===++ nCCCn 2631068 偶合為偶數 C C

(1)

110 下高二數學 A3.3(第 4 冊 ch3) 第 1 頁翰林版 CJT

Ch 3.3 貝氏定理習題二年____班座號：____ 姓名：

一一

一一、基本題基本題基本題基本題

1.袋中有相同的紅球 5 顆與白球 3 顆，假設每顆球被取出的機會均等，每次取一球，連續取 3 次，則：

(1)若取出後放回，試問取出的三球依序為紅、白、紅的機率為何？

(2)若取出後不放回，試問取出的三球依序為紅、白、紅的機率為何？

解：(1)令 A 表示取出紅球的事件，B 表示取出白球的事件，則 P(A)＝5

8，P(B)＝3 8 若取出後放回，則取出的三球依序為紅、白、紅的機率為5 3 5 75

8 8 8× × =512

(2)令 A 表示第一球取出紅球的事件，B 表示第二球取出白球的事件，C 表示第三球取出紅球的事件 故所求為 P(A∩B∩C)＝P(A)P(BA)P(CA∩B)＝5 3 4 5

8× × =7 6 28

2.從 1 到 9 的 9 個數字中任取兩個數字，每一個數字皆不可重複選取，若已知選取的兩個數字的和為偶數，試求這兩個數字均為偶數的機率為何？

解：若選取的兩個數字的和為偶數，表示選出：○¹ 兩個奇數；○² 兩個偶數

○¹ 選出兩個奇數的情形有 n(2 奇)＝C₂⁵種

○² 選出兩個偶數的情形有 n(2 偶)＝C₂⁴種 故所求為 P(2 偶和為偶數)＝

( )

4 2

5 4

2 2

2 6 3

10 6 8

n C

C C

n = + = + =

偶合為偶數

3.老師出了一道數學題要學生直接到黑板上解題。已知此班有 10 人，其中有 3 人不會作答。若老師依序隨機抽點兩人上臺解題，則兩人都不會解這道題的機率為何？

解：令 A 表示第一位同學不會解的事件，B 表示第二位同學不會解的事件，所求即為 P(A∩B) 由條件機率的乘法法則，P(A∩B)＝P(A)P(BA)＝ 3 2 1

10× =9 15

4.某城市的人口中，女性占 40％，男性占 60％。已知男性中有 40％的人飲食習慣為素食，女性中則有 30％的人飲食習慣為素食，則：

(1)若隨意抽出一人，不知此人為男性或女性﹐只知為素食者﹐則此人為男性的機率為何？

(2)承(1)，若已知此人為葷食者，則其為男性的機率為何？

解：(1)由右圖可知，所求為 0.6 0.4 0.24 2 0.6 0.4 0.4 0.3 0.36 3

× = =

× + ×

(2)由右圖可知，所求為 0.6 0.6 0.36 9 0.6 0.6 0.4 0.7 0.64 16

× = =

× + ×

5.已知籤筒內有 10 支籤，其中 3 支標示有獎，假設每支籤被抽中的機會均等，今甲、乙、丙三人依序抽 1 支籤且抽完不放回，試問甲、乙、丙三人均未中獎的機率為何？

解：令 A 表示甲中獎的事件，B 表示乙中獎的事件，C 表示丙中獎的事件，所求即為 P(A'∩B'∩C' ) 由條件機率的乘法法則，P(A'∩B'∩C' )＝P(A')P)B'A')P(C'A'∩B')＝ 7 6 5 7

10× × =9 8 24

(2)

二、進階題

6.甲、乙兩隊進行比賽，每一場比賽甲隊獲勝的機率為1

4，和局的機率為 1

6。現在甲，乙兩隊連續進行 3 場比賽，每一場比賽的結果互不影響，試問乙隊恰贏一場比賽的機率為何？(四捨五入至小數點後第三位)

解：依題意，甲獲勝的機率為1

4，和局的機率為1

6，乙獲勝的機率為1 1 1 7 4 6 12

− − =

(1)甲贏 2 場，乙贏 1 場：^C²³

( )

¹⁴ ²^×¹²⁷ ⁼ ⁶⁴⁷

(2)甲贏 1 場，和局 1 場，乙贏 1 場：1 1 7 7 4× × × =6 12 3! 48

(3)和局 2 場，乙贏 1 場：^C²³

( )

¹⁶ ²^×¹²⁷ ⁼¹⁴⁴⁷

故乙恰贏 1 場的機率為 7 7 7 175

64+48+144=576 ≈ 0.304

7.甲、乙、丙三家工廠員工分別有 500、600、900 人，其中各有 30％、40％、45％是到職未滿一年的新員工。假設不論新舊員工離職的機率是相等的，今有一位到職未滿一年的新員工離職了，則他是在丙工廠工作的機率為何？

解：任選一名員工，則此員工來自

甲工廠的機率為 P(甲)＝ 500 1

500 600 900+ + = 4＝0.25 乙工廠的機率為 P(乙)＝ 600 3

500 600 900+ + =10＝0.3 丙工廠的機率為 P(丙)＝ 900 9

500 600 900+ + = 20＝0.45

則由右圖可知，所求為 0.45 0.45 0.2025 27 0.25 0.3 0.3 0.4 0.45 0.45 0.075 0.12 0.2025 53

× = =

× + × + × + +

8.小芬出門度假前，拜託小菡幫忙照顧魚缸裡的魚。已知沒有餵食飼料魚會死亡的機率是 0.8；若有餵食飼料，則魚會死亡的機率是 0.1。如果小菡八成會記得餵魚，試問當小芬度假回來後，發現魚缸裡的魚還活著的機率為何？

解：令 A 表示小菡記得餵魚的事件，則 P(A)＝0.8，P(A' )＝0.2 B 表示魚活著的事件，則 P(BA)＝0.9，P(BA' )＝0.2

故得 P(B)＝P(A)P(BA)＋P(A' ) P(BA' )＝0.8×0.9＋0.2×0.2＝0.76

9.衛福部公布 107 年度罹患癌症致死的國人中，男性與女性的人數比約為 3：2。死因為氣管、支氣管和肺癌的男、女性人數統計資料如下表所示。試求當年度罹患癌症致死的全體國人中，死因為氣管、支氣管和肺癌所占的比例為何？

(四捨五入至百分比小數點後第五位)

解：因為罹患癌症致死的國人中，男性與女性的人數比約為 3：2 所以男性占死亡人數的3

5，女性占死亡人數的2

5，則由右圖可知

所求為3 2

0.1996017 0.1813674 5× + ×5

＝0.19230798＝19.230798 ％ ≈ 19.23080 ％

男性女性

癌症死亡原因死亡人數結構比（％）癌症死亡原因死亡人數結構比（％）

氣管﹑支氣管和肺癌 19.96017 氣管﹑支氣管和肺癌 18.13674

(3)

三．挑戰題

10.已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其準確率(帶原者檢測出陽性反應加上非帶原者檢測出陰性反應占全體的比例)為 x％，現推估有 2％的民眾為此病毒帶原者，若希望以此試劑檢驗結果呈陽性反應的人，確實是帶原的機率達到 80％以 上，則其準確率 x％至少要達到多少以上？(四捨五入至百分比小數點後第二位)

解：由右圖可知，所求為

( )

2% %

2% % 98% 1 % 80%

x

x x ≥

+ −

．

．．

故 x ％ ≥ 0.9949238579…

故準確率 x％至少要達到 99.49 ％以上

===++ nCCCn 2631068 偶合為偶數 C C

( )

( )

偶 合為偶數

( )

( )

( )

．

． ．

偶合為偶數

．．