中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學

碩 士 論 文

題目：使用最小平方近似法實現指數函數電路

Pseudo Exponential Circuits Using Least Square Approximation

系 所 別：電機工程學系碩士班

學號姓名：M09401050 蔣忠志

指導教授：林國珍 博士

目錄

第一章 序論...1

1.1 研究動機和背景...1

1.2 論文架構...4

第二章 最小平方近似法...5

2.1 前言...5

2.2 傳統最小平方近似...5

2.3 正交多項式近似...6

2.4 Matlab 數學模擬...15

第三章 (Padé)有理函數近似...22

3.1 前言...22

3.2 理論分析...22

3.3 Matlab 數學模擬...27

第四章 電路實現和模擬...40

4.1 四階最小平方多項式之實現與模擬...40

4.2 Padé 之實現與模擬...52

第五章 結論...70

參考文獻...71

圖目錄

圖 2-1 (權重函數)Weight Function ...9

圖 2-2 最小平方和泰勒二次多項式與指數函數之誤差曲線 ...15

圖 2-3 最小平方、泰勒二次多項式和指數函數之模擬曲線 ...16

圖 2-4 最小平方、泰勒二次多項式和指數函數取強度(dB) ...17

圖 2-5 泰勒四次和 Exponential 之 dB 誤差 ...18

圖 2-6 不同權重之最小平方多項式誤差比較圖 ...19

圖 2-7 最小平方和泰勒四次多項式與指數函數之誤差曲線...20

圖 2-8 最小平方、泰勒四次多項式和指數函數之曲線 ...20

圖 2-9 最小平方、泰勒四次多項式和指數函數取強度 ...21

圖 3-1 最小平方和泰勒之 Padé比較 ...27

圖 3-2 Padé求得步驟示意圖 ...28

圖 3-3 最小平方之 Padé(1) ...29

圖 3-4 最小平方之 Padé(2) ...30

圖 3-5 最小平方之 Padé(3) ...31

圖 3-6 最小平方之 Padé(4) ...32

圖 3-7 最小平方之 Padé(5) ...33

圖 3-8 最小平方之 Padé(6) ...34

圖 3-9 最小平方之 Padé(7) ...35

圖 3-10 最小平方之 Padé(2) ...36

圖 3-11 最小平方和泰勒有理函數與 Exponential 之誤差曲線 ...37

圖 3-12 最小平方和泰勒之有理函數與 Exponential 曲線圖 ...38

圖 3-13 最小平方和泰勒之有理函數與 Exponential 取強度 ...38

圖 4-1-1 四次多項式架構示意圖 ...40

圖 4-1-2 電流平方電路 ...40

圖 4-1-3 電流除法/平方電路 ...43

圖 4-1-4 最小平方四次多項式電路圖 ...44

圖 4-1-5 最小平方四次多項式模擬曲線圖 ...47

圖 4-1-6 最小平方四次多項式取強度(dB) ...48

圖 4-1-7 Hspice 轉成 Matlab 之模擬曲線 ...49

圖 4-1-8 Hspice 轉成 Matlab 之模擬曲線 2 ...50

圖 4-1-9 最小平方四次多項式和 Exponential 比較 ...50

圖 4-1-10 最小平方四次多項式和 Exponential 取強度 ...51

圖 4-1-11 最小平方四次多項式和 Exponential 誤差分析(dB) ...51

圖 4-1-12 五種狀態 SS、SF、TT、FS 及 FF 模擬圖...52

圖 4-1-13 五種狀態 SS、SF、TT、FS 及 FF 模擬圖 2 ...53

圖 4-1-14 最小平方四次多項式電路 Layout ...53

圖 4-1-15 最小平方四次多項式 Post-Simulation ...54

圖 4-2-1 改良型電流平方電路 ...55

圖 4-2-2 電流除法電路 ...58

圖 4-2-3 電流反向電路 ...59

圖 4-2-4 有理函數 Padé電路圖 ...61

圖 4-2-5 分子和分母電流比較 ...63

圖 4-2-6 Padé模擬結果 ...64

圖 4-2-7 Padé取強度之模擬結果(dB) ...64

圖 4-2-8 Hspice 轉 Matlab 之模擬曲線 ...65

圖 4-2-9 Hspice 轉 Matlab 之取強度(dB)模擬曲線 ...65

圖 4-2-10 Padé與 Exponential 之比較 ...66

圖4-2-12 Padé與Exponential誤差比較 ...67

圖4-2-13 五種狀態SS、SF、TT、FS 及FF模擬圖...68

圖4-2-14 五種狀態SS、SF、TT、FS 及FF模擬圖2 ...68

圖4-2-15 Padé電路Layout ...69

圖4-2-16 Padé電路Post-Simulation ...69

第一章 序論

1.1 研究動機和背景

在許多應用當中，可變增益放大器(VGA)是一個不可缺少的角色，它可用來 放大整個系統的動態輸入範圍，例如在醫療設備(medical equipments)、電信系 統(telecommunication systems)、助聽器(hearing aids)以及磁盤驅動器(disk drives)等等[2][5][13][16]，在磁盤驅動器和感光耦合元件(CCD)成像設備中，

可變增益放大器在穩定輸出訊號扮演著非常重要的角色，因為當輸入訊號可變的 情形之下，它可以提供一個理想的放大訊號給讀取頻道，而可變增益放大器(VGA) 在這方面的應用上，增益的變化範圍至少需要達到 30(dB)以上[13]。

在通訊系統中，可變增益放大器(VGA)通常會以迴授(feedback)迴路來實現 自動增益控制(AGC)放大器。可變增益控制(AGC)放大器是一個可以自動控制其輸 入訊號的增益(或振幅)，然後提供固定的振幅給輸出端，我們可以利用指數函數 來當作此增益之控制電壓，但是在 CMOS 技術當中，卻無法輕易的獲得此指數特 性。然而，在新一代數位行動電話系統 CDMA(分碼多重存取)中，對於可變增益 放大器(VGA)的需求，更是需要較高的線性度和較寬廣的增益變化範圍，因此，

在相關研究方面，才會朝著此目標前進。

而在 CMOS 電路實現當中，可以分兩種方法了解可變增益放大器(VGA)，此兩 種方法為控制訊號為數位或類比，數位控制之可變增益放大器(VGA)使用一系列 的開關電阻或是開關電容技術，來控制其增益，此控制訊號為一離散函數。為了 要有平滑的增益變化，就得利用類比訊號來控制，一般來說，大多會利用可變轉 導(transconductance)或是可變電阻來實現[13]，不過，最大的問題在於是否能 找到一個函數，擁有較寬廣的指數增益變化，尤其是在 CMOS 技術之下。

近年來，在類比可變增益放大器(VGA)設計中，均藉由 Pseudo Exponential

特性，目前，要達到較寬廣的指數增益變化範圍，最有效率的方法，就是利用双 極電晶體(bipolar transistors)，但是此方法將會有較大的功率消耗，且和標 準 CMOS 技術並不相容；另一個方法就是利用 BiCMOS 技術，但是此方法製造費用 過高[2]。

在行動無線通訊系統上，接收和傳送訊號的振幅變化是相當大的，例如說在 新一代數位行動電話系統 CDMA(分碼多重存取)中，無線電收發機的需求就至少 要 80(dB)，為了要達到此目標，以傳統的 CMOS 可變增益放大器來說，至少要串 接四至五級，但是這樣除了會增加功率的消耗以外，還會增加晶片面積以及製造 費用[13]，所以說，能否找出一個較好的近似多項式，才是治本的辦法。

1997 年 IEEE ELECTRONICS LETTERS 曾有學者 A.Motamed 、 C.Hwang 以及 M.Imail 提出一篇 CMOS Exponential Current-to-Voltage Converter[7]，主要 是利用 MOS 本身操作於飽和區時，電流和電壓會呈現平方關係，經過推導後，再 引入所要實現的近似方程式。2000 年台大的劉深淵教授於 IEEE 也曾提出一篇 Pseudo-Exponential Function for MOSFETs in Saturation[16]，主要是參考 1987 年由 KLAAS BULT 和 HANS WALLINGA 於 IEEE 所提出的一篇 A Class of Analog CMOS Circuit Based on the Square-Law Characteristic of an MOS Transistor in Saturation[1]，此篇利用 MOS 元件操作於飽和區之平方關係，提出電流平方 電路(CSC)，讓 Pseudo Exponential 電路有了參考資料。因此，2004 年便有學 者 QUOC-HOANG DUONG、T.KIEN NGUYEN 以及 SANG-GUG LEE 於 IEEE 提出 CMOS EXPONENTIAL CURRENT-TO-VOLTAGE CIRCUIT BASED ON NEWLY PROPOSED APPROXIMATION METHOD[2]，其基本架構參考於 1987 年那篇論文，最大的貢獻就 是它可以實現出任何二次多項式，只要藉由 MOS 寬長比的調整，計算出適當的比 例，便可加以實現。

本篇論文著重於最小平方的近似方法，和以最小平方為基礎之有理函數近似 法，此兩種方法均優於分別為大家所熟悉的泰勒多項式近似，和以泰勒多項式所

延伸之有理函數。我們的目的是要求得較大的輸入範圍，以及較大的輸出範圍，

以下將做些說明。

泰勒多項式：

x

n

x n

x !

1

! 2 1

! 1

1 + 1 +

²

+ L +

泰勒之有理函數(Padé)：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) x q

x p x

q x f

x q

x p x q x f x q

x x p

f x r x f

m

i

n

i

i i i

∑

i

∑

= =

−

=

= −

−

=

−

0 0

而泰勒多項式所產生之有理函數，只是把上式中之

^f ( ) ^x

^{，以泰勒多項式取}

代，我們所要做的近似，是把

^f ( ) ^x

以最小平方多項式來取代，稱之為最小平方 之有理函數(Least Square Padé)，簡稱 LS - Padé。

1.2 論文架構

本篇論文主要分五個章節：

第二章為最小平方近似法：主要先介紹傳統最小平方近似法，之後衍生出正交多 項式近似法，藉由權重函數(Weight Function)的加入，達到更好的近似效果，

並利用 Matlab 來作模擬比較。

第三章為(Padé)有理函數近似：先介紹有理函數之理論，之後從第二章所求得之 多項式，拆解成二次除二次之有理函數，拿來和泰勒有理函數做比較，由於其近 似效果沒有比較好，因此，藉由調整積分上下限，求得一組有理函數，其分子和 分母之係數完全相同，且近似效果遠比泰勒之有理函數好。

第四章為電路實現和模擬：主要把第二章和第三章所求得之數學式子，套用到電 路進行模擬，最後再把 Hspice 模擬結果，經由 Matlab HspiceToolbox 和 Exponential 做比較。

第五章為結論：說明本篇論文之結果與未來之展望。

第二章 最小平方近似法

2.1 前言

目前來說，關於指數(Exponential)近似法，大略有泰勒(Taylor)多項式、

柴比雪夫(Chebyshev)多項式、最小平方(Least Square)多項式以及 Padé 近似 法，而本篇論文著重於最小平方近似法，以及修改後 Padé 近似法，將分別於第 二、三章詳加介紹。

2.2 傳統最小平方近似

假定

^f

^∈

^C [ ^a

^，

^b ]

，且我們需要一個至多

ⁿ

次之多項式

P

_n

( ) x

，以使誤差之 平方和為最小。

( ) ( )

[ ]

∫

a^b

f x ⁻ P

n

x

²

dx

為了決定最小平方近似多項式，也就是使上述表示式為最小之多項式，令

( ) ∑

=

−

−

+ =

+ + +

=

ⁿ

k

k k n

n n

n

n

x a a x a x a x a x

P

0 1

1 1

0

L

接著定義

( )

⁼

∫

^⎜_⎝^⎛

( )

⁻

∑

^⎟_⎠^⎞

= b

a

n

k

k k

n

f x a x dx

a a

a E

2

0 1

0, ,L,

我們的問題是要求出使

E

為最小之實係數

( a

₀,L,

a

_n

)

，而使 這些數 值讓

) , , (

a

₀ L

a

_n

E

為最小的必要條件為

= 0

∂ E

，for

j = 0 , 1 , L , n

.

由於

⁼ ∫ [ ( ) ] ⁻ ∑ ∫ ( ) ⁺ ∫ ∑ ^⎜ _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

=

=

b a

b a

n

k

k k k

n

k k b

a

f x dx a x f x dx a x dx

E

2

0 0

2

2

∫ ( ) ∑ ∫

=

+

+

−

∂ =

∂

^b

a

n

k

b a

k j k

j j

dx x

a dx

x f a x

E

0

2 2

因此，為了求出

P

_n

( ) x

，必須對

a

_j這些

( n + 1 )

個未知數，解出以下 個 正規方程式(normal equations)：

( ⁿ

⁺¹

)

∫ ( )

∑ ∫

₌ ⁺

⁼

a^b j n

k

b a

k j

k

x dx x f x dx

a

0

，for

j = 0 , 1 , L , n

. 倘若

^f

^∈

^C [ ^a

^，

^b ]

，且

a

≠

b

，我們可以證明這組正規方程式擁有唯一解。

2.3 正交多項式近似

由上述傳統最小平方近似，說明了求最小平方多項式近似的困難，必須解出 含

P

_n

( ) x

的係數(

a

₀,L ,

a

_n ) 之

( ^{n + 1} ) ( ^{× n + 1} )

線性系統，此線性系統中的 係數為

1

1 1

+ +

=

^{+ +}

−

^{+ +}

∫

a^b

^x

+

^{dx b}

^{j k}

_{j k} ^a

^{j k} k

j

這是一組沒有便利數值解的線性系統，此線性系統中的矩陣稱為 Hilbert 矩陣，這個病態(ill-conditioned)矩陣為示範捨入誤差困擾的典型範例，並沒 有任何一個令人滿意的旋轉手法可供使用。另外一個缺點類似於 Lagrange 多項

式時所發生的狀況，在求最佳

n

階多項式

P

_n

( ) x

時所執行的計算，並未減少求下 一個高階多項式 之工作量，也就是說，它無法利用前一個多項式所求得 之值。

( ) x P

_{n 1+}

現在考慮求最小平方近似的其他方法，其結果為在計算方面較有效率，而且 一旦知道了

P

_n

( ) x

，就很容易決定

P

_{n 1+}

( ) x

，為了使討論便利，我們需要一些新的 概念，將於以下做些說明。

定理 1：

如果

{ φ

₀,L,

φ

_n

}

這組函數，每當

( )

_{1 1}

( ) ( ) ⁰

0

0

x + C x + + C x =

C φ φ _L

_n

φ

_n for all

x ∈ [ a , b ]

，

1

則

C

0 =

C

=L=

C

n =0，我們稱它為在

[ ] ^{a, b}

上線性獨立(linearly independent)

，否則稱這組函數線性相依(linearly dependent)。

定理 2：

如果對於每個

j

= (0,1,L ,

n

) ，

φ

_j 為 j 次多項式，則

{ φ

₀,L,

φ

_n

}

於

上任何一個區間線性獨立。假設 為使得

[ ^{a, b} ] C

0,L,

C

n

P ( ) x

=

C

₀

φ

₀

( ) x

+

C

₁

φ

₁

( ) x

+_L+

C

_n

φ

_n

( ) x

= 0 for all

^x

^∈

[ ] ^a

^,

^b

.

之實數，由於多項式

P ( ) x

於

[ a, b ]

上變為零，因此所有

x

的乘冪之係數皆為零，

尤其

x

ⁿ之係數也為零。因為

C

_n

φ

_n

( ) x

為

^P ( ) ^x

^唯一含有 的那一項，所以我們必須

要有 ，且

x

n

=0

C

n

( ) ∑

⁻

( )

=

=

¹

0 n

j

j

j

x

C x

P φ

.

在

^P ( ) ^x

這個表示式中，唯一含有

x

ⁿ⁻¹乘冪的那一項為

C

_n−1

φ

_n−1

( ) x

，所以這一 項也必須為零，且

( ) ∑

⁻

( )

=

=

²

0 n

j

j

j

x

C x

P φ

_.

依此類推，其餘的常數

C

_n−₂,

C

_n−₃,L,

C

₁,

C

₀均為零，這暗示

{ φ

₀,L,

φ

_n

}

線性獨立。

為了討論一般的函數近似，必須介紹權重函數(weight function)與正交性 的概念。

定理 3：

一個可積函數 w ，如果對於所有

I

中的 x ，

^w ( ) ^x

^{≥0，但於}

I

的任何一個子 區間上，

^w ( ) ^x

^≠0，則稱W 為區間

^I

^{上的一個權重函數。}

權重函數的用途是於區間的某些部份，指派不同程度的重要性給近似值，例 如，權重函數

( )

2

1 1

x x

w = +

在區間

(

^−1,1

)

的中心點附近置較小的重要性；而當

x 接近於 1 時，置較大的重

要性，如圖 2-1 所示：

( ) ^x

w

1

− 1 x

1

圖 2-1 (權重函數)Weight Function

假設

{ φ

₀,

φ

₁,L,

φ

_n

}

為

[ ^{a, b} ]

上的一組線性獨立函數，W 為

[ ] ^{a, b}

^之權重函

數，且對於

f ∈ C [ ] a , b

，我們想找出一種線性組合

( ) ∑ ( )

=

=

ⁿ

k

k

k

x

a x

P

0

φ

以使誤差

( ) ∫ ( ) ( ) ∑ ( ) ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

= b

a

n

k

k k

n

w x f x a x dx

a a

a E

2

0 1

0

, , _L , φ

為最小。當

w ( ) x ≡ 1

，且對於每個

k = ( 0 , 1 , L , n )

，

φ

k

( ) x = x

^k之特殊情形時，

這個問題簡化成本章一開始所考慮的情形。

由於對每個

j = ( 0 , 1 , L , n )

，

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∑ ⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

∂ =

= ∂

= b

a j

n

k

k k j

dx x x

a x

f x a w

E 2 .

0

0

φ φ

我們可以推衍出連帶於這個誤差公式的正規(normal)方程式，其可以寫成：

∫

^b

^w ( ) ( ) ( ) ^{x f x φ x dx =} ∑ ∫

ⁿ

^a

^b

^w ( ) ( ) ( ) ^{x φ x φ x dx}

，for

^{j = ( 0 , 1 , L , n )}

若我們可以選取出函數

( φ

₀

, φ

₁

, _L , φ

_n

)

，以使得

( ) ( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

=

>

= ≠

∫ ^{w x x x dx if} _if ^j _j ^k _k

j b

a k j

, 0

,

,

0 φ α

φ

(2-1)

則這些正規方程可以簡化成

( ) ( ) ( ) _∫ ( ) ( ) [ ]

∫ ⁼

j a^b j

⁼

j j

b

a

w x f x φ

j

x dx a w x φ x

²

dx a α

對於每個

j = ( 0 , 1 , L , n )

，且

( ) ( ) ( )

∫

=

^b

a j

j

j

w x f x x dx

a 1 .

α φ

因此當取出滿足(2-1)式之函數(

φ

₀,

φ

₁,_L,

φ

_n)時，最小平方近似問題就大大的 簡化了。

定理 4：

如果

( ) ( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

=

>

= ≠

∫ ^{w x x x dx if} _if ^j _j ^k _k

k b

a j k

, 0

,

, 0 φ α

φ

我們就說

{ ^φ

₀

^{, φ}

₁

^, _L ^{, φ}

_n

}

為於區間

[ ] ^{a, b}

^{上，權重函數}

^w ( ) ^x

^{之正交函數集合}

(orthogonal set of functions)，此外，若對每個

k = ( 0 , 1 , L , n )

，

α

_k =1， 則此集合稱為規格化正交(Orthonormal)，結合此定理與上述所介紹之概念，產 生了以下的定理。

定理 5：

如果

{ φ

₀,

φ

₁,L,

φ

_n

}

為在區間

[ ] ^{a, b}

^{上權重函數 之正交函數集合，則 於}

上權重函數 w 之最小平方近似為

w f

[ ^{a, b} ]

( ) ∑ ( )

=

=

ⁿ

k

k

k

x

a x

P

0

φ

_.

其中

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ∫ ( ) ( ) ( )

∫

∫ ₌

=

^b

a k

k b

a k

b

a k

k

w x x f x dx

dx x x

w

dx x f x x w

a φ

φ α

φ ₁

2

接下來，我們以 Gram-Schmidt Orthogonalization Process 為基礎，描述 如何於

[ ]

上建構關於權重函數 w 之正交多項式。

}

b a,

在說明下個定理之前，我們先來介紹 Gram-Schmidt Process，其基本定義 為：

1. 令

B = { v

₁

, v

₂

, L , v

_n 之內積空間

V

。

Ex：若要以一次多項式

( ^a

₀

^{+ a}

₁

^x )

^{來近似指數函數}

e

^{x ，其}

^{B =} { } ^{1 , x}

^。

2. 令

B ′ = { w

₁

, w

₂

, L , w

_n

}

，

B′

為空間V 之正交集合，

w

_i之定義如下

1 2

1

2 2 2

2 3 1

1 1

1 3 3

3

1 1 1

1 2 2

2 1 1

, ,

,

, , ,

, , ,

−

⋅

−

−

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

=

=

n n n

n

v w w

w w w v

w v v

w

w w w

w w v

w w

w v v

w

w w w

w v v

w v w

L

M

3. 將

B ′ = { w

₁

, w

₂

, L , w

n

}

之

w

_i取其正規化(orthonormal)，也就是令

i i

i

w

u = w

_。

所以，我們可以藉此定義正交多項式。

令

{

為正交多項式之集合，則利用上述之方法，我們可以分別 將其表示成：

n

}

p p

p

₀

,

₁

, L ,

( )

₀

0 0

0 0 1

0

, , 1

) (

p p p

p x xp

x p

x p

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

≡

我們先來證明上述定義之

p

₀, p₁是否為正交之多項式

0

, ,

, , ,

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 1

0

=

−

=

−

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

xp xp

p p p

p xp xp

p p p

p x xp

p p

所以此方式所定義之多項式均互為正交，則我們便可利用以下方式，來定義 較高階之多項式：

( )

₁

1 1

1

,

, ,

,

−

−

−

+

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

− ⎡

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

_i

i i

i i i

i i

i i

i

p

p p

p p p

p p

p x xp

x p

接下來，我們以此為背景，定義所需之正交多項式。

定理 6：

由以下方式所定義出來的多項式集合

{ φ

₀,

φ

₁,L,

φ

_n

}

，於區間

[

^上關於

權重函數 w 為正交(orthogonal)。

]

b a,

φ

₀

( ) x ≡ 1

,

φ

₁

( ) x = x − B

₁, 對於

[ ] ^{a, b}

^{中的每個 x ，}

其中

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]

∫

= ∫

_b

a b a

dx x

x w

dx x

x xw B

2 0

2 0

1

φ

φ

；

而且當

k

≥2時，

φ

_k

( ) ( ^x = ^x − ^B

_k

) ( ) φ

_k−₁

^x − ^C

_k

φ

_k−₂

( ) ^x

, 對於

[ ] a, b

中的每個 x ， 其中

( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]

∫

∫

−

=

_b −

a k

b

a k

k

dx x

x w

dx x

x xw

B

2

1

2 1

φ φ

且

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]

∫

∫

−

−

=

_b −

a k

b

a k k

k

dx x x

w

dx x x

x xw

C

2

2 2 1

φ φ φ

.

上述方法提供了建構一組正交多項式之遞迴程序，其證明可由對多項式

( ) x

φ

n 作數學歸納法而得到，我們將在以下說明。

定理 7：

對於任何一個

n

>0，上述所給定之多項式集合

{ φ

₀,

φ

₁,L,

φ

_n

}

於

[

^上線性

獨立，且對於任何一個階次 之多項式 .

]

b a, n

k

<

Q

_k

( ) ( ) ( ) = 0

∫

a^b

w x φ

n

x Q

k

x dx

由於φ 為 次多項式，令_n

n ^Q

k

( ) ^x

為 k 次多項式，使得

( ) ∑ ( )

=

=

^k

j

j j

k

x c x

Q

0

φ

_.

於是

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

0 0

=

⋅

=

= ∑ ∫ ∑

∫

= =

k

j j k

j

b

a j n

j b

a

w x Q

k

x φ

n

x dx c w x φ x φ x dx c

，

這是因為對於每個

^j

⁼

(

^0,1,_L^,

^k )

，

φ

n 均正交於φ 。 _j

在下一節中，我們會利用本節所定義之正交多項式求法，藉由 Matlab 輔助 軟體求得所需之近似多項式。

2.4 Matlab 數學模擬

上述方式是一種近似指數函數的方法，可以利用它來產生任何階數的最小平 方多項式，一般來說，大多會以泰勒級數來近似指數函數，而以現階段的電路而 言，多以平方電路為主，主要是因為當 MOS 操作於飽和區時，存在著電流和電壓 的平方關係，之前曾有人以電流平方電路(CSC)[1]來實現泰勒二次多項式，不 過，卻沒有人實現最小平方多項式。

所以，本節主要是針對於最小平方多項式之近似法，和泰勒多項式進行數學 模擬上之比較，以便證實最小平方近似法，的確優於泰勒多項式。

首先，我們先以最小平方之二次多項式，和泰勒二次多項式進行比較，圖 2-2 是以 Matlab 輔助軟體進行模擬：

圖 2-2 最小平方和泰勒二次多項式與指數函數之誤差曲線

圖 2-2 中，我們利用前一節所介紹之方式，求得最小平方二次多項式，來和 泰勒做比較，其方程式分別為：

2 2

2 1 1

: Tay2

13 7 10

1 11 : LS2

x x

x x

+ +

+ +

由圖 2-3 可見，最小平方之近似效果，遠比泰勒來的優異，在接下來的介紹 中，我們將會以最小平方四次多項式來和泰勒四次多項式做比較，畢竟，階數越 高，近似效果越好，就目前所知的電路而言，只能實現二次或四次，所以我們才 會選擇四次多項式來近似。

圖 2-3 最小平方、泰勒二次多項式和指數函數之模擬曲線

圖 2-4 最小平方、泰勒二次多項式和指數函數取強度(dB)

由圖 2-4 可見，最小平方之二次多項式，其輸入(x)範圍為-0.88~1.13，輸 出(y)之強度(dB)為-7.1158~ 9.3335，總共 16.4439(dB)，而泰勒二次多項式之 輸入(x)範圍-0.6~0.85，輸出(y)之強度(dB)為-4.7314~6.8928，共 11.6242 (dB)，所以，以數據上來說，最小平方近似法確實優於泰勒多項式。

接下來，我們要求得一組最佳的最小平方四次多項式，不過，我們會加入權 重函數(weight function)，藉此改善多項式遠離原點(0)之近似情況，在此之 前，先來看看泰勒四次多項式和指數函數的誤差值。

圖 2-5 泰勒四次和 Exponential 之 dB 誤差

由圖 2-5 清晰可見，泰勒四次多項式在超過正負 0.5 之誤差範圍後，其曲線 掉的很快，也就是說，當某個多項式之輸入(x)大於

± 1

時，其近似效果會越來 越差，而我們加入權重函數的目的，是因為要改善當函數在± 1 範圍以外的近似 情況，底下將以不同的權重函數，分別表示其近似情況。

( ) ( ) ( ) ( )

4 3

2

12 4

3 2

10 4

3 2

8 4

3 2

6 4

3 2

1 1

1 1 4

1 41 10

2 54

11 47

23 26

25 233 4 234

1 21 10

1 79

16 51

25 28

27 294 3 295

1 21 10

1 164

33 57

28 31

30 357 2 358

1 21 10

1 5

1 61

30 34

33 435 1 436

x x

x x tay

x x

w x

x x

x wls

x x

w x

x x

x wls

x x

w x

x x

x wls

x x

w x

x x

x wls

+ +

+ +

=

+

=

⇒ +

+ +

+

=

+

=

⇒ +

+ +

+

=

+

=

⇒ +

+ +

+

=

+

=

⇒ +

+ +

+

=

圖2-6不同權重之最小平方多項式誤差比較圖

由圖2-6可見，加上權重函數之最小平方多項式，其近似效果均比泰勒四次 多項式來的好，所以，權重函數可以適度的改善近似情況，但也有其範圍，照理 說，權重函數越大越好，因為當 x 的輸入範圍遠大於1，權重函數的數值就會接 近無限大，而圖2-6的模擬中，雖然wls4之權重函數最大，近似效果卻最差，由 此可見，想要達到最佳的近似效果，只能給予適度的權重函數，所以我們取wls3 之多項式。

圖 2-7 最小平方和泰勒四次多項式與指數函數之誤差曲線

由圖 2-7 可見， LS4-最小平方四次多項式之輸入範圍，比泰勒四次多項式 (Tay4)來的大(在誤差正負 0.5dB 內)。接下來，我們要觀測兩個四次多項式之近 似情況，以及其輸出強度(dB)。

圖 2-8 最小平方、泰勒四次多項式和指數函數之曲線

圖 2-9 最小平方、泰勒四次多項式和指數函數取強度(dB)

由圖 2-8 和圖 2-9 清晰可見，最小平方之四次多項式，其輸入範圍(x)約在 -1.8~2.5，輸出範圍(y)約-15.157~21.216，總共 36.373(dB)，而泰勒之四次多 項式，輸入範圍只有-1.2~2，輸出範圍-9.94~16.9，約 26.84(db)左右。我們將 於第四章實現本節所求得之最小平方四次多項式，順便介紹本電路架構所需使用 的電路，並加以推導。

第三章 (Padé)有理函數近似

3.1 前言

利用代數多項式來作近似使用，有著若干不同的優點，例如說存在夠多的 多項式，來逼近封閉區間上之任何一個連續函數，使誤差落於任意的容許範圍 內；任意一點的多項式值很容易被計算出來；且多項式之導數與積分很容易決 定。而使用多項式作為近似的一項缺點，在其振盪之傾向，這常常導致多項式近 似中的誤差範圍，遠遠超過平均近似誤差，因為誤差範圍是由最大之近似誤差所 決定。我們現在考慮將近似之誤差，作較均勻分配於近似區間的方法，也就是將 誤差平均化，因此產生了有理函數。

3.2 理論分析

假設一個

N

階的有理函數(rational function)

r

，具有

( ) ( ) ) (

x q

x x p

r =

的形式，其中

^p ( ) ^x

與

^q ( ) ^x

之次數相加為

N

階之多項式。

由於每一個多項式都是有理函數(只要令

^q ( ) ^x

^≡1即可)，因此有理函數近似 得到的結果，不比多項式近似結果之誤差範圍還要大。然而，就同樣的計算量而 言，分子與分母具有同樣次數，或幾乎同樣次數之有理函數，通常會產生優於多 項式法的近似結果。(此敘述乃基於除法所需的計算量，大約與乘法相同之假設。) 有理函數具有能允許有效近似於近似區間附近，且在其外，有無窮個不連續點之 函數的附加優點，而多項式近似在這種情況下，通常是無法接受的。

假定

r

為

N = n + m

階之有理函數

( ) ( )

( )

_m ^m

n n

x q x

q q

x p x

p p x

q x x p

r + + +

+ +

= +

= L

L

1 0

1 0

其用來逼近包含零點之封閉區間

I

上的函數

f

，為了使

r

在零點有定義，必須

要

q

₀

≠ 0

，實際上，我們可以假設

q

₀

= 1

，因為如果不是這種情形的話，我們就 將

^p ( ) ^x

置換成

p ( ) x q

0，並以

q ( ) x q

₀ 置換

q ( ) x

。因此，若以 作為 之近似，

存在著

( )

這

r f

n

m

p p p

q q

q

₁, ₂,L, , ₀, ₁,L,

N

+1個參數。

Padé近似法(Padé approximation technique)選取出這

N

+1個參數，以使 得對於每個

k = 0 , 1 , L , N

，

^{f ( )}

^k

( ) ⁰ = ^{r ( )}

^k

( ) ⁰

。Padé近似法為泰勒多項式近似至 有理函數之延伸，實際上，當

n = N

且

m = 0

時，Padé近似即是

N

階 Maclaurin 多項式。

接下來，考慮下列函數之差

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) x q

x p x

q x f

x q

x p x q x f x q

x x p

f x r x f

m

i

n

i

i i i

∑

i

∑

= =

−

=

= −

−

=

−

0 0

，並假定

f ( ) x

具有 Maclaurin 級數之展開式

( ) ∑

^∞

=

=

0 i

i i

x a x

f

所以

( ) ( ) ^q ( ) ^x

x p x

q x a x

r x f

m

i

n

i

i i i

i i

i

i

∑ ∑

∑

= =

∞

=

−

=

−

^{0 0 0} (3-1)

而我們的目標是選出常數(

q

₁,

q

₂L,

q

_m)及(

p

₀,

p

₁,L,

p

_n)，以使得

( )

^k

( ) ⁰ − r ^{( )}

^k

( ) ⁰ = ⁰

f

，對於每個

k = 0 , 1 , L , N

. 我們發現這等同於

f − r

在零點有

N

+1個重根，因此，我們取

及 ，使得(1)式右邊的分子項

) , ,

(

q

₁

q

₂L

q

_m )

, , ,

(

p

₀

p

₁ L

p

_n

( ) ( ) (

n ⁿ

)

m

m

x p p p x

q x

q x

a

a

0

+

1

+ L 1 +

1

+ L + −

0

+

1

+ L +

(3-2) 沒有小於或等於

N

次的項。為了簡化符號，我們定義

2

0

1

=

₊

= = =

+ n N

n

p p

p L

並令

2

0

1

=

₊

= = =

+ m N

m

q q

q L

則我們可以將(3-2)式中

x

^k 之係數表示為

k k

i

i k

i

q p

a ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ∑

= −

0

所以 Padé近似之有理函數將從以下

N

+1個線性方程式產生

N

+1個解

0

k k

i

i k

i

q p

a =

∑

= − ，

k = 0 , 1 , L , N

我們可以把上式整理成下列形式：

N N

k

k

a q a q p

a

p q

a q a q a a

p q

a q a a

p q a a

p a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+

= +

=

−1 1 0

3 3 0 2 1 1 2 3

2 2

0 1 1 2

1 1 0 1

0 0

L M

一般來說，上述之有理函數近似法，其

^f ( ) ^x

均以泰勒多項式來展開，底下 我們將舉例說明。

假設現在我們要以泰勒四次多項式，來求得

^p ( ) ^x

^、

^q ( ) ^x

^{均為二次多項式之有}

理函數，即

N = n + m ⇔ 4 = 2 + 2

，則(3-2)式將變成

( ¹ ) ( ⁰

24 1 6

1 2

1 1

^{2 3 4}

⎟ +

₁

+

₂ ²

−

₀

+

₁

+

₂ ²

=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + x + x + x + x q x q x p p x p x )

此時，我們需要利用上述式子解出

( ^q

₁

^{, q}

₂

^{, p}

₀

^{, p}

₁

^{, p}

₂

)

，將上式加以整理，可得 到以下五個方程式：

0

1 1

2 2

1

2 1

2 1

1 1 2 1

2 0 1 6

1

2 0 1 6

1 24

1

p

p q

p q

q

q q

q q

=

= +

= +

+

= +

+

= +

+

先解出 和 後，再帶入其他方程式解出 、 ，帶回 ，便可得 到

q

1

q

₂

p

₁

p

₂

^r ( ) ^x

2 2

2 2

6 12

6 12 12

1 2

1 1

12 1 2

1 1

x x

x x x

x

x x

+

− +

= + +

− + +

在下一節當中，我們要以上述之方法，把

^f ( ) ^x

用最小平方多項式來取代，

求得另外一組有理函數，和泰勒所求得之有理函數進行比較。

雖然說，在上一節當中，我們有求得最小平方四次多項式，但是，此多項式 所得到之有理函數，由於分子和分母之二次項係數均為負數，導致其近似效果沒 有預期的好，反而比上述多項式還差。

因此，我們需要求得另外一組最小平方四次多項式，為了將來在電路實現上 的方便，分子和分母的係數最好能如上述多項式一樣，只有一次項係數差一負 號，而我們的方法，是藉由調整其積分上下限，達到我們所預期的結果。

3.3 Matlab 數學模擬

在上一節當中，我們有求得最小平方四次多項式，先以此多項式來轉換成有 理函數，順便和泰勒之有理函數做比較。

2 2

2 2

6 12

6 : 12

3825 . 0 1657 . 1 1

2502 . 0 2052 . 0 0034 . : 1

x x

x Pade x

x x

x Pade x

LS

+

− + +

+

−

−

− −

圖 3-1 最小平方和泰勒之 Padé比較

由圖 3-1 可知，若以第二章所求得之最小平方多項式來拆解成有理函數，其 近似效果沒有泰勒拆解之有理函數好，且其係數也沒有對稱，在電路實現上來 說，這將是一個困難點，因此，我們接下來的目標，是要找出分子和分母係數對 稱之有理函數，就如同上述泰勒求得之有理函數。

接下來，藉由改變最小平方多項式之積分上下限，來慢慢逼近我們的目標。

圖 3-2 為求得 Padé之步驟示意圖。以下為求解過程的描述：

圖 3-2 Padé 求得步驟示意圖

藉由第二章的正交多項式理論，我們可以令最小平方多項式為：

( ) ∑ ( )

=

=

ⁿ

k

k

k

x

a x

P

0

φ

( ) ( ) [ ( ) ]

∫

= ∫

_b

a k

b a k k

dx x

dx x f x

a φ

2

φ

( )

2

2 2

1 1 1

1 1

1 1

0 0 0

0 0 1

0

, , ,

, , ) ,

(

1 ) (

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

− ⎡

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

=

k k

k k k k

k k

k k k

x x x

x x x

x

φ φ φ

φ φ φ

φ φ

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

φ

(附註：上述式子之積分範圍均為 a~b) (1)a=-0.1，b=0.1

2 2

0837 .

0 5009 .

0 1

0828 .

0 4991 .

0 : 1

x x

x Pade x

LS − +

+

− +

(2) a=-0.3，b=0.3

2 2

0865 .

0 5080 .

0 1

0785 .

0 4920 .

0 : 1

x x

x Pade x

LS − +

+

− +

圖 3-4 最小平方之 Padé(2)

由圖 3-3 和圖 3-4，我們可以發現圖 3-3 誤差曲線跟泰勒幾乎一樣，而其積 分上下限為正負 0.1，在圖 3-4 中，其積分上下限為正負 0.3，近似效果雖然比 泰勒好，但是分子和分母之係數越差越遠，因此，若一直同時改變積分上下限，

對於我們要求的目標，將永遠無法達成。而解決之道，就是積分上下限絕對不能 一樣，而我們以其積分上限 b 為基準，先固定 b，再來調整積分下限 a 之數值。

(3)a=-0.351，b=0.4

2 2

61 5 2

1 1

61 5 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-5 最小平方之 Padé(3)

由圖 3-5 可見，其近似效果比泰勒之有理函數，且輸入範圍大於± 2，最重 要的是證實我們的想法沒有錯誤，積分上下限一定不能相同，否則將無法求出係 數相同之有理函數，底下將用相同方式，找出最佳之近似函數。

(4) a=-0.4261，b=0.5

2 2

37 3 2

1 1

37 3 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-6 最小平方之 Padé(4)

圖 3-6 清晰可見，其輸入範圍±2.2大於圖 3-5 之±2.1，所以我們將再度調 整積分上下限。

(5) a=-0.4989，b=0.6

2 2

25 2 2

1 1

25 2 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-7 最小平方之 Padé(5) 由圖 3-7，其輸入範圍為±2.3，大於圖 3-6 之±2.2。

(6) a=-0.565，b=0.7

2 2

3 1 1

38 3 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-8 最小平方之 Padé(6)

圖 3-8 中，輸入範圍為±2.4，又大於圖 3-7 之±2.3。

(7) a=-0.63，b=0.8

2 2

13 1 387

1 193

13 1 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-9 最小平方之 Padé(7)

由圖 3-9 可見，雖然其輸入範圍大於圖 3-8，但是其分子和分母係數沒有完 全相同，對於電路的實現上，將會比較困難，因此，我們試圖在積分上限 b=0.7 和 0.8 中，找出一組最佳的有理函數，且係數完全相同。

(8) a=-0.5949，b=0.745

2 2

51 4 2

1 1

51 4 2

1 1 :

x x

x x

Pade LS

+

−

+

− +

圖 3-10 最小平方之 Padé(8)

由圖 3-10，其輸入範圍為±2.45，大於圖 3-8 之±2.4。此有理函數為積分 上限 b=0.7 和 0.8 中，最理想的近似函數，且分子和分母係數完全一樣，所以，

我們將以此有理函數來和泰勒之有理函數進行比較。

2 2

2 2

6 12

6 : 12

51 4 2

1 1

51 4 2

1 1 :

x x

x Pade x

x x

x x

Pade LS

+

− + +

+

−

+

− +

圖 3-11 最小平方和泰勒有理函數與 Exponential 之誤差曲線

由圖 3-11 可知，以泰勒延伸至有理函數(Pade)之輸入範圍在-2~2 之間，而 以最小平方延伸之有理函數(LS-Pade)，其輸入範圍在-2.45~2.45 之間，所以我 們的理論得到證實。

圖 3-12 最小平方和泰勒之有理函數與 Exponential 曲線圖

圖 3-13 最小平方和泰勒之有理函數與 Exponential 取強度(dB)

由圖 3-13 得知，在輸入範圍為-2.45~2.45 時，最小平方之有理函數 (LS-Pade)，其輸出範圍在-20.8026~20.8026，約 41.6025(dB)左右，而泰勒之 有理函數卻只有-16.902~16.902，約 33.804(dB)，可見，最小平方之有理函數 除了在輸入範圍大於泰勒之有理函數，輸出範圍也優於其輸出，我們將於第四章 實現本節所求得之有理函數(Padé)。

第四章 電路實現和模擬

4.1 四階最小平方多項式之實現與模擬

在實現電路之前，先來看看本電路實現四次項之示意圖。

I in

2

I in ₄

I in

圖 4-1-1 四次多項式架構示意圖

圖 4-1-1 中，可以清楚看到，只要把輸入 經由一電流平方電路，其輸出 端就可變成 ，接下來，只要再把 送入電流除法/平方電路，就可以產

生 ，這樣一來，只要把電路推導的式子，和求得之四次多項式係數進行比 對，便可用此架構實現。在介紹總電路之前，我們先要介紹電流平方電路(Current

I

in

2

I

in

I

_in²

4

I

in

-Square-Circuit)，簡稱 CSC[1]。

Gnd I

in

M1

M2

M3

M4 M5

I

1

I

2

I

o

I

_out

V

x

V

1

圖 4-1-2 電流平方電路[1]

在圖 4-1-2 中，是典型電流平方電路(CSC)，它是利用 MOS 本身操作於飽和 區之電流平方關係，推導出電流之輸入端和輸出端存在著平方關係式，圖中左半 部 M1 和 M2 構成一個偏壓電路，且 M1 和 M2 完全匹配，這是為了提供右半部 M3~M5 之一固定偏壓，且所有的 MOS 均操作於飽和區，以下我們將對電路進行推導。

首先，M1 和 M2 是一個偏壓電路，提供 M3 之閘極端 偏壓，其和 間之 關係式為

Vx I_O

( 2

²

4

1

T x

O

K V V

I = − )

(4-1)

I

₁

= K ( V

₁

− V

_T

)

² (4-2)

I

₂

= K ( V

_x

− V

₁

− V

_T

)

² (4-3) 又

I

_out

= I

₁

+ I

₂ (4-4)

I

_in

= I

₁

− I

₂ (4-5) 所以

( )

( ) (

[ ⁾ ]

( ) ( )

[

1 ²

]

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1

2 2 2

2 2 1 2 2 1

T x

T

T x

T out

V V V

V K V

V V V

K V

V K

I I

I I I

−

−

⋅ +

−

⋅

=

−

− +

−

⋅

⋅

=

+

⋅

⋅

= +

=

( ) ( )

[ ]

[ ]

( ) ( )

[ ]

2 2 2

4 4

4 2

2 4

2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

1 2

2 2

1

1 1 2

2 1 2 2

1 2 1

V V V

K V

V V V V V

V K V

V V V V V V V

V V V

V V K V

I

T x x

T x x

T x

T x T x

T x

T T out

− +

−

⋅

=

−

− +

+

⋅

=

− +

− + +

⋅ + +

−

⋅

⋅

=

⇒

又

( ) (

[ ]

( ) ( ) ( )

( )

)

2 2 2

1

1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

T x

in x

x T

x

T x

T in

V V

K V I

V

V V V

V K

V V V V

V K

I I I

= −

−

⇒

−

⋅

−

⋅

=

−

−

−

−

⋅

=

−

=

(4-6)

將(4-6)式帶回上式

( ) ( )

²

2 2

2 2 2

2

_{x T}

in T

x

out

K V V

V I K V

I = ⋅ − + ⋅ −

⇒

(4-7)

將(4-1)式帶入(4-7)式

O in O

out

I

I I I

I

I 2 8

2 2

1

+ = +

=

(4-8)

接下來，我們要介紹電流除法/平方電路(Current-Divider/Squaring -Circuit)，簡稱DIVC[1]。其被稱為除法電路，主要是將(4-8)式電流平方電路 結果之2I_O消除，以達到電流除電流之關係式，而MOS之操作均於飽和區。