數學(C)卷 107-3-C

107-3共同科目 數學(C)卷 詳解

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107 學年度四技二專第三次聯合模擬考試 共同科目 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷 107-3-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C B D C D C C A D A A A B D C C B B A D C A D B B

1. 的斜率為 1 0 1 2 0 2

   

 ，所以直線L的斜率為 2，

又L過點B L：y 1 2(x3)

2 5

 x y  且 方程式為 0 1( 0) 3 0

 3    

y x x y

解 2 5

3 0 1

  

   

 x y 得

x y x ，y 3

所以 ( , ) (1, 3)D x y   4x y 1，答案為(C) 2. 因為正方形邊長為 4_所以圓半

徑 為 正 方 形 對 角 線 長 之 半

_半徑2 2

所求區域面積即為 2 個扇形面積

2_{個三角形面積}

2 2

1 1

2[ (2 2) ] 2[ (2 2) ]

2 2 2

    

4 8

  _{，答案為(B)}

3. 1 ² 1 ²

cos sin (cos sin ) ( )

5 5

      

   

1 12

1 2sin cos sin cos

25 25

      

又 sin cos

tan cot

cos sin

    

 

 

2 2

sin cos 1 25

sin cos sin cos 12

   

 

 

    ^{，答案為(D)}

4. 函數F x( )atan(bx c ) d 的週期計算公式為

| ^原週期 | | | 的係數

x b

 _週期為 2

2

 

 ^{，答案為(C)}

5. 原式 1 3 cos10 3 sin10 sin10 cos10 sin10 cos10

  

 

   

1 3

2( cos10 sin10 )

2 2

1(2sin10 cos10 ) 2

  



 

2(sin 30 cos10 cos30 sin10 ) 1 sin 20

2

    



 

2[sin(30 10 )] sin 20

4 4

1sin 20 sin 20 2

   

   

  ^{，答案為(D)}

6. 2x²3x  1 0 (2x1)(x 1) 0

可得2x²3x 1 0之二根為1

2、1，又 sinAsinB，

所以 1

sinA2 ， sinB1，利用正弦定理可知

sin 2

BC R

A 2

1 2 2sin 2

2 R BC

  A 



所以外接圓面積為R² 4_{，答案為(C)} 7. 如下圖， AD 為 A 之平分線 4 2

6 3

 AB BD  AC CD 又BC5，所以BD2，CD3 在 ABC 中， 5² 4² 6²

cos 2 5 4

 

   B

在 ABD中，

2 2 2

2 4 cos 2 2 4

 

   B AD

所以cos 5² 4² 6² 2 5 4

 

   B

2 2 2

2 4 2 2 4

 

   AD 18 3 2

AD  ，答案為(C)

8.

所以

2 2 2

1(6 7 8 ) 21

2 2

      ，答案為(A) [另解]

2 2 2 62 72 82 1

cos 2 2 6 7 4

   

   

    AB BC AC

ABC AB BC

cos( ABC) 1 21 6 7 ( cos ) 42 ( )

4 2

    ABC     

9. 由餘式定理可知， ( )g x  f f x( ( ))除以x1所得的餘 式為 (1)g  f f( (1)) f(2) 4 _{，答案為(D)}

10. 直接使用綜合除法，被除式為4x³2x²2x3，除 式為 2x1

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4 2 2 3 2 0 1 1 2 4 0 2 , 22 2 0 1 , 2

  

  

  

  

所以Q x( ) 2 x²1， ( )R x  2 (1) (3) 3 ( 2) 1   

Q R ，答案為(A)

11. f x( )g x( )之展開式中的常數項為 (0)f g(0)及所 有項係數和為 (1)f g(1)

又 f(0) 0 ²  0 k k， f(1) 1   ² 1 k k

3 2

(0) 0       0 2 0 1 1

g k

3 2

(1) 1       1 2 1 1 2

g k k

(0) (0) (1) (1) ( 1) ( 2)

 f g  f g      k k k ( 1) 0 0

k k   k (不合)或k1，答案為(A) 12. 設方程式兩根為 、2

則兩根和為 ( 2)k_{，兩根積為} ( 2) 15

22 15 0 ( 3)( 5) 0

   

  3_{或 5 (不合)} 3 (3 2) 8

   k  ， ₂⁸ 8! 28 2! (8 2)!

 

C   答案為(A)

13. 由克拉瑪公式可得 

 ^x

x ， 

 

y y ，  

^z z (其中

2 1 1

1 1 1 3

1 2 1

     )

4 1 1

1 1 1 3

2 2 1

  _x    _，

2 4 1

1 1 1 3

1 2 1

 _y    

2 1 4

1 1 1 9

1 2 2

 _z   

∴          _{x y z} 3 ( 3) 9 3 [另解]

設所求     _{x y z} k

則    1

       

   

x y z

k x y z

2 1 1

1 1 1 3

1 2 1

    k     ，答案為(B)

14. 原式為2 1

  2

z i

z 2z 1 2z iz

1 1

    iz z i i

所以| 2z| | 2  i| 2² ( 1)²  5，答案為(D) 15. 一長方體的長為 a ，寬為 b ，高為 c

0

a ，b0，c0且a b c  12

又長方體體積為   a b c 由算幾不等式可得

3 12 3 64

3 3

             a b c a b c a b c a b c

所以最大體積為 64，答案為(C)

16. ^{10 10 10 10}

1 1 1 1

(2 5 3) 2 5 3

   

    



^{n n}



ⁿ



ⁿ



n n n n

a b a b

10 10

1 1

2 5 30 2 10 5 8 30 10

 





ⁿ



ⁿ      

n n

a b

答案為(C)

17. (A) x0時， 2018^x107^x；x0時， 2018^x107^x 所以y2018^x的圖形不會恆在y107^x的上方 (B) ylog_a x與 y a^x兩函數的圖形對稱於直線

 0 x y

(C) ∵ log1 log 1  log_a

a a

y x x x

∴ylog_ax與 log₁

a

y x兩函數的圖形對稱於 x 軸 (D) 對數函數ylog_ax永遠在y軸的右邊，且y軸為 漸近線

答案為(B)

18. 芮氏規模公式：log ( ) 5.24 1.44E r   r

此大地震震央所釋放出來的能量約8 10 ¹⁵焦耳 log(8 10 ) 5.24 1.4415

    r

log 8 log1015 5.24 1.44

    r

3log 2 15 5.24 1.44

    r

3 0.3010 15 5.24 1.44

     r，r7.405，答案為(B) 19. ₃₀ log 20 log10 2 log10 log 2

log 20

log 30 log10 3 log10 log 3

 

   

 

a

1 0.3010 0.881 1 0.4771

 

 ^

3

log 2 0.301

log 2 0.631

log 3 0.4771

  

b 

1 1

0.3 1 1

log 0.2 log 2 10 log 2 log10 log 0.2

log 0.3 log 3 10 log 3 log10

 

 

 

   

 

c

log 2 log10 0.301 1 log 3 log10 0.4771 1

 

 

  1.337

所以c a b  ，答案為(A)

20. 全部選法含庚選法  不含庚選法

C₁¹C₁⁶C₁⁴C₁²   6 8 14_{，答案為(D)} 21. 先算出組合數，再算排列數

組合數：全不合(4 全男或 4 全女)

9 5 4

4 ( 4 4) 126 6 120

C  C C   

排列數：四個人作直線排列4! 24

所以全部方法數為120 24 2880  _{，答案為(C)} 22. 設A為選出 3 數為等差關係的事件，S為樣本空間，

所以n S( )C₃¹⁰120

討論A事件情形：公差為 1(1 , 2 , 3) , (2 , 3 , 4) ,…

(8 , 9 , 10)，共 8 個 公差為 2

(1 , 3 , 5) , (2 , 4 , 6) , (3 , 5 , 7) ,…(6 , 8 , 10)，共 6 個

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公差為 3

(1 , 4 , 7) , (2 , 5 , 8) , (3 , 6 , 9) , (4 , 7 , 10)，共 4 個 公差為 4(1 , 5 , 9) , (2 , 6 , 10)，共 2 個

所以

( ) 8 6 4 2 20    

n A ( ) ( ) 20 1

( ) 120 6

p A n A   n S

答案為(A)

23. 設A為所選 3 天中任 2 天都不連續的事件，樣本空間 S為 7 天中任選 3 天的事件，所以n S( )C₃⁷ 35，

5

( ) 3 10

n A C (從未訓練的 4 天之 5 個間隔中，任選 3個排入訓練日)

( ) 10 2 ( ) ( ) 35 7

  n A  

p A n S ^{，答案為(D)} 24. 公司獲利期望值E

0.1 ( 30 3) 0.2 (20 60) 0.4 (40 30) 0.3 (60) 5

3 1 2 2 1 3

            

   

賠 台 賺 台賠 台 賺 台賠 台 賺 台

答案為(B) [另解]

平均每年售出0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.3 1.9        _(台) 平均每年沒賣出有3 1.9 1.1  _(台)

故所求為

1.9 (50 30) 1.1 ( 30) 38 33 5        _(萬元)

25. 標準差的定義為討論資料的集中或分散狀況，資料越 集中，標準差越小，最小為 0；資料越分散，標準差 越大，所以四組資料中，B組的資料為最分散，標準 差最大。答案為(B)