高中數學(4)A 3-3 貝氏定理 1
習題 習題 習題
習題 3-3 解答解答解答解答
一 一 一
一﹑基本題基本題基本題基本題
1. 袋中有相同的紅球 5 顆與白球 3 顆﹐假設每顆球被取出的機會均等﹐每次取一球﹐連續取 3 次﹐
則：
(1) 若取出後放回﹐試問取出的三球依序為紅﹑白﹑紅的機率為何？
(2) 若取出後不放回﹐試問取出的三球依序為紅﹑白﹑紅的機率為何？
解 解解
解 (1) 令 A 表示取出紅球的事件﹐則 P（A）＝5 8﹐ 令 B 表示取出白球的事件﹐則 P（B）＝3
8。
若取出後放回﹐則取出的三球依序為紅﹑白﹑紅的機率為 5 3 5 75 8 8 8× × =512。 (2) 令 A 表示第一球取出紅球的事件﹐
B 表示第二球取出白球的事件﹐
C 表示第三球取出紅球的事件﹐
故所求為 P（A∩B∩C）。
則 P（A∩B∩C）＝P（A）P（B|A）P（C|A∩B）＝5 3 4 5 8× × =7 6 28。
2. 從 1 到 9 的 9 個數字中任取兩個數字﹐每一個數字皆不可重複選取﹐若已知選取的兩個數字的 和為偶數﹐試求這兩個數字均為偶數的機率為何？
解解解
解 若選取的兩個數字的和為偶數﹐表示選出：① 兩個奇數；② 兩個偶數。
① 選出兩個奇數的情形有 n（2 奇）＝C25 種；
② 選出兩個偶數的情形有 n（2 偶）＝C24 種。
故所求為 P（2 偶|和為偶數）＝
( )
( )
4 2
5 4
2 2
2 6 3
10 6 8
n C
C C
n = + = + =
偶 合為偶數
3. 老師出了一道數學題要學生直接到黑板上解題。已知此班有 10 人﹐其中有 3 人不會作答。若老 師依序隨機抽點兩人上臺解題﹐則兩人都不會解這道題的機率為何？
解 解解
解 令 A 表示第一位同學不會解的事件﹐B 表示第二位同學不會解的事件﹐
所求即為 P（A∩B）﹐由條件機率的乘法法則﹐
P（A∩B）＝P（A）P（B|A）＝ 3 2 1 10× =9 15
4. 某城市的人口中﹐女性占 40 ％﹐男性占 60 ％。已知男性中有 40 ％ 的人飲食習慣為素食﹐女 性中則有 30 ％ 的人飲食習慣為素食﹐則：
(1) 若隨意抽出一人﹐不知此人為男性或女性﹐只知為素食者﹐則此人為男性的機率為何？
(2) 承(1)﹐若已知此人為葷食者﹐則其為男性的機率為何？
解 解解
解 (1) 由右圖可知﹐所求為 0.6 0.4 0.24 2 0.6 0.4 0.4 0.3 0.36 3
× = =
× + ×
(2) 由右圖可知﹐所求為 0.6 0.6 0.36 9 0.6 0.6 0.4 0.7 0.64 16
× = =
× + ×
高中數學(4)A 3-3 貝氏定理 2
5. 已知籤筒內有 10 支籤﹐其中 3 支標示有獎﹐假設每支籤被抽中的機會均等﹐今甲﹐乙﹐丙三人 依序抽 1 支籤且抽完不放回﹐試問甲﹐乙﹐丙三人均未中獎的機率為何？
解 解解
解 令 A 表示甲中獎的事件﹐B 表示乙中獎的事件﹐C 表示丙中獎的事件﹐
所求即為 P（A'∩B'∩C'）﹐由條件機率的乘法法則﹐
P（A'∩B'∩C'）＝P（A'）P（B'|A'）P（C'|A'∩B'）＝ 7 6 5 7 10× × =9 8 24
二 二 二
二﹑進階題進階題進階題進階題
6. 甲﹐乙兩隊進行比賽﹐每一場比賽甲隊獲勝的機率為 1
4﹐和局的機率為 1
6。現在甲﹐乙兩隊 連續進行 3 場比賽﹐每一場比賽的結果互不影響﹐試問乙隊恰贏一場比賽的機率為何？
（四捨五入至小數點後第三位）
解 解解
解 依題意﹐甲獲勝的機率為1
4﹐和局的機率為 1
6﹐乙獲勝的機率為 1 1 1 7 4 6 12
− − = 。
(1) 甲贏 2 場﹐乙贏 1 場：C23
( )
14 2×127 = 647(2) 甲贏 1 場﹐和局 1 場﹐乙贏 1 場：1 1 7 3! 7 4× × × =6 12 48。 (3) 和局 2 場﹐乙贏 1 場：C23
( )
16 2×127 =1447故乙恰贏 1 場的機率為 7 7 7 175
64+48+144=576 ≈ 0.304
7. 甲﹑乙﹑丙三家工廠員工分別有 500﹑600﹑900 人﹐其中各有 30 ％﹑40 ％﹑45 ％ 是到職未 滿一年的新員工。假設不論新舊員工離職的機率是相等的﹐今有一位到職未滿一年的新員工離職 了﹐則他是在丙工廠工作的機率為何？
解 解解
解 任選一名員工﹐則此員工來自
甲工廠的機率為 P（甲）＝ 500 1
500 600 900+ + =4＝0.25﹐
乙工廠的機率為 P（乙）＝ 600 3
500 600 900+ + =10＝0.3﹐
丙工廠的機率為 P（丙）＝ 900 9
500 600 900+ + =20＝0.45。
則由右圖可知﹐所求為
0.45 0.45 0.2025 27 0.25 0.3 0.3 0.4 0.45 0.45 0.075 0.12 0.2025 53
× = =
× + × + × + + 。
8. 小芬出門度假前﹐拜託小菡幫忙照顧魚缸裡的魚。已知沒有餵食飼料魚會死亡的機率是 0.8；若有 餵食飼料﹐則魚會死亡的機率是 0.1。如果小菡八成會記得餵魚﹐試問當小芬度假回來後﹐發現魚 缸裡的魚還活著的機率為何？
解 解解
解 令 A 表示小菡記得餵魚的事件﹐則 P（A）＝0.8﹐P（A'）＝0.2 B 表示魚活著的事件﹐則 P（B|A）＝0.9﹐P（B|A'）＝0.2
故得 P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A'）P（B|A'）＝0.8×0.9＋0.2×0.2＝0.76
高中數學(4)A 3-3 貝氏定理 3
9. 衛福部公布 107 年度罹患癌症致死的國人中﹐男性與女性的人數比約為 3：2。死因為氣管﹑支 氣管和肺癌的男﹑女性人數統計資料如下表所示。試求當年度罹患癌症致死的全體國人中﹐死因 為氣管﹑支氣管和肺癌所占的比例為何？（四捨五入至百分比小數點後第五位）
男性 女性
癌症死亡原因 死亡人數結構比（％） 癌症死亡原因 死亡人數結構比（％）
氣管﹑支氣管和肺癌 19.96017 氣管﹑支氣管和肺癌 18.13674
（資料來源：衛生福利部統計處 107 年）解 解解
解 因為罹患癌症致死的國人中﹐
男性與女性的人數比約為 3：2﹐
所以男性占死亡人數的 3 5﹐ 女性占死亡人數的 2
5 則由右圖可知﹐所求為
3 2
0.1996017 0.1813674
5× + ×5 ＝0.19230798＝19.230798 ％ ≈ 19.23080 ％
三 三 三
三﹑挑戰題挑戰題挑戰題挑戰題
10. 已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗﹐其準確率（帶原者檢測出陽性反應加上非帶原者檢測出 陰性反應占全體的比例）為 x ％﹐現推估有 2 ％ 的民眾為此病毒帶原者﹐若希望以此試劑 檢驗結果呈陽性反應的人﹐確實是帶原的機率達到 80 ％ 以上﹐則其準確率 x ％ 至少要達 到多少以上？（四捨五入至百分比小數點後第二位）
解 解解
解 由右圖可知﹐所求為
( )
2% %
2% % 98% 1 % 80%
x
x x ≥
+ −
．
． ．
﹐故 x ％ ≥ 0.9949238579…﹐
故準確率 x ％ 至少要達到 99.49 ％ 以上
