28 索數列…遞迴數列的奧妙

28 索數列…遞迴數列的奧妙

拋物線與弦所圍的區域稱為拋物線的弓形，世界上第一位會算拋物線弓形面積的人是兩 千多年前的阿基米德。阿基米德以弦為底畫出一個三角形，之後在兩邊再各畫一個三角 形，如下圖所示：

阿基米德說：「如果依照這樣的規律一直畫上去，那麼這些三角形的面積總和就會是拋 物線的弓形面積。」後人利用馱龜問題來讓中學生瞭解阿基米德的巧思及其如何算得此 面積公式，大意是這樣的：一隻大烏龜馱上 2 隻中烏龜，這兩隻中烏龜的重量都是大烏 龜的八分之一，又每隻中烏龜又背著 2 隻小烏龜，這兩隻小烏龜的重量也都是中烏龜的 八分之一，如此疊上去，如下圖所示

此時所有烏龜的重量和就是拋物線的弓形面積。如果可以算得每一層烏龜的重量和，那 麼所以烏龜的重量和就可以得到。

無論是弓形面積或者是烏龜的總重量，都是將他們化成數列來考慮。可見如何求出數列 的規律或一般項公式就變得很重要了。這裡我們來玩一道與數列相關的操作遊戲：

將長度為18的繩子所構成的環形繩索拉成邊長為7, 7, 4的等腰三角形，然後按住此等 腰三角形的一個底角，將底角兩邊的繩子平分，變成邊長為7, 5.5, 5.5的腰三角形。按 照這樣的操作，可以不斷的產生新的等腰三角形，並假設第n個等腰三角形的腰長為

an，如下圖所示：

試求a_n的公式。

因為第 n 個等腰三角形的腰長為a ，所以其三邊邊長為 _n , ,18 2 .

n n n

a a  a

此時，底邊與腰長的平均值為

(18 2 )

9 .

2 2

n n n

a   a  a

根據操作，這個值就是下個等腰三角形的腰長，即

1 9 .

2

n n

a _  a

我們把上述遞迴關係改寫為

1

( 6) 1 ( 6).

n 2 n

a _     a 

 

這個關係告訴我們數列  a_n 6 是首項為a₁ 6 1，公比是 1

2的等比數列，其一般項公 式為

1 1 1

1 1

6 ( 6) .

2 2

n n

an a

 

   

       

故

1 1

6 .

2

n

an

  

   

 