ﹐ ∵ C 與 x 軸相切﹐故 13 ﹐解得k 3 k ﹒ 4
(2)圓 C ：x2y24x6y ﹐將 y mx4 0 代入圓 C ﹐
得x2m x2 24x6mx ﹐整理4 0 (1m x2) 2 ( 4 6 )m x ﹐ 4 0 相切﹐故判別式( 4 6 ) m 24(1m2) 4 ﹐即 (50 m m12) ﹐故0 12
m 5 （∵m ）﹒ 0
7. 設 ( , )x y 為不等式組
4 5 17 0 5 2 20 0
0 0 x y x y x y
所表示圖形上的任一點﹐若 ax 在點 (2, 5) 有最大值﹐則y
a 的範圍為 ﹒
解答： 4 5
5 a 2
﹒
解析：先畫出可行解區域﹐如右圖：
右圖得可行解區域的頂點為 (0, 0) ﹐ (4, 0) ﹐ (2, 5) ﹐ 17 (0, )
5 ﹐ 令 kax ﹐將各頂點代入﹐列表如下： y
頂點 (0, 0) (4, 0) (2, 5) 17 (0, )
5 ax y 0 4a 2a5 17
5
因 kax 在點 (2, 5) 有最大值為 2y a ﹐故5
2 5 0 2 5 4 2 5 17
5 a
a a
a
5 2
5 4 5
2 5 2
4 5 a
a a
a
﹒
8. 在坐標平面上﹐一圓通過點 (5,2)﹐且與直線 3x 相切於點 (1, 2) ﹐設此圓的方程式y 1 0 為x2y2ax by ﹐則 a ﹐ b ﹐ c ﹒ c 0
解答：a ﹐8 b ﹐2 c ﹒ 7
解析：設 (5,A ﹐ (1, 2)2) B ﹐圓心 K ﹐
圓心 K 在過點 (1, 2)B ﹐且垂直 3x 的直線 L 上﹐ y 1 0 求得 L ：x3y ① ﹐ 7 0
又圓心 K 在 (5,A 與 (1, 2)2) B 的垂直平分線 M 上﹐
求得 M ：x ② ﹐ y 3 0
聯立①②得圓心K x y( , )(4, 1)﹐而半徑為KA 10﹐
故圓方程式為(x4)2(y1)210x2y28x2y ﹐故7 0 a ﹐8 b ﹐2 c ﹒ 7
四、計算題
1. 如右圖﹐坐標平面上﹐假設一點光源位於點 (6, 4)A ﹐朝向直線 :L x y 2 0 射出﹐已知在 L 上的入射點為 B﹐而經 L 反射後射向 x 軸﹐且在 x 軸上 的入射點為 C﹐再反射通過點 (0,1) ﹐試求：
(1)點 A 對直線 L 的對稱點坐標﹒
(2)點 ,B C 的坐標﹒
解答：(1) (2, 8) (2) 6 20 ( , )
7 7
B ﹐ 2
( , 0) C 9 ﹒
解析：(1)設 (6, 4)A 對 L ：x 的對稱點坐標為 ( , )y 2 0 A' s t ﹐
則由 AA' 得L 4 6 1 t s
﹐即s t 10 ① ﹐ 0
又 L 平分 AA' ﹐故 AA' 中點 6 4
( , )
2 2
s t
在 L ：x 上﹐ 得y 2 0 s ② ﹐ t 6 0
聯立①②得s ﹐2 t ﹐故 A 的對稱點為 (2, 8) ﹒ 8
(2)設點D(0, 1)對 x 軸的對稱點為 D' ﹐則D'(0, ﹐由(1)得 A 對 L 之對稱點 (2, 8)1) A' ﹐ 因 A' ﹐ B ﹐ C ﹐ D' 四點在一直線上﹐ 而直線 A' D' 方程式為 8 ( 1)
1 ( 0)
y 2 0 x
﹐
即 9x2y 與 L ：2 0 x 聯立得點y 2 0 6 20 ( , )
7 7
B ﹐
9x2y 與 x 軸交於點2 0 2 ( , 0)
C 9 ﹐ 得 6 20 ( , )
7 7
B ﹐ 2
( , 0) C 9 ﹒
2. 設某公司用 ,A B 兩種機器生產某產品﹐A 機器每台需成本 20 萬元及 10 萬元的維護費﹐且每 台有年利潤 3 萬元﹐而 B 機器每台需成本 30 萬元及 40 萬元的維護費﹐且每台有年利潤 8 萬 元﹒但公司編制機器成本不超過 600 萬元﹐且總維護費不超過 400 萬元﹐則此公司每種機器 應各購置多少台以求得最大年利潤﹐並算出最大年利潤﹒
機器 A 機器 B 費用上限
機器成本 20 30 600
維護費 10 40 400
每台年利潤 3 8
解答： A 機器 24 台﹐ B 機器 4 台﹐最大年利潤 104 萬元﹒
解析：設購置 A 機器 x 台﹐ B 機器 y 台﹐
則限制條件為
20 30 600 10 40 400
,
x y
x y
x y
為非負整數
﹐不等式組區域圖形如圖：
目標函數為 3x8y ﹐ 表斜率k 3 8
且 y 截距為 8
k 的直線﹐
當通過 20x30y600與10x40y400的交點 (24, 4) ﹐ 即x24﹐y 時﹐有最大值4 k 3 24 8 4 104﹐
故購置 A 機器 24 台﹐ B 機器 4 台﹐有最大年利潤 104 萬元﹒
3. 今年果農台雄採收椪柑共獲 1080 粒﹐要打包裝箱上市﹐已知大箱一箱可裝 25 粒﹐小箱一箱 可裝 8 粒﹐每個大箱子成本 60 元﹐每個小箱子成本 20 元﹐請問如何分配能將這 1080 粒椪 柑剛好裝完﹐而所用的箱子成本花費最少﹒
解答：用 40 個大箱子﹐10 個小箱子﹐最少成本為 2600 元﹒
解析：設用 x 個大箱﹐ y 個小箱﹐那麼 x ﹐ y 需滿足下列條件： 25 8 1080 ,
x y x y
都是非負整數
①
②﹐ 花費箱子成本為p60x20y③ ﹐
由①得 1 25
(1080 25 ) 135
8 8
y x x④ ﹐
④代入③得 25 5
60 20(135 ) 2700
8 2
p x x x ⑤ ﹐
在 xp 坐標平面上﹐⑤表斜率 5
﹐ p 截距 2700 的直線﹐ 2 而 p 隨著 x 的增大而減小﹐又由②④知 x 滿足 216
0 x 5 ﹐且 x 是 8 的倍數﹐
故當x40時﹐y10﹐ p 有最小值 5
40 2700 2600
2 ﹐ 即用 40 個大箱子﹐10 個小箱子﹐最少成本為 2600 元﹒
4. (1)在坐標平面上﹐試作由下列兩個不等式所定義的區域 R：
2 2
4 1 x y y
﹒ (2)求 x 在區域 R 上的最大值與最小值﹒ y
解答：(1)略﹒ (2)最大值 2 2 ﹐最小值 3 1 ﹒ 解析：(1) 如右上圖 R 為陰影區域﹒
(2)令 x 表示斜率為 1y k 的直線﹐
欲在 R ：
2 2
4 1 x y y
上﹐使 k 有最小值發生在 x 通過y k 2 2 4
1 x y y
的一個交點 (A 3, 1)﹐ 如圖﹐此時﹐最小值k 3 1 ﹒
又 k 最大值發生在直線 x 與圓y k x2y2 相切的點 B 位置﹐ 4 此時﹐ 2 2
4 x y k x y
恰有一組解﹐即x2(kx)2 ﹐ 亦即4 2x22kx(k2 有重根﹐ 4) 0 方程組的解就是切點﹐判別式：( 2 ) k 2 4 2(k2 ﹐得4) 0 k 2 2（負不合）﹐ 即k2 2時﹐2x22kxk2 的重根4 0 2
2 2 2 x k
﹐
即x 2時﹐y 2﹐點 ( ,B x y)( 2, 2)時﹐x y 2 2為最大值﹒
