指數函數的微分

指數函數的微分

單維彰‧2014 年 3 月

給定底數 0  的指數函數為 ( )a 1 f x a^x。我先用a2為例。回顧導函數的極 限定義：

( ) f x 

0

( ) ( )

limh

f x h f x

 h

 

代入 ( )f x 2^x之後，我們獲得以下的極限推論：

[2 ]^x



0

2 2

lim

x h x

h h



  

0

2 2

lim ^x 2 ^x

h

h

 h

  

0

(2 1) 2 lim

h x

h^ h

 

0

1) lim(2 2

h h

x

 h

  

 

 



前面發現的主要事實是：2^x的導函數[2 ]^x 是某常數乘以它自己： 2 ^x。那個「某 常數」就是以下極限：

0

2 1 lim

h

h^ h



以前學習多項式的導函數時，遇到的極限問題是多項式的，可以用多項式的除法 解決。現在我們遇到的極限問題不再是多項式，沒有「除法」計算可用了。但是 極限的原理卻是一樣的：令

2^x 1

y x

 

顯然 y 在x0處不存在，而

0

2 1 lim

h

h^ h

 偏偏就是要求 y 在x0處的值。觀察以下

2^x 1

y x

  的函數圖形，相信任何人都看得出來，根據x 之函數圖形的「趨0 勢」，圖中缺掉的x0處的點（圖中的圓圈），有一個明顯的「高度」，也就是 y 值。所以

0

2 1 lim

x



x



的意義就是圖中那個空心圓圈的 y 值。從圖已經可以看出來，極限略小於 0.7。

現在我們改變符號，討論

2^x 1

y x

  _{而且要求的是}

0

2 1 limx

x

 x



所謂x0可以分成 x 從 0 的右邊（正數）或者從左邊（負數）趨近於 0。數值 的計算如下表：

x y x y

0.100000 0.717734 -0.100000 0.669670 0.010000 0.695555 -0.010000 0.690750 0.001000 0.693387 -0.001000 0.692907 0.000100 0.693172 -0.000100 0.693123 0.000010 0.693149 -0.000010 0.693144 0.000001 0.693147 -0.000001 0.693146 用「夾擠定理」的想法，我們雖然不確定

0

2 1 lim

x x

 x

 是多少？但是確定它的範圍是

0

0. 2 1

lim 0.6931

693146 47

x

x^ x

 



我們可以確定

0

2 1

lim 0.6931

x x

 x

  _或者

0

2 1

lim 0.6931

h h

 h

 

現在我們知道 ( )f x 2^x的導函數是

[2 ]^x

   k

k  0.6931

簡記為

[2 ]

  0.6931 2 